Bài 1 · 1.8★★Trang 9— Tìm số tự nhiên khi biết quan hệ giữa các chữ số
Một số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 9. Số đó là số nào?
Kiến thức cần nhớ
Biểu diễn số có hai chữ số dạng ab rồi lập điều kiện giữa các chữ số
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho quan hệ giữa hai chữ số của một số có hai chữ số nên phải gọi số đó là ab rồi chuyển điều kiện thành hệ thức giữa a và b. Chọn hướng chặn giá trị thay vì thử cả 90 số có hai chữ số, vì hiệu 9 đúng bằng hiệu lớn nhất mà hai chữ số có thể đạt được nên chỉ còn lại duy nhất một khả năng. Bẫy nằm ở khâu đọc đề: hàng chục lớn hơn hàng đơn vị nên hiệu phải là a−b, đọc ngược thành b−a là ra một số không có hai chữ số.
1Cách 1. Đặt ẩn theo hai chữ số rồi giải hệ thức
Gọi số cần tìm có dạng ab, trong đó a là chữ số hàng chục (1≤a≤9) và b là chữ số hàng đơn vị (0≤b≤9); theo đề bài a và b liên hệ với nhau bởi hiệu a−b=9, ta cần tìm giá trị của a và b.
a−b=9
a=b+9
Vì 0≤b≤9 nên a=b+9≥9
Mà a là chữ số nên a≤9, do đó a=9 và b=0
Vậy số cần tìm là ab=90.
2Cách 2. Thử dần giá trị chữ số hàng chục
Ta thử trực tiếp từng giá trị của chữ số hàng chục a (từ 9 giảm dần) và tính chữ số hàng đơn vị b=a−9 để kiểm tra b có phải là chữ số hợp lệ hay không.
Với a=9 thì b=9−9=0, thoả mãn 0≤b≤9
Với a=8 thì b=8−9=−1, không phải chữ số nên loại
Với mọi a<9 đều cho b=a−9<0 nên đều bị loại
Vậy số cần tìm là 90.
3Cách 3. Chặn hiệu lớn nhất của hai chữ số
Hiệu của hai chữ số không bao giờ vượt quá 9−0=9, mà đề lại cho hiệu đúng bằng 9, nên cả hai chữ số buộc phải nhận giá trị ở hai đầu mút.
Chữ số lớn nhất là 9, chữ số nhỏ nhất là 0 nên a−b≤9−0=9
Hiệu đạt đúng 9 chỉ khi a=9 và b=0
Thử lại: số 90 có chữ số hàng chục 9, chữ số hàng đơn vị 0, hiệu 9−0=9
Vậy số cần tìm là 90, khớp với Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 — nhận ra 9 là hiệu lớn nhất có thể của hai chữ số là đọc ngay ra 90, không phải đặt ẩn cũng không phải thử; Cách 1 dành cho bài đòi trình bày đủ lập luận.
Đáp số.90
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn đọc nhầm đề thành chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 9 rồi viết số 09. Sai vì 09 chính là số 9, chỉ có một chữ số; số cần tìm là 90.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: nếu chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị k đơn vị (với 1≤k≤9) thì có đúng 10−k số thoả mãn, nên k=9 cho duy nhất số 90.
Bài 2 · 1.9★★Trang 9— Liệt kê tập hợp số tự nhiên theo điều kiện của các chữ số
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3. Hãy mô tả tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử của nó.
Kiến thức cần nhớ
Biểu diễn số có hai chữ số dạng ab rồi lập điều kiện giữa các chữ số
🧠 Phân tích tư duy
Đề vẫn cho hiệu của hai chữ số nhưng lần này hiệu nhỏ nên có nhiều số thoả mãn, đó là dấu hiệu phải liệt kê thành tập hợp chứ không tìm một số duy nhất. Chọn cách rút b theo a rồi chặn a, vì điều kiện b vẫn phải là chữ số cắt danh sách xuống còn sáu trường hợp, nhanh hơn hẳn việc dò cả 90 số có hai chữ số. Bẫy nằm ở đầu trên của a: quên rằng b=a+3 phải nhỏ hơn hoặc bằng 9 thì sẽ liệt kê lố sang a=7.
1Cách 1. Đặt ẩn rồi chặn chữ số hàng chục
Gọi số cần tìm có dạng ab với a là chữ số hàng chục (1≤a≤9), b là chữ số hàng đơn vị (0≤b≤9); theo đề bài b−a=3, ta lập bảng giá trị của a và b rồi loại các trường hợp b vượt quá 9.
b−a=3
b=a+3
Vì 0≤b≤9 nên a+3≤9, suy ra a≤6
Với a=1,2,3,4,5,6 ta được b=4,5,6,7,8,9
Các số tương ứng là 14,25,36,47,58,69
Vậy A={14;25;36;47;58;69}.
2Cách 2. Liệt kê trực tiếp và kiểm tra từng số
Ta liệt kê trực tiếp các số có hai chữ số, kiểm tra từng số xem chữ số hàng đơn vị có lớn hơn chữ số hàng chục đúng 3 đơn vị hay không.
Số 14: hàng đơn vị 4, hàng chục 1, hiệu 4−1=3, thoả mãn
Số 25: hàng đơn vị 5, hàng chục 2, hiệu 5−2=3, thoả mãn
Tương tự với 36,47,58,69 đều có hiệu bằng 3
Từ a=7 trở đi thì b=a+3≥10, không còn là chữ số nên dừng lại
Vậy A={14;25;36;47;58;69}.
3Cách 3. Viết giá trị của số theo công thức 11a+3
Ta viết thẳng giá trị của số ab theo riêng chữ số hàng chục để thấy các số cần tìm lập thành một dãy cách đều, nhờ đó vừa liệt kê vừa kiểm soát được không sót số nào.
ab=10a+b mà b=a+3
ab=10a+(a+3)=11a+3
Điều kiện b=a+3≤9 cho 1≤a≤6
Cho a nhận lần lượt 1,2,3,4,5,6 được 14,25,36,47,58,69
Hai số liên tiếp trong dãy hơn kém nhau đúng 11 đơn vị
Vậy A={14;25;36;47;58;69}, khớp với Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì chặn được ngay a≤6 nên chỉ còn sáu trường hợp; sau đó liếc theo Cách 3 thấy các số cách đều 11 là biết chắc không sót phần tử nào.
Đáp số.A={14;25;36;47;58;69}
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn quên chặn nên kể thêm phần tử ứng với a=7, tức là viết thêm số có chữ số hàng đơn vị bằng 10. Đó không còn là chữ số nên tập hợp phải dừng lại ở 69.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: nếu chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục k đơn vị (với 0≤k≤8) thì tập hợp gồm 9−k số, lập thành dãy cách đều 11 bắt đầu từ 11+k.
Bài 5 · 1.12★★★Trang 9— Viết số tự nhiên có ba chữ số từ một tập chữ số cho trước
Cho tập hợp P={0;4;9}. Hãy viết các số tự nhiên: a) Có ba chữ số và tập hợp các chữ số của nó là tập P; b) Có ba chữ số mà các chữ số của nó lấy trong tập P (các chữ số có thể lặp lại).
Kiến thức cần nhớ
Chữ số hàng trăm của một số có ba chữ số không được là 0; phân biệt trường hợp chữ số không lặp và chữ số được phép lặp
Bài 7 · 1.14★★Trang 9— Xác định giá trị số mới khi thêm một chữ số vào một số cho trước
Từ một số tự nhiên n có ba chữ số cho trước, ta sẽ được số nào nếu: a) Viết thêm chữ số 0 vào tận cùng bên phải số đó? b) Viết thêm chữ số 1 vào tận cùng bên trái số đó?
Kiến thức cần nhớ
Mỗi chữ số thêm vào làm thay đổi giá trị của các chữ số cũ theo hàng; viết số dưới dạng tổng giá trị các hàng
Bài 9 · 1.16★★★Trang 10— Chèn thêm một chữ số vào một số cho trước để được số lớn nhất/nhỏ nhất
Viết thêm chữ số 6 vào số 812574 để được: a) Số lớn nhất; b) Số nhỏ nhất.
Kiến thức cần nhớ
Khi chữ số thêm vào không phải là chữ số lớn nhất hay nhỏ nhất, ta phải so sánh nó với từng chữ số của số đã cho (theo thứ tự từ trái sang phải) để chọn đúng vị trí chèn
Bài 10 · 1.17★★Trang 10— Xác định chữ số và giá trị của chữ số theo từng hàng
Cho số 728031. Hãy hoàn thiện bảng sau: nêu chữ số và giá trị của chữ số đó ở mỗi hàng: hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị.
Kiến thức cần nhớ
Giá trị của một chữ số bằng chữ số đó nhân với giá trị của hàng mà nó đứng
Bài 14 · 1.21★★★★Trang 10— Bài toán vui về số La Mã: đổi chỗ que tính để được phép tính đúng
Có 12 que tính xếp thành một phép cộng sai bằng các số La Mã: IV+V=XI (tức là 4+5=11). Hãy đổi chỗ chỉ một que tính để được phép cộng đúng. Em tìm được mấy cách làm?
Kiến thức cần nhớ
Số La Mã ghép từ các kí hiệu I,V,X; di chuyển một que tính tương ứng với việc thêm/bớt một kí hiệu I ở một vị trí khác
