Bài 1 · 8.41★Trang 54— Kể tên góc từ ba tia chung gốc trong đó có hai tia đối nhau; nhận biết góc bẹt
8.41 (trang 54). Xem Hình 8.28. Kể tên các góc mà em thấy trên hình. Trong đó góc nào là góc bẹt?
Kiến thức cần nhớ
Với 3 tia chung gốc đôi một không trùng nhau, có 3 góc tạo thành.
Khi hai tia là hai tia đối nhau thì góc tạo bởi chúng là góc bẹt.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.28 có ba tia Oa, Ox, Oy chung gốc O, không tia nào trùng nhau, nên cứ chọn hai trong ba tia là được một góc — giống hệt cấu trúc đã gặp ở Câu hỏi trang 58 (SGK) với ba tia Oz, Oy, Ox. Điểm đặc biệt ở đây là Ox, Oy lại là hai tia đối nhau (cùng nằm trên một đường thẳng), nên góc tạo bởi riêng cặp này chắc chắn là góc bẹt.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo hình vẽ
Định hướng. Ghép lần lượt từng cặp trong ba tia Oa, Ox, Oy.
Vậy có 3 góc: xOy, aOx, aOy; vì Ox, Oy đối nhau nên xOy là góc bẹt.
2Cách 2. Đếm bằng số cách chọn 2 trong 3 tia
Định hướng. Với 3 tia chung gốc, số góc tạo thành luôn là 3 — dùng để kiểm tra không sót.
Số cách chọn 2 trong 3 tia = 3 Ba cặp: (Ox, Oy); (Oa, Ox); (Oa, Oy)
Vậy đúng 3 góc, khớp Cách 1; trong đó cặp tia đối nhau (Ox, Oy) cho góc bẹt.
3Cách 3. Kiểm chứng bằng đo góc
Định hướng. Dùng thước đo góc đo trực tiếp để xác nhận góc nào bằng 180°.
Đo góc xOy: hai cạnh Ox, Oy thẳng hàng → 180° Đo góc aOx và aOy: đều nhỏ hơn 180°, và tổng của chúng đúng bằng số đo góc xOy = 180°
Vậy chỉ xOy là góc bẹt, khớp hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: liệt kê trực tiếp theo hình là nhanh nhất; luôn để ý cặp tia nào đối nhau (nằm trên cùng một đường thẳng) để chỉ ra ngay góc bẹt mà không cần đo.
Đáp số.Có 3 góc: xOy, aOx, aOy. Trong đó xOy là góc bẹt vì Ox, Oy là hai tia đối nhau.
Sai lầm thường gặp.Chỉ kể hai góc "nhỏ" aOx, aOy mà quên góc bẹt xOy tạo bởi cặp tia đối nhau Ox, Oy — nhiều học sinh không để ý một đường thẳng cũng tạo ra góc.
🚀 Mở rộng.Đây chính là mô hình sẽ dùng lại ở các Bài 8.42, 8.43: khi có một tia Oa "cắt ngang" một đường thẳng xy tại O, hai góc aOx và aOy luôn có tổng số đo bằng 180° (vì cộng lại đúng bằng góc bẹt xOy) — đây là khái niệm hai góc kề bù sẽ học kĩ hơn ở Bài 37.
Bài 2 · 8.42★★Trang 54— Nhận xét quan hệ giữa các cạnh của hai góc có chung một cạnh, cạnh còn lại đối nhau
8.42 (trang 54). Xem Hình 8.28. Hãy nêu nhận xét về quan hệ giữa các cạnh của hai góc aOx và aOy.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau thì tổng hai góc đó bằng 180° (đây là một góc bẹt bị chia đôi bởi cạnh chung).
🧠 Phân tích tư duy
Hai góc aOx và aOy đều được tạo bởi tia Oa, nên Oa chính là cạnh chung của cả hai góc. Cạnh còn lại của góc này (Ox) và cạnh còn lại của góc kia (Oy) lại chính là hai tia đối nhau đã biết từ Hình 8.28, nên hai góc này không rời rạc mà "ghép khít" vào nhau tạo thành góc bẹt xOy.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp trên hình vẽ
Định hướng. Xác định cạnh chung và cạnh riêng của từng góc rồi so sánh.
Góc aOx tạo bởi Oa, Ox; góc aOy tạo bởi Oa, Oy Cạnh chung của hai góc: Oa Hai cạnh còn lại Ox, Oy là hai tia đối nhau (đã biết ở Bài 8.41)
Vậy hai góc aOx, aOy có cạnh chung là Oa, còn hai cạnh riêng Ox, Oy là hai tia đối nhau.
2Cách 2. Kiểm chứng bằng số đo góc
Định hướng. Dùng thước đo góc đo hai góc rồi cộng lại để kiểm tra quan hệ.
Đo góc aOx và góc aOy, cộng số đo hai góc lại Tổng đúng bằng 180° = số đo góc bẹt xOy (vì Oa nằm giữa hai tia Ox, Oy nên chia góc bẹt xOy thành đúng hai góc aOx, aOy)
Vậy ngoài quan hệ về cạnh (chung Oa, hai cạnh còn lại đối nhau), hai góc này còn có tổng số đo bằng 180°, xác nhận lại quan hệ tìm được ở Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Ghi nhớ mô hình này: hễ thấy một tia "cắt ngang" một đường thẳng tại một điểm, hai góc tạo thành luôn chung một cạnh và có hai cạnh còn lại đối nhau — đây chính là hai góc kề bù, tổng bằng 180°.
Đáp số.Hai góc aOx và aOy có cạnh chung là Oa; hai cạnh còn lại Ox và Oy là hai tia đối nhau (nên tổng số đo hai góc này bằng 180°).
Sai lầm thường gặp.Chỉ nêu "có cạnh chung là Oa" mà quên nhận xét thêm về quan hệ đối nhau của hai cạnh còn lại Ox, Oy — đây mới là ý quan trọng để giải thích vì sao hai góc "ghép khít" thành góc bẹt.
🚀 Mở rộng.Hai góc có chung một cạnh và hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù — tổng số đo luôn bằng 180°; đây là kiến thức sẽ học chính thức ở Bài 37. Số đo góc.
Bài 3 · 8.43★★Trang 54— Xét xem điểm trong của góc này có thể đồng thời là điểm trong của góc kia hay không, khi hai góc chỉ chung một cạnh
8.43 (trang 54). Một điểm trong của góc aOx có thể cũng là điểm trong của góc aOy hay không? Hãy nêu một nhận xét tương tự đối với các điểm trong của góc aOy.
Kiến thức cần nhớ
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc, không thuộc cạnh nào của góc.
🧠 Phân tích tư duy
Góc aOx và góc aOy (ở Hình 8.28) chỉ có chung đúng một cạnh là Oa; ngoài cạnh chung đó, miền trong của hai góc nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng xy (vì Ox, Oy đối nhau). Muốn trả lời câu hỏi, chỉ cần chỉ ra: điểm chung duy nhất có thể có giữa hai góc chỉ nằm trên cạnh Oa, mà điểm trên cạnh thì không phải là điểm trong.
1Cách 1. Lập luận trực tiếp bằng định nghĩa điểm trong
Định hướng. Xét xem hai miền trong của hai góc có phần nào chung nhau không.
Góc aOx nằm về phía tia Ox của đường thẳng xy Góc aOy nằm về phía tia Oy của đường thẳng xy (phía đối diện) Hai miền trong này chỉ có thể "gặp nhau" trên đường biên chung, mà đường biên chung của hai góc chính là cạnh Oa Các điểm trên Oa lại không phải điểm trong của góc nào (vì điểm trong không được thuộc cạnh)
Vậy một điểm trong của góc aOx không thể đồng thời là điểm trong của góc aOy; tương tự, điểm trong của góc aOy cũng không thể là điểm trong của góc aOx.
2Cách 2. Kiểm tra bằng một điểm thử cụ thể
Định hướng. Thử lấy một điểm P bất kì là điểm trong của góc aOx rồi kiểm tra xem P có nằm trong góc aOy không.
Lấy P là điểm trong của góc aOx: P nằm giữa hai cạnh Oa, Ox, về phía tia Ox Vì Ox, Oy đối nhau nên phía tia Ox và phía tia Oy là hai phía khác nhau, cách nhau bởi đường thẳng chứa Oa kéo dài Do P ở phía Ox nên P không thể đồng thời ở phía Oy → P không phải điểm trong của góc aOy
Vậy kết quả khớp Cách 1: không có điểm nào vừa là điểm trong của aOx vừa là điểm trong của aOy.
3Cách 3. Lập luận bằng tính chất nửa mặt phẳng
Định hướng. Coi đường thẳng xy chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy.
Miền trong góc aOx nằm trọn trong nửa mặt phẳng chứa tia Ox Miền trong góc aOy nằm trọn trong nửa mặt phẳng chứa tia Oy Hai nửa mặt phẳng bờ xy này không có điểm chung nào (trừ chính đường thẳng xy, mà đường thẳng xy không cắt miền trong của góc nào)
Vậy hai miền trong của hai góc hoàn toàn tách biệt, khẳng định lại kết luận ở hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi trình bày theo Cách 1: chỉ ra đường biên chung (cạnh Oa) không chứa điểm trong của góc nào — ngắn gọn và chặt chẽ nhất.
Đáp số.Một điểm trong của góc aOx không thể là điểm trong của góc aOy, và ngược lại, một điểm trong của góc aOy cũng không thể là điểm trong của góc aOx.
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng vì hai góc "gần nhau" (chung cạnh Oa) nên miền trong của chúng cũng giao nhau — thực ra chính vì Ox, Oy đối nhau nên hai miền trong lại nằm về hai phía tách biệt hẳn nhau.
🚀 Mở rộng.Kết quả này đúng với mọi cặp góc kề bù (chung một cạnh, hai cạnh còn lại đối nhau): miền trong của hai góc kề bù luôn tách biệt nhau, chỉ "chạm" nhau đúng tại cạnh chung — đây là nền tảng để sau này phân biệt rõ các nửa mặt phẳng khi học về tia phân giác của góc.
Bài 4 · 8.44★★★Trang 54— Xét điểm trên tia OA (A là điểm trong của góc) có là điểm trong của góc xOy không; điền từ vào nhận xét tổng quát
8.44 (trang 54). Gọi A là một điểm trong tùy ý của góc xOy không bẹt. Trên tia OA, ta lấy điểm M tùy ý khác O. a) Vẽ hình và cho biết M có là điểm trong của góc xOy không? b) Điền từ thích hợp vào chỗ chấm trong nhận xét sau: Nếu tia OA chứa một … của góc xOy thì mọi điểm khác O của tia OA đều là … của góc xOy.
Kiến thức cần nhớ
Nếu A là điểm trong của góc xOy (không bẹt) thì tia OA nằm trọn trong góc xOy, nghĩa là mọi điểm khác O thuộc tia OA đều là điểm trong của góc xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Muốn biết M (một điểm bất kì khác O trên tia OA) có phải điểm trong của góc xOy không, ta dùng đúng tính chất đã gặp ở Luyện tập 2 (SGK trang 60): nếu lấy B thuộc Ox, C thuộc Oy sao cho đoạn BC cắt tia OA, thì mọi điểm của tia OA nằm giữa O và giao điểm đó (hoặc trùng giao điểm) đều là điểm trong của góc — vì tia OA nằm hẳn trong góc xOy (do A là điểm trong). Dấu hiệu mấu chốt là: một khi cả tia OA đã nằm trọn trong góc thì mọi điểm khác O trên tia đó, dù gần hay xa O, đều thừa hưởng tính chất "điểm trong" của A.
1Cách 1. Dựng đoạn thẳng cắt hai cạnh của góc để kiểm chứng
a) Định hướng. Lấy B ∈ Ox, C ∈ Oy rồi nối B, C; đoạn BC sẽ cắt tia OA vì A nằm trong góc xOy.
Vẽ góc xOy không bẹt, lấy A là điểm trong, lấy M tuỳ ý khác O trên tia OA Lấy B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho đoạn BC cắt tia OA (luôn làm được vì A ở trong góc) Theo tính chất đoạn nối hai cạnh của một góc (đã học ở Luyện tập 2, SGK trang 60): mọi điểm nằm giữa B và C, khi nối lại bằng tia gốc O, đều cho điểm trong của góc xOy M nằm trên tia OA, cùng phía với giao điểm của BC và OA → M cũng là điểm trong của góc xOy
Vậy a) M là điểm trong của góc xOy. b) Nếu tia OA chứa một điểm trong của góc xOy thì mọi điểm khác O của tia OA đều là điểm trong của góc xOy.
2Cách 2. Lập luận bằng vị trí so với hai cạnh của góc
Định hướng. Vì A là điểm trong của góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox, Oy (không trùng cạnh nào). Mọi điểm khác O trên tia OA cũng tạo với O một tia trùng OA, nên cũng nằm giữa Ox, Oy.
A là điểm trong góc xOy → tia OA nằm giữa Ox và Oy M khác O, M thuộc tia OA → tia OM trùng với tia OA (vì cùng gốc O, cùng hướng) Tia OM trùng OA nên cũng nằm giữa Ox và Oy → M là điểm trong của góc xOy
Vậy kết luận khớp Cách 1: M luôn là điểm trong của góc xOy, không phụ thuộc M ở gần hay xa O trên tia OA.
3Cách 3. Minh hoạ bằng một trường hợp cụ thể
Định hướng. Thử với một góc xOy cụ thể và vài vị trí khác nhau của M trên tia OA để kiểm chứng quy luật.
Vẽ góc xOy cụ thể, lấy A trong góc, lấy M1 gần O, M2 xa O hơn A, đều trên tia OA Kiểm tra trực tiếp trên hình: cả M1 và M2 đều nằm giữa hai cạnh Ox, Oy, không thuộc cạnh nào
Vậy dù M ở gần hay xa O hơn A, M vẫn luôn là điểm trong của góc xOy — xác nhận đúng quy luật tổng quát ở Cách 1, Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (lập luận bằng tia OM trùng tia OA) là ngắn gọn và chặt chẽ nhất để giải thích phần a); phần b) chỉ cần điền đúng cụm từ "điểm trong" vào cả hai chỗ trống.
Đáp số.a) M là điểm trong của góc xOy. b) Nếu tia OA chứa một điểm trong của góc xOy thì mọi điểm khác O của tia OA đều là điểm trong của góc xOy.
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng chỉ điểm A (điểm đã cho ban đầu) mới là điểm trong, còn các điểm khác trên tia OA (như M) thì không chắc chắn — thực ra cả tia OA (trừ gốc O) đều là điểm trong của góc.
🚀 Mở rộng.Kết quả bài này chính là chiều "nếu tia thì mọi điểm" của mối quan hệ điểm trong góc; chiều ngược lại (điểm nằm giữa hai điểm trên hai cạnh) sẽ được khai thác ở Bài 8.45, 8.46, và tổng hợp đầy đủ cả hai chiều ở Bài 8.47.
Bài 5 · 8.45★★★Trang 54— Xác định điểm nằm giữa khi một đường thẳng qua điểm trong của góc cắt hai cạnh của góc
8.45 (trang 54). Vẽ góc xOy không bẹt và điểm M là điểm trong của góc đó. Qua M, vẽ một đường thẳng cắt hai cạnh của góc tại A và B sao cho A ∈ Ox và B ∈ Oy. Hỏi trong ba điểm A, B và M, điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Kiến thức cần nhớ
Nếu A thuộc một cạnh, B thuộc cạnh còn lại của góc xOy (không bẹt) thì mọi điểm nằm giữa A và B đều là điểm trong của góc xOy; điểm trên đường thẳng AB nhưng ngoài đoạn AB thì không phải điểm trong của góc.
🧠 Phân tích tư duy
Ba điểm A, B, M cùng nằm trên một đường thẳng (do đường thẳng qua M cắt Ox tại A, cắt Oy tại B). M lại là điểm trong của góc xOy, tức là nằm ở miền giữa hai cạnh Ox, Oy — đúng là phần "giữa" A và B trên đoạn nối hai cạnh, giống hệt tính chất đã khám phá ở Luyện tập 2 (SGK trang 60): đoạn thẳng nối một điểm trên cạnh này với một điểm trên cạnh kia luôn nằm trọn trong góc, còn phần đường thẳng kéo dài ra ngoài đoạn đó thì nằm ngoài góc.
1Cách 1. Dùng tính chất đoạn nối hai cạnh của góc
Định hướng. Đối chiếu với tính chất: đoạn AB (A ∈ Ox, B ∈ Oy) luôn nằm trọn trong góc xOy, còn phần đường thẳng AB kéo dài ra ngoài đoạn AB thì nằm ngoài góc.
M là điểm trong của góc xOy, đồng thời M thuộc đường thẳng AB Nếu M nằm ngoài đoạn AB (tức A nằm giữa M, B hoặc B nằm giữa M, A) thì M sẽ rơi vào phần đường thẳng kéo dài ra ngoài đoạn AB — mà phần đó luôn nằm ngoài góc xOy, mâu thuẫn với giả thiết M là điểm trong Vậy M chỉ có thể nằm trong đoạn AB, tức M nằm giữa A và B
Vậy điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
2Cách 2. Lập luận bằng phản chứng
Định hướng. Giả sử A nằm giữa M và B (một trường hợp khác M nằm giữa), rồi chỉ ra vô lí.
Giả sử A nằm giữa M và B: khi đó M nằm về phía kéo dài của đoạn AB, quá điểm A Theo tính chất đã học, phần đường thẳng AB kéo dài quá A luôn nằm ngoài góc xOy (vượt ra ngoài cạnh Ox) Suy ra M nằm ngoài góc xOy — trái với giả thiết M là điểm trong của góc xOy
Vậy giả sử sai, tức A không nằm giữa M và B; tương tự B cũng không nằm giữa M và A — nên chỉ còn khả năng M nằm giữa A và B.
3Cách 3. Minh hoạ bằng hình vẽ cụ thể
Định hướng. Vẽ một góc xOy cụ thể, chọn M trong góc, kẻ đường thẳng qua M cắt Ox tại A, cắt Oy tại B rồi quan sát trực tiếp thứ tự ba điểm.
Trên hình vừa vẽ: đi từ B (trên Oy) đến A (trên Ox) dọc theo đường thẳng vừa kẻ, ta luôn gặp M ở giữa quãng đường Thử vẽ lại với vị trí M khác (gần Ox hơn hoặc gần Oy hơn) vẫn cho cùng kết quả: M luôn ở giữa A và B
Vậy quan sát trên nhiều hình vẽ cụ thể đều xác nhận: M nằm giữa A và B, khớp với lập luận tổng quát ở Cách 1, Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 (dựa trực tiếp vào tính chất đoạn nối hai cạnh của góc luôn nằm trong góc) là ngắn gọn nhất; Cách 2 (phản chứng) dùng khi cần trình bày chặt chẽ, đầy đủ lập luận.
Đáp số.Điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Sai lầm thường gặp.Nhầm lẫn cho rằng thứ tự ba điểm phụ thuộc vào hình vẽ cụ thể (có thể là A hoặc B nằm giữa) — thực ra với M là điểm trong của góc, M luôn là điểm nằm giữa, không phụ thuộc cách vẽ.
🚀 Mở rộng.Đây chính là chiều "điểm trong góc thì nằm giữa" của mối quan hệ hai khái niệm điểm trong của góc và điểm nằm giữa hai điểm; chiều ngược lại được khai thác ở Bài 8.46, và Bài 8.47 sẽ tổng hợp đầy đủ cả hai chiều thành một nhận xét chung.
Bài 6 · 8.46★★Trang 54— Xác định điểm nằm giữa hai điểm trên hai cạnh của góc có phải là điểm trong của góc hay không
8.46 (trang 54). Trên hai cạnh của góc xOy, ta lấy hai điểm A và B không trùng với O sao cho A ∈ Ox, B ∈ Oy. Gọi M là một điểm tùy ý nằm giữa hai điểm A và B. Hỏi M có phải là một điểm trong của góc xOy hay không?
Kiến thức cần nhớ
Nếu A thuộc một cạnh, B thuộc cạnh còn lại của góc xOy (không bẹt) thì mọi điểm nằm giữa A và B đều là điểm trong của góc xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Đây là chiều ngược lại của Bài 8.45: thay vì xuất phát từ điểm trong của góc để suy ra điểm nằm giữa, bài này xuất phát từ hai điểm A, B trên hai cạnh và một điểm M nằm giữa chúng, rồi hỏi M có phải điểm trong của góc không. Đây đúng là tính chất đã nêu ở Luyện tập 2 (SGK trang 60): nếu A thuộc một cạnh, B thuộc cạnh còn lại của góc xOy thì mọi điểm nằm giữa A và B đều là điểm trong của góc.
1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất đã học
Định hướng. Đối chiếu trực tiếp với tính chất: đoạn nối một điểm trên cạnh này với một điểm trên cạnh kia luôn nằm trọn trong góc.
A ∈ Ox, B ∈ Oy (A, B khác O) M nằm giữa A và B, tức M thuộc đoạn thẳng AB Theo tính chất: đoạn AB nằm trọn trong góc xOy (trừ hai đầu mút A, B nằm trên cạnh) → M (khác A, B) là điểm trong của góc xOy
Vậy M là một điểm trong của góc xOy.
2Cách 2. Dựng tia OM rồi xét vị trí so với Ox, Oy
Định hướng. Vẽ tia OM và chứng tỏ tia này nằm giữa hai tia Ox, Oy.
Vì M nằm giữa A và B nên tia OM nằm giữa hai tia OA (trùng Ox) và OB (trùng Oy) — đây là tính chất quen thuộc: nối gốc O tới một điểm nằm giữa hai điểm trên hai cạnh thì tia đó nằm giữa hai cạnh Tia OM nằm giữa Ox và Oy, đồng thời M không thuộc Ox hay Oy (vì M nằm giữa A, B, khác cả hai) → M là điểm trong của góc xOy
Vậy kết luận khớp Cách 1: M là điểm trong của góc xOy.
3Cách 3. Kiểm chứng bằng hình vẽ cụ thể
Định hướng. Vẽ một góc xOy cụ thể, lấy A, B trên hai cạnh, thử nhiều vị trí khác nhau của M trên đoạn AB.
Với M ở gần A, gần B, hoặc chính giữa A và B: mọi vị trí đều cho M nằm giữa hai cạnh Ox, Oy, không thuộc cạnh nào
Vậy dù M ở vị trí nào trên đoạn AB (miễn nằm giữa A và B), M luôn là điểm trong của góc xOy — khớp với Cách 1, Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng tính chất đã học ở Luyện tập 2 (SGK) là nhanh và chuẩn nhất, không cần chứng minh lại từ đầu.
Đáp số.M là một điểm trong của góc xOy.
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng chỉ có điểm chính giữa đoạn AB mới là điểm trong, còn các điểm khác nằm giữa A và B (không phải trung điểm) thì không chắc — thực ra mọi điểm nằm giữa A và B, bất kể ở vị trí nào, đều là điểm trong của góc.
🚀 Mở rộng.Ghép Bài 8.45 và Bài 8.46 lại, ta có đầy đủ hai chiều của một tính chất "nếu và chỉ nếu": M là điểm trong của góc xOy (không bẹt) khi và chỉ khi tồn tại A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho M nằm giữa A và B — đây chính là nội dung được tổng hợp ở Bài 8.47 ngay sau đây.
Bài 7 · 8.47★★★Trang 54— Tổng hợp hai chiều của tính chất liên hệ giữa điểm trong của góc và điểm nằm giữa hai điểm trên hai cạnh
8.47 (trang 54). Cho góc xOy không bẹt. Từ hai bài 8.45 và 8.46, hãy nêu nhận xét về quan hệ giữa hai khái niệm: điểm trong của một góc và điểm nằm giữa hai điểm.
Kiến thức cần nhớ
Với góc xOy không bẹt: M là điểm trong của góc xOy khi và chỉ khi tồn tại A thuộc Ox, B thuộc Oy (A, B khác O) sao cho M nằm giữa A và B.
🧠 Phân tích tư duy
Bài 8.45 đã chỉ ra chiều thứ nhất: nếu M là điểm trong của góc xOy thì đường thẳng qua M cắt hai cạnh tại A, B sẽ cho M nằm giữa A và B. Bài 8.46 chỉ ra chiều ngược lại: nếu M nằm giữa hai điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy thì M là điểm trong của góc xOy. Ghép hai chiều này lại đúng là một khẳng định "nếu và chỉ nếu" hoàn chỉnh.
1Cách 1. Ghép hai chiều đã chứng minh ở hai bài trước
Định hướng. Nhắc lại đúng nội dung hai bài 8.45, 8.46 rồi ghép thành một phát biểu hai chiều.
Chiều 1 (Bài 8.45): M là điểm trong của góc xOy, A, B là hai điểm trên hai cạnh sao cho A, M, B thẳng hàng → M nằm giữa A và B Chiều 2 (Bài 8.46): M nằm giữa A ∈ Ox và B ∈ Oy (A, B khác O) → M là điểm trong của góc xOy
Vậy với góc xOy không bẹt: M là điểm trong của góc xOy khi và chỉ khi M nằm giữa hai điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy nào đó (A, B khác O).
2Cách 2. Minh hoạ lại bằng một hình vẽ tổng hợp
Định hướng. Vẽ một góc xOy, chọn A ∈ Ox, B ∈ Oy, lấy M nằm giữa A, B; đồng thời thử một điểm N ở ngoài đoạn AB (trên đường thẳng AB kéo dài) để đối chứng.
M nằm giữa A, B: M là điểm trong của góc xOy (theo Bài 8.46) N nằm ngoài đoạn AB, trên đường thẳng AB kéo dài: N không là điểm trong của góc xOy (giống điểm K ở Luyện tập 2, SGK trang 60)
Vậy hình vẽ minh hoạ khẳng định đúng hai chiều: "nằm giữa A, B" gắn liền với "là điểm trong của góc", còn nằm ngoài đoạn AB thì không phải điểm trong — khớp với Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Khi trình bày, nên nêu rõ cả hai chiều của tính chất (không chỉ một chiều) vì đề bài yêu cầu "nhận xét về quan hệ" — tức là phải nêu đủ cả hai mối liên hệ qua lại.
Đáp số.Với góc xOy không bẹt: M là điểm trong của góc xOy khi và chỉ khi tồn tại A ∈ Ox, B ∈ Oy (A, B khác O) sao cho M nằm giữa A và B.
Sai lầm thường gặp.Chỉ nêu một chiều (ví dụ chỉ nói "điểm trong của góc thì nằm giữa hai điểm trên hai cạnh") mà quên chiều ngược lại, trong khi đề bài yêu cầu nhận xét đầy đủ mối quan hệ giữa hai khái niệm, tức là cả hai chiều.
🚀 Mở rộng.Tính chất hai chiều này chính là một cách định nghĩa tương đương của "điểm trong của một góc", thường được dùng thay cho định nghĩa gốc khi cần chứng minh một điểm nằm trong góc ở các bài toán hình học phức tạp hơn tại các lớp trên.
