Bài 32. Điểm và đường thẳng

Định hướng. Nhìn trực tiếp vị trí từng điểm so với nét vẽ của d.

Vậy A ∈ d, B ∈ d, C ∉ d.

Định hướng. Dùng định nghĩa "điểm thuộc đường thẳng" để xét từng điểm một cách có hệ thống.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: A ∈ d, B ∈ d, C ∉ d.

Định hướng. Đặt cạnh thước thẳng trùng khít với đường thẳng d rồi kiểm tra từng điểm có nằm trên cạnh thước hay không.

Vậy A ∈ d, B ∈ d, còn C ∉ d.

Nhận xét. Cách đặt thước là cách kiểm tra đáng tin cậy nhất khi hình vẽ trên giấy có sai số nhỏ.

Định hướng. Vẽ trực tiếp rồi so sánh hai nét vẽ bằng mắt.

Vậy hai đường thẳng vừa vẽ trùng khít lên nhau.

Định hướng. Thử di chuyển thước sang một vị trí khác rồi kiểm tra xem có vẽ được đường thẳng thứ hai qua cả A, B hay không.

Vậy không thể tạo ra một đường thẳng khác qua cả A, B ngoài đường đã vẽ.

Định hướng. Suy luận bằng phản chứng: giả sử có hai đường thẳng phân biệt cùng qua A, B.

Vậy giả sử sai, tức là chỉ có duy nhất một đường thẳng qua A, B.

Nhận xét. Đây chính là tính chất nền tảng của cả bài học, sẽ được dùng lại ở phần Vận dụng.

Định hướng. Đếm số nét thẳng riêng biệt trên hình, mỗi nét kéo dài hai phía là một đường thẳng.

Vậy Hình 8.4 có 3 đường thẳng: đường thẳng AB, đường thẳng BC, đường thẳng AC.

Định hướng. Liệt kê tất cả các cặp điểm trong {A, B, C} rồi kiểm tra cặp nào cùng nằm trên một nét vẽ.

Vậy có đúng 3 đường thẳng, không có nét nào bị đếm hai lần.

Định hướng. Kiểm tra bằng phản chứng: giả sử hình có nhiều hơn 3 đường thẳng.

Vậy không thể có quá 3 đường thẳng trong hình, khớp với 2 cách trên.

Nhận xét. Nếu hình có thêm điểm thứ tư không thẳng hàng với A, B, C thì số đường thẳng tối đa sẽ tăng lên 6, theo đúng số cặp điểm.

Định hướng. Liên hệ trực tiếp với nguyên lí truyền thẳng của ánh sáng.

Vậy ba lỗ hổng cùng nằm trên một đường thẳng (đường ngắm).

Định hướng. Kiểm tra bằng cách hình dung đặt một sợi dây căng thẳng nối mắt với ngọn nến.

Vậy ba lỗ hổng nằm trên cùng đường thẳng nối mắt và ngọn nến.

Định hướng. Phản chứng: giả sử một trong ba lỗ lệch ra khỏi đường ngắm.

Vậy để nhìn thấy nến, cả ba lỗ bắt buộc phải thẳng hàng — đúng như 2 cách trên.

Nhận xét. Đây là nguyên lí được thợ mộc, thợ nề dùng để kiểm tra ba điểm hay nhiều điểm có thẳng hàng hay không ngoài thực tế.

Định hướng. Quan sát trực tiếp: xét từng nét thẳng đi qua B rồi đọc tên các điểm nằm trên đó.

Vậy hai bộ ba điểm thẳng hàng là D, B, E và A, B, C.

Định hướng. Dùng thước đặt trùng từng nét vẽ để kiểm tra chắc chắn ba điểm cùng nằm trên thước.

Vậy hai bộ thẳng hàng là (D, B, E) và (A, B, C), trùng với Cách 1.

Định hướng. Loại trừ các bộ ba không thẳng hàng để khẳng định chỉ còn đúng hai bộ hợp lệ.

Vậy chỉ có (D, B, E) và (A, B, C) là hai bộ ba điểm thẳng hàng.

Nhận xét. Điểm B là điểm chung của cả hai đường thẳng nên xuất hiện trong cả hai bộ ba thẳng hàng.

Định hướng. Đặt thước thẳng qua hai điểm đầu của mỗi bộ ba rồi quan sát điểm còn lại.

Vậy A, B, C không thẳng hàng; còn M, N, P thẳng hàng.

Định hướng. Đếm số ô lệch ngang và lệch dọc giữa các điểm liên tiếp trên lưới rồi so sánh tỉ lệ.

Vậy M, N, P thẳng hàng (cùng tỉ lệ lệch); A, B, C không thẳng hàng (tỉ lệ lệch khác nhau).

Định hướng. Kéo dài đường thẳng qua hai điểm đầu bằng thước rồi xem đường đó có đi tới điểm thứ ba hay không.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: A, B, C không thẳng hàng; M, N, P thẳng hàng.

Nhận xét. Cách đếm ô (Cách 2) nhanh hơn đặt thước khi hình đã vẽ sẵn trên lưới ô vuông chuẩn.

Định hướng. Áp dụng trực tiếp tính chất "một đường thẳng qua hai điểm" đã học ở Hoạt động 1.

Vậy vạch vôi vẽ theo sợi dây căng sẽ thẳng và không thể vẽ khác đi được, vì chỉ có một đường thẳng qua hai cọc đó.

Định hướng. Xét xem nếu không căng dây mà vẽ tự do thì điều gì xảy ra.

Vậy căng dây là cách chắc chắn để có đúng một vạch vôi thẳng, không phụ thuộc vào tay người vẽ.

Định hướng. Phản chứng: giả sử không căng dây mà vẫn vẽ được vạch thẳng tuyệt đối bằng tay.

Vậy căng dây vẫn là cách duy nhất đảm bảo vạch vôi thẳng tuyệt đối trên quãng đường dài.

Nhận xét. Đây là ứng dụng thực tế phổ biến của tính chất "một đường thẳng qua hai điểm phân biệt", cũng được thợ xây dùng khi xây tường thẳng.

Định hướng. Liên hệ trực tiếp với đặc điểm thiết kế thực tế của mỗi hình ảnh.

Vậy a) hai thanh ray không có điểm chung; b) hai con đường có một điểm chung (ở chỗ giao nhau).

Định hướng. Hình dung kéo dài mỗi cặp đường thẳng ra vô tận rồi kiểm tra xem chúng có cắt nhau không.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: ray không có điểm chung; hai con đường có điểm chung.

Định hướng. Loại trừ bằng cách xét xem nếu chúng có điểm chung thứ hai thì điều gì xảy ra.

Vậy hai thanh ray không có điểm chung thật sự; hai con đường có đúng một điểm chung.

Nhận xét. Cảm giác "hai đường ray như gặp nhau ở đường chân trời" chỉ là hiệu ứng phối cảnh khi nhìn, không phải điểm chung thật.

Định hướng. Suy luận bằng phản chứng, xuất phát từ giả sử điều đề bài hỏi là đúng.

Vậy điều giả sử mâu thuẫn với việc a, b phân biệt — vậy hai đường thẳng phân biệt không thể có từ hai điểm chung trở lên.

Định hướng. Xét lần lượt các trường hợp có thể xảy ra về số điểm chung rồi loại trừ.

Vậy chỉ còn hai khả năng hợp lệ là 0 hoặc 1 điểm chung, không thể nhiều hơn 1.

Định hướng. Liên hệ với hình ảnh thực tế để kiểm chứng lại kết luận.

Vậy thực tế cũng xác nhận: không thể có hai đường thẳng phân biệt chung nhau từ hai điểm trở lên.

Nhận xét. Đây là lí do vì sao khái niệm "giao điểm" của hai đường thẳng cắt nhau luôn chỉ là một điểm duy nhất.

Định hướng. Liệt kê ví dụ song song trước, từ các vật có cạnh thẳng và không gặp nhau.

Vậy đó là các hình ảnh hai đường thẳng song song trong thực tế.

Định hướng. Liệt kê ví dụ cắt nhau, từ các vật có hai đường rõ ràng gặp nhau tại một chỗ.

Vậy đó là các hình ảnh hai đường thẳng cắt nhau trong thực tế.

Định hướng. Kiểm tra lại từng ví dụ bằng đúng định nghĩa để tránh nhầm với hai đường cong.

Vậy cả 6 ví dụ trên đều đúng bản chất song song hoặc cắt nhau theo định nghĩa đã học.

Nhận xét. Cần phân biệt với các cặp "đường thẳng chéo nhau" trong không gian (như hai cạnh đối của một hộp), sẽ học kĩ hơn ở lớp trên.

Định hướng. Liệt kê toàn bộ các cặp điểm có thể lập từ ba điểm A, B, C rồi vẽ đường thẳng cho từng cặp.

Vậy có 3 đường thẳng: AB, BC, AC, tạo thành hình tam giác ABC.

Định hướng. Vẽ hình tam giác ABC trước, sau đó đọc tên ba cạnh đã kéo dài thành ba đường thẳng.

Vậy ba đường thẳng thu được đúng là AB, BC, AC, giống Cách 1.

Định hướng. Xét từng cặp trong ba đường thẳng vừa vẽ để tìm hai đường cắt nhau và giao điểm.

Vậy hai đường thẳng AB và BC cắt nhau tại giao điểm B (có thể chọn tương tự với các cặp còn lại: BC và AC cắt nhau tại C, AB và AC cắt nhau tại A).

Nhận xét. Vì A, B, C không thẳng hàng nên ba đường thẳng AB, BC, AC đôi một cắt nhau, tạo đúng ba giao điểm là A, B, C.

Định hướng. Dựng trực tiếp đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của nó với d.

Vậy C chính là giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d, khi đó A, B, C thẳng hàng vì cùng nằm trên đường thẳng AB.

Định hướng. Xét theo hai trường hợp về vị trí tương đối giữa đường thẳng AB và d.

Vậy C tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng AB không song song với d; nếu AB song song d thì không tìm được C.

Định hướng. Phản chứng để xác nhận trường hợp không tìm được C: giả sử vẫn tìm được C khi AB song song d.

Vậy khi AB song song với d, không thể tồn tại điểm C thoả mãn yêu cầu — đúng như Cách 2 đã chỉ ra.

Nhận xét. Đây là lí do C, nếu tồn tại, luôn là duy nhất: vì hai đường thẳng cắt nhau chỉ có đúng một giao điểm.

Định hướng. Đọc trực tiếp trên hình: tìm điểm chung của a, b trước, sau đó dò vị trí của A trên từng đường.

Vậy a) giao điểm của a và b là P; b) A thuộc đường thẳng b, không thuộc đường thẳng a — kí hiệu A ∈ b, A ∉ a.

Định hướng. Dùng định nghĩa giao điểm và định nghĩa thuộc/không thuộc để suy luận từng bước, không chỉ nhìn hình.

Vậy kết quả trùng Cách 1: giao điểm là P; A ∈ b và A ∉ a.

Định hướng. Kiểm chứng bằng thước: đặt cạnh thước trùng từng đường thẳng rồi xem A có nằm trên cạnh thước hay không.

Vậy xác nhận A ∉ a và A ∈ b, đúng như hai cách trên.

Định hướng. Liệt kê đủ 4 bộ ba có thể lập từ {A, B, C, S} rồi xét từng bộ theo đúng các đường thẳng đã vẽ trong hình.

Vậy a) có đúng 1 bộ ba điểm thẳng hàng là A, B, C; b) ví dụ hai bộ không thẳng hàng là (S, A, B) và (S, A, C); c) bốn điểm A, B, C, S không thẳng hàng vì S không thuộc đường thẳng chứa A, B, C.

Định hướng. Xét riêng vai trò của điểm S: S là điểm chung của ba đường thẳng m, p, n nhưng mỗi đường chỉ có thêm đúng một trong các điểm A, B, C.

Vậy S không thẳng hàng với bất kì cặp nào trong A, B, C; chỉ riêng A, B, C thẳng hàng với nhau, khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng thước kiểm tra trực tiếp: đặt thước qua từng cặp điểm rồi xem có đi qua điểm thứ ba không.

Vậy xác nhận đúng 1 bộ ba thẳng hàng (A, B, C); các bộ có S đều không thẳng hàng — khớp cả hai cách trên.

Định hướng. Nhận xét cả bốn điểm A, B, C, D đã cùng nằm trên một đường thẳng rồi liệt kê hết các bộ ba có thể chọn.

Vậy cả 4 bộ ba (A, B, C), (A, B, D), (A, C, D), (B, C, D) đều thẳng hàng.

Định hướng. Kiểm tra riêng từng bộ ba bằng cách đặt thước qua hai điểm rồi xem điểm thứ ba có nằm trên thước không.

Vậy mọi cặp điểm đặt thước qua đều cho kết quả điểm còn lại cũng nằm trên thước — khẳng định cả 4 bộ ba đều thẳng hàng, khớp Cách 1.

Định hướng. Dùng công thức đếm tổ hợp: với n điểm cùng thuộc một đường thẳng, số bộ ba thẳng hàng là C(n,3).

Vậy có đúng 4 bộ ba điểm thẳng hàng, khớp với kết quả liệt kê trực tiếp ở hai cách trên.

Nhận xét. Công thức C(n,3) chỉ dùng được khi đã biết chắc cả n điểm cùng thẳng hàng như bài này.

Định hướng. Dùng manh mối ① trước để định vị D, vì D là điểm duy nhất nằm trên tới 3 trong 4 đường thẳng.

Vậy D là đỉnh chung của 3 đường thẳng (đường dọc, hai đường chéo).

Định hướng. Dùng manh mối ② để định vị B và C: A, B, C thẳng hàng nên cả ba cùng nằm trên đường thẳng đã chứa A.

Vậy B là giao điểm của đường ngang (chứa A) với đường dọc; C là giao điểm của đường ngang đó với đường chéo còn lại.

Định hướng. Dùng manh mối ③ để định vị E: B, D, E thẳng hàng nên E phải cùng nằm trên đường thẳng chứa cả B và D.

Vậy E là điểm nằm trên đường thẳng dọc, phía bên kia của B so với D.

Nhận xét. Kiểm tra lại: D nằm trên đường dọc, đường chéo qua A, và đường chéo qua C — đúng 3 trong 4 đường, khớp với giả thiết ①.

Định hướng. So sánh trực tiếp độ nghiêng của từng cặp đường thẳng trên hình bằng mắt và bằng lưới ô vuông làm chuẩn.

Vậy ba cặp song song là EF // BC, DE // BA, DF // AC.

Định hướng. Kiểm tra bằng cách đếm ô lưới lệch ngang – lệch dọc của mỗi đường, hai đường có cùng tỉ lệ lệch thì song song.

Vậy xác nhận đúng ba cặp song song như Cách 1: EF // BC, DE // BA, DF // AC.

Định hướng. Loại trừ: xét các cặp đường còn lại xem có cùng tỉ lệ lệch không, để chắc chắn không bỏ sót hoặc thêm nhầm cặp nào.

Vậy không còn cặp song song nào khác ngoài ba cặp đã tìm được ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Mỗi đường thẳng trong hình đều cắt cả bốn đường không song song với nó, đúng theo tính chất hai đường thẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.