Chương VIII. Những hình hình học cơ bản
Sách bài tập Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.
Bài 1 · 8.36★Trang 51— Tìm độ dài cả đoạn thẳng khi biết khoảng cách từ trung điểm đến một mút
8.36 (trang 51). Tính độ dài đoạn thẳng AB biết rằng I là trung điểm của đoạn thẳng AB và AI = 8 cm.
Kiến thức cần nhớ- I là trung điểm của AB thì AB = 2 × AI = 2 × IB.
🧠 Phân tích tư duyĐề cho khoảng cách từ trung điểm I đến một mút (AI = 8 cm) và hỏi ngược lại cả đoạn AB — đây là bài toán ngược của công thức AM = AB/2. Chỉ cần nhân đôi số đã cho.
1Cách 1. Nhân đôi trực tiếp theo công thức
Định hướng. I là trung điểm AB nên AB gấp đôi AI.
AB = 2 × AI
= 2 × 8
= 16 (cm)
Vậy AB = 16 cm.
2Cách 2. Cộng hai đoạn bằng nhau AI và IB
Định hướng. I là trung điểm nên AI = IB, cộng hai đoạn này lại bằng cả AB.
AI = IB = 8 (cm)
AB = AI + IB
= 8 + 8
= 16 (cm)
Vậy AB = 16 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt ẩn AB rồi giải phương trình từ công thức trung điểm
Định hướng. Gọi x là độ dài AB, dùng công thức AI = AB/2 rồi giải ngược ra x.
AI = x : 2
8 = x : 2
x = 8 × 2 = 16
Vậy AB = 16 cm, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Ba cách chỉ khác cách trình bày, cùng bản chất "nhân đôi" một khoảng cách đã cho, giống hệt dạng bài 8.16 SGK.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân duy nhất, nhanh và khó sai nhất.
Đáp số. AB = 16 cm.
Sai lầm thường gặp. Nhầm AB = AI = 8 cm (quên đây chỉ là một nửa đoạn thẳng, phải nhân đôi).
🚀 Mở rộng. Nếu biết AI = m cm thì AB luôn bằng 2m cm, không phụ thuộc giá trị cụ thể của m.
Bài 2 · 8.37★★Trang 51— Kết hợp điểm nằm giữa và trung điểm để tính đoạn thẳng lớn hơn
8.37 (trang 51). Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tính độ dài của đoạn AB, biết rằng AC = 5 cm và CI = 7 cm.
Kiến thức cần nhớ- C nằm giữa A và B thì AB = AC + CB.
- I là trung điểm của BC thì BC = 2 × CI.
🧠 Phân tích tư duyĐề cho hai dữ kiện tách biệt: C nằm giữa A, B (nên AB = AC + CB) và I là trung điểm BC (nên biết CI thì suy ra BC). Dấu hiệu là phải tính BC trước qua trung điểm I, rồi mới cộng với AC để ra AB. Bẫy là dễ quên nhân đôi CI để ra BC mà cộng thẳng CI với AC.
1Cách 1. Tính BC từ trung điểm I rồi cộng với AC
Định hướng. Tính BC bằng công thức trung điểm, sau đó dùng C nằm giữa A, B để cộng AC với CB.
I là trung điểm BC: BC = 2 × CI = 2 × 7 = 14 (cm)
C nằm giữa A, B: AB = AC + CB
AB = 5 + 14 = 19 (cm)
Vậy AB = 19 cm.
2Cách 2. Đặt ẩn AB rồi giải phương trình
Định hướng. Gọi x là độ dài AB, biểu diễn BC theo x qua AC, rồi dùng dữ kiện CI = 7.
C nằm giữa A, B: BC = x − AC = x − 5
I là trung điểm BC: CI = BC : 2 = (x − 5) : 2
(x − 5) : 2 = 7
x − 5 = 14
x = 19
Vậy AB = 19 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt toạ độ trên tia số
Định hướng. Đặt A = 0 trên một tia số, các điểm còn lại theo đúng thứ tự A, C, I, B rồi tính toạ độ.
A = 0, C = AC = 5
I là trung điểm BC nên CI = IB = 7, suy ra I = C + 7 = 12
B = I + 7 = 19
Vậy B ở toạ độ 19, tức AB = 19 cm, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Đặt toạ độ giúp thấy rõ thứ tự bốn điểm A, C, I, B trên cùng một đường thẳng, tránh nhầm lẫn khi cộng trừ đoạn thẳng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai bước tính rõ ràng (nhân đôi rồi cộng), ít khả năng nhầm dấu hơn so với đặt ẩn.
Đáp số. AB = 19 cm.
Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm AC với CI (5 + 7 = 12) mà quên rằng CI chỉ là một nửa của BC, phải nhân đôi CI trước khi cộng với AC.
🚀 Mở rộng. Nếu AC = p cm và CI = q cm thì AB luôn bằng p + 2q cm, với mọi giá trị p, q thoả mãn C nằm giữa A, B và I là trung điểm BC.
Bài 3 · 8.38★★Trang 51— Bài toán thực tế dẫn tới trung điểm của một đoạn đường
8.38 (trang 51). Nhà Hương cách trường học 2 200 m. Hằng ngày trên đường đến trường, Hương phải đi qua một siêu thị, sau đó đến một cửa hàng bánh kẹo nằm cách trường khoảng 500 m. Hỏi quãng đường từ siêu thị đến cửa hàng bánh kẹo dài bao nhiêu mét? Biết rằng siêu thị nằm ở chính giữa nhà Hương và trường học.
Kiến thức cần nhớ- Điểm nằm ở chính giữa hai điểm là trung điểm của đoạn nối hai điểm đó, cách đều hai đầu một khoảng bằng nửa độ dài đoạn thẳng.
🧠 Phân tích tư duyĐề cho "siêu thị nằm ở chính giữa nhà Hương và trường học" — dấu hiệu siêu thị là trung điểm của đoạn nhà–trường, nên khoảng cách từ siêu thị đến trường bằng nửa quãng đường nhà–trường. Bẫy là phải xác định đúng thứ tự bốn điểm nhà, siêu thị, cửa hàng, trường trên đường đi rồi mới lấy hiệu hai khoảng cách để ra đoạn cần tìm.
1Cách 1. Tính khoảng cách siêu thị–trường rồi trừ đi khoảng cách cửa hàng–trường
Định hướng. Siêu thị là trung điểm của đoạn nhà–trường nên cách trường đúng một nửa quãng đường; cửa hàng nằm giữa siêu thị và trường nên lấy hiệu hai khoảng cách.
Khoảng cách siêu thị–trường = 2 200 : 2 = 1 100 (m)
Khoảng cách cửa hàng–trường = 500 (m)
Khoảng cách siêu thị–cửa hàng = 1 100 − 500 = 600 (m)
Vậy quãng đường từ siêu thị đến cửa hàng bánh kẹo dài 600 m.
2Cách 2. Đặt toạ độ trên đường đi từ nhà đến trường
Định hướng. Đặt nhà Hương ở gốc 0, trường ở cuối đoạn, tính toạ độ siêu thị và cửa hàng rồi lấy hiệu.
Nhà = 0, Trường = 2 200
Siêu thị là trung điểm: Siêu thị = 2 200 : 2 = 1 100
Cửa hàng cách trường 500 m nên Cửa hàng = 2 200 − 500 = 1 700
Siêu thị–Cửa hàng = 1 700 − 1 100 = 600 (m)
Vậy khoảng cách siêu thị–cửa hàng là 600 m, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt ẩn cho khoảng cách cần tìm rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi x (m) là khoảng cách từ siêu thị đến cửa hàng, biểu diễn qua khoảng cách siêu thị–trường.
Siêu thị–trường = 2 200 : 2 = 1 100 (m)
Siêu thị–trường = Siêu thị–cửa hàng + Cửa hàng–trường
1 100 = x + 500
x = 1 100 − 500 = 600
Vậy x = 600 m, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Cả ba cách đều phải dùng đúng thứ tự bốn điểm nhà, siêu thị, cửa hàng, trường trên đường đi thì mới cộng trừ đúng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai phép tính (chia đôi rồi trừ), nhanh và trực quan nhất với bài toán thực tế.
Đáp số. Quãng đường từ siêu thị đến cửa hàng bánh kẹo dài 600 m.
Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm 2 200 : 2 = 1 100 m làm đáp số luôn (quên trừ tiếp 500 m khoảng cách cửa hàng–trường), hoặc cộng nhầm 1 100 + 500 thay vì trừ.
🚀 Mở rộng. Nếu cửa hàng cách trường q mét (với q nhỏ hơn nửa quãng đường nhà–trường) thì khoảng cách siêu thị–cửa hàng luôn bằng (nhà–trường)/2 − q.
Bài 4 · 8.39★★★Trang 51— Dựng hình và kiểm tra trung điểm bằng compa (đường thẳng song song)
8.39 (trang 51). Cho đoạn thẳng BC dài 4 cm. Gọi A là điểm không nằm trên đường thẳng BC và D là một điểm nằm trên tia AB, không trùng với A và B. a) Hãy vẽ hình và xác định trên đó trung điểm I của đoạn thẳng BC. b) Vẽ đường thẳng d đi qua D và song song với BC. Giả sử đường thẳng d cắt AC tại E. Gọi J là giao điểm của đường thẳng AI với DE. Hãy dùng compa để kiểm tra rằng J cũng là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Kiến thức cần nhớ- I là trung điểm của BC thì IB = IC = BC/2.
- Hai đoạn thẳng bằng nhau khi ướm khít bằng compa (không cần biết số đo).
🧠 Phân tích tư duyCâu a) chỉ là dựng trung điểm quen thuộc của BC. Câu b) khó hơn hẳn: phải dựng thêm đường thẳng d qua D song song BC, tìm giao điểm E, rồi tìm giao điểm J của AI với DE — dấu hiệu đây là bài dựng hình nhiều bước, phải làm ĐÚNG THỨ TỰ từng bước một mới ra được J. Bẫy là dễ dựng nhầm J là trung điểm DE "theo mắt" thay vì dựng đúng là giao điểm của đường thẳng AI với DE rồi mới đi kiểm tra.
1Cách 1. Dựng hình đúng các bước rồi kiểm tra bằng compa (đúng yêu cầu đề)
Định hướng. Dựng lần lượt: I là trung điểm BC, D trên tia AB, đường thẳng d qua D song song BC cắt AC tại E, J là giao điểm của AI với DE; sau đó dùng compa so sánh DJ với JE.
Dựng I là trung điểm BC: IB = IC = 2 cm
Dựng D trên tia AB (không trùng A, B), vẽ d qua D song song BC, d cắt AC tại E
Gọi J là giao điểm của đường thẳng AI với đoạn DE
Mở compa đúng bằng DJ rồi ướm sang JE: hai đầu compa trùng khít
Vậy DJ = JE nên J là trung điểm của đoạn thẳng DE.
2Cách 2. Chọn một bộ số đo cụ thể rồi tính bằng toạ độ để kiểm chứng
Định hướng. Đặt các điểm vào một hệ toạ độ cụ thể thoả mãn đúng dữ kiện của đề, rồi tính toạ độ D, E, J bằng công thức và so sánh khoảng cách.
Chọn A(0; 6), B(0; 0), C(4; 0) (BC = 4 cm), I là trung điểm BC: I(2; 0)
Chọn D(0; 2) trên đoạn AB; đường thẳng d qua D song song BC là đường y = 2
d cắt AC tại E: AC đi qua A(0; 6), C(4; 0), tại y = 2 tính được E(8/3; 2)
Đường thẳng AI cắt d (y = 2) tại J(4/3; 2)
So sánh: DJ = 4/3 − 0 = 4/3; JE = 8/3 − 4/3 = 4/3
Vậy DJ = JE = 4/3 (đơn vị độ dài), nên J là trung điểm DE — khớp với Cách 1.
3Cách 3. Đo trực tiếp bằng thước có vạch chia trên hình đã dựng chính xác
Định hướng. Sau khi dựng hình đúng tỉ lệ bằng thước và êke (đường d dựng song song BC bằng êke), đo trực tiếp DJ và JE bằng thước milimét.
Dựng hình đúng tỉ lệ với BC = 4 cm như đề cho
Đo DJ bằng thước milimét
Đo JE bằng thước milimét, so sánh với DJ
Vậy số đo DJ và JE bằng nhau, xác nhận J là trung điểm của DE, cùng kết luận với hai cách trên.
Nhận xét. Sở dĩ J luôn là trung điểm DE dù chọn D ở đâu trên tia AB, vì DE là "bản thu nhỏ" của BC qua phép chiếu song song từ đỉnh A, và đường AI (nối đỉnh với trung điểm BC) luôn cắt bản thu nhỏ đó tại đúng trung điểm của nó.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Khi làm bài thực hành dựng hình nên trình bày đủ các bước dựng rồi kiểm tra bằng compa như Cách 1 (đúng yêu cầu đề); Cách 2 chỉ dùng để tự kiểm tra kết quả bằng số cho chắc chắn.
Đáp số. b) J là trung điểm của đoạn thẳng DE (kiểm tra bằng compa thấy DJ = JE).
Sai lầm thường gặp. Dựng D, E rồi tự vẽ luôn J vào giữa đoạn DE bằng mắt thay vì dựng đúng J là giao điểm của đường thẳng AI với DE — làm vậy thì không còn kiểm tra được gì, vì đã ép J là trung điểm ngay từ đầu.
🚀 Mở rộng. Nếu chọn D ở một vị trí khác trên tia AB (gần A hơn hoặc xa A hơn), đường thẳng DE thay đổi độ dài nhưng J vẫn luôn là trung điểm của DE — tính chất này không phụ thuộc vị trí của D.
Bài 5 · 8.40★★★Trang 51— Nhận định đúng/sai có giải thích — chứng minh bằng phản chứng
8.40 (trang 51). Cho đoạn thẳng AB. Gọi P và Q là hai điểm phân biệt nằm giữa hai điểm A và B sao cho AP = QB. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi vẽ hình, bạn Quang nhận xét rằng điểm P trùng với điểm I. Theo em, nhận xét của bạn Quang có đúng không?
Kiến thức cần nhớ- I là trung điểm của AB thì IA = IB = AB/2.
- Phương pháp phản chứng: giả sử điều cần bác bỏ là đúng, suy ra mâu thuẫn với giả thiết.
🧠 Phân tích tư duyĐề không cho số đo cụ thể mà hỏi một nhận định tổng quát — dấu hiệu phải chứng minh (hoặc bác bỏ) chứ không tính toán ra một con số. Vì đề đã khẳng định P, Q PHÂN BIỆT, đây chính là chìa khoá: cứ giả sử điều Quang nói đúng rồi xem có mâu thuẫn với giả thiết "phân biệt" hay không (phản chứng). Bẫy là chỉ vẽ một hình minh hoạ rồi "thấy đúng" mà không chứng minh chặt cho MỌI trường hợp.
1Cách 1. Phản chứng bằng lời
Định hướng. Giả sử nhận xét của Quang đúng (P trùng I), suy luận tiếp để tìm mâu thuẫn với giả thiết P, Q phân biệt.
Giả sử P trùng I, khi đó AP = AI
I là trung điểm AB nên AI = IB
Theo đề AP = QB, mà AP = AI = IB, nên QB = IB
QB = IB nghĩa là Q cũng trùng I
Suy ra P và Q cùng trùng I, tức P trùng Q
Vậy điều này mâu thuẫn với giả thiết P, Q phân biệt — nhận xét của bạn Quang là SAI.
2Cách 2. Chọn số đo cụ thể làm phản ví dụ
Định hướng. Đặt số đo cụ thể cho AB rồi chọn P, Q thoả mãn AP = QB nhưng khác trung điểm I, để chỉ ra P không bắt buộc trùng I.
Đặt AB = 10, đặt A = 0, B = 10 trên tia số, trung điểm I = 5
Chọn AP = QB = 3 (khác 5): P = 3, Q = 10 − 3 = 7
Cả P = 3 và Q = 7 đều khác I = 5, và P ≠ Q (thoả phân biệt)
Vậy có những cách chọn P, Q thoả mãn đúng đề bài mà P không hề trùng I — nhận xét của bạn Quang là SAI.
3Cách 3. Lập luận tổng quát bằng biến số
Định hướng. Đặt AB = a, AP = QB = k, biểu diễn toạ độ P, Q theo a, k rồi xét điều kiện để P trùng I.
Đặt A = 0, B = a, khi đó P = k, Q = a − k, trung điểm I = a/2
P trùng I khi và chỉ khi k = a/2
Nếu k = a/2 thì Q = a − a/2 = a/2 = k, tức Q cũng bằng I, nên P trùng Q
Vậy P chỉ có thể trùng I trong đúng một trường hợp k = a/2, nhưng khi đó P trùng Q — trái giả thiết P, Q phân biệt. Với mọi cách chọn P, Q phân biệt hợp lệ, P không bao giờ trùng I. Nhận xét của bạn Quang là SAI.
Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một mấu chốt: P trùng I sẽ kéo theo Q cũng trùng I, mâu thuẫn với "P, Q phân biệt" — đây là kiểu lập luận phản chứng rất hay gặp ở các bài nhận định đúng/sai.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (phản chứng bằng lời): trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, đúng bản chất chứng minh mà không cần đặt số liệu.
Đáp số. Nhận xét của bạn Quang là SAI: P không trùng với I (vì nếu P trùng I thì Q cũng trùng I, trái với giả thiết P, Q phân biệt).
Sai lầm thường gặp. Chỉ vẽ một hình cụ thể rồi thấy P "gần" I mà vội kết luận Quang đúng, trong khi phải chứng minh cho MỌI trường hợp P, Q thoả AP = QB và phân biệt, không phải chỉ một hình minh hoạ.
🚀 Mở rộng. Thực ra P và Q luôn đối xứng nhau qua trung điểm I (vì AP = QB nên IP = IQ), tức I luôn là trung điểm của đoạn PQ, dù P không trùng I.
