Bài 32. Điểm và đường thẳng

Định hướng. Xét lần lượt cả ba đường thẳng d, d₁, d₂ xem đường nào đi qua A.

Vậy A ∈ d, A ∈ d₁, còn A ∉ d₂.

Định hướng. Dùng thước đặt trùng từng đường thẳng để kiểm tra chắc chắn.

Vậy kết quả trùng Cách 1: A ∈ d, A ∈ d₁, A ∉ d₂.

Định hướng. Loại trừ: vì A, B là hai điểm phân biệt xác định đúng một đường thẳng d, còn d₁, d₂ chỉ được vẽ đi qua đúng một trong hai điểm đó.

Vậy A ∈ d, A ∈ d₁ và A ∉ d₂, khớp hai cách trên.

Định hướng. Kiểm tra xem đường thẳng d đã cho sẵn có chứa đủ cả hai điểm A, B hay không.

Vậy đường thẳng d chính là một tên khác của đường thẳng AB.

Định hướng. Loại các đường thẳng còn lại (d₁, d₂) vì mỗi đường chỉ chứa một trong hai điểm A, B.

Vậy chỉ còn d thoả mãn, xác nhận đúng như Cách 1.

Định hướng. Dùng tính chất duy nhất: chỉ có một đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B, nên mọi cách gọi tên hợp lệ đều phải trỏ về cùng một đường thẳng đó.

Vậy đường thẳng d là tên gọi khác của đường thẳng AB (cũng có thể gọi là đường thẳng BA).

Định hướng. Xét lần lượt d₁ rồi d₂ xem mỗi đường có điểm chung nào với d không, điểm đó tên gì.

Vậy đường thẳng d cắt d₁ tại giao điểm A, và cắt d₂ tại giao điểm B.

Định hướng. Dùng lại kết quả đã có ở bài 8.1 (A ∈ d, A ∈ d₁, A ∉ d₂) để suy ra ngay giao điểm mà không cần xét lại từ đầu.

Vậy d cắt d₁ tại A và cắt d₂ tại B, khớp với Cách 1.

Định hướng. Kiểm chứng bằng thước: đặt thước trùng d rồi xem thước cắt ngang d₁, d₂ ở đâu.

Vậy xác nhận d cắt d₁ tại A, cắt d₂ tại B — đúng như hai cách trên.

Định hướng. Kéo dài d₁ và d₂ về cả hai phía rồi quan sát xu hướng của chúng.

Vậy d₁ và d₂ không song song, vì kéo dài chúng vẫn cắt nhau tại một điểm.

Định hướng. Đối chiếu với định nghĩa: hai đường thẳng song song thì phải giữ nguyên khoảng cách suốt chiều dài, không đổi hướng lại gần nhau.

Vậy khoảng cách không đều chứng tỏ d₁, d₂ không song song mà sẽ cắt nhau, khớp Cách 1.

Định hướng. Phản chứng: giả sử d₁ song song với d₂.

Vậy giả sử song song là sai — vậy d₁ và d₂ không song song mà cắt nhau, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Việc kéo dài đường thẳng trong tưởng tượng (hoặc bằng thước dài) là cách kiểm tra song song đáng tin cậy hơn nhìn đoạn ngắn đã vẽ sẵn.

Định hướng. Vẽ đường thẳng d trước, rồi lần lượt đặt từng điểm theo đúng kí hiệu đã cho.

Vậy hình vẽ thể hiện đúng đường thẳng d với A ∈ d và B ∉ d.

Định hướng. Dựng theo thứ tự ngược lại: đặt hai điểm A, B trước, sau đó vẽ d sao cho chỉ đi qua A.

Vậy kết quả tương đương Cách 1: có d với A ∈ d, B ∉ d, chỉ khác thứ tự thao tác vẽ.

Định hướng. Kiểm tra lại hình đã vẽ bằng định nghĩa, đảm bảo không vô tình vẽ sai quan hệ.

Vậy hình vẽ đạt yêu cầu nếu cả hai điều kiện trên đều đúng, xác nhận lại Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Nên đặt B đủ xa d (không chỉ vài milimét) để hình rõ ràng, tránh gây hiểu lầm khi nhìn nhanh.

Định hướng. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau trước, đặt tên giao điểm là M, rồi thêm N trên riêng đường b.

Vậy hình vẽ thể hiện đúng: M ∈ a, M ∈ b, N ∈ b.

Định hướng. Suy luận trước rồi mới vẽ: vì M thuộc cả a lẫn b nên M phải là giao điểm, từ đó xác định cách dựng.

Vậy cách dựng bắt buộc phải cho a, b cắt nhau tại M, khớp với Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra lại hình bằng cách đặt thước trùng từng đường để xác nhận đúng quan hệ.

Vậy xác nhận M ∈ a, M ∈ b, N ∈ b, N ∉ a — đúng yêu cầu đề bài.

Định hướng. Vẽ ba đường thẳng đồng quy tại S trước, sau đó vẽ thêm một đường thẳng thứ tư cắt cả ba để lấy A, B, C.

Vậy ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng thứ tư nên chắc chắn thẳng hàng, đúng yêu cầu đề bài.

Định hướng. Suy luận ngược: muốn A, B, C thẳng hàng mà mỗi điểm lại nằm trên một đường khác nhau, thì đường chứa A, B, C phải cắt cả ba đường kia.

Vậy cách dựng đúng là vẽ đường thẳng thứ tư cắt cả ba đường a, b, c — khớp với Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng thước: đặt thước qua S xem có đi qua A, B, C hay không (không được đi qua), rồi đặt thước qua A, B, C xem có thẳng không.

Vậy xác nhận hình vẽ đạt yêu cầu khi cả hai điều kiện trên đều thoả mãn, khớp hai cách trên.

Nhận xét. S và đường thẳng chứa A, B, C là hai đối tượng tách biệt — một bên là điểm đồng quy của a, b, c, một bên là đường thẳng cắt ngang cả ba.

Định hướng. Nối lần lượt từng cặp điểm theo đúng thứ tự đề bài liệt kê, đánh dấu đã nối để không sót hoặc nối nhầm.

Vậy vẽ đủ sáu đường thẳng AE, BD, BF, EC, AF, DC nối các đỉnh của lục giác A, E, C, D, B, F.

Định hướng. Nhóm các đoạn nối theo từng đỉnh xuất hiện để kiểm tra không bỏ sót: liệt kê hai đoạn xuất phát từ mỗi đỉnh.

Vậy mỗi đỉnh xuất hiện đúng hai lần trong sáu đoạn thẳng, đúng khớp với Cách 1, không sót không thừa.

Định hướng. Vẽ theo chu trình khép kín: A → E → C → D → B → F → A, nối các đỉnh liên tiếp.

Vậy sáu đoạn nối theo chu trình này chính là sáu đường thẳng cần vẽ: AE, EC, CD, DB, BF, FA — khớp hoàn toàn với Cách 1 (chỉ khác thứ tự liệt kê).

Nhận xét. Nhận ra sáu đường thẳng này chính là sáu cạnh của một lục giác có thứ tự đỉnh A, E, C, D, B, F giúp vẽ nhanh và không nhầm lẫn.

Định hướng. Xét từng cặp đường thẳng theo đúng thứ tự đề cho, đánh dấu rõ điểm cắt trên hình.

Vậy xác định được ba giao điểm I = AE ∩ BD, J = BF ∩ EC, K = AF ∩ DC trên hình đã dựng.

Định hướng. Tô màu hoặc đánh dấu riêng từng cặp đường thẳng trước khi tìm giao điểm, tránh nhầm lẫn với các đường chéo khác.

Vậy việc tách màu giúp xác định đúng ba điểm I, J, K mà không nhầm với các giao điểm khác của lục giác, khớp Cách 1.

Định hướng. Nhận diện theo quy luật: mỗi giao điểm ứng với một cặp "cạnh đối" của lục giác A, E, C, D, B, F (cạnh 1&4, cạnh 2&5, cạnh 3&6).

Vậy cách nhận diện theo cặp cạnh đối cho đúng ba giao điểm I, J, K như hai cách trên, đồng thời gợi ý cho bài 8.10 tiếp theo.

Nhận xét. Việc ghép "cạnh đối" của lục giác là chìa khoá để trả lời bài 8.10: đây chính là ba giao điểm trong định lí Pascal.

Định hướng. Đặt thước thẳng qua hai trong ba điểm I, J rồi xem cạnh thước có đi qua K hay không.

Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng. Cách kiểm tra: đặt thước qua hai điểm rồi xem cạnh thước có đi qua điểm còn lại không.

Định hướng. Đo và so sánh: đo khoảng cách từ K tới đường thẳng IJ, nếu khoảng cách bằng 0 thì K nằm trên đường thẳng đó.

Vậy khoảng cách bằng 0 nghĩa là K nằm trên đường thẳng IJ, tức ba điểm I, J, K thẳng hàng — khớp Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra chéo bằng cách đổi thứ tự cặp điểm: đặt thước qua J, K rồi xem có đi qua I không, để chắc chắn không phải trùng hợp ngẫu nhiên.

Vậy dù đổi thứ tự cặp điểm để đặt thước, kết quả vẫn xác nhận I, J, K thẳng hàng, củng cố chắc chắn cho hai cách trên.

Nhận xét. Việc ba giao điểm của các cặp cạnh đối một lục giác nội tiếp đường tròn luôn thẳng hàng là nội dung của định lí Pascal (kiến thức nâng cao, các em sẽ gặp lại ở cấp học cao hơn).

Định hướng. Kéo dài AB, CD và kiểm tra bằng thước xem chúng có điểm chung không; làm tương tự với AD, BC.

Vậy a) đường thẳng AB song song với CD, và đường thẳng AD song song với BC — tứ giác ABCD là hình bình hành.

Định hướng. Với câu b), nhận ra I phải vừa nằm trên đường thẳng AC (do A, I, C thẳng hàng) vừa nằm trên đường thẳng BD (do B, I, D thẳng hàng), nên I chính là giao điểm của hai đường chéo.

Vậy I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, thoả mãn đồng thời A, I, C thẳng hàng và B, I, D thẳng hàng.

Định hướng. Kiểm chứng lại bằng thước: đặt thước qua A, C xem có đi qua I không; đặt thước qua B, D xem có đi qua I không.

Vậy I thoả mãn cả hai điều kiện thẳng hàng cùng lúc, xác nhận I là giao điểm hai đường chéo AC, BD — khớp Cách 2.

Nhận xét. Tính chất "hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại một điểm" sẽ được dùng lại nhiều lần ở các bài về tứ giác đặc biệt trong chương trình.

Định hướng. Vẽ ba đường thẳng theo đúng hai điều kiện của đề rồi đếm trực tiếp các điểm cắt trên hình.

Vậy đếm được đúng 3 giao điểm trên hình.

Định hướng. Liệt kê hệ thống từng cặp đường thẳng trong ba đường đã vẽ, mỗi cặp cho đúng một giao điểm.

Vậy tổng cộng có 3 giao điểm, khớp với Cách 1 (vì không có ba đường nào đồng quy nên ba giao điểm này đôi một phân biệt).

Định hướng. Dùng công thức đếm số cặp trong ba đường thẳng: số giao điểm bằng số cách chọn 2 đường thẳng trong 3 đường.

Vậy có 3 giao điểm, đúng khớp với hai cách đếm trực tiếp ở trên.

Nhận xét. Công thức n(n−1) ∶ 2 chỉ đúng khi các đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường nào đồng quy như đề đã yêu cầu.

Định hướng. Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau, không đồng quy từng bộ ba, rồi đếm trực tiếp các điểm cắt.

Vậy tổng cộng đếm được 3 + 3 = 6 giao điểm.

Định hướng. Liệt kê hệ thống toàn bộ các cặp có thể chọn từ bốn đường thẳng.

Vậy tổng cộng 3 + 3 = 6 giao điểm, khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng công thức đếm số cặp trong bốn đường thẳng.

Vậy có 6 giao điểm, đúng khớp hai cách đếm trực tiếp ở trên.

Nhận xét. So với bài 8.12 (3 đường, 3 giao điểm), thêm một đường thứ 4 làm số giao điểm tăng thêm đúng 3 (bằng số đường đã có trước đó).

Định hướng. Dùng lại kết quả bài 8.13 (4 đường cho 6 giao điểm) rồi cộng thêm số giao điểm mới do đường thứ 5 tạo ra.

Vậy tổng số giao điểm là 6 + 4 = 10.

Định hướng. Liệt kê hệ thống toàn bộ các cặp có thể chọn từ năm đường thẳng.

Vậy tổng cộng 4 + 6 = 10 giao điểm, khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng công thức đếm số cặp trong năm đường thẳng, tính trực tiếp không cần đếm dồn từng bước.

Vậy có 10 giao điểm, đúng khớp với hai cách cộng dồn ở trên.

Nhận xét. Với n đường thẳng đôi một cắt nhau, không đồng quy từng bộ ba, số giao điểm luôn là n(n−1) ∶ 2 — quy luật đã được kiểm chứng liên tiếp qua ba bài 8.12 (n=3), 8.13 (n=4), 8.14 (n=5).

Định hướng. Dựng đường thẳng AB trước, rồi lấy M, N lần lượt là giao điểm của AB với m và với n.

Vậy M, N chính là giao điểm của đường thẳng AB với m, n; khi đó M, N, A, B đều nằm trên đường thẳng AB nên thẳng hàng.

Định hướng. Xét đầy đủ các trường hợp về vị trí tương đối của AB với từng đường thẳng m, n.

Vậy chỉ tìm được đủ cả M, N khi đường thẳng AB không song song với cả m lẫn n.

Định hướng. Phản chứng để xác nhận trường hợp không tìm được: giả sử vẫn tìm được M khi AB song song với m.

Vậy khi AB song song với m thì không thể tồn tại điểm M — đúng như Cách 2 đã chỉ ra, tương tự cho N với n.

Nhận xét. Đây là bài toán mở rộng của Thử thách nhỏ trong SGK (chỉ có một đường thẳng d), nay có thêm đường thẳng n nên phải xét đủ bốn khả năng song song thay vì hai.