Bài 1 · 8.26★Trang 49— Kiểm tra hai đoạn thẳng bằng nhau bằng compa
8.26. Xem Hình 8.20, dùng compa để kiểm tra sự bằng nhau của hai đoạn thẳng trong mỗi cặp sau: AB và CD; AD và BC.
Kiến thức cần nhớ
Compa giữ nguyên độ mở thì khoảng cách giữa hai đầu compa không đổi; dùng tính chất này để so sánh độ dài hai đoạn thẳng mà không cần đo bằng thước có vạch chia.
🧠 Phân tích tư duy
Đề yêu cầu kiểm tra bằng nhau bằng COMPA chứ không phải bằng thước có vạch chia — dấu hiệu là bài rèn kĩ năng dùng compa để so sánh độ dài mà không cần đọc số đo. Hướng làm là giữ nguyên độ mở compa lấy từ đoạn thứ nhất rồi ướm sang đoạn thứ hai, nếu hai đầu compa trùng khít hai mút thì hai đoạn bằng nhau. Bẫy là xê dịch độ mở compa giữa lúc ướm, làm kết quả kiểm tra sai dù hai đoạn thực chất bằng nhau.
1Cách 1. Dùng compa ướm trực tiếp từng cặp đoạn thẳng
Định hướng. Đặt tâm compa vào một đầu mút của đoạn thứ nhất, mở compa tới đầu mút còn lại, giữ nguyên độ mở rồi ướm sang đoạn thứ hai.
Mở compa đúng bằng đoạn AB, ướm sang đoạn CD: hai đầu compa trùng khít hai mút C, D Mở compa đúng bằng đoạn AD, ướm sang đoạn BC: hai đầu compa trùng khít hai mút B, C
Vậy AB = CD và AD = BC — cả hai cặp đoạn thẳng đều bằng nhau.
2Cách 2. Đo bằng thước có vạch chia rồi so sánh số đo
Định hướng. Ngoài compa, có thể dùng thước có vạch chia đo trực tiếp bốn đoạn rồi so sánh số đo để kiểm chứng lại.
Đo AB và CD: hai số đo bằng nhau Đo AD và BC: hai số đo cũng bằng nhau
Vậy kết quả đo bằng thước khẳng định lại: AB = CD, AD = BC.
3Cách 3. Nhận diện cấu trúc hình để suy luận trước, đo kiểm tra sau
Định hướng. Quan sát tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối trông song song với nhau, dự đoán chúng bằng nhau rồi kiểm tra lại bằng compa.
Cạnh AB và cạnh CD là một cặp cạnh đối của tứ giác Cạnh AD và cạnh BC là cặp cạnh đối còn lại Dùng compa kiểm tra như Cách 1: cả hai cặp đều trùng khít
Vậy dự đoán ban đầu được xác nhận: AB = CD, AD = BC.
Nhận xét. Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau như ABCD chính là hình bình hành, sẽ học kĩ ở bài sau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi (thực hành) nên dùng Cách 1: dùng compa ướm trực tiếp — đúng thao tác đề yêu cầu, không cần đọc số đo trên thước.
Đáp số.AB = CD và AD = BC (hai cặp đoạn thẳng đều bằng nhau).
Sai lầm thường gặp.Làm xê dịch độ mở compa trong lúc di chuyển từ đoạn này sang đoạn kia, khiến kết quả kiểm tra sai dù hai đoạn thực chất bằng nhau.
🚀 Mở rộng.Tứ giác có từng cặp cạnh đối bằng nhau như ABCD ở bài này chính là một hình bình hành — kiến thức sẽ được học chính thức ở chương sau.
Bài 2 · 8.27★Trang 49— Đo và so sánh nhiều đoạn thẳng có chung một đầu mút
8.27. Dùng thước đo độ dài các đoạn thẳng IA, IB, IC, ID (đơn vị mi-li-mét). Em có nhận xét gì?
Kiến thức cần nhớ
Các đoạn thẳng có chung một đầu mút vẫn có thể có độ dài khác nhau hoàn toàn, phải đo từng đoạn riêng biệt để so sánh.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn đoạn thẳng đều xuất phát từ CHUNG một điểm I — dấu hiệu là bài yêu cầu so sánh độ dài của các đoạn có chung gốc, khác với so sánh các đoạn độc lập. Hướng làm là đo đủ cả bốn đoạn bằng thước chia mi-li-mét rồi nhận xét về thứ tự độ dài của chúng. Bẫy là chỉ đo hai, ba đoạn rồi vội kết luận thay vì đo đủ bốn đoạn như đề yêu cầu.
1Cách 1. Đo lần lượt bốn đoạn rồi so sánh số đo
Định hướng. Đặt thước đo từng đoạn IA, IB, IC, ID rồi ghi số đo để so sánh.
Đo được IA = 60 mm Đo được IB = 90 mm Đo được IC = 120 mm Đo được ID = 150 mm
Vậy bốn đoạn thẳng có độ dài khác nhau, tăng dần theo thứ tự IA, IB, IC, ID.
2Cách 2. So sánh bằng compa từng cặp đoạn
Định hướng. Dùng compa ướm lần lượt các cặp đoạn để xếp thứ tự mà không cần đọc số mi-li-mét trước.
Ướm IA lên IB: IA ngắn hơn IB Ướm IB lên IC: IB ngắn hơn IC Ướm IC lên ID: IC ngắn hơn ID
Vậy thứ tự tăng dần là IA, IB, IC, ID — sau đó đo lại bằng mi-li-mét để có số liệu cụ thể theo đúng yêu cầu đề.
3Cách 3. Quan sát trực quan rồi đo xác nhận
Định hướng. Nhìn hình để nhận xét đoạn nào trông ngắn nhất, đoạn nào trông dài nhất, sau đó đo lại để xác nhận.
Quan sát: IA trông ngắn nhất, ID trông dài nhất Đo lại bằng thước mi-li-mét: IA = 60 mm, IB = 90 mm, IC = 120 mm, ID = 150 mm Đối chiếu quan sát ban đầu với số đo thật: hoàn toàn khớp nhau
Vậy nhận xét: bốn đoạn đều xuất phát từ I nhưng có bốn độ dài khác nhau, không có hai đoạn nào bằng nhau trong hình này.
Nhận xét. Chung một đầu mút không có nghĩa là các đoạn thẳng phải bằng nhau — độ dài phụ thuộc vào vị trí đầu mút còn lại.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: đo trực tiếp bằng mi-li-mét rồi so sánh số đo — đúng chuẩn thao tác đề yêu cầu.
Đáp số.Bốn đoạn thẳng có độ dài khác nhau: IA < IB < IC < ID (theo số liệu đo được trên hình).
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng các đoạn có chung điểm I thì phải bằng nhau (nhầm với bán kính đường tròn) — thực chất IA, IB, IC, ID chỉ chung gốc chứ không có ràng buộc bằng nhau nào.
🚀 Mở rộng.Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều I (IA = IB = IC = ID) thì bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn tâm I — đây chính là ý tưởng dẫn tới khái niệm đường tròn ở bài 8.10.
Bài 3 · 8.28★★Trang 49— Đổi số đo độ dài sang một đơn vị tự chọn khác
8.28. Cho hai điểm A và B cách nhau một khoảng bằng 8 cm. Nếu ta chọn một đoạn thẳng có độ dài 2 cm làm đơn vị độ dài thì đoạn thẳng AB có độ dài bằng bao nhiêu đơn vị vừa chọn?
Kiến thức cần nhớ
Khi chọn một đoạn thẳng độ dài d làm đơn vị, số đo của một đoạn thẳng có độ dài L theo đơn vị mới bằng L chia cho d (với điều kiện L chia hết cho d hoặc lấy thương gần đúng).
🧠 Phân tích tư duy
Đề đổi đơn vị đo từ xăng-ti-mét sang một đoạn thẳng 2 cm được CHỌN LÀM đơn vị mới — dấu hiệu là bài toán chia độ dài AB cho độ dài đơn vị mới để tìm số đơn vị. Hướng làm là lấy độ dài AB (8 cm) chia cho độ dài của đơn vị mới (2 cm). Bẫy là lấy 8 trừ 2 (hoặc nhân 8 với 2) thay vì chia, do nhầm giữa các phép tính khi đổi đơn vị.
1Cách 1. Chia trực tiếp độ dài AB cho độ dài đơn vị mới
Định hướng. Số đơn vị mới chứa trong AB bằng độ dài AB chia cho độ dài một đơn vị.
Độ dài AB = 8 cm Độ dài một đơn vị mới = 2 cm Số đơn vị = 8 : 2 = 4
Vậy đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 đơn vị vừa chọn.
2Cách 2. Đặt liên tiếp đơn vị 2 cm dọc theo AB rồi đếm số lần đặt
Định hướng. Hình dung đặt liên tiếp các đoạn 2 cm nối nhau, đếm xem đặt được bao nhiêu lần thì vừa hết 8 cm.
Đặt đoạn 2 cm lần 1: được 2 cm Đặt tiếp lần 2: được 2 + 2 = 4 cm Đặt tiếp lần 3: được 4 + 2 = 6 cm Đặt tiếp lần 4: được 6 + 2 = 8 cm, vừa khớp độ dài AB
Vậy đặt được đúng 4 lần, tức AB dài 4 đơn vị mới.
3Cách 3. Dùng phép nhân để thử ngược lại kết quả
Định hướng. Giả sử số đơn vị cần tìm là n, khi đó n nhân với 2 cm phải bằng 8 cm; thử các giá trị n để tìm đúng số thoả mãn.
Cần tìm n sao cho n × 2 = 8 Thử n = 4: 4 × 2 = 8, đúng bằng độ dài AB
Vậy n = 4, tức AB dài 4 đơn vị mới — khớp với hai cách trên.
Nhận xét. Cách 3 thực chất là phép chia 8 : 2 được viết dưới dạng phương trình nhân, giúp hiểu rõ hơn bản chất của phép chia khi đổi đơn vị.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: chia thẳng độ dài AB cho độ dài đơn vị mới — một phép tính duy nhất, nhanh nhất.
Đáp số.AB = 8 : 2 = 4 (đơn vị vừa chọn).
Sai lầm thường gặp.Lấy 8 trừ 2 (ra 6) hoặc lấy 8 nhân 2 (ra 16) thay vì chia — nhầm phép tính cần dùng khi đổi độ dài sang một đơn vị mới lớn hơn đơn vị cũ.
🚀 Mở rộng.Nếu chọn đơn vị mới có độ dài d cm bất kì (d là ước của 8) thì số đơn vị chứa trong AB luôn là 8 : d — quy tắc này áp dụng cho mọi đoạn thẳng khi đổi sang một đơn vị đo tự chọn.
Bài 4 · 8.29★★Trang 49— Xác định điểm cách một điểm cho trước một khoảng cho trước, xét đủ các trường hợp
8.29. Cho OA = 7 cm. Xác định vị trí của điểm B (bằng cách vẽ hình) nằm cách A một khoảng bằng 3 cm trên đường thẳng OA trong mỗi trường hợp sau: a) Hai điểm O và B nằm cùng phía đối với điểm A; b) Hai điểm O và B nằm khác phía đối với điểm A.
Kiến thức cần nhớ
Nếu B nằm giữa O và A thì OB = OA − AB.
Nếu A nằm giữa O và B thì OB = OA + AB.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ cho khoảng cách AB = 3 cm mà KHÔNG cố định hướng của B so với A — dấu hiệu là phải xét đủ HAI trường hợp vị trí (B ở phía O, hoặc B ở phía ngược lại) thay vì chỉ vẽ một hình. Hướng làm là dựa vào từng điều kiện "cùng phía" hay "khác phía" đối với A để xác định B nằm giữa O, A hay A nằm giữa O, B, rồi tính OB tương ứng. Bẫy là chỉ vẽ một trường hợp rồi bỏ sót trường hợp còn lại, hoặc tính nhầm OB bằng cách cộng/trừ sai vị trí.
1Cách 1. Xét từng trường hợp theo đúng thứ tự của các điểm trên đường thẳng
Định hướng. Với mỗi trường hợp cùng phía hoặc khác phía, xác định xem điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại rồi tính OB.
a) O và B cùng phía đối với A, mà AB = 3 cm nhỏ hơn OA = 7 cm nên B nằm giữa O và A Khi đó OB = OA − AB = 7 − 3 = 4 (cm) b) O và B khác phía đối với A nên A nằm giữa O và B Khi đó OB = OA + AB = 7 + 3 = 10 (cm)
Vậy a) OB = 4 cm (B nằm giữa O, A); b) OB = 10 cm (A nằm giữa O, B).
2Cách 2. Vẽ hình trước rồi đo lại để kiểm chứng
Định hướng. Vẽ đường thẳng chứa O, A rồi xác định B theo từng trường hợp, sau đó đo OB trên hình để kiểm tra kết quả tính toán.
a) Đặt B trên tia AO, cách A đúng 3 cm (về phía O): đo được OB = 4 cm b) Đặt B trên tia đối của tia AO, cách A đúng 3 cm (ra xa O): đo được OB = 10 cm
Vậy kết quả đo trên hình khớp với tính toán ở Cách 1: OB = 4 cm hoặc OB = 10 cm tuỳ trường hợp.
3Cách 3. Dùng trục số để định vị các điểm rồi tính khoảng cách
Định hướng. Đặt O tại gốc 0 trên một trục số, A tại vị trí 7, rồi xác định B theo từng trường hợp bằng phép cộng, trừ toạ độ.
Chọn O ứng với 0, A ứng với 7 trên trục số a) O, B cùng phía với A: B ứng với 7 − 3 = 4, suy ra OB = 4 (cm) b) O, B khác phía với A: B ứng với 7 + 3 = 10, suy ra OB = 10 (cm)
Vậy dùng trục số cũng cho hai kết quả OB = 4 cm và OB = 10 cm, khớp với hai cách trên.
Nhận xét. Cách dùng trục số rất hữu ích để không bỏ sót trường hợp khi bài có nhiều vị trí có thể xảy ra.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: xác định điểm nằm giữa rồi cộng/trừ trực tiếp — nhanh và không cần vẽ hình chính xác tuyệt đối.
Đáp số.a) OB = 7 − 3 = 4 (cm); b) OB = 7 + 3 = 10 (cm).
Sai lầm thường gặp.Chỉ xét một trong hai trường hợp (thường quên trường hợp b) rồi kết luận thiếu, hoặc dùng nhầm phép cộng cho trường hợp a) và phép trừ cho trường hợp b) (làm ngược lại quy tắc).
🚀 Mở rộng.Nếu thay đổi khoảng cách AB thành một số lớn hơn OA (ví dụ AB = 10 cm với OA = 7 cm) thì ở trường hợp "cùng phía", B sẽ nằm về phía bên kia của O chứ không còn nằm giữa O và A nữa — bài toán trở nên phức tạp hơn.
Bài 5 · 8.30★Trang 49— Tính độ dài đoạn thẳng bằng công thức cộng đoạn thẳng
8.30. Gọi S là một điểm thuộc đoạn thẳng PQ. Tính độ dài đoạn thẳng PQ nếu PS = 3 cm và SQ = 5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Nếu điểm S nằm giữa hai điểm P và Q thì PQ = PS + SQ.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho S thuộc đoạn PQ, tức S nằm giữa P và Q — dấu hiệu áp dụng trực tiếp công thức cộng đoạn thẳng PQ = PS + SQ. Hướng làm là cộng hai độ dài đã cho để ra PQ, không cần thêm dữ kiện nào khác. Bẫy là nhầm lẫn giữa "S thuộc đoạn PQ" với vai trò khác, dẫn tới việc trừ thay vì cộng.
1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức cộng đoạn thẳng
Định hướng. Vì S nằm giữa P và Q nên PQ bằng tổng PS và SQ.
PS = 3 cm SQ = 5 cm PQ = PS + SQ = 3 + 5
Vậy PQ = 8 (cm).
2Cách 2. Dùng trục số để tính
Định hướng. Đặt P tại gốc 0 trên trục số, xác định vị trí S rồi Q để tính PQ bằng hiệu toạ độ.
Chọn P ứng với 0 trên trục số S cách P 3 cm nên S ứng với 3 Q cách S thêm 5 cm (cùng chiều với P đến S) nên Q ứng với 3 + 5 = 8
Vậy Q ứng với 8, nghĩa là PQ = 8 (cm) — khớp với Cách 1.
3Cách 3. Vẽ hình rồi đo kiểm tra
Định hướng. Vẽ đoạn PQ với S nằm giữa sao cho PS = 3 cm, SQ = 5 cm rồi đo lại cả đoạn PQ.
Vẽ P, đặt S cách P 3 cm trên một tia Đặt Q cách S thêm 5 cm cùng hướng đó Đo trực tiếp khoảng cách từ P đến Q trên hình vừa vẽ
Vậy đo được PQ = 8 cm, khớp với kết quả tính toán ở hai cách trên.
Nhận xét. Đây là dạng bài cơ bản nhất của công thức cộng đoạn thẳng, cần thuộc lòng để làm nhanh các bài phức tạp hơn.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức PQ = PS + SQ — một phép cộng duy nhất, không cần vẽ hình hay dùng trục số.
Đáp số.PQ = 3 + 5 = 8 (cm).
Sai lầm thường gặp.Lấy SQ trừ PS (5 − 3 = 2) thay vì cộng — nhầm lẫn vì không xác định đúng vai trò "S nằm giữa P và Q" nghĩa là PQ phải LỚN HƠN cả PS và SQ (phải cộng lại), không phải trừ.
🚀 Mở rộng.Nếu bài cho PQ và một trong hai đoạn PS, SQ thì có thể tính ngược lại đoạn còn lại bằng phép trừ (ví dụ biết PQ = 8 cm, PS = 3 cm thì SQ = PQ − PS = 5 cm) — đây là bài toán ngược của công thức cộng đoạn thẳng.
Bài 6 · 8.31★★Trang 49— Tính rồi so sánh độ dài hai đoạn thẳng con của một đoạn thẳng
8.31. Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng EF. Hãy so sánh hai đoạn thẳng EM và MF, biết rằng EF = 10 cm và MF = 5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Nếu M nằm giữa E và F thì EF = EM + MF, suy ra EM = EF − MF.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho tổng EF và một phần MF, yêu cầu so sánh phần còn lại EM với MF — dấu hiệu là phải tính EM trước bằng công thức cộng đoạn thẳng rồi mới so sánh với MF đã cho. Hướng làm là dùng EF = EM + MF để suy ra EM = EF − MF, sau đó so sánh trực tiếp hai số đo. Bẫy là so sánh vội mà quên tính EM trước, hoặc tính sai EM (nhầm là EF + MF).
1Cách 1. Tính EM bằng công thức cộng đoạn thẳng rồi so sánh
Định hướng. Vì M nằm giữa E và F nên EM = EF − MF, sau đó so sánh EM với MF.
EF = 10 cm, MF = 5 cm EM = EF − MF = 10 − 5 = 5 (cm) So sánh EM = 5 cm với MF = 5 cm
Vậy EM = MF (hai đoạn thẳng bằng nhau, đều bằng 5 cm).
2Cách 2. Dùng trục số để xác định vị trí M
Định hướng. Đặt E tại gốc 0, F tại vị trí 10 trên trục số, xác định M từ điều kiện MF = 5 rồi tính EM.
Chọn E ứng với 0, F ứng với 10 trên trục số M cách F 5 đơn vị (M nằm giữa E, F) nên M ứng với 10 − 5 = 5 EM là khoảng cách từ 0 đến 5, tức EM = 5 (cm)
Vậy EM = 5 cm = MF — hai đoạn bằng nhau, khớp Cách 1.
3Cách 3. Nhận xét M chia đôi EF rồi kết luận
Định hướng. So sánh MF với một nửa của EF để phát hiện M chính là điểm chia đôi đoạn EF.
Một nửa của EF là 10 : 2 = 5 (cm) MF = 5 cm đúng bằng một nửa của EF Do đó EM = EF − MF = 10 − 5 = 5 cm cũng đúng bằng một nửa của EF
Vậy EM = MF = 5 cm, tức M là điểm chính giữa của đoạn thẳng EF.
Nhận xét. Khi EM = MF, điểm M được gọi là trung điểm của đoạn thẳng EF — khái niệm sẽ học chính thức ở bài sau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: tính EM bằng phép trừ EF − MF rồi so sánh ngay — nhanh, không cần vẽ trục số.
Đáp số.EM = 10 − 5 = 5 (cm), suy ra EM = MF (hai đoạn thẳng bằng nhau).
Sai lầm thường gặp.Tính nhầm EM = EF + MF = 15 cm (cộng thay vì trừ) do không để ý M nằm GIỮA E và F nên EF phải là tổng của EM và MF, chứ không phải EM là tổng của EF và MF.
🚀 Mở rộng.Đây là dấu hiệu đầu tiên của khái niệm trung điểm đoạn thẳng: một điểm M nằm giữa E, F mà chia EF thành hai đoạn bằng nhau (EM = MF) chính là trung điểm của EF, sẽ được định nghĩa chính thức ở bài học sau.
Bài 7 · 8.32★★★Trang 49— Tính độ dài đoạn thẳng ở giữa khi biết hai đoạn hai đầu
8.32. Cho M và N là hai điểm cùng nằm giữa điểm E và F. Tính độ dài của đoạn thẳng MN, biết rằng EF = 12 cm, EM = 4 cm và NF = 5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Nếu bốn điểm E, M, N, F thẳng hàng theo đúng thứ tự đó (M, N cùng nằm giữa E, F) thì EF = EM + MN + NF, suy ra MN = EF − EM − NF.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai điểm M, N cùng nằm giữa E, F với hai đoạn hai đầu EM, NF đã biết — dấu hiệu là phải xác định đúng THỨ TỰ bốn điểm trên đường thẳng (E, M, N, F) trước khi tính MN, vì MN chính là phần còn lại của EF sau khi trừ đi EM và NF. Hướng làm là lấy EF trừ đi cả EM và NF để ra MN. Bẫy là chỉ trừ một trong hai đoạn (quên trừ đoạn còn lại), hoặc nhầm thứ tự các điểm khiến phép trừ sai.
1Cách 1. Trừ liên tiếp hai đoạn hai đầu khỏi EF
Định hướng. Từ EF = EM + MN + NF, suy ra MN bằng EF trừ đi cả EM và NF.
EF = 12 cm EM = 4 cm, NF = 5 cm MN = EF − EM − NF = 12 − 4 − 5
Vậy MN = 3 (cm).
2Cách 2. Dùng trục số để xác định từng điểm rồi tính MN
Định hướng. Đặt E tại gốc 0, F tại vị trí 12, xác định M và N theo các đoạn đã cho rồi lấy hiệu toạ độ của N và M.
Chọn E ứng với 0, F ứng với 12 trên trục số M cách E 4 đơn vị nên M ứng với 4 N cách F 5 đơn vị (về phía E) nên N ứng với 12 − 5 = 7 MN là khoảng cách từ 4 đến 7, tức MN = 7 − 4 = 3 (cm)
Vậy MN = 3 cm, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Tính riêng EN rồi trừ đi EM
Định hướng. Tính độ dài EN trước (bằng EF trừ NF), sau đó lấy EN trừ tiếp EM để ra MN.
EN = EF − NF = 12 − 5 = 7 (cm) MN = EN − EM = 7 − 4
Vậy MN = 3 (cm) — kết quả khớp với hai cách trên dù tính theo trình tự khác.
Nhận xét. Có thể tính MN theo nhiều trình tự trừ khác nhau, miễn là trừ đúng và đủ hai đoạn hai đầu ra khỏi EF.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: trừ liên tiếp EM và NF khỏi EF trong một dòng tính — ngắn gọn và ít bước nhất.
Đáp số.MN = 12 − 4 − 5 = 3 (cm).
Sai lầm thường gặp.Chỉ trừ một trong hai đoạn (ví dụ tính MN = 12 − 4 = 8, quên trừ tiếp NF = 5) — bỏ sót một đoạn hai đầu khi tính đoạn ở giữa.
🚀 Mở rộng.Tổng quát, nếu có nhiều điểm cùng nằm giữa E và F theo đúng thứ tự trên một đường thẳng, đoạn thẳng ở chính giữa luôn bằng EF trừ đi TẤT CẢ các đoạn hai đầu đã biết — nguyên lí này dùng lại nhiều trong các bài toán về đoạn thẳng phức tạp hơn.
Bài 8 · 8.33★★Trang 49— Tính tổng độ dài từ số lần đặt đơn vị đo và phần dư còn lại
8.33. Bạn Nam dùng một cây gậy dài 1,5 m để đo chiều rộng của lớp học. Sau 5 lần đặt gậy đo liên tiếp thì khoảng cách còn lại giữa đầu gậy và mép tường là 1 m. Hỏi chiều rộng của lớp học là bao nhiêu mét?
Kiến thức cần nhớ
Khi đo một vật bằng cách đặt liên tiếp một đơn vị đo n lần rồi còn dư thêm một đoạn lẻ, độ dài vật đó bằng n lần độ dài đơn vị cộng với đoạn dư.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một đơn vị đo (cây gậy 1,5 m) được đặt LẶP LẠI 5 lần rồi còn dư thêm 1 m — dấu hiệu là bài toán tính tổng gồm phần lặp lại (nhân) cộng với phần dư (cộng thêm). Hướng làm là nhân độ dài gậy với số lần đặt rồi cộng thêm phần còn dư để ra chiều rộng lớp học. Bẫy là quên cộng thêm phần dư 1 m, chỉ tính riêng 5 × 1,5 m rồi dừng lại.
1Cách 1. Nhân số lần đặt với độ dài gậy rồi cộng phần dư
Định hướng. Chiều rộng lớp học bằng tổng độ dài 5 lần đặt gậy cộng với phần còn dư.
Độ dài 5 lần đặt gậy = 5 × 1,5 = 7,5 (m) Phần còn dư = 1 m Chiều rộng lớp học = 7,5 + 1 = 8,5 (m)
Vậy chiều rộng lớp học là 8,5 m.
2Cách 2. Cộng liên tiếp độ dài gậy 5 lần rồi cộng phần dư
Định hướng. Thay phép nhân bằng phép cộng liên tiếp 5 lần 1,5 m để kiểm tra lại kết quả.
Sai lầm thường gặp.Chỉ tính 5 × 1,5 = 7,5 m rồi dừng lại, quên cộng thêm phần còn dư 1 m — bỏ sót một phần của chiều rộng thật.
🚀 Mở rộng.Đây là mô hình toán học của phép chia có dư: chiều rộng lớp học = (số lần đặt gậy) × (độ dài gậy) + (phần dư), tương tự công thức số bị chia = thương × số chia + số dư đã học ở số tự nhiên.
Bài 9 · 8.34★★★Trang 49— Suy luận điểm nằm giữa từ một hệ thức cộng đoạn thẳng
8.34. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Biết rằng BC = AB + AC. Trong ba điểm A, B, C, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Kiến thức cần nhớ
Nếu ba điểm X, Y, Z thẳng hàng và XY = XZ + ZY thì điểm Z nằm giữa hai điểm X và Y (điểm đứng giữa là điểm CHUNG của hai đoạn nhỏ ở vế phải).
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một hệ thức cộng đoạn thẳng (BC = AB + AC) chứ không cho số liệu cụ thể — dấu hiệu là bài yêu cầu suy luận NGƯỢC từ công thức cộng đoạn thẳng để tìm điểm nằm giữa, thay vì tính toán số học. Hướng làm là so khớp hệ thức đã cho với dạng chuẩn "đoạn lớn = tổng hai đoạn nhỏ" (XY = XZ + ZY nghĩa là Z nằm giữa X, Y). Bẫy là nhầm vai trò, cho rằng B nằm giữa (vì B xuất hiện ở vế trái) trong khi phải xét điểm KHÔNG nằm trong hai đoạn nhỏ ở vế phải.
1Cách 1. Đối chiếu hệ thức đã cho với dạng chuẩn của công thức cộng đoạn thẳng
Định hướng. Viết lại BC = AB + AC thành BC = BA + AC (vì AB = BA) rồi so với dạng chuẩn "đoạn lớn = tổng hai đoạn nhỏ chung một điểm".
BC = AB + AC, viết lại thành BC = BA + AC Đối chiếu dạng chuẩn: XY = XZ + ZY thì Z nằm giữa X, Y Ở đây X = B, Y = C, Z = A (điểm chung của hai đoạn BA và AC)
Vậy điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
2Cách 2. Thử bằng phản chứng với một điểm khác
Định hướng. Giả sử điểm nằm giữa không phải là A mà là B (hoặc C), rồi chỉ ra hệ thức cộng đoạn thẳng khi đó phải khác với đề bài, từ đó loại trừ.
Nếu B nằm giữa A và C thì phải có AC = AB + BC, khác với hệ thức đề cho (BC = AB + AC) Nếu C nằm giữa A và B thì phải có AB = AC + CB, cũng khác với hệ thức đề cho Chỉ khi A nằm giữa B và C mới có đúng hệ thức BC = BA + AC = AB + AC như đề bài
Vậy loại trừ hai khả năng kia, chỉ còn A nằm giữa B và C là đúng.
3Cách 3. Minh hoạ bằng một bộ số cụ thể rồi tổng quát hoá
Định hướng. Chọn thử một bộ số thoả mãn BC = AB + AC, vẽ hình thật để quan sát trực tiếp điểm nằm giữa.
Chọn AB = 3 cm, AC = 2 cm, khi đó BC = AB + AC = 3 + 2 = 5 (cm) Vẽ ba điểm A, B, C thẳng hàng với các độ dài này: A nằm giữa B và C Với bộ số này, hệ thức BC = AB + AC = 5 cm đúng khi và chỉ khi A nằm giữa B, C
Vậy ví dụ cụ thể xác nhận lại: điểm A luôn nằm giữa B và C khi có hệ thức BC = AB + AC.
Nhận xét. Bài 8.35 tiếp theo chính là một trường hợp số cụ thể của quy luật vừa tìm ra ở bài này.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: viết lại hệ thức để lộ ra điểm chung giữa hai đoạn ở vế phải — nhanh và chắc chắn không nhầm.
Đáp số.Điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
Sai lầm thường gặp.Thấy B đứng ở vế trái (trong BC) rồi vội kết luận B nằm giữa — thực chất điểm nằm giữa phải là điểm CHUNG của hai đoạn nhỏ ở vế phải (ở đây là A, chung giữa AB và AC), không phải điểm ở vế trái.
🚀 Mở rộng.Quy luật tổng quát: với ba điểm X, Y, Z thẳng hàng, hệ thức nào có dạng "đoạn nối hai điểm ngoài = tổng hai đoạn có chung một điểm" thì điểm chung đó luôn là điểm nằm giữa — quy luật này áp dụng được cho bài 8.35 ngay sau đây.
Bài 10 · 8.35★★Trang 49— Xác định điểm nằm giữa từ ba số đo cụ thể
8.35. Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng thoả mãn các điều kiện AC = 2 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Vẽ hình và cho biết trong ba điểm đó, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
Kiến thức cần nhớ
Với ba điểm X, Y, Z thẳng hàng, nếu XY = XZ + ZY (đoạn nối hai điểm ngoài bằng tổng hai đoạn có chung điểm Z) thì Z nằm giữa X và Y.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho đủ ba số đo AC, AB, BC của ba điểm thẳng hàng — dấu hiệu là bài áp dụng trực tiếp quy luật vừa tìm ra ở bài 8.34: kiểm tra xem đoạn lớn nhất có bằng tổng hai đoạn còn lại hay không để tìm điểm nằm giữa. Hướng làm là thử cộng từng cặp trong ba số đã cho, so với số còn lại, đoạn nào bằng tổng hai đoạn kia thì đó là đoạn nối hai điểm NGOÀI (điểm chung của hai đoạn nhỏ là điểm nằm giữa). Bẫy là không thử đủ ba phép cộng mà đoán bừa dựa theo cảm giác lớn nhỏ của các số.
1Cách 1. Thử cộng từng cặp số đo để tìm hệ thức đúng
Định hướng. Thử lần lượt AB + AC, AB + BC, AC + BC rồi so với số đo còn lại để tìm ra hệ thức cộng đúng.
Thử AB + AC = 3 + 2 = 5, so với BC = 5: bằng nhau, vậy BC = AB + AC Thử AB + BC = 3 + 5 = 8, so với AC = 2: không bằng nhau Thử AC + BC = 2 + 5 = 7, so với AB = 3: không bằng nhau
Vậy chỉ có hệ thức BC = AB + AC đúng, theo quy luật ở bài 8.34 suy ra điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
2Cách 2. Vẽ hình theo đúng số đo rồi quan sát trực tiếp
Định hướng. Vẽ ba điểm thẳng hàng với đúng ba số đo đã cho, rồi quan sát điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại trên hình vừa vẽ.
Vẽ điểm B, đặt A cách B 3 cm Đặt C cách A thêm 2 cm, cùng hướng ra xa B Đo lại BC trên hình: BC = 3 + 2 = 5 (cm), đúng như đề cho
Vậy trên hình vẽ đúng số đo, A nằm giữa B và C.
3Cách 3. Dùng trục số để định vị ba điểm
Định hướng. Đặt B tại gốc 0 trên trục số, xác định A và C theo các số đo đã cho rồi so sánh vị trí của A với B, C.
Chọn B ứng với 0 A cách B 3 cm nên A ứng với 3 C cách A thêm 2 cm cùng chiều nên C ứng với 3 + 2 = 5, tức BC = 5 cm khớp với đề bài
Vậy trên trục số, A (ứng với 3) nằm giữa B (ứng với 0) và C (ứng với 5), tức A nằm giữa B và C.
Nhận xét. Cả ba cách đều cho cùng một kết luận: A là điểm nằm giữa, minh hoạ đúng quy luật tổng quát đã nêu ở bài 8.34.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: thử cộng từng cặp số đo để tìm hệ thức đúng — không cần vẽ hình chính xác vẫn kết luận được ngay.
Đáp số.Điểm A nằm giữa hai điểm B và C (vì BC = AB + AC = 3 + 2 = 5).
Sai lầm thường gặp.Đoán bừa điểm nằm giữa dựa theo thứ tự liệt kê trong đề (nghĩ B nằm giữa vì B được nhắc trước) mà không thử cộng để kiểm tra hệ thức — dễ kết luận sai khi không có căn cứ tính toán.
🚀 Mở rộng.Đây là ứng dụng số cụ thể của quy luật tổng quát vừa rút ra ở bài 8.34: cho ba số đo đoạn thẳng của ba điểm thẳng hàng, luôn có thể xác định điểm nằm giữa bằng cách tìm hệ thức cộng đúng, không cần vẽ hình trước.
