Bài 33. Điểm nằm giữa hai điểm. Tia

Định hướng. Vẽ A bên trái, B bên phải trên đường thẳng xy rồi đọc tên tia tại từng điểm.

Vậy các tia nhìn thấy trên hình là Ax, AB (= Ay), BA (= Bx), By.

Định hướng. Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc của đúng hai tia đối nhau, cứ theo đó liệt kê không cần đo vẽ chính xác.

Vậy kết quả trùng Cách 1: bốn tia Ax, AB, BA, By.

Định hướng. Lập bảng hai dòng (gốc A, gốc B), mỗi dòng hai cột (hướng x, hướng y) để không bỏ sót.

Vậy đủ 4 tia như hai cách trên, không thiếu không thừa.

Nhận xét. Với 2 điểm trên một đường thẳng luôn có đúng 4 tia (2 điểm × 2 hướng).

Định hướng. Xét lần lượt gốc A rồi gốc B, ghép hai tia cùng gốc lại với nhau.

Vậy có hai cặp tia đối nhau: (Ax, AB) và (BA, By).

Định hướng. Kiểm tra từng cặp tia trong bốn tia đã có xem có thoả "chung gốc, ngược hướng" không.

Vậy chỉ có đúng hai cặp tia đối nhau là (Ax, AB) và (BA, By).

Định hướng. Từ 4 tia lập đủ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ cặp, loại các cặp khác gốc, giữ lại cặp chung gốc.

Vậy kết quả trùng Cách 1, Cách 2: hai cặp tia đối nhau.

Nhận xét. Cách liệt kê đầy đủ rồi loại trừ tránh bỏ sót khi số tia tăng lên.

Định hướng. Vì tia Ax trùng tia AB nên B phải nằm về phía x so với A; vẽ theo đúng thứ tự đó rồi quan sát.

Vậy tia BA (gốc B, qua A, kéo dài về phía y) trùng với tia By.

Định hướng. Không cần vẽ chính xác, chỉ cần lập luận theo đúng chuỗi suy diễn từ giả thiết.

Vậy tia BA trùng với tia By (cùng gốc B, cùng hướng y).

Định hướng. Quy ước hướng x là chiều giảm dần, gán số cho A, B rồi kiểm tra bằng so sánh.

Vậy hai tập hợp điểm trùng nhau, tức tia BA trùng tia By, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Gán số giúp kiểm chứng lại kết quả suy luận bằng lời một cách chắc chắn.

Định hướng. Vẽ A, B, C theo thứ tự trên đường thẳng rồi đọc tên hai tia tại mỗi điểm.

Vậy có 6 tia: Ax, AC (= AB = Ay), BA (= Bx), BC (= By), CA (= CB = Cx), Cy.

Định hướng. Áp dụng công thức số tia = 2n với n = 3 điểm để kiểm tra số lượng trước khi liệt kê tên.

Vậy có đúng 6 tia, khớp với danh sách ở Cách 1.

Định hướng. Lập bảng ba gốc, mỗi gốc ghi hai tia rồi gộp các tên chỉ cùng một tia.

Vậy đủ 6 tia như hai cách trên, không đếm trùng.

Nhận xét. Lập bảng theo gốc là cách chắc chắn nhất để tránh sót hoặc đếm trùng tên gọi.

Định hướng. Vẽ A trước, rồi đặt B, C về hai phía đối diện của A sao cho tia AB, AC đối nhau.

Vậy A nằm giữa B và C.

Định hướng. Áp dụng thẳng định nghĩa: hai tia đối nhau phải chung gốc, mà gốc chung ở đây chính là A.

Vậy A nằm giữa B và C, vì B, C nằm về hai phía khác nhau của A.

Định hướng. Gán A = 0, và vì AB, AC đối nhau nên B, C phải trái dấu nhau.

Vậy A luôn nằm giữa B và C với mọi cách gán thoả điều kiện trái dấu, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc độ lớn cụ thể của B, C, chỉ cần trái dấu qua gốc A.

Định hướng. Vẽ A, rồi B trên tia Ay, rồi C sao cho B nằm giữa A và C.

Vậy tia Ay đi qua cả B lẫn C nên còn gọi là tia AB hoặc tia AC.

Định hướng. Ghép hai điều kiện của đề thành một chuỗi suy luận về thứ tự ba điểm.

Vậy tia Ay còn gọi là tia AB hoặc tia AC, vì một tia có thể gọi tên theo bất kì điểm nào nó đi qua.

Định hướng. Gán số tăng dần theo hướng y, kiểm tra bằng so sánh số.

Vậy tia Ay = tia AB = tia AC, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Gán số cho thấy rõ vì sao một tia có thể có nhiều tên miễn cùng gốc, cùng hướng.

Định hướng. Vẽ tia Ox, đặt M trên tia đó, đặt N trên tia đối (phía ngược lại) của O.

Vậy O nằm giữa M và N.

Định hướng. Áp dụng thẳng định nghĩa: hai tia đối nhau chung gốc, gốc đó luôn nằm giữa hai điểm thuộc hai tia.

Vậy O nằm giữa M và N, vì O là gốc chung phân chia hai phía chứa M, N.

Định hướng. Gán O = 0, quy ước tia Ox là chiều dương.

Vậy O nằm giữa M và N, khớp Cách 1, Cách 2, đúng với mọi cách chọn M, N thoả điều kiện.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc độ lớn cụ thể của M, N.

Định hướng. Vẽ O, đặt M trên tia Ox, rồi đặt N sao cho O nằm giữa M và N (N phải ở phía đối diện M).

Vậy N nằm trên tia đối của tia Ox — chọn đáp án b).

Định hướng. Áp dụng thẳng định nghĩa: O nằm giữa M, N nghĩa là M, N ở hai phía khác nhau của O.

Vậy đáp án đúng là b) N nằm trên tia đối của tia Ox.

Định hướng. Gán O = 0, tia Ox là chiều dương, kiểm tra bằng so sánh số.

Vậy N nằm trên tia đối của tia Ox, khớp Cách 1, Cách 2; đáp án b) đúng, đáp án a) sai.

Nhận xét. Đây là mệnh đề đảo của bài 8.22, gán số giúp kiểm chứng cả hai chiều suy luận.

Định hướng. Chọn thử vài điểm thoả từng mệnh đề trong H rồi tô đậm để xem hình dạng chung.

Vậy H chính là tia PQ.

Định hướng. So sánh từng mệnh đề của H với đúng định nghĩa tia PQ đã học.

Vậy hai mô tả khớp nhau từng chữ một, nên H chính là tia PQ.

Định hướng. Gán P = 0, Q = 1, dịch điều kiện "cùng phía với Q đối với P" thành bất đẳng thức.

Vậy tập {toạ độ ≥ 0} đúng là hình dạng của tia gốc 0 hướng dương, tức tia PQ, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Gán số cho thấy rõ nhất vì sao ba mệnh đề rời rạc trong H lại gộp thành đúng một tia liền mạch.

Định hướng. Chọn thử vài điểm khác phía với Q đối với P rồi tô đậm cùng điểm P để xem hình dạng chung.

Vậy G chính là tia đối của tia PQ.

Định hướng. So sánh mô tả của G với đúng định nghĩa tia đối của tia PQ đã học.

Vậy hai mô tả khớp nhau y hệt, nên G chính là tia đối của tia PQ.

Định hướng. Gán P = 0, Q = 1 như bài 8.24, dịch điều kiện "khác phía với Q" thành bất đẳng thức.

Vậy tập {toạ độ ≤ 0} là hình dạng của tia gốc 0 hướng âm, tức tia đối của tia PQ, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. So với H ở bài 8.24, G thiếu hẳn điểm Q (toạ độ 1 không thoả toạ độ ≤ 0), đúng như định nghĩa loại Q ra khỏi tia đối.