Bài 1 · Mở đầu★★Trang 48— Xác định thứ tự ba điểm thẳng hàng từ hiện tượng thiên văn thực tế
Mở đầu (trang 48). Nhật thực, nguyệt thực là những hiện tượng thiên văn, xảy ra khi Mặt Trăng, Trái Đất và Mặt Trời cùng nằm trên một đường thẳng, nhưng theo thứ tự khác nhau. Thứ tự của chúng trên đường thẳng khi đó như thế nào?
Kiến thức cần nhớ
Điểm nằm giữa hai điểm: trong ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa là điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm còn lại.
Nguyệt thực xảy ra khi Mặt Trăng đi vào vùng bóng của Trái Đất (Trái Đất chắn ánh sáng Mặt Trời chiếu tới Mặt Trăng); nhật thực xảy ra khi Mặt Trăng che ánh sáng Mặt Trời chiếu xuống Trái Đất.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ mô tả bằng lời hiện tượng thiên văn mà không cho hình vẽ sẵn — dấu hiệu là phải tự dịch mô tả “Mặt Trăng đi vào bóng Trái Đất” hay “Mặt Trăng che Mặt Trời” thành khái niệm “điểm nằm giữa” vừa học. Hướng làm an toàn là xét lần lượt từng hiện tượng, tìm xem thiên thể nào đóng vai trò “chắn” rồi suy ra thiên thể đó nằm giữa hai thiên thể còn lại. Bẫy của đề là tên gọi “nguyệt thực” dễ khiến học sinh nghĩ Mặt Trăng luôn là vật nằm giữa, trong khi thực ra ở nguyệt thực chính Trái Đất mới là vật nằm giữa.
1Cách 1. Suy luận từ hiện tượng nguyệt thực (Trái Đất che ánh sáng)
Định hướng. Ở nguyệt thực, Mặt Trăng bị tối đi vì đi vào vùng bóng của Trái Đất, nên Trái Đất phải chắn giữa nguồn sáng và vật bị che tối.
Trái Đất chắn ánh sáng từ Mặt Trời đến Mặt Trăng Suy ra Trái Đất nằm giữa Mặt Trời và Mặt Trăng
Vậy ở nguyệt thực, thứ tự ba điểm trên đường thẳng là Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng.
2Cách 2. Suy luận từ hiện tượng nhật thực (Mặt Trăng che ánh sáng)
Định hướng. Ở nhật thực, Mặt Trăng che khuất một phần ánh sáng Mặt Trời chiếu xuống Trái Đất, nên Mặt Trăng phải chắn giữa Mặt Trời và Trái Đất.
Mặt Trăng chắn ánh sáng từ Mặt Trời đến Trái Đất Suy ra Mặt Trăng nằm giữa Mặt Trời và Trái Đất
Vậy ở nhật thực, thứ tự ba điểm trên đường thẳng là Mặt Trời, Mặt Trăng, Trái Đất.
3Cách 3. Liệt kê mọi thứ tự có thể rồi loại trừ
Định hướng. Với ba điểm thẳng hàng, chỉ có ba khả năng điểm nào nằm giữa; loại các khả năng vô lí để giữ lại khả năng đúng.
Khả năng Mặt Trời nằm giữa: khi đó không thiên thể nào chắn thiên thể kia, vô lí, loại Khả năng Trái Đất nằm giữa: đúng với hiện tượng nguyệt thực Khả năng Mặt Trăng nằm giữa: đúng với hiện tượng nhật thực
Vậy kết quả trùng với Cách 1 và Cách 2: nguyệt thực ứng với Trái Đất nằm giữa, nhật thực ứng với Mặt Trăng nằm giữa.
Nhận xét. Đây chính là lí do vì sao hai hiện tượng có tên gọi và thứ tự thiên thể khác hẳn nhau dù cùng cần ba điểm thẳng hàng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 và Cách 2 kết hợp: xét trực tiếp vai trò “vật chắn sáng” của từng hiện tượng, suy ra ngay điểm nằm giữa mà không cần liệt kê hết các trường hợp như Cách 3.
Đáp số.Nguyệt thực: thứ tự là Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng (Trái Đất nằm giữa). Nhật thực: thứ tự là Mặt Trời, Mặt Trăng, Trái Đất (Mặt Trăng nằm giữa).
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng “nguyệt thực” luôn gắn với Mặt Trăng nằm giữa vì tên gọi có chữ “nguyệt” — thực ra ở nguyệt thực, Mặt Trăng là VẬT BỊ CHE nên nó ở đầu mút, còn Trái Đất mới là vật nằm giữa (đóng vai trò che sáng).
🚀 Mở rộng.Khi ba thiên thể không thẳng hàng tuyệt đối mà chỉ gần thẳng hàng, hiện tượng chỉ xảy ra một phần (nhật thực một phần, nguyệt thực một phần) — điều kiện “thẳng hàng tuyệt đối” chính là điều kiện để có nhật thực, nguyệt thực toàn phần.
Bài 2 · Hoạt động★Trang 48— Nhận biết ba điểm thẳng hàng qua hiện tượng ánh sáng thực tế
Hoạt động (trang 48). Em hãy quan sát hình ảnh bên. Em có nhận xét gì về vị trí của ngọn nến, quả lắc và bóng của quả lắc ở trên tường?
Kiến thức cần nhớ
Ánh sáng truyền theo đường thẳng; bóng của một vật được tạo ra trên đường thẳng nối nguồn sáng với vật đó.
Điểm nằm giữa hai điểm: trong ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa là điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm còn lại.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ đưa ra một bức ảnh thực tế (ngọn nến, quả lắc, bóng trên tường) mà không có kí hiệu điểm — dấu hiệu là phải tự nhận ra ba vị trí này đóng vai trò như ba “điểm” rồi tìm mối quan hệ giữa chúng. Hướng làm là dựa vào tính chất ánh sáng truyền thẳng: bóng chỉ xuất hiện đúng trên đường nối nguồn sáng với vật cản. Bẫy là chỉ dừng lại ở nhận xét “ba vị trí thẳng hàng” mà quên chỉ rõ quả lắc mới là điểm nằm giữa.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp bức ảnh
Định hướng. Nhìn trực tiếp vị trí ngọn nến, quả lắc, bóng trên tường trong ảnh.
Ngọn nến, quả lắc, bóng của quả lắc cùng nằm trên một đường thẳng (đường tia sáng) Quả lắc ở giữa, ngọn nến và bóng ở hai đầu
Vậy ba vị trí này thẳng hàng và quả lắc nằm giữa ngọn nến và bóng của nó.
2Cách 2. Dùng tính chất ánh sáng truyền thẳng
Định hướng. Bóng chỉ hình thành trên đúng đường thẳng nối nguồn sáng (ngọn nến) với vật cản (quả lắc).
Tia sáng đi thẳng từ ngọn nến Gặp quả lắc, bị chặn lại, tạo bóng trên tường đúng theo phương tia sáng đó
Vậy ba điểm ngọn nến, quả lắc, bóng cùng nằm trên một đường thẳng, quả lắc nằm giữa.
3Cách 3. Gọi tên theo thuật ngữ Toán học vừa học
Định hướng. Đặt tên A là ngọn nến, B là quả lắc, C là bóng trên tường rồi áp dụng đúng khái niệm “điểm nằm giữa”.
A, B, C thẳng hàng (cùng thuộc đường truyền tia sáng) B nằm trên đoạn nối A và C
Vậy B (quả lắc) nằm giữa A (ngọn nến) và C (bóng), khớp với Cách 1 và Cách 2.
Nhận xét. Đây chính là mô hình thu nhỏ của hiện tượng nhật thực, nguyệt thực ở phần Mở đầu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: dựa thẳng vào tính chất ánh sáng truyền thẳng để chỉ ra ngay vật cản (quả lắc) là điểm nằm giữa, không cần đặt tên A, B, C dài dòng.
Đáp số.Ngọn nến, quả lắc và bóng của quả lắc cùng nằm trên một đường thẳng (đường truyền của tia sáng); quả lắc nằm giữa ngọn nến và bóng của nó trên tường.
Sai lầm thường gặp.Chỉ nhận xét chung chung “ba vị trí thẳng hàng” mà không chỉ rõ vị trí nào nằm giữa — cần nêu đích danh quả lắc nằm giữa vì nó là vật cản ánh sáng.
🚀 Mở rộng.Đây chính là nguyên lí tạo bóng dùng để giải thích hiện tượng nhật thực, nguyệt thực ở phần Mở đầu: vật chắn sáng luôn nằm giữa nguồn sáng và bóng của nó.
Bài 3 · Câu hỏi (trang 48)★★Trang 48— Đọc quan hệ nằm giữa, cùng phía, khác phía trên hình vẽ có nhiều đường thẳng
Câu hỏi (trang 48). Em hãy quan sát Hình 8.15 và cho biết: a) Điểm D nằm giữa hai điểm nào? b) Hai điểm nào nằm cùng phía đối với điểm B? c) Hai điểm nào nằm khác phía đối với điểm E?
Kiến thức cần nhớ
Điểm nằm giữa hai điểm: trong ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa là điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm còn lại.
Hai điểm cùng phía/khác phía đối với một điểm chỉ được xét khi cả ba điểm đó cùng thuộc MỘT đường thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.15 vẽ tam giác ABC cùng hai đoạn phụ AD và điểm E trên AD — dấu hiệu là phải xét TỪNG ĐƯỜNG THẲNG riêng biệt (đường BC chứa D, đường AD chứa E) chứ không được so hai điểm nằm trên hai đường khác nhau. Hướng làm an toàn là xác định trước mỗi điểm phụ (D, E) thuộc đường thẳng nào rồi mới xét cùng phía/khác phía trên đúng đường thẳng đó. Bẫy là nhầm E với các điểm B, C (không cùng đường thẳng với E) khi trả lời câu c.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp trên hình
Định hướng. Nhìn hình để xác định D thuộc đoạn nào và E thuộc đoạn nào rồi đọc trực tiếp vị trí.
D nằm trên cạnh BC, ở giữa B và C Trên đường thẳng BC: D và C đều ở cùng một bên của B Trên đường thẳng AD: A và D nằm ở hai bên của E
Vậy a) D nằm giữa B và C; b) D và C cùng phía đối với B; c) A và D khác phía đối với E.
2Cách 2. Dùng định nghĩa nằm giữa, cùng phía, khác phía
Định hướng. Áp dụng đúng định nghĩa cho từng đường thẳng chứa điểm cần xét.
Xét đường thẳng BC: ba điểm B, D, C thẳng hàng, D ở giữa nên D nằm giữa B và C; D, C không bị B chắn ở giữa nên D, C cùng phía đối với B Xét đường thẳng AD: ba điểm A, E, D thẳng hàng, E ở giữa nên A và D bị E chắn ở giữa, tức A, D khác phía đối với E
Vậy kết quả trùng với Cách 1.
3Cách 3. Gán thứ tự bằng chữ cái trên từng đường thẳng
Định hướng. Viết lại đúng thứ tự các điểm trên mỗi đường thẳng rồi suy luận như trên một dãy số.
Trên BC, thứ tự là B, D, C Trên AD, thứ tự là A, E, D
Vậy a) D nằm giữa B, C (vì D đứng giữa dãy B, D, C); b) D, C cùng phía đối với B (cùng đứng sau B); c) A, D khác phía đối với E (một đứng trước, một đứng sau E).
Nhận xét. Viết lại thứ tự trên từng đường thẳng giúp tránh nhầm giữa hai đường AD và BC.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: viết lại đúng thứ tự các điểm trên từng đường thẳng riêng biệt trước khi trả lời, tránh nhầm điểm giữa hai đoạn AD và BC khác nhau.
Đáp số.a) D nằm giữa B và C. b) Hai điểm D và C nằm cùng phía đối với B. c) Hai điểm A và D nằm khác phía đối với E.
Sai lầm thường gặp.So sánh cùng phía/khác phía giữa các điểm không cùng thuộc một đường thẳng, ví dụ nhầm xét B và E — hai điểm này không cùng nằm trên một đường thẳng với điểm còn lại nên không thể nói “cùng phía” hay “khác phía”.
🚀 Mở rộng.Nếu lấy thêm một điểm F nằm giữa A và E trên đoạn AD thì khi đó A, E cùng phía đối với F, còn A, D vẫn khác phía đối với E như cũ.
Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 49— Dựng điểm thoả mãn quan hệ nằm giữa, khác phía rồi suy ra quan hệ cùng phía
Luyện tập 1 (trang 49). Cho hai điểm phân biệt A, B như Hình 8.16. Em hãy lấy hai điểm C và D sao cho: điểm C nằm giữa hai điểm A và B; điểm C và điểm D nằm khác phía đối với điểm B. Khi đó điểm A và điểm B có nằm cùng phía đối với điểm D không?
Kiến thức cần nhớ
Hai điểm M, N cùng phía đối với O nếu O không nằm giữa M và N.
Hai điểm M, N khác phía đối với O nếu O nằm giữa M và N.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai điều kiện dựng hình liên tiếp (C nằm giữa A, B; rồi D khác phía với C đối với B) — dấu hiệu là phải dựng ĐÚNG THỨ TỰ từng điều kiện một, không được dựng D trước. Hướng làm là xác định vị trí C trước, từ đó suy ra phía nào là “khác phía với C” để đặt D. Bẫy hay gặp là hiểu nhầm “khác phía với C đối với B” thành “về phía A”, trong khi phải là phía đối diện của C qua B (tức là ra ngoài đoạn AB, xa hơn B).
1Cách 1. Vẽ hình theo đúng thứ tự yêu cầu rồi quan sát
Định hướng. Dựng C giữa A, B trước, rồi dựng D ở phía đối diện của C qua B, sau đó nhìn hình để trả lời.
Lấy C nằm giữa A và B Lấy D ở phía đối diện của C so với B, tức D nằm ngoài đoạn AB, xa hơn B Trên hình, thứ tự bốn điểm là A, C, B, D
Vậy nhìn hình thấy cả A và B đều nằm về một phía (phía trái) của D.
2Cách 2. Lập luận bằng lời theo thứ tự các điểm
Định hướng. Không cần đo vẽ chính xác, chỉ cần lập luận đúng thứ tự bốn điểm trên đường thẳng.
C nằm giữa A, B nên thứ tự có dạng A, C, B (hoặc B, C, A) D khác phía với C đối với B nghĩa là D nằm ở phía không chứa C, tức là phía sau B (xa A hơn) Thứ tự đầy đủ là A, C, B, D
Vậy vì D nằm ngoài đoạn AB (về phía B), nên B không nằm giữa A và D, do đó A và B cùng phía đối với D.
3Cách 3. Gán toạ độ số cho các điểm trên đường thẳng
Định hướng. Đặt số cho từng điểm theo đúng thứ tự đã suy luận để kiểm tra bằng phép so sánh.
Gán A = 0, C = 5, B = 10 (đúng vì C nằm giữa A, B) D khác phía với C đối với B nên D > 10, chọn D = 14 So sánh: A = 0 < 14 và B = 10 < 14, cả hai đều nhỏ hơn D
Vậy A và B cùng nhỏ hơn D nên cùng phía đối với D, khớp với Cách 1 và Cách 2.
Nhận xét. Kết quả đúng với MỌI cách chọn C, D thoả mãn đề, không phụ thuộc vị trí cụ thể.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần sắp đúng thứ tự A, C, B, D trên đường thẳng rồi đọc trực tiếp, không cần gán số hay vẽ hình chính xác từng milimét.
Đáp số.Có, hai điểm A và B nằm cùng phía đối với điểm D (vì thứ tự các điểm trên đường thẳng là A, C, B, D nên B không nằm giữa A và D).
Sai lầm thường gặp.Hiểu nhầm “D khác phía với C đối với B” nghĩa là D phải quay về phía A — thực ra “khác phía với C” là khác phía so với C, tức D phải ở phía không có C, tức là xa hơn B về phía ngoài đoạn AB.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi yêu cầu thành “D cùng phía với C đối với B” thì D phải nằm giữa A và B (cùng phía với C so với B); khi đó cần xét lại xem A, B có còn cùng phía đối với D hay không tuỳ vị trí cụ thể của D.
Bài 5 · Vận dụng★★★Trang 49— Tìm giao điểm hai đường chéo của hình bình hành bằng tính chất trung điểm
Vận dụng (trang 49). Cho hình bình hành ABCD như Hình 8.17. Em hãy xác định một điểm vừa nằm giữa hai điểm A và C, vừa nằm giữa hai điểm B và D.
Kiến thức cần nhớ
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Trung điểm của một đoạn thẳng luôn nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
🧠 Phân tích tư duy
Đề yêu cầu một điểm thoả mãn ĐỒNG THỜI hai điều kiện nằm giữa (vừa giữa A, C vừa giữa B, D) — dấu hiệu của dạng “tìm giao điểm hai đường chéo” trong hình bình hành. Hướng làm là nhớ lại tính chất đặc trưng của hình bình hành thay vì đoán mò một điểm bất kì. Bẫy là chọn nhầm một điểm chỉ thoả mãn một trong hai điều kiện (ví dụ chỉ nằm giữa A, C mà không nằm giữa B, D).
1Cách 1. Vẽ hai đường chéo rồi lấy giao điểm
Định hướng. Vẽ đường chéo AC và đường chéo BD, gọi M là giao điểm của chúng.
Vẽ đoạn AC Vẽ đoạn BD Hai đoạn này cắt nhau tại một điểm, gọi là M
Vậy M vừa nằm trên đoạn AC vừa nằm trên đoạn BD, tức vừa nằm giữa A, C vừa nằm giữa B, D.
2Cách 2. Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành
Định hướng. Áp dụng thẳng tính chất “hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”, không cần vẽ hình chính xác.
ABCD là hình bình hành Theo tính chất, giao điểm M của AC và BD là trung điểm của AC, đồng thời là trung điểm của BD
Vậy M vừa nằm giữa A, C (vì là trung điểm AC) vừa nằm giữa B, D (vì là trung điểm BD).
3Cách 3. Đặt hình lên lưới ô vuông rồi tính điểm chính giữa
Định hướng. Đặt bốn đỉnh lên lưới ô vuông, đếm ô để xác định vị trí rồi lấy trung bình cộng vị trí của từng cặp đỉnh đối diện.
Đặt A, D ở hàng trên; B, C ở hàng dưới sao cho ABCD là hình bình hành Điểm chính giữa của A và C: lấy trung bình cộng vị trí A và C Điểm chính giữa của B và D: lấy trung bình cộng vị trí B và D Hai kết quả trùng nhau tại đúng một điểm M
Vậy M là điểm vừa nằm giữa A, C vừa nằm giữa B, D, khớp với Cách 1 và Cách 2.
Nhận xét. Cách đếm ô kiểm chứng lại bằng số cho tính chất hình học ở Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhớ tính chất “hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” là trả lời được ngay, không cần vẽ hình hay đếm ô.
Đáp số.Điểm cần tìm là giao điểm M của hai đường chéo AC và BD; M vừa là trung điểm của AC vừa là trung điểm của BD nên M nằm giữa A, C và cũng nằm giữa B, D.
Sai lầm thường gặp.Chỉ vẽ đại hai đường chéo cắt nhau ở đâu đó bằng mắt mà không dùng tính chất trung điểm, dẫn đến chọn nhầm một điểm lệch tâm — cần khẳng định chắc chắn bằng tính chất hình bình hành thay vì ước lượng bằng mắt.
🚀 Mở rộng.Tính chất “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” chỉ đúng cho hình bình hành (và các trường hợp đặc biệt như hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông); với một tứ giác bất kì, hai đường chéo có thể không cắt nhau tại trung điểm.
Bài 6 · Câu hỏi (trang 49)★★Trang 49— Đọc tên tia và tìm tia đối trên một đường thẳng có nhiều điểm
Câu hỏi (trang 49). Quan sát Hình 8.19. a) Em hãy đọc tên các tia trong hình. b) Với mỗi tia ở câu a, tìm tia đối của chúng.
Kiến thức cần nhớ
Điểm O trên đường thẳng xy chia đường thẳng thành hai tia đối nhau là tia Ox và tia Oy.
Hai tia đối nhau phải chung gốc; nếu khác gốc thì dù cùng nằm trên một đường thẳng cũng không gọi là đối nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.19 có hai điểm A, B trên đường thẳng xy — dấu hiệu là mỗi điểm sẽ là gốc của đúng hai tia, và cùng một tia có thể mang nhiều tên gọi khác nhau. Hướng làm là liệt kê tia theo TỪNG GỐC một cách có hệ thống thay vì đoán ngẫu nhiên. Bẫy hay gặp là ghép hai tia khác gốc (ví dụ Ax và Bx) thành “tia đối nhau” chỉ vì chúng trông ngược hướng nhau.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp trên hình
Định hướng. Nhìn hình, tại mỗi điểm A, B xác định hai hướng x và y để đọc tên tia.
Tại A: một tia hướng về x (tia Ax), một tia hướng về y đi qua B (tia AB) Tại B: một tia hướng về x đi qua A (tia BA), một tia hướng về y (tia By)
Vậy các tia trong hình là Ax, AB, BA, By.
2Cách 2. Dùng định nghĩa tia và tia đối
Định hướng. Mỗi điểm trên đường thẳng chia đường thẳng thành hai tia đối nhau có chung gốc tại điểm đó.
Điểm A chia xy thành tia Ax và tia Ay (tia Ay chính là tia AB vì B nằm về phía y) Điểm B chia xy thành tia Bx và tia By (tia Bx chính là tia BA vì A nằm về phía x)
Vậy tia đối của Ax là Ay (= AB); tia đối của Bx (= BA) là By.
3Cách 3. Liệt kê có hệ thống theo từng gốc
Định hướng. Lập bảng: với mỗi gốc trong {A, B}, ghi đúng hai tia (một về x, một về y), rồi ghép cặp theo đúng gốc để tìm tia đối, tránh ghép nhầm sang gốc khác.
Gốc A: tia Ax và tia Ay — hai tia này chung gốc A nên đối nhau Gốc B: tia Bx và tia By — hai tia này chung gốc B nên đối nhau Ax và Bx tuy cùng hướng x nhưng khác gốc nên KHÔNG phải cặp tia đối
Vậy kết quả trùng Cách 1, Cách 2: có 4 tia (Ax, Ay = AB, Bx = BA, By), trong đó (Ax, Ay) và (Bx, By) là hai cặp tia đối nhau.
Nhận xét. Lập bảng theo gốc là cách chắc chắn nhất để không ghép nhầm hai tia khác gốc thành “tia đối”.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: liệt kê có hệ thống theo từng gốc rồi mới ghép cặp, tránh nhầm lẫn ghép hai tia khác gốc thành “tia đối” — lỗi rất hay gặp khi đường thẳng có nhiều điểm.
Đáp số.a) Các tia trong hình là Ax, Ay (trùng AB), Bx (trùng BA), By. b) Tia đối của Ax là Ay; tia đối của Bx là By.
Sai lầm thường gặp.Ghép nhầm tia Ax với tia Bx thành “hai tia đối nhau” vì thấy chúng ngược hướng nhau — sai vì hai tia đối nhau bắt buộc phải CHUNG GỐC, còn Ax gốc A, Bx gốc B là hai gốc khác nhau.
🚀 Mở rộng.Nếu trên đường thẳng có n điểm phân biệt thì có 2n tia được tạo thành (mỗi điểm là gốc của hai tia), trong đó có đúng n cặp tia đối nhau.
Bài 7 · Luyện tập 2★★★Trang 49— Nhận biết tia chứa điểm thuộc tia đối của một tia khác
Luyện tập 2 (trang 49). Quan sát Hình 8.20. a) Em hãy đọc tên các tia trong hình. b) Nếu điểm M nằm trên tia đối của tia AB thì M có thuộc tia BA không?
Kiến thức cần nhớ
Tia BA có gốc B, đi qua A rồi kéo dài mãi mãi theo đúng hướng từ B sang A.
Tia đối của tia AB có gốc A, đi theo hướng ngược với hướng từ A sang B, tức là hướng ra xa B.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba điểm A, B, C với ba đường thẳng AB, AC, BC — dấu hiệu là phải đọc tên đủ 6 tia (2 tia mỗi đường thẳng) trước khi trả lời câu b. Hướng làm ở câu b là nhớ lại quan hệ giữa tia BA và tia đối của tia AB: tia BA không chỉ dừng ở A mà còn kéo dài qua A ra vô hạn. Bẫy là nghĩ tia BA chỉ là đoạn thẳng từ B đến A rồi dừng lại.
1Cách 1. Vẽ hình trực tiếp
Định hướng. Vẽ tia đối của tia AB (bắt đầu tại A, đi ngược hướng B), đánh dấu M trên đó rồi xem M có thuộc tia BA không.
Tia đối của AB xuất phát từ A, kéo dài ra xa B M nằm trên tia đó, tức M ở phía ngoài A, xa B hơn cả A Tia BA xuất phát từ B, đi qua A rồi kéo dài đúng về phía M
Vậy nhìn hình thấy M nằm trên tia BA.
2Cách 2. Dùng định nghĩa tia BA và tia đối của AB
Định hướng. So sánh trực tiếp hai tập hợp điểm: tia BA và (đoạn BA hợp với tia đối của AB).
Tia BA gồm: gốc B, đoạn thẳng BA, và toàn bộ phần kéo dài qua A ra xa B Phần kéo dài qua A ra xa B đó chính là tia đối của tia AB M thuộc tia đối của AB, tức M thuộc đúng phần kéo dài này
Vậy M thuộc tia BA, vì tia BA chứa trọn tia đối của tia AB.
3Cách 3. Gán toạ độ số cho các điểm
Định hướng. Đặt B = 0, A = 5 trên đường thẳng, khi đó tia đối của AB gồm các điểm có toạ độ lớn hơn 5.
Tia BA (gốc B = 0, qua A = 5) gồm mọi điểm có toạ độ lớn hơn hoặc bằng 0 M thuộc tia đối của AB nên toạ độ M lớn hơn 5, mà 5 > 0 Vậy toạ độ M cũng lớn hơn 0
Vậy M thoả điều kiện thuộc tia BA (toạ độ lớn hơn 0), khớp với Cách 1 và Cách 2.
Nhận xét. Gán số cho thấy rõ vì sao tia BA “rộng hơn” đoạn BA rất nhiều.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhớ “tia BA = đoạn thẳng BA cộng với tia đối của tia AB” là suy ra ngay đáp số, không cần vẽ hình hay gán số.
Đáp số.a) Các tia trong hình là AB, BA, AC, CA, BC, CB. b) Có, M thuộc tia BA.
Sai lầm thường gặp.Nghĩ rằng tia BA chỉ gồm đúng đoạn thẳng từ B đến A rồi dừng lại — quên rằng tia luôn kéo dài vô hạn về một phía, nên tia BA còn chứa toàn bộ phần kéo dài qua A, tức đúng bằng tia đối của tia AB.
🚀 Mở rộng.Tổng quát, với ba điểm A, B, M thẳng hàng theo thứ tự B, A, M (A nằm giữa B và M) thì M luôn thuộc tia BA, vì tia BA gồm cả tia đối của tia AB.
Bài 8 · Thử thách nhỏ★★★Trang 49— Nhận biết định nghĩa tia đối qua tập hợp điểm “khác phía”
Thử thách nhỏ (trang 49). Cho hai điểm phân biệt A và B. Hình gồm điểm A và tất cả các điểm nằm khác phía với điểm B đối với điểm A có phải là một tia không? Tia đó có phải là tia đối của tia AB không?
Kiến thức cần nhớ
Tia đối của tia AB là tia gốc A, đối diện hướng với tia AB, gồm A và mọi điểm nằm khác phía với B đối với A.
Hai điểm nằm khác phía đối với một điểm O khi O nằm giữa hai điểm đó.
🧠 Phân tích tư duy
Đề mô tả một hình bằng CÂU CHỮ (“điểm A và mọi điểm khác phía với B đối với A”) chứ không vẽ sẵn — dấu hiệu là phải đối chiếu mô tả này với đúng định nghĩa tia đối đã học. Hướng làm là dịch từng cụm từ trong mô tả sang ngôn ngữ hình học: “khác phía với B đối với A” nghĩa là A nằm giữa điểm đó và B. Bẫy là nghĩ phải có thêm dữ kiện mới xác định được “tia”, trong khi B chỉ dùng để chỉ hướng.
1Cách 1. Vẽ vài điểm cụ thể minh hoạ
Định hướng. Chọn thử vài điểm khác phía với B đối với A rồi quan sát hình dạng tập hợp các điểm đó.
Chọn các điểm C, D, E lần lượt khác phía với B đối với A (đều ở phía đối diện B qua A) Các điểm này cùng với A tạo thành một tia gốc A, đối diện hướng với B
Vậy hình đó đúng là một tia.
2Cách 2. Đối chiếu trực tiếp với định nghĩa tia đối
Định hướng. So sánh mô tả của đề với đúng định nghĩa tia đối của tia AB đã học trong bài.
Định nghĩa: tia đối của AB là tia gốc A, gồm A và mọi điểm khác phía với B đối với A Mô tả trong đề: hình gồm A và mọi điểm khác phía với B đối với A
Vậy hai mô tả khớp nhau y hệt, nên hình đó là một tia và chính là tia đối của tia AB.
3Cách 3. Gán toạ độ số
Định hướng. Đặt A = 0, B = 1 trên đường thẳng, khi đó “khác phía với B đối với A” tương ứng với toạ độ âm.
Tia AB gồm các điểm có toạ độ lớn hơn hoặc bằng 0 (cùng phía B, tức dương) Tập hợp {A} và các điểm khác phía với B đối với A gồm toạ độ 0 và mọi số âm Tập hợp {toạ độ nhỏ hơn hoặc bằng 0} đúng là hình dạng của một tia gốc 0, hướng âm
Vậy đó là một tia, và vì hướng âm ngược với hướng dương của tia AB nên đó chính là tia đối của tia AB, khớp Cách 1, Cách 2.
Nhận xét. Gán số cho thấy rõ ràng nhất vì sao tập hợp mô tả bằng lời lại chính xác là một tia.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: đối chiếu thẳng với định nghĩa đã học trong bài, không cần vẽ hay gán số, trả lời được ngay và chắc chắn đúng.
Đáp số.Có, đó là một tia (tia gốc A). Đúng, tia đó chính là tia đối của tia AB.
Sai lầm thường gặp.Cho rằng phải có thêm dữ kiện mới xác định được “tia” vì đề có nhắc tới điểm B — thực ra B chỉ dùng để MÔ TẢ HƯỚNG (khác phía với B), còn bản thân hình đó vẫn chỉ phụ thuộc vào gốc A và một hướng cố định, đúng bản chất một tia.
🚀 Mở rộng.Tương tự, tập hợp “các điểm cùng phía với B đối với A” (không kể A) chính là tia AB bỏ đi gốc; thêm điểm A vào ta được đúng tia AB.
Bài 9 · 8.6★★★Trang 50— Xét đúng/sai quan hệ nằm giữa, cùng phía, khác phía trên đường thẳng có 4 điểm
8.6. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường thẳng xy như Hình 8.21. Trong các câu sau đây, câu nào đúng? ① Điểm B nằm giữa điểm A và điểm D. ② Hai điểm A và C nằm cùng phía đối với điểm D. ③ Điểm B nằm khác phía với điểm A đối với điểm D. ④ Hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm D.
Kiến thức cần nhớ
Trên đường thẳng có thứ tự các điểm cố định, điểm B nằm giữa A và D khi và chỉ khi A, B, D theo đúng thứ tự A trước B trước D (hoặc ngược lại).
Hai điểm M, N cùng phía đối với O khi O không nằm giữa M và N; khác phía khi O nằm giữa M và N.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.21 xếp bốn điểm A, C, B, D theo thứ tự cố định trên đường thẳng — dấu hiệu là phải xét từng câu dựa đúng theo thứ tự này, không suy diễn từ tên gọi các điểm (thứ tự chữ cái A, B, C, D không trùng thứ tự vị trí!). Hướng an toàn là viết lại đúng thứ tự trên hình rồi so sánh vị trí như so sánh số. Bẫy lớn nhất là câu ③: dễ nghĩ A, B “khác phía” đối với D chỉ vì chúng không liền kề, trong khi D nằm ngoài cùng nên thực chất A, B vẫn cùng phía.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp thứ tự trên hình
Định hướng. Đọc đúng thứ tự các điểm trên Hình 8.21 rồi xét lần lượt từng câu.
Thứ tự trên hình: x, A, C, B, D, y Câu ①: B nằm giữa A và D vì thứ tự là A, B, D — đúng Câu ②: A, C đều đứng trước D — cùng phía — đúng Câu ③: A, B đều đứng trước D — cùng phía, không phải khác phía — sai Câu ④: B, C đều đứng trước D — cùng phía — đúng
Vậy các câu đúng là ①, ②, ④; câu sai là ③.
2Cách 2. Dùng định nghĩa bằng lời cho từng câu
Định hướng. Áp dụng đúng định nghĩa nằm giữa/cùng phía/khác phía cho từng phát biểu.
① đúng vì A, B, D theo đúng thứ tự trên đường thẳng ② đúng vì D không nằm giữa A và C ③ sai vì D không nằm giữa A và B (D nằm ngoài, về phía B) ④ đúng vì D không nằm giữa B và C
Vậy kết quả trùng Cách 1.
3Cách 3. Gán toạ độ số theo đúng thứ tự trên hình
Định hướng. Gán số cho từng điểm theo đúng thứ tự A, C, B, D rồi dùng so sánh số để xét từng câu, tránh nhầm lẫn khi có nhiều điểm.
Gán A = 1, C = 2, B = 3, D = 4 ①: 1 < 3 < 4 nên B nằm giữa A, D — đúng ②: 1 < 4 và 2 < 4 nên A, C cùng phía D — đúng ③: 1 < 4 và 3 < 4, cả hai đều nhỏ hơn D nên A, B CÙNG phía, câu nói khác phía là sai ④: 3 < 4 và 2 < 4 nên B, C cùng phía D — đúng
Vậy kết quả trùng Cách 1 và Cách 2: đúng ①, ②, ④; sai ③.
Nhận xét. Cách gán số là cách chắc chắn nhất khi đường thẳng có từ 4 điểm trở lên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: gán số theo đúng thứ tự trên hình rồi so sánh, đặc biệt hữu ích khi đường thẳng có từ 4 điểm trở lên vì tránh nhầm lẫn “cùng phía/khác phía”.
Đáp số.Đúng: ①, ②, ④. Sai: ③ (vì D không nằm giữa A và B nên A, B vẫn cùng phía đối với D).
Sai lầm thường gặp.Ở câu ③, nhiều bạn thấy A và B “không liền kề nhau” nên vội cho là chúng khác phía đối với D — thực ra “khác phía đối với D” chỉ đúng khi D nằm xen giữa A và B, còn ở đây D nằm ngoài cùng bên phải nên A, B vẫn cùng phía (cùng bên trái D).
🚀 Mở rộng.Với n điểm phân biệt cùng thuộc một đường thẳng theo một thứ tự cố định, chỉ có đúng n−2 điểm (không kể hai điểm ở hai đầu mút) có thể đóng vai trò “nằm giữa hai điểm khác”.
Bài 10 · 8.7★★★Trang 50— Đếm và gọi tên tia, tìm tia đối trên đường thẳng chứa 3 điểm
8.7. Quan sát Hình 8.22 và cho biết: a) Có tất cả bao nhiêu tia? Nêu tên các tia đó. b) Điểm B nằm trên các tia nào? Tia đối của chúng là tia nào? c) Tia AC và tia CA có phải là hai tia đối nhau không?
Kiến thức cần nhớ
Với n điểm phân biệt cùng thuộc một đường thẳng, có đúng 2n tia (mỗi điểm là gốc của hai tia đối nhau).
Hai tia đối nhau phải chung gốc; hai tia có gốc khác nhau thì dù cùng nằm trên một đường thẳng cũng không gọi là đối nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.22 có ba điểm A, B, C trên một đường thẳng — dấu hiệu là mỗi điểm sẽ là gốc của đúng hai tia, nhưng nhiều tia sẽ TRÙNG NHAU dưới các tên gọi khác nhau (ví dụ AB và AC là cùng một tia). Hướng làm an toàn là đếm theo GỐC chứ không đếm theo TÊN GỌI. Bẫy lớn nhất ở câu c là thấy “AC” và “CA” viết ngược chữ nên tưởng là tia đối nhau, trong khi hai tia đối nhau bắt buộc phải chung gốc.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp trên hình theo từng điểm
Định hướng. Đi từ trái qua phải, tại mỗi điểm đọc tên hai tia gốc tại điểm đó.
Tại A: tia Ax (hướng x) và tia AC (hướng y, qua B rồi C) Tại B: tia BA (hướng x, qua A) và tia BC (hướng y, qua C) Tại C: tia CA (hướng x, qua B rồi A) và tia Cy (hướng y)
Vậy có 6 tia: Ax, AC (trùng AB, Ay), BA (trùng Bx), BC (trùng By), CA (trùng CB, Cx), Cy.
2Cách 2. Dùng công thức tổng quát 2n tia
Định hướng. Với n = 3 điểm phân biệt cùng thuộc một đường thẳng, áp dụng công thức có đúng 2n tia để kiểm tra không thiếu, không thừa.
n = 3 điểm A, B, C Số tia = 2n = 2 × 3 = 6
Vậy có đúng 6 tia, khớp với danh sách ở Cách 1.
3Cách 3. Liệt kê có hệ thống theo gốc rồi gộp tên trùng
Định hướng. Lập bảng ba gốc A, B, C, mỗi gốc viết đúng hai tia, sau đó gộp các tên chỉ CÙNG MỘT tia lại với nhau.
Gốc A: Ax; Ay = AB = AC (vì B, C đều cùng hướng y so với A) Gốc B: Bx = BA (chỉ qua A); By = BC (chỉ qua C) Gốc C: Cx = CB = CA (vì B, A đều cùng hướng x so với C); Cy
Vậy vẫn đúng 6 tia như Cách 1, Cách 2, nhưng tránh được việc đếm nhầm một tia có nhiều tên thành nhiều tia khác nhau.
Nhận xét. Đây là cách chắc chắn nhất để không đếm trùng khi một tia có 2-3 tên gọi.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: liệt kê có hệ thống theo từng gốc rồi gộp tên trùng, tránh đếm sai vì một tia có tới 2-3 cách gọi tên khác nhau.
Đáp số.a) Có 6 tia: Ax; AC (trùng AB, Ay); BA (trùng Bx); BC (trùng By); CA (trùng CB, Cx); Cy. b) Điểm B nằm trên 4 tia: AC, BA, BC, CA; trong đó tia đối của AC là Ax, tia BA và tia BC là hai tia đối nhau (chung gốc B), tia đối của CA là Cy. c) Không, vì tia AC gốc A còn tia CA gốc C, khác gốc nên không phải hai tia đối nhau.
Sai lầm thường gặp.Đếm nhầm thành 9 hoặc 12 tia do coi mỗi CÁCH GỌI TÊN (Ax, AB, AC, Ay…) là một tia riêng — thực chất AB, AC, Ay chỉ là ba tên gọi khác nhau của CÙNG MỘT tia.
🚀 Mở rộng.Với n điểm phân biệt cùng thuộc một đường thẳng, luôn có đúng 2n tia (mỗi điểm là gốc của hai tia) và đúng n cặp tia đối nhau.
Bài 11 · 8.8★★★★Trang 50— Suy luận vị trí điểm và tính đối nhau của tia từ hai quan hệ “nằm trên tia” liên tiếp
8.8. Cho điểm C nằm trên tia Ax, điểm B nằm trên tia Cx. Biết rằng ba điểm A, B, C phân biệt. Trong các câu sau đây, câu nào đúng? ① Điểm A nằm trên tia BC. ② Điểm C vừa nằm trên tia AB vừa nằm trên tia BA. ③ Tia CB và tia BC là hai tia đối nhau. ④ Tia CA và tia Cx là hai tia đối nhau.
Kiến thức cần nhớ
Nếu C nằm trên tia Ax thì mọi điểm đi tiếp theo đúng hướng x kể từ C cũng thuộc tia Ax.
Hai tia đối nhau phải chung gốc và ngược hướng nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai quan hệ liên tiếp (C trên tia Ax, rồi B trên tia Cx) mà không vẽ hình sẵn — dấu hiệu là phải TỰ SUY RA thứ tự ba điểm trước khi xét bốn câu. Hướng làm an toàn là ghép hai quan hệ theo cùng một hướng x để dựng thứ tự A, C, B. Bẫy lớn nhất ở câu ③: thấy “CB” và “BC” viết ngược chữ cái nên tưởng là tia đối nhau, trong khi phải kiểm tra chung gốc trước.
1Cách 1. Vẽ hình minh hoạ theo đúng thứ tự suy luận
Định hướng. Vẽ A trước, lấy C trên tia Ax, rồi lấy B trên tia Cx (cùng hướng x), sau đó quan sát trực tiếp để xét từng câu.
Vẽ A, lấy C theo hướng x kể từ A Lấy B theo hướng x kể từ C (xa A hơn C) Thứ tự trên hình là A, C, B
Vậy nhìn hình lần lượt: ① đúng (A thuộc tia từ B qua C); ② đúng (C nằm giữa A, B); ③ sai (khác gốc); ④ đúng (CA và Cx cùng gốc C, ngược hướng).
2Cách 2. Suy luận bắc cầu bằng lời
Định hướng. Ghép hai quan hệ “C trên tia Ax” và “B trên tia Cx” theo đúng một hướng x để suy ra thứ tự ba điểm.
C nằm trên tia Ax nên C cùng hướng x kể từ A B nằm trên tia Cx nên B cùng hướng x kể từ C, tức xa A hơn C Suy ra thứ tự ba điểm là A, C, B theo đúng hướng x
Vậy ① đúng vì tia BC (gốc B, qua C) kéo dài tới tận A; ② đúng vì C nằm giữa A, B nên thuộc cả tia AB lẫn tia BA; ③ sai vì tia CB gốc C, tia BC gốc B, khác gốc; ④ đúng vì CA và Cx cùng gốc C, ngược hướng nhau.
3Cách 3. Gán toạ độ số theo hướng x
Định hướng. Gán số tăng dần theo đúng hướng x đã suy luận được, biến việc xét tia thành so sánh số.
Gán A = 0, C = 1, B = 2 (đúng thứ tự A, C, B theo hướng x) ①: tia BC (gốc 2, qua 1, kéo dài về phía nhỏ hơn) chứa mọi số nhỏ hơn 2, trong đó có A = 0 — đúng ②: tia AB (gốc 0 đến 2) và tia BA (gốc 2 đến 0) đều chứa đoạn từ 0 đến 2, mà C = 1 nằm trong đoạn đó — đúng ③: tia CB gốc 1, tia BC gốc 2 — khác gốc nên không đối nhau — sai ④: tia CA (gốc 1, hướng về 0, tức hướng giảm) và tia Cx (gốc 1, hướng x, tức hướng tăng theo quy ước bài) là hai hướng ngược nhau tại cùng gốc 1 — đúng
Vậy kết quả trùng Cách 1, Cách 2: đúng ①, ②, ④; sai ③.
Nhận xét. Gán số giúp kiểm tra nhanh và chắc chắn hơn hẳn so với chỉ nhìn hình.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: gán toạ độ số theo đúng thứ tự suy luận được, biến việc xét “tia nào chứa điểm nào”, “hai tia có đối nhau không” thành so sánh số, nhanh và khó sai hơn vẽ hình.
Đáp số.① Đúng. ② Đúng. ③ Sai (vì tia CB gốc C, tia BC gốc B, khác gốc). ④ Đúng.
Sai lầm thường gặp.Ở câu ③, nhiều bạn thấy “CB” và “BC” viết ngược chữ cái nên tưởng là “hai tia đối nhau” — thực chất đó chỉ là hai tên gọi khác gốc, phải kiểm tra CHUNG GỐC trước; ở đây gốc C và gốc B khác nhau nên không phải tia đối nhau.
🚀 Mở rộng.Bài toán này là dạng tổng quát của việc “ghép hai quan hệ nằm-trên-tia liên tiếp suy ra thứ tự ba điểm” — kĩ năng nền tảng để giải các bài toán so sánh độ dài đoạn thẳng ở bài học sau.
Bài 12 · 8.9★★★★Trang 50— Đếm tia và xác định số điểm chung của hai tia từ ba điểm không thẳng hàng
8.9. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. a) Em hãy viết tên các tia chứa hai trong ba điểm A, B, C. b) Trong các tia đó, tìm hai tia khác gốc có đúng một điểm chung.
Kiến thức cần nhớ
Ba điểm không thẳng hàng xác định ba đường thẳng phân biệt, đôi một cắt nhau tại đúng một đỉnh chung.
Hai tia trên cùng một đường thẳng nhưng khác gốc có thể trùng nhau trên cả một đoạn (vô số điểm chung); hai tia trên hai đường thẳng khác nhau (không song song) chỉ có thể chung nhiều nhất một điểm.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba điểm KHÔNG thẳng hàng — dấu hiệu khác hẳn các bài trước (nơi các điểm luôn thẳng hàng): ba điểm này tạo ra BA ĐƯỜNG THẲNG riêng biệt (AB, BC, CA), mỗi đường chỉ chứa đúng 2 trong 3 điểm. Hướng làm là liệt kê tia theo từng đường thẳng, rồi ở câu b dùng tính chất “hai đường thẳng không song song cắt nhau tại đúng một điểm”. Bẫy là nhầm hai tia AB, BA (cùng một đường thẳng) cũng chỉ có “đúng một điểm chung”, trong khi chúng chồng nhau trên cả đoạn AB.
1Cách 1. Vẽ tam giác cụ thể rồi quan sát
Định hướng. Vẽ tam giác ABC, vẽ đủ các tia rồi quan sát trực tiếp từng cặp tia để tìm điểm chung.
Vẽ tam giác ABC (ba điểm không thẳng hàng) Trên mỗi cạnh, vẽ hai tia gốc tại hai đầu mút Nhìn hình: tia AB và tia BC chỉ chạm nhau tại đỉnh B
Vậy có 6 tia là AB, BA, BC, CB, CA, AC; ví dụ tia AB và tia BC chung đúng một điểm là B.
2Cách 2. Dùng tính chất hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
Định hướng. Vì A, B, C không thẳng hàng nên ba đường thẳng AB, BC, CA đôi một cắt nhau đúng tại một đỉnh chung, không cần vẽ hình chính xác.
Đường thẳng AB và đường thẳng BC không song song (vì A, B, C không thẳng hàng) nên chỉ cắt nhau tại đúng một điểm, đó là B Tia AB (thuộc đường AB) và tia BC (thuộc đường BC) đều chứa điểm B
Vậy hai tia AB và BC chỉ có thể chung đúng một điểm là B, không thể chung điểm nào khác.
3Cách 3. Liệt kê có hệ thống mọi cặp tia rồi loại các cặp không hợp lệ
Định hướng. Liệt kê đủ 6 tia, xét từng cặp, loại các cặp cùng gốc hoặc cùng một đường thẳng, giữ lại các cặp còn đúng một điểm chung.
6 tia: AB, BA, BC, CB, CA, AC Cặp cùng đường thẳng, khác gốc (như AB và BA) chung cả một đoạn — vô số điểm, loại Cặp khác đường thẳng, khác gốc, cùng chứa một đỉnh chung (như AB và BC, BC và CA, CA và AB) — chung đúng một điểm
Vậy kết quả trùng Cách 1, Cách 2: ví dụ tia AB và tia BC chung đúng một điểm B; tổng quát, hai tia lấy từ hai cạnh khác nhau của tam giác luôn chung đúng một điểm là đỉnh chung.
Nhận xét. Liệt kê đầy đủ giúp không bỏ sót các cặp tia còn lại như BC và CA, CA và AB.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: dùng tính chất “hai đường thẳng không song song cắt nhau tại đúng một điểm” để suy luận thẳng ra kết quả, không cần vẽ hết cả 6 tia hay liệt kê từng cặp.
Đáp số.a) Có 6 tia: AB, BA, BC, CB, CA, AC. b) Chẳng hạn tia AB và tia BC chung đúng một điểm là B (tổng quát: hai tia lấy từ hai cạnh khác nhau của tam giác ABC luôn chung đúng một điểm là đỉnh chung của hai cạnh đó).
Sai lầm thường gặp.Nhầm cặp tia AB và BA (cùng nằm trên một đường thẳng, khác gốc) cũng có “đúng một điểm chung” — thực ra hai tia này chồng lên nhau trên cả đoạn thẳng AB nên có VÔ SỐ điểm chung, không phải đúng một điểm.
🚀 Mở rộng.Tổng quát với n điểm không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi cặp điểm cho một đường thẳng riêng ((2n) đường thẳng); hai tia thuộc hai đường thẳng khác nhau (không song song) luôn chung nhiều nhất một điểm.
