Bài 3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

Muốn biểu diễn một số tự nhiên trên tia số, ta đếm từ gốc $O$ theo chiều mũi tên đủ số đơn vị bằng đúng số đó rồi đánh dấu điểm dừng.

Vẽ tia gốc $O$, trên đó lấy liên tiếp các đoạn thẳng đơn vị bằng nhau, mỗi vạch chia ứng với một số tự nhiên $0;1;2;3;\dots$ Đếm từ $O$ đi $7$ đơn vị theo chiều mũi tên, dừng lại tại vạch thứ $7$, đặt tên điểm đó là $A$, ta có điểm $A$ biểu diễn số $7$. Đếm từ $O$ đi tiếp đến vạch thứ $11$, đặt tên điểm đó là $B$, ta có điểm $B$ biểu diễn số $11$.

Vậy trên tia số, điểm $A$ cách $O$ $7$ đơn vị biểu diễn số $7$, điểm $B$ cách $O$ $11$ đơn vị biểu diễn số $11$.

Ý đồ là chọn một đơn vị đo cụ thể trên thước (ví dụ $1$ đơn vị $=1cm$) rồi dùng thước đo trực tiếp khoảng cách từ gốc, thay vì đếm từng vạch chia bằng tay.

Vậy điểm $A$ biểu diễn số $7$, điểm $B$ biểu diễn số $11$, khớp với Cách 1.

Trước khi đọc số tại từng điểm, phải tìm xem mỗi khoảng chia trên tia số ứng với bao nhiêu đơn vị, dựa vào điểm đã biết trước là điểm $10$.

Điểm biểu diễn số $10$ cách gốc $O$ đúng hai khoảng chia bằng nhau, suy ra mỗi khoảng chia bằng $10:2=5$ đơn vị. Điểm $E$ cách $O$ bốn khoảng chia nên điểm $E$ biểu diễn số $4\times 5=20$. Điểm $F$ cách $O$ bảy khoảng chia nên điểm $F$ biểu diễn số $7\times 5=35$. Điểm $G$ cách $O$ chín khoảng chia nên điểm $G$ biểu diễn số $9\times 5=45$.

Vậy điểm $E$ biểu diễn số $20$, điểm $F$ biểu diễn số $35$, điểm $G$ biểu diễn số $45$.

Ý đồ là so sánh trực tiếp số khoảng chia của $E,F,G$ với số khoảng chia của điểm đã biết ($10$ cách $O$ đúng $2$ khoảng), dùng tỉ số thay vì tính giá trị một khoảng chia trước.

Vậy điểm $E$ biểu diễn số $20$, điểm $F$ biểu diễn số $35$, điểm $G$ biểu diễn số $45$, khớp với Cách 1.

Số ghi trên cột là khoảng cách từ vị trí đặt cột đến điểm gốc km0, còn dòng 'Sơn La 168' là quãng đường còn lại phải đi tiếp từ chỗ đặt cột đến Sơn La.

Cột cây số ghi km 134 cho biết vị trí đặt cột cách điểm gốc (cột km0) của Quốc lộ là $134$ km, ta gọi điểm đó là $H$. Dòng chữ 'Sơn La 168' cho biết từ vị trí cột này còn phải đi thêm $168$ km nữa mới tới Sơn La, ta gọi điểm đến là $S$. Như vậy quãng đường từ gốc km0 đến Sơn La bằng $134+168=302$ (km). Vẽ tia số gốc $O$ ứng với cột km0, lấy điểm $H$ cách $O$ $134$ đơn vị (ứng với cột cây số đã cho), lấy điểm $S$ cách $O$ $302$ đơn vị (ứng với Sơn La), khi đó $H$ nằm giữa $O$ và $S$ và $HS=302-134=168$ đúng như đề bài.

Vậy khi đứng ở cột cây số đó, còn phải đi $168$ km nữa mới đến Sơn La; trên tia số gốc $O$ (km0), điểm $H$ ứng với $134$ và điểm $S$ ứng với $302$.

Ý đồ là gọi quãng đường còn lại là $d$, lập đẳng thức khoảng cách gốc–đích bằng khoảng cách gốc–cột cộng quãng còn lại, rồi giải ngược lại bằng phép trừ để kiểm chứng kết quả của Cách 1.

Vậy còn phải đi $168$ km nữa; điểm $S$ (Sơn La) ứng với số $302$ trên tia số gốc km0, khớp với Cách 1.

Vì bốn điểm A, B, C, D đã được sắp xếp theo đúng thứ tự từ trái sang phải trên tia số, nên chỉ cần sắp xếp bốn số đã cho theo thứ tự tăng dần là suy ra ngay điểm nào ứng với số nào.

Bốn số đã cho đều có $5$ chữ số nên so sánh lần lượt từng cặp chữ số kể từ trái sang phải. Ba số $55699$; $55789$; $55806$ có hàng chục nghìn và hàng nghìn đều là $55$, còn số $54902$ có hàng nghìn là $4$ nên $54902$ là số nhỏ nhất. Trong ba số còn lại, so sánh hàng trăm: $55699$ có hàng trăm là $6$, còn $55789$ và $55806$ có hàng trăm là $7$ và $8$; vì $6<7<8$ nên $55699<55789<55806$. Do đó $54902<55699<55789<55806$, tức thứ tự tăng dần của bốn số là $54902$; $55699$; $55789$; $55806$. Vì trên tia số điểm A, B, C, D được sắp xếp theo đúng thứ tự tăng dần từ trái sang phải nên điểm A ứng với số nhỏ nhất, điểm D ứng với số lớn nhất.

Vậy điểm A biểu diễn số $54902$, điểm B biểu diễn số $55699$, điểm C biểu diễn số $55789$, điểm D biểu diễn số $55806$.

Ý đồ là trừ cả bốn số cho cùng một số tròn nghìn để được bốn số nhỏ hơn, dễ so sánh hơn, thay vì so sánh trực tiếp từng cặp chữ số của số $5$ chữ số.

Vậy điểm A biểu diễn số $54902$, điểm B biểu diễn số $55699$, điểm C biểu diễn số $55789$, điểm D biểu diễn số $55806$, khớp với Cách 1.

Mỗi cột của biểu đồ cho biết số ca nhiễm của đúng một ngày, nên chỉ cần đọc chiều cao từng cột rồi so sánh các số đọc được với nhau.

Câu a) Quan sát các cột có chiều cao đúng bằng $5$; $10$; $15$: cột ngày $26/3$ cao $5$ đơn vị nên ngày $26/3$ có $5$ ca; hai cột ngày $23/3$ và ngày $3/4$ cùng cao $10$ đơn vị nên hai ngày đó đều có $10$ ca; cột ngày $30/3$ cao $15$ đơn vị nên ngày $30/3$ có $15$ ca. Câu b) So sánh chiều cao tất cả các cột, cột ngày $22/3$ cao nhất ứng với $19$ ca nên ngày $22/3$ có nhiều ca nhiễm nhất; cột ngày $6/4$ thấp nhất ứng với $0$ ca nên ngày $6/4$ có ít ca nhiễm nhất. Câu c) Xét bốn ngày liên tiếp gần $6/4$ nhất là $3/4$; $4/4$; $5/4$; $6/4$ có số ca lần lượt là $10$; $3$; $1$; $0$, ta thấy $10>3>1>0$, tức số ca nhiễm của ngày sau luôn nhỏ hơn số ca nhiễm của ngày liền trước, nên bài báo kết luận số ca nhiễm giảm dần trong những ngày gần đây là có căn cứ đúng.

Vậy: a) ngày $26/3$ có $5$ ca, ngày $23/3$ và $3/4$ có $10$ ca, ngày $30/3$ có $15$ ca; b) ngày $22/3$ nhiều ca nhất ($19$ ca), ngày $6/4$ ít ca nhất ($0$ ca); c) vì bốn ngày cuối $3/4$; $4/4$; $5/4$; $6/4$ có số ca giảm dần $10>3>1>0$.

Ý đồ là chuyển số liệu từ biểu đồ cột sang một bảng thống kê, rồi sắp xếp các số liệu theo thứ tự giảm dần để trả lời cả ba câu hỏi cùng lúc, thay vì đọc từng cột riêng lẻ trên hình.

Vậy kết quả cả ba câu giống hệt Cách 1: a) $26/3$: $5$ ca, $23/3$ và $3/4$: $10$ ca, $30/3$: $15$ ca; b) nhiều nhất $22/3$ ($19$ ca), ít nhất $6/4$ ($0$ ca); c) vì bốn ngày cuối giảm dần $10>3>1>0$.

Bốn tập hợp chỉ khác nhau ở hai chỗ: có tính số $0$ hay không (tuỳ $\mathbb{N}$ hay ${\mathbb{N}}^{\ast }$) và có tính số $10$ hay không (tuỳ dấu $<$ hay $\le$), nên xét lần lượt bốn trường hợp rồi liệt kê các số chẵn thoả mãn.

Với tập $A$: $x\in \mathbb{N}$ nên $x$ có thể bằng $0$, và $x$ chẵn, $x<10$ nên $x$ không lấy đến $10$; các số chẵn thoả mãn là $0;2;4;6;8$, suy ra $A=\{0;2;4;6;8\}$. Với tập $B$: giống $A$ nhưng lấy $x\le 10$ nên được lấy thêm số $10$, suy ra $B=\{0;2;4;6;8;10\}$. Với tập $C$: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên không được lấy $x=0$, và $x<10$ nên không lấy $10$; các số chẵn thoả mãn là $2;4;6;8$, suy ra $C=\{2;4;6;8\}$. Với tập $D$: giống $C$ nhưng lấy $x\le 10$ nên được lấy thêm số $10$, suy ra $D=\{2;4;6;8;10\}$.

Vậy $A=\{0;2;4;6;8\}$; $B=\{0;2;4;6;8;10\}$; $C=\{2;4;6;8\}$; $D=\{2;4;6;8;10\}$.

Ý đồ là liệt kê đầy đủ một tập trước ($A$), rồi dùng quan hệ giữa các tập ($B$ hơn $A$ đúng phần tử $10$; $C$ kém $A$ đúng phần tử $0$; $D$ hơn $C$ đúng phần tử $10$) để suy ra ba tập còn lại mà không cần xét lại từ đầu.

Vậy $A=\{0;2;4;6;8\}$, $B=\{0;2;4;6;8;10\}$, $C=\{2;4;6;8\}$, $D=\{2;4;6;8;10\}$, khớp với Cách 1.

Phần tử của $P$ không phải là $x$ mà là $\frac{1}{x}$, nên trước hết phải tìm hết các số tự nhiên $x$ khác $0$ và nhỏ hơn $5$, sau đó mới thay vào $\frac{1}{x}$ để liệt kê phần tử của $P$.

Vì $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $x<5$ nên $x\in \{1;2;3;4\}$. Thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào $\frac{1}{x}$: với $x=1$ được $\frac{1}{1}=1$; với $x=2$ được $\frac{1}{2}$; với $x=3$ được $\frac{1}{3}$; với $x=4$ được $\frac{1}{4}$.

Vậy $P=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right\}$.

Ý đồ là dùng nhận xét "$x$ càng lớn thì $\frac{1}{x}$ càng nhỏ" để sắp xếp và kiểm tra bốn phần tử tìm được đều khác nhau, thay vì chỉ thay số trực tiếp như Cách 1.

Vậy $P=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right\}$, khớp với Cách 1.