Bài 1 · HĐ1★Trang 55— Tìm khoảng cách từ điểm cách đều đến hai đầu đoạn thẳng
HĐ1 (trang 55). Người ta dùng một thanh gỗ dài 3 m để làm bập bênh. Theo em, điểm gắn trục phải cách hai đầu thanh gỗ là bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Nếu một điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì khoảng cách đó bằng nửa độ dài đoạn thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho "điểm gắn trục cách đều hai đầu thanh gỗ" — dấu hiệu của bài toán chia một đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau. Vì hai phần bằng nhau và cộng lại đúng bằng cả thanh gỗ, chỉ cần lấy chiều dài thanh chia đôi. Bẫy nhỏ là phải đổi đơn vị cho gọn (mét) chứ không cần đổi ra xăng-ti-mét.
1Cách 1. Chia đôi trực tiếp bằng phép chia
Định hướng. Điểm gắn trục cách đều hai đầu nên chia thẳng chiều dài thanh gỗ cho 2.
Khoảng cách mỗi đầu = 3 : 2 = 1,5 (m)
Vậy điểm gắn trục cách mỗi đầu thanh gỗ 1,5 m.
2Cách 2. Đặt ẩn rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi x (m) là khoảng cách từ điểm gắn trục đến mỗi đầu, hai đoạn cộng lại bằng cả thanh.
x + x = 3 2x = 3 x = 1,5
Vậy x = 1,5 m, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Gấp đôi hình dung thanh gỗ để tìm điểm chia
Định hướng. Hình dung gấp đôi thanh gỗ 3 m sao cho hai đầu trùng nhau, chỗ gấp chính là điểm cách đều hai đầu.
Gấp đôi thanh 3 m, hai nửa chồng khít lên nhau Mỗi nửa dài 3 : 2 = 1,5 (m)
Vậy điểm gấp cách mỗi đầu 1,5 m, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Đây chính là ý tưởng dùng ở HĐ2 với sợi dây — gấp đôi vật để tìm điểm chính giữa.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép chia, nhanh và khó sai nhất; Cách 2 hữu ích khi đề phức tạp hơn cần lập luận bằng ẩn.
Đáp số.Điểm gắn trục cách mỗi đầu thanh gỗ 1,5 m.
Sai lầm thường gặp.Nhầm lẫn lấy 3 m làm khoảng cách một bên (quên chia đôi), hoặc quên đổi kết quả về đúng đơn vị mét như đề cho.
🚀 Mở rộng.Nếu thanh gỗ dài a mét thì điểm gắn trục luôn cách đều hai đầu một khoảng bằng a/2 mét, không phụ thuộc độ dài cụ thể.
Bài 2 · HĐ2★Trang 55— Tìm khoảng cách từ điểm cách đều đến hai đầu đoạn thẳng
HĐ2 (trang 55). Một sợi dây dài 120 cm. Gấp đôi sợi dây lại để hai đầu sợi dây trùng nhau. Đánh dấu điểm A là chỗ bị gấp (H.8.36). Khoảng cách từ điểm A đến mỗi đầu sợi dây là bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Nếu một điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì khoảng cách đó bằng nửa độ dài đoạn thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Gấp đôi sợi dây để hai đầu trùng nhau nghĩa là điểm gấp A cách đều hai đầu dây — lại là dạng chia đôi độ dài. Vì đã cho sẵn đơn vị xăng-ti-mét nên chỉ việc chia 120 cho 2, không cần đổi đơn vị.
1Cách 1. Chia đôi trực tiếp bằng phép chia
Định hướng. A cách đều hai đầu dây nên chia thẳng độ dài dây cho 2.
Khoảng cách mỗi đầu = 120 : 2 = 60 (cm)
Vậy điểm A cách mỗi đầu sợi dây 60 cm.
2Cách 2. Đặt ẩn rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi x (cm) là khoảng cách từ A đến mỗi đầu, hai đoạn cộng lại bằng cả sợi dây.
x + x = 120 2x = 120 x = 60
Vậy x = 60 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Chia sợi dây thành nhiều đoạn nhỏ bằng nhau rồi đếm
Định hướng. Chia sợi dây 120 cm thành 12 đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn 10 cm, rồi đếm số đoạn mỗi bên của điểm gấp A.
Mỗi đoạn nhỏ dài 120 : 12 = 10 (cm) Điểm gấp A chia dây thành hai nửa, mỗi nửa gồm 6 đoạn nhỏ Khoảng cách mỗi bên = 6 × 10 = 60 (cm)
Vậy A cách mỗi đầu 60 cm, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Cách đếm đoạn nhỏ giúp hình dung trực quan việc "gấp đôi" mà không cần công thức.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một phép chia duy nhất, nhanh nhất; Cách 3 chỉ nên dùng khi cần giải thích trực quan cho người mới học.
Đáp số.Điểm A cách mỗi đầu sợi dây 60 cm.
Sai lầm thường gặp.Nhầm khoảng cách một bên là 120 cm (quên đây là "gấp đôi" nên mỗi bên chỉ bằng nửa chiều dài dây).
🚀 Mở rộng.Nếu sợi dây dài b xăng-ti-mét thì điểm gấp đôi luôn cách đều hai đầu một khoảng bằng b/2 xăng-ti-mét.
Bài 3 · HĐ3★★Trang 55— Toán chuyển động đều dẫn tới điểm chính giữa quãng đường
HĐ3 (trang 55). Một chiếc xe chạy với vận tốc không đổi trên một quãng đường thẳng dài 100 km từ vị trí A đến vị trí B hết 2 giờ. Hỏi sau khi chạy được 1 giờ, xe rời xa vị trí A bao nhiêu kilômét, còn cách vị trí B bao nhiêu kilômét (H.8.37)?
Kiến thức cần nhớ
Chuyển động đều: quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian (cùng vận tốc).
Nếu một điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì khoảng cách đó bằng nửa độ dài đoạn thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho vận tốc không đổi và thời gian đi hết cả quãng đường là 2 giờ — dấu hiệu quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian. Vì 1 giờ đúng bằng nửa thời gian 2 giờ nên xe đi được đúng nửa quãng đường AB. Bẫy là phải tính "còn cách B" chứ không chỉ dừng ở "đã đi được bao xa".
1Cách 1. Tính vận tốc rồi tính quãng đường đã đi
Định hướng. Tính vận tốc của xe trước, rồi nhân với thời gian đã chạy để ra quãng đường.
Vận tốc: v = 100 : 2 = 50 (km/h) Quãng đường sau 1 giờ: 50 × 1 = 50 (km) Khoảng cách còn lại đến B: 100 − 50 = 50 (km)
Vậy sau 1 giờ, xe cách A 50 km và cách B 50 km.
2Cách 2. Dùng tỉ lệ thời gian trên tổng thời gian
Định hướng. Vì vận tốc không đổi, tỉ số quãng đường bằng đúng tỉ số thời gian.
Tỉ số thời gian: 1 giờ trong tổng 2 giờ = 1/2 Quãng đường đã đi = 100 × 1/2 = 50 (km) Quãng đường còn lại = 100 − 50 = 50 (km)
Vậy kết quả trùng với Cách 1: cách A 50 km, cách B 50 km.
3Cách 3. Nhận diện vị trí sau 1 giờ chính là trung điểm AB
Định hướng. Vì 1 giờ đúng bằng nửa thời gian 2 giờ và xe chạy đều, vị trí xe sau 1 giờ cách đều A và B, tức là trung điểm của AB.
Vị trí sau 1 giờ là trung điểm I của AB Khoảng cách mỗi bên = AB : 2 = 100 : 2 = 50 (km)
Vậy xe cách A 50 km và cách B 50 km, không cần tính vận tốc.
Nhận xét. Đây chính là hình ảnh mở đầu cho khái niệm trung điểm của đoạn thẳng sắp học.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 khi đã học khái niệm trung điểm: nhận ra ngay vị trí đó cách đều hai đầu, khỏi cần tính vận tốc.
Đáp số.Sau khi chạy 1 giờ, xe cách A 50 km và cách B 50 km.
Sai lầm thường gặp.Tính đúng quãng đường đã đi (50 km) nhưng quên tính tiếp khoảng cách còn lại đến B, hoặc nhầm 100 − 50 với 100 + 50.
🚀 Mở rộng.Nếu xe chạy hết quãng đường trong t giờ với quãng đường s km, thì sau t/2 giờ xe luôn ở đúng trung điểm, cách đều hai đầu một khoảng s/2 km.
Bài 4 · Câu hỏi (trang 55)★★Trang 55— Kiểm tra một điểm có phải trung điểm hay không bằng đo đạc
Câu hỏi (trang 55). Dùng thước thẳng có vạch chia, em hãy kiểm tra xem các điểm I, J, K trong Hình 8.39 có lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF hay không.
Kiến thức cần nhớ
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi I nằm giữa A, B và IA = IB.
🧠 Phân tích tư duy
Đề yêu cầu "kiểm tra" chứ không cho sẵn kết quả — dấu hiệu phải tự đo rồi so sánh hai khoảng cách IA với IB, JC với JD, KE với KF. Trên lưới ô vuông, cách an toàn nhất là đếm số ô theo cả chiều ngang lẫn chiều dọc cho từng đoạn con. Bẫy là J và K tuy nhìn gần giữa nhưng đếm ô ra thì lệch, không phải trung điểm thật.
1Cách 1. Đo bằng thước, dùng đơn vị 1 ô vuông
Định hướng. Lấy cạnh của một ô vuông trên lưới làm đơn vị đo, dùng thước đo từng đoạn con.
Đo IA và IB: hai đoạn bằng nhau Đo JC và JD: JC ngắn hơn JD Đo KE và KF: KE dài hơn KF
Vậy I là trung điểm của AB; J không là trung điểm của CD; K không là trung điểm của EF.
2Cách 2. Đếm số ô vuông theo chiều ngang và chiều dọc
Định hướng. Đếm số ô đi ngang và đi dọc từ mỗi mút đến điểm cần xét, cho từng đoạn.
A đến I: 1 ô ngang, 1 ô dọc — I đến B: 1 ô ngang, 1 ô dọc — hai chặng bằng nhau nên IA = IB C đến J: 1 ô ngang — J đến D: 2 ô ngang — hai chặng không bằng nhau nên JC ≠ JD E đến K: 2 ô ngang, 2 ô dọc — K đến F: 1 ô ngang, 1 ô dọc — hai chặng không bằng nhau nên KE ≠ KF
Vậy chỉ I là trung điểm của AB; J, K đều không là trung điểm của CD, EF.
3Cách 3. So sánh bằng compa, không cần đọc số đo
Định hướng. Mở compa đúng bằng đoạn IA rồi ướm sang đoạn IB mà không cần đo số cụ thể; làm tương tự cho JC với JD và KE với KF.
Ướm IA sang IB: hai đầu compa trùng khít — IA = IB Ướm JC sang JD: đầu compa không tới D — JC < JD Ướm KE sang KF: đầu compa vượt quá F — KE > KF
Vậy kết quả trùng khớp cả ba cách: chỉ I là trung điểm của AB.
Nhận xét. J và K là hai điểm "trông gần giữa" nhưng đo chính xác thì không phải trung điểm — luôn phải kiểm tra bằng dụng cụ đo, không đoán bằng mắt.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 khi đề cho hình lưới ô vuông: đếm ô nhanh và chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc độ chính xác của thước vẽ.
Đáp số.I là trung điểm của AB; J không là trung điểm của CD; K không là trung điểm của EF.
Sai lầm thường gặp.Nhìn hình rồi đoán cả ba điểm đều là trung điểm vì thấy chúng "nằm giữa" đoạn thẳng — thực chất "nằm giữa" chỉ là một trong hai điều kiện, còn phải có thêm khoảng cách bằng nhau.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi vị trí J sang đúng ô cách đều C và D thì J mới trở thành trung điểm của CD — đây là cách kiểm chứng ngược lại định nghĩa.
Bài 5 · Ví dụ (trang 56)★Trang 56— Áp dụng công thức trung điểm để tính một nửa đoạn thẳng
Ví dụ (trang 56). Cho đoạn thẳng AB dài 4 cm như Hình 8.40. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Kiến thức cần nhớ
M là trung điểm của AB thì AM = MB = AB/2.
🧠 Phân tích tư duy
Đề đã cho sẵn M là trung điểm của AB — dấu hiệu áp dụng trực tiếp công thức AM = MB = AB/2. Đây là bài áp dụng định nghĩa vừa học, không cần suy luận thêm gì phức tạp.
1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức trung điểm
Định hướng. M là trung điểm của AB nên AM bằng nửa AB.
AM = AB : 2 = 4 : 2 = 2 (cm)
Vậy AM = 2 cm.
2Cách 2. Đặt ẩn AM = MB rồi lập phương trình
Định hướng. Gọi x là độ dài AM = MB, tổng hai đoạn bằng AB.
AM + MB = AB x + x = 4 2x = 4 x = 2
Vậy AM = 2 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đo trực tiếp bằng thước có vạch chia
Định hướng. Đặt thước dọc theo AB như hình vẽ, đọc số đo tại điểm M.
Đặt vạch 0 của thước trùng A Điểm M rơi đúng vào vạch số 2 Đọc được AM = 2 (cm)
Vậy AM = 2 cm, cùng kết quả với hai cách tính toán ở trên.
Nhận xét. Đo trực tiếp chỉ dùng được khi có hình vẽ đúng tỉ lệ; khi làm bài không có hình chia vạch thì phải tính bằng công thức.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một phép chia duy nhất, nhanh nhất khi đã biết chắc M là trung điểm.
Đáp số.AM = 2 cm.
Sai lầm thường gặp.Nhầm AM = AB (quên chia đôi), hoặc tính đúng AM nhưng quên đơn vị cm khi kết luận.
🚀 Mở rộng.Nếu AB = a cm thì AM = MB = a/2 cm với mọi giá trị a — công thức không đổi dù độ dài đoạn thẳng khác nhau.
Bài 6 · Luyện tập★★Trang 56— Áp dụng công thức trung điểm hai lần liên tiếp
Luyện tập (trang 56). Cho đoạn thẳng PQ dài 12 đơn vị. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ và F là trung điểm của đoạn thẳng PE. Tính độ dài đoạn thẳng EF.
Kiến thức cần nhớ
M là trung điểm của AB thì AM = MB = AB/2.
🧠 Phân tích tư duy
Đề có hai lần "trung điểm" lồng nhau: E là trung điểm của cả đoạn PQ, còn F lại là trung điểm của đoạn PE nhỏ hơn — dấu hiệu phải tính PE trước rồi mới tính tiếp FE. Bẫy là dễ nhầm EF với PF hoặc với PQ/2 nếu không vẽ đúng thứ tự P, F, E, Q trên đường thẳng.
1Cách 1. Tính tuần tự PE rồi FE theo công thức trung điểm
Định hướng. Tính PE từ trung điểm E của PQ, rồi tính FE từ trung điểm F của PE.
E là trung điểm PQ: PE = PQ : 2 = 12 : 2 = 6 F là trung điểm PE: FE = PE : 2 = 6 : 2 = 3
Vậy EF = 3 đơn vị.
2Cách 2. Tính gộp theo phân số của cả đoạn PQ
Định hướng. Gộp hai bước chia đôi liên tiếp thành một phân số chung của PQ.
EF = FE = 1/2 của PE = 1/2 của (1/2 của PQ) = 1/4 của PQ = 12 : 4 = 3
Vậy EF = 3 đơn vị, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt toạ độ trên tia số
Định hướng. Đặt P = 0, Q = 12 trên một tia số rồi tính toạ độ E, F.
P = 0, Q = 12 E là trung điểm PQ: E = (0 + 12) : 2 = 6 F là trung điểm PE: F = (0 + 6) : 2 = 3 EF = 6 − 3 = 3
Vậy EF = 3 đơn vị, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Đặt toạ độ giúp thấy rõ thứ tự bốn điểm P, F, E, Q trên đường thẳng mà không cần vẽ hình.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: gộp thẳng thành EF = PQ/4, tính một bước duy nhất, không phải chia hai lần riêng biệt.
Đáp số.EF = 3 đơn vị.
Sai lầm thường gặp.Tính PE = 6 rồi dừng lại, nhầm PE chính là EF; hoặc lấy nhầm EF = PQ/2 thay vì PQ/4.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, nếu tiếp tục lấy G là trung điểm của PF thì FG = PQ/8 — mỗi lần lấy trung điểm liên tiếp, đoạn mới lại bằng một nửa đoạn liền trước.
Bài 7 · Vận dụng★★Trang 56— Tìm độ cao trung điểm của một đoạn thẳng đứng
Vận dụng (trang 56). Vòng quay mặt trời trong một khu vui chơi có điểm cao nhất là 60 m, điểm thấp nhất là 6 m (so với mặt đất). Hỏi trục của vòng quay nằm ở độ cao nào?
Kiến thức cần nhớ
Trung điểm của một đoạn thẳng có độ cao bằng trung bình cộng độ cao hai đầu mút.
🧠 Phân tích tư duy
Điểm cao nhất và điểm thấp nhất của vòng quay đối xứng nhau qua trục quay (vì trục là tâm đường tròn) — dấu hiệu trục chính là trung điểm của đoạn nối hai độ cao đó. Bẫy là dễ nhầm lấy trung bình cộng 60 và 6 rồi quên đơn vị mét, hoặc nhầm cộng/trừ sai chiều cao mặt đất.
1Cách 1. Lấy trung bình cộng hai độ cao
Định hướng. Trục quay là trung điểm của đoạn nối điểm cao nhất và điểm thấp nhất, nên độ cao trục bằng trung bình cộng hai độ cao đó.
Độ cao trục = (60 + 6) : 2 = 66 : 2 = 33 (m)
Vậy trục của vòng quay nằm ở độ cao 33 m.
2Cách 2. Tính bán kính rồi cộng vào điểm thấp nhất
Định hướng. Bán kính vòng quay bằng nửa hiệu hai độ cao, sau đó cộng bán kính vào độ cao điểm thấp nhất.
Bán kính: R = (60 − 6) : 2 = 27 (m) Độ cao trục = 6 + 27 = 33 (m)
Vậy trục nằm ở độ cao 33 m, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt ẩn độ cao trục rồi lập phương trình đối xứng
Định hướng. Gọi h là độ cao trục, khoảng cách từ trục lên điểm cao nhất phải bằng khoảng cách từ trục xuống điểm thấp nhất.
60 − h = h − 6 66 = 2h h = 33
Vậy h = 33 m, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Cách 3 dùng đúng bản chất "trục cách đều hai điểm" của định nghĩa trung điểm, không cần nhớ công thức trung bình cộng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một phép cộng và một phép chia, nhanh nhất khi đã thuộc công thức trung điểm.
Đáp số.Trục của vòng quay nằm ở độ cao 33 m so với mặt đất.
Sai lầm thường gặp.Lấy nhầm hiệu (60 − 6 = 54) rồi chia đôi thành bán kính nhưng quên cộng lại với độ cao điểm thấp nhất để ra độ cao trục.
🚀 Mở rộng.Nếu điểm cao nhất và thấp nhất lần lượt là a mét và b mét thì độ cao trục luôn bằng (a + b)/2 mét, còn bán kính vòng quay bằng (a − b)/2 mét.
Bài 8 · 8.15★★Trang 56— Kiểm tra trung điểm và tìm thêm đoạn thẳng nhận cùng một điểm làm trung điểm
8.15 (trang 56). Cho hình vẽ sau (các điểm A, B, C, D, E đặt trên lưới ô vuông, đoạn thẳng AC được vẽ qua E). a) Em hãy dùng thước thẳng để kiểm tra xem điểm E có phải là trung điểm của đoạn thẳng AC không. b) Kiểm tra xem E còn là trung điểm của đoạn thẳng nào khác có các đầu mút là các điểm đã cho.
Kiến thức cần nhớ
Điểm E là trung điểm của một đoạn thẳng khi E nằm giữa hai mút và cách đều hai mút đó.
Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a) chỉ cần đo hai đoạn AE, EC trên lưới rồi so sánh. Câu b) khó hơn: phải thử LẦN LƯỢT mọi đoạn thẳng có hai đầu mút nằm trong bốn điểm A, B, C, D còn lại, xem đoạn nào cũng nhận E làm điểm cách đều. Dấu hiệu nhận ra ngay là A, D, C, B xếp thành một hình chữ nhật, nên đoạn còn lại đáng nghi nhất chính là đường chéo kia: BD.
1Cách 1. Đo bằng thước milimét, dùng đơn vị 1 ô vuông
Định hướng. Lấy cạnh một ô vuông làm đơn vị, đo lần lượt từng đoạn con.
Đo AE và EC: hai đoạn bằng nhau — E là trung điểm AC Đo BE và ED: hai đoạn cũng bằng nhau — E là trung điểm BD Đo các cặp còn lại (AB, AD, BC, CD): không đoạn nào có E làm điểm giữa
Vậy E là trung điểm của AC; ngoài ra E còn là trung điểm của BD.
2Cách 2. Đếm số ô vuông theo chiều ngang và chiều dọc
Định hướng. Đếm số ô đi ngang, đi dọc từ mỗi điểm đến E rồi so sánh từng cặp.
A đến E: 2 ô ngang, 2 ô dọc — E đến C: 2 ô ngang, 2 ô dọc — bằng nhau, E là trung điểm AC B đến E: 2 ô ngang, 2 ô dọc — E đến D: 2 ô ngang, 2 ô dọc — bằng nhau, E là trung điểm BD Các cặp A–B, A–D, B–C, C–D đều không nhận E làm điểm giữa
Vậy kết quả trùng Cách 1: E là trung điểm của cả AC và BD.
3Cách 3. Nhận ra ABDC là hình chữ nhật rồi dùng tính chất hai đường chéo
Định hướng. Bốn điểm A, D, C, B tạo thành các cạnh của một hình chữ nhật, nên không cần đo hết mọi cặp mà chỉ cần xét hai đường chéo.
A, D, C, B là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (các cạnh AD, DC, CB, BA vuông góc từng đôi một) AC và BD chính là hai đường chéo của hình chữ nhật đó Hai đường chéo hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Vậy E là trung điểm của cả AC lẫn BD, không cần đo từng đoạn một.
Nhận xét. Cách 3 dùng tính chất hình học đã biết để suy luận nhanh hơn, thay vì đo đếm từng cặp điểm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 khi đề cho lưới ô vuông: đếm ô cho kết quả chính xác tuyệt đối mà không phụ thuộc thước vẽ; Cách 3 chỉ nhanh khi đã nhận ra hình chữ nhật.
Đáp số.a) E là trung điểm của AC. b) E còn là trung điểm của đoạn thẳng BD.
Sai lầm thường gặp.Chỉ kiểm tra mỗi đoạn AC ở câu a) rồi bỏ qua câu b), hoặc thử thiếu một vài cặp điểm nên không phát hiện ra BD cũng nhận E làm trung điểm.
🚀 Mở rộng.Nếu thêm điểm thứ năm bất kỳ trên lưới không thẳng hàng đặc biệt với A, B, C, D thì hầu như sẽ không có thêm đoạn thẳng nào khác nhận E làm trung điểm — tính chất này chỉ đúng vì ABDC là hình chữ nhật.
Bài 9 · 8.16★Trang 56— Tìm độ dài cả đoạn thẳng khi biết khoảng cách từ trung điểm đến một mút
8.16 (trang 56). Tính độ dài của đoạn thẳng AB nếu trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm cách mút A một khoảng bằng 4,5 cm.
Kiến thức cần nhớ
I là trung điểm của AB thì AB = 2 × IA = 2 × IB.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho khoảng cách từ trung điểm I đến một mút (IA = 4,5 cm) và yêu cầu tìm ngược lại cả đoạn AB — đây là bài toán ngược của công thức AM = AB/2 vừa học. Chỉ cần nhân đôi khoảng cách đã cho.
1Cách 1. Nhân đôi trực tiếp theo công thức
Định hướng. I là trung điểm AB nên AB gấp đôi IA.
AB = 2 × IA = 2 × 4,5 = 9 (cm)
Vậy AB = 9 cm.
2Cách 2. Cộng hai đoạn bằng nhau IA và IB
Định hướng. I là trung điểm nên IA = IB, cộng hai đoạn này lại bằng cả AB.
IA = IB = 4,5 (cm) AB = IA + IB = 4,5 + 4,5 = 9 (cm)
Vậy AB = 9 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đặt ẩn AB rồi giải phương trình từ công thức trung điểm
Định hướng. Gọi x là độ dài AB, dùng công thức IA = AB/2 rồi giải ngược ra x.
IA = x : 2 4,5 = x : 2 x = 4,5 × 2 = 9
Vậy AB = 9 cm, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Ba cách chỉ khác cách trình bày, cùng bản chất "nhân đôi" một khoảng cách đã cho.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân duy nhất, nhanh và khó sai nhất.
Đáp số.AB = 9 cm.
Sai lầm thường gặp.Nhầm AB = IA = 4,5 cm (quên đây chỉ là một nửa đoạn thẳng, phải nhân đôi).
🚀 Mở rộng.Nếu biết IA = m cm thì AB luôn bằng 2m cm, không phụ thuộc giá trị cụ thể của m.
Bài 10 · 8.17★★★Trang 56— Trung điểm lồng nhau: tính ngược từ đoạn nhỏ nhất ra cả đoạn thẳng
8.17 (trang 56). Cho hình vẽ sau. Biết C là trung điểm của đoạn thẳng AB, D là trung điểm của đoạn thẳng AC. Biết rằng CD = 2 cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB.
Kiến thức cần nhớ
M là trung điểm của đoạn thẳng XY thì XY = 2 × MX = 2 × MY.
🧠 Phân tích tư duy
Đề có hai lớp trung điểm lồng nhau (C là trung điểm AB, D là trung điểm AC) nhưng lại cho biết độ dài của đoạn NHỎ NHẤT là DC — dấu hiệu phải đi NGƯỢC từ trong ra ngoài: từ DC suy ra AC, rồi từ AC suy ra AB. Bẫy là dễ nhầm CD với AD hoặc tính nhầm chiều nhân đôi.
1Cách 1. Suy ngược hai bước, mỗi bước nhân đôi
Định hướng. D là trung điểm AC nên tính được AC từ DC, rồi C là trung điểm AB nên tính được AB từ AC.
D là trung điểm AC: AC = 2 × DC = 2 × 2 = 4 (cm) C là trung điểm AB: AB = 2 × AC = 2 × 4 = 8 (cm)
Vậy AB = 8 cm.
2Cách 2. Đặt ẩn AB ngay từ đầu rồi giải phương trình
Định hướng. Gọi x là độ dài AB, biểu diễn DC theo x rồi giải phương trình từ dữ kiện DC = 2 cm.
C là trung điểm AB: AC = x : 2 D là trung điểm AC: DC = AC : 2 = x : 4 x : 4 = 2 x = 8
Vậy AB = 8 cm, khớp Cách 1.
3Cách 3. Dùng tỉ lệ tổng quát DC = AB/4
Định hướng. Gộp hai lần chia đôi liên tiếp thành một tỉ lệ chung của cả đoạn AB, áp dụng ngay một bước.
DC = 1/2 của AC = 1/2 của (1/2 của AB) = 1/4 của AB 2 = AB : 4 AB = 2 × 4 = 8
Vậy AB = 8 cm, cùng kết quả với hai cách trên.
Nhận xét. Với hai lớp trung điểm lồng nhau, đoạn nhỏ nhất luôn bằng 1/4 đoạn lớn nhất, tương tự bài Luyện tập trang 56.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: nhớ ngay tỉ lệ DC = AB/4 để ra kết quả trong một bước, không cần suy ngược hai lần.
Đáp số.AB = 8 cm.
Sai lầm thường gặp.Tính nhầm AC = DC = 2 cm (bỏ qua việc D chỉ là trung điểm của AC chứ không phải của AB), dẫn đến AB = 4 cm sai.
🚀 Mở rộng.Nếu có thêm lớp trung điểm thứ ba (E là trung điểm AD) thì đoạn ED sẽ bằng AB/8 — cứ thêm một lớp trung điểm lồng nhau, mẫu số lại nhân đôi.
Bài 11 · 8.18★★Trang 56— Tìm trung điểm ngoài thực tế bằng các dụng cụ khác nhau
8.18 (trang 56). Giả sử em có một cây gậy và muốn tìm điểm chính giữa của cây gậy đó. Em sẽ làm thế nào nếu: a) Dùng thước đo độ dài; b) Chỉ dùng một sợi dây đủ dài.
Kiến thức cần nhớ
Điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng (hay một vật thẳng) là trung điểm của đoạn (vật) đó.
🧠 Phân tích tư duy
Đề yêu cầu hai cách làm ứng với hai dụng cụ khác nhau (thước và sợi dây) — dấu hiệu phải nêu quy trình thao tác thực tế, không phải tính toán trên số cho sẵn. Với thước thì đo rồi chia đôi như các bài trước; với sợi dây thì phải nhờ vào thao tác gấp đôi giống HĐ2 vì sợi dây có thể gấp còn cây gậy thì không.
1Cách 1 (câu a). Dùng thước đo độ dài rồi đánh dấu
Định hướng. Đo cả chiều dài cây gậy, chia đôi rồi đo lại từ một đầu để đánh dấu.
Đo chiều dài cây gậy, được L Tính nửa chiều dài: L : 2 Đặt vạch 0 của thước trùng một đầu gậy, đo và đánh dấu đúng tại vị trí L : 2
Vậy điểm đánh dấu đó chính là điểm chính giữa (trung điểm) của cây gậy.
2Cách 2 (câu b). Dùng sợi dây gấp đôi rồi ướm lại lên gậy
Định hướng. Không đo bằng số, chỉ cần đặt sợi dây trùng đúng chiều dài gậy rồi lợi dụng thao tác gấp đôi để tìm điểm giữa, giống cách làm ở HĐ2.
Đặt sợi dây dọc theo cây gậy, đánh dấu (hoặc cắt) đúng bằng chiều dài gậy Gấp đôi đoạn dây đó sao cho hai đầu trùng nhau, đánh dấu chỗ gấp Đặt lại sợi dây đã gấp dọc theo gậy (từ một đầu gậy), điểm gấp rơi vào đâu trên gậy thì đó là điểm chính giữa
Vậy không cần biết số đo cụ thể, chỗ gấp của sợi dây khi ướm lại lên gậy chính là điểm chính giữa của cây gậy.
3Cách 3 (mở rộng). Cân bằng cây gậy trên một điểm tựa
Định hướng. Nếu cây gậy đồng chất (khối lượng phân bố đều), điểm chính giữa cũng chính là điểm cân bằng khi gác gậy lên một vật tựa mỏng.
Đặt cây gậy nằm ngang trên một điểm tựa (ví dụ một ngón tay hoặc cạnh bàn) Dịch điểm tựa qua lại cho đến khi gậy nằm thăng bằng, không nghiêng về bên nào Vị trí điểm tựa lúc thăng bằng chính là điểm chính giữa cây gậy
Vậy đây là cách thứ ba, không cần thước lẫn dây, dựa vào tính đối xứng của cây gậy — đúng như hình ảnh bập bênh ở đầu bài học.
Nhận xét. Cách 3 chỉ đúng khi cây gậy đồng chất; nếu gậy nặng không đều thì điểm cân bằng khối lượng có thể khác điểm chính giữa về độ dài.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi (thực hành) nên trình bày đủ cả câu a) và câu b) theo đúng dụng cụ đề cho; Cách 3 chỉ nêu thêm để mở rộng hiểu biết, không thay thế cho hai câu bắt buộc.
Đáp số.a) Đo chiều dài gậy rồi chia đôi, đo lại từ một đầu để đánh dấu điểm chính giữa. b) Đo chiều dài gậy bằng sợi dây, gấp đôi sợi dây đó rồi ướm lại lên gậy để xác định điểm chính giữa.
Sai lầm thường gặp.Với câu b), cố dùng sợi dây để "đo số đo" như dùng thước — trong khi ý chính của câu b) là lợi dụng việc GẤP ĐÔI sợi dây (không cần đọc số đo) để tìm điểm giữa.
🚀 Mở rộng.Cách làm ở câu b) chính là nguyên lí đo đạc thời xưa khi chưa có thước chia vạch: dùng vật mềm (dây, giấy) gấp đôi để chia đôi một khoảng cách bất kỳ.
