Bài 22. Hình có tâm đối xứng

Với mỗi hình, thử tưởng tượng quay hình đó nửa vòng (180 độ) quanh giao điểm hai đường chéo (hoặc quanh tâm), rồi xem hình quay được có trùng khít với hình ban đầu hay không.

Vậy những hình có tâm đối xứng là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình lục giác đều, hình tròn.

Kiểm tra lại bằng dấu hiệu số đỉnh: một đa giác có tâm đối xứng thì các đỉnh phải ghép được thành từng cặp đối xứng nhau qua tâm, nên số đỉnh phải là số chẵn.

Vậy những hình có tâm đối xứng là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình lục giác đều, hình tròn.

Quay từng biển báo nửa vòng (180 độ) quanh tâm hình học của nó, xem có trùng khít với hình ban đầu hay không.

Vậy các biển báo có tâm đối xứng là a), c), d); biển báo b) không có tâm đối xứng.

Kiểm tra lại nhanh bằng dấu hiệu số cạnh (số đỉnh) của đa giác: đa giác có tâm đối xứng thì số cạnh phải là số chẵn (còn hình tròn luôn có tâm đối xứng).

Vậy các biển báo có tâm đối xứng là a), c), d); biển báo b) không có tâm đối xứng.

Xác định một điểm $O$ hợp lí trong mỗi hoa văn (điểm gặp nhau của các cánh, hoặc giao điểm hai đường chéo), rồi quay hoa văn nửa vòng quanh điểm đó để kiểm tra.

Vậy các hoa văn có tâm đối xứng là a), b), d); hoa văn c) không có tâm đối xứng.

Kiểm tra lại bằng cách xét xem hình có được tạo thành bởi các cặp chi tiết "đối nhau" qua một điểm hay không, thay vì hình dung phép quay.

Vậy các hoa văn có tâm đối xứng là a), b), d); hoa văn c) không có tâm đối xứng.

Tâm đối xứng $O$ của hình lục giác đều là giao điểm ba đường chéo chính; mỗi đường chéo chính đi qua $O$ và chia thành hai đoạn bằng nhau nối tâm với hai đỉnh đối diện.

Vậy khoảng cách từ tâm đối xứng đến mỗi đỉnh là $0,6$ $\text{m}$, chu vi mặt bàn là $3,6$ $\text{m}$.

Kiểm tra lại bằng cách coi lục giác đều là ghép của $6$ tam giác đều quanh tâm $O$, tính trực tiếp tổng độ dài các cạnh đáy của $6$ tam giác đó.

Vậy khoảng cách từ tâm đối xứng đến mỗi đỉnh là $0,6$ $\text{m}$, chu vi mặt bàn là $3,6$ $\text{m}$.

Chọn điểm $O$ hợp lí (điểm giữa của hình) rồi quay hình nửa vòng quanh $O$ để kiểm tra sự trùng khít.

Vậy các hình có tâm đối xứng là a), b); các hình c), d) không có tâm đối xứng.

Kiểm tra lại bằng dấu hiệu "mỗi chi tiết của hình phải có một chi tiết giống nó nằm đối diện qua một điểm chung".

Vậy các hình có tâm đối xứng là a), b); các hình c), d) không có tâm đối xứng.

Muốn điểm $O$ là tâm đối xứng của hình, mỗi điểm $M$ đã vẽ phải có điểm đối xứng $M^{\prime }$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn $M{M}^{\prime }$; ta lấy đối xứng từng điểm rồi nối lại.

Vậy vẽ thêm đoạn $OC$ và $CD$ (đối xứng với $OB$ và $BA$ qua $O$) là được hình nhận $O$ làm tâm đối xứng.

Kiểm tra lại bằng cách đo khoảng cách: một hình nhận $O$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi ứng với mỗi điểm của hình, điểm đối xứng qua $O$ cũng thuộc hình, và hai điểm đó cách đều $O$ nhưng nằm ở hai phía đối diện.

Cả hai điều kiện đều thỏa mãn nên hình vẽ thêm đúng nhận $O$ làm tâm đối xứng, khớp với Cách 1.

Gấp đôi hai lần liên tiếp (một lần theo chiều ngang, một lần theo chiều dọc) tạo ra $4$ lớp giấy chồng khít lên nhau; mỗi nhát cắt trên $4$ lớp đó tương ứng với $4$ vết cắt giống nhau trên tờ giấy khi mở ra, nằm ở $4$ góc của tờ giấy ban đầu.

Vậy khi mở ra, bạn Vuông nhận được một hình chữ nhật bị khuyết $4$ góc vuông nhỏ giống nhau ở $4$ góc; hình này có tâm đối xứng (giao điểm hai đường chéo) và có trục đối xứng (đường gấp ngang, đường gấp dọc).

Kiểm tra lại bằng cách đếm số lớp giấy bị cắt xuyên qua tại mỗi nhát cắt, để chắc chắn số vết cắt trên tờ giấy mở ra đúng bằng số lớp đã gấp.

Vậy kết quả là hình chữ nhật khuyết đều $4$ góc, có tâm đối xứng và trục đối xứng, khớp với Cách 1.

Trước tiên vẽ thêm phần đối xứng với nửa hình đã cho qua điểm $O$ (để có tâm đối xứng), sau đó kiểm tra xem hình cả thu được có trục đối xứng hay không; nếu nửa hình ban đầu đã cân đối hợp lí thì hình đầy đủ sẽ tự động có trục đối xứng.

Vậy vẽ thêm ba đỉnh và các cạnh đối xứng qua $O$ để hoàn thiện thành hình lục giác đều; hình này có cả tâm đối xứng $O$ và trục đối xứng.

Kiểm tra lại bằng tính chất riêng của lục giác đều đã học, không cần dựng lại từ đầu bằng phép đối xứng.

Vậy hình hoàn thiện là lục giác đều, có cả tâm đối xứng và trục đối xứng, khớp với Cách 1.

Với mỗi câu, chọn một đường gấp khúc gốc dài $4$ đơn vị trên lưới ô vuông, rồi vẽ thêm đúng số đơn vị yêu cầu để khép thành một hình kín (đa giác) thoả điều kiện đối xứng, sau đó thử lại bằng phép quay hoặc phép gấp.

Vậy: a) thêm $6$ đơn vị được hình có tâm nhưng không trục; b) thêm $8$ đơn vị được hình có tâm và $4$ trục; c) và d) độ dài ngắn nhất cần vẽ thêm đều là $4$ đơn vị.

Sau khi vẽ mỗi hình ở Cách 1, kiểm tra lại độc lập bằng cách quay nửa vòng quanh $O$ (kiểm tra tâm đối xứng) và gấp theo trục nghi ngờ (kiểm tra trục đối xứng), thay vì chỉ dựa vào lí luận dựng hình.

Tất cả các hình đều được xác nhận đúng tính chất đối xứng yêu cầu bằng phép quay và phép gấp, khớp với Cách 1.

Xét từng chữ số khi quay ngược $180$ độ: chữ số nào biến thành chính nó, chữ số nào biến thành một chữ số khác, rồi suy ra điều kiện để cả số có ba chữ số quay $180$ độ không đổi.

Vậy có tất cả $6$ số có tâm đối xứng ghép được từ $3$ trong $5$ tấm thẻ đã cho.

Kiểm tra lại bằng cách liệt kê trực tiếp toàn bộ các số thoả mãn thay vì chỉ tính số lượng, để chắc chắn không thiếu và không thừa số nào.

Vậy có đúng $6$ số có tâm đối xứng, khớp với Cách 1.

Chữ số $8$ có cả tâm đối xứng (điểm chính giữa) và trục đối xứng (trục ngang qua giữa); tận dụng tính đối xứng đó, ta chỉ cần vẽ và cắt đúng một nửa hình trên giấy đã gấp đôi để khi mở ra được đủ cả hình.

Vậy gấp đôi tờ giấy theo chiều dọc, vẽ và cắt một nửa hình số $8$ áp sát mép gấp, khi mở ra sẽ được đúng chữ số $8$.

Kiểm tra lại bằng cách xét số lớp giấy bị cắt và đối chiếu với cấu tạo hai vòng của chữ số $8$, để chắc chắn nhát cắt duy nhất tạo đủ cả hai vòng khi mở ra.

Vậy cách gấp và cắt như trên cho đúng chữ số $8$, khớp với Cách 1.