Bài 1 · Câu hỏi (trang 58)★Trang 58— Đọc tên góc, chỉ ra đỉnh và cạnh của góc khi biết ba tia chung gốc
Câu hỏi (trang 58). Quan sát Hình 8.45 và đọc tên các góc trong hình vẽ. Với mỗi góc, hãy cho biết đỉnh và các cạnh của nó.
Kiến thức cần nhớ
Góc là hình gồm hai tia chung gốc; gốc chung là đỉnh, hai tia là hai cạnh của góc.
Với n tia chung gốc đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành đúng bằng số cách chọn 2 tia trong n tia đó.
🧠 Phân tích tư duy
Hình 8.45 có ba tia Oz, Oy, Ox cùng chung gốc O, không có hai tia nào trùng nhau. Cứ chọn hai trong ba tia đó là được một góc, nên việc còn lại chỉ là liệt kê đủ, không thừa không sót, các cặp tia có thể chọn. Dấu hiệu nhận biết đỉnh và cạnh rất đơn giản: gốc chung của các tia luôn là đỉnh, còn bản thân hai tia được chọn chính là hai cạnh.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo thứ tự các tia trên hình
Định hướng. Đi lần lượt từ tia này sang tia bên cạnh để không bỏ sót cặp nào.
Hai tia Oz và Oy tạo thành góc zOy Hai tia Oy và Ox tạo thành góc yOx (hay xOy) Hai tia Oz và Ox tạo thành góc zOx (hay xOz)
Vậy có 3 góc: zOy, xOy, xOz, đỉnh chung là O.
2Cách 2. Đếm bằng số cách chọn 2 trong 3 tia
Định hướng. Có 3 tia chung gốc, đôi một không trùng nhau nên số góc tạo thành bằng số cách chọn 2 tia trong 3 tia.
Số cách chọn 2 trong 3 tia = 3 Ba cặp đó là: (Oz, Oy); (Oy, Ox); (Oz, Ox)
Vậy có đúng 3 góc, khớp với Cách 1, không thiếu không thừa.
3Cách 3. Lập bảng đối chiếu từng cặp tia
Định hướng. Ghi tên ba tia thành một bảng vuông rồi đánh dấu từng ô để kiểm tra chéo, tránh đếm trùng.
Oz–Oy: có góc zOy Oz–Ox: có góc zOx Oy–Ox: có góc yOx (ô Oz–Oz, Oy–Oy, Ox–Ox không tính vì một tia không tạo góc với chính nó)
Vậy bảng cho đúng 3 góc, thống nhất với hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Với số tia ít (2-3 tia) nên dùng Cách 1 liệt kê trực tiếp cho nhanh; khi số tia nhiều hơn (4 tia trở lên) nên dùng Cách 2 (công thức đếm) để không bỏ sót.
Đáp số.Có 3 góc: zOy, xOy (hay yOx), xOz (hay zOx). Cả ba góc đều có đỉnh O; cạnh lần lượt là (Oz, Oy), (Ox, Oy), (Ox, Oz).
Sai lầm thường gặp.Chỉ đọc tên 2 góc "nhìn thấy rõ" (zOy và yOx) mà quên góc "lớn" zOx tạo bởi hai tia ngoài cùng.
🚀 Mở rộng.Nếu hình vẽ có n tia chung gốc, đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành luôn là 2n(n−1) — đây chính là ý tưởng dùng lại ở Bài 8.28 cuối bài với n = 3 (không có hai tia nào đối nhau).
Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 59— Gọi tên góc từ hình có sẵn và từ hình tự dựng; nhận biết góc bẹt
Luyện tập 1 (trang 59). ① Quan sát Hình 8.46 và gọi tên các góc có đỉnh là A, B trong hình vẽ. ② Vẽ hình theo hướng dẫn sau: – Vẽ đường thẳng xy. – Lấy điểm A thuộc đường thẳng xy. – Lấy điểm B không thuộc đường thẳng xy. – Nối A và B. a) Em hãy đọc tên các góc có trong hình vừa vẽ; b) Trong các góc đó, hãy chỉ ra góc bẹt.
Kiến thức cần nhớ
Với 3 tia chung gốc đôi một không trùng nhau, có 3 góc tạo thành.
Khi hai tia là hai tia đối nhau thì góc tạo bởi chúng là góc bẹt (bằng 180°).
🧠 Phân tích tư duy
Câu ① có 3 tia thật sự tại mỗi đỉnh A, B của hình chữ nhật (hai cạnh và một đường chéo), nên tại mỗi đỉnh có 3 góc — dễ sót nếu chỉ nhìn góc "to" của hình chữ nhật mà quên hai góc nhỏ do đường chéo chia ra. Câu ② thực chất dựng lại đúng tình huống "điểm thuộc đường thẳng" đã học: A nằm trên xy nên Ax, Ay là hai tia đối nhau, cộng thêm tia AB là đủ 3 tia tại A, trong đó cặp Ax, Ay chắc chắn cho một góc bẹt.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo hình vẽ
① Định hướng. Tại A có 3 tia AB, AD, AC (đường chéo); tại B có 3 tia BA, BC, BD.
② Định hướng. Dựng xy, lấy A trên xy (nên Ax, Ay đối nhau), lấy B ngoài xy, nối AB.
Tại A có 3 tia: Ax, Ay, AB Ba góc tạo thành: xAB, yAB, xAy
Vậy a) có 3 góc kể trên; b) góc bẹt là xAy vì Ax, Ay là hai tia đối nhau.
2Cách 2. Dùng công thức số góc tạo bởi 3 tia chung gốc
Định hướng. Với 3 tia chung gốc, số góc luôn là 3 (theo Cách 2 của Câu hỏi trang 58) — dùng để kiểm tra không thiếu, không thừa.
① Tại A: 3 tia AB, AD, AC → đúng 3 góc BAD, BAC, CAD ① Tại B: 3 tia BA, BC, BD → đúng 3 góc ABC, ABD, DBC ② Tại A: 3 tia Ax, Ay, AB → đúng 3 góc xAy, xAB, yAB
Vậy mỗi đỉnh đều cho đủ 3 góc, khớp với Cách 1; riêng xAy là góc bẹt vì Ax, Ay đối nhau.
3Cách 3. Kiểm chứng bằng đo góc trên hình vẽ
Định hướng. Dùng thước đo góc đo trực tiếp trên hình đã vẽ để xác nhận góc nào là góc bẹt.
Đo góc xAy: hai cạnh Ax, Ay thẳng hàng, số đo = 180° Đo góc xAB và yAB: mỗi góc đều nhỏ hơn 180° Đo các góc tại A, B của Hình 8.46: đều nhỏ hơn 180°
Vậy chỉ có xAy là góc bẹt, đúng như hai cách suy luận trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: liệt kê trực tiếp theo hình luôn nhanh và chắc chắn với số tia ít; Cách 2 dùng để tự kiểm tra lại cho khỏi sót góc.
Đáp số.① Đỉnh A: BAD, BAC, CAD. Đỉnh B: ABC, ABD, DBC. ② a) Ba góc: xAB, yAB, xAy. b) Góc bẹt là xAy.
Sai lầm thường gặp.Ở ①, chỉ kể góc "nguyên" của hình chữ nhật (BAD, ABC) mà quên hai góc nhỏ do đường chéo AC, BD chia ra; ở ②, quên rằng A thuộc xy nghĩa là Ax, Ay đối nhau nên bỏ sót góc bẹt.
🚀 Mở rộng.Nếu ở câu ② lấy thêm một điểm C khác thuộc xy (C khác A) thì tại A sẽ có 4 tia (Ax, Ay, AB, AC), khi đó số góc tăng lên C(4,2) = 6, trong đó vẫn chỉ có đúng 1 góc bẹt là xAy.
Bài 3 · Vận dụng 1★Trang 59— Liên hệ hình ảnh góc trong thực tiễn, chỉ ra đỉnh và cạnh của góc
Vận dụng 1 (trang 59). Compa là một dụng cụ học tập quen thuộc của các em học sinh. Mở chiếc compa ra ta thấy hình ảnh của một góc, trong đó hai cạnh của compa là hai cạnh của góc, đỉnh của compa là đỉnh của góc (Hình 8.47). Em hãy tìm thêm trong thực tiễn các hình ảnh của góc và mô tả đỉnh, cạnh của các góc đó.
Kiến thức cần nhớ
Góc là hình gồm hai tia chung gốc; nhận diện góc trong thực tế bằng cách tìm điểm chung cố định (đỉnh) và hai bộ phận thẳng xuất phát từ đó (cạnh).
🧠 Phân tích tư duy
Đây là câu hỏi liên hệ thực tế, mở, không có một đáp số duy nhất. Nhiệm vụ chỉ là chỉ đúng bộ phận nào đóng vai trò "đỉnh" (điểm chung cố định) và bộ phận nào đóng vai trò "cạnh" (hai bộ phận thẳng, cứng, xuất phát từ đỉnh đó) trong mỗi vật thật. Dấu hiệu nhận biết nhanh: vật đó phải có đúng một điểm nối cố định và hai bộ phận thẳng toả ra từ điểm nối đó.
1Cách 1. Tìm ví dụ trong đồ dùng học tập
Định hướng. Quan sát các dụng cụ học tập có hai bộ phận thẳng nối với nhau tại một điểm cố định.
Chiếc ê-ke: đỉnh là góc nhọn hoặc góc vuông của ê-ke, hai cạnh là hai mép thẳng của ê-ke gặp nhau tại đỉnh đó Chiếc kéo (khi mở ra): đỉnh là chốt nối hai lưỡi kéo, hai cạnh là hai lưỡi kéo Quyển sách mở ra: đỉnh là gáy sách, hai cạnh là mép ngoài của hai trang bìa
Vậy mỗi vật đều cho một hình ảnh của góc với đỉnh và hai cạnh rõ ràng.
2Cách 2. Tìm ví dụ trong đời sống hằng ngày
Định hướng. Quan sát các vật quen thuộc khác ngoài đồ dùng học tập.
Cánh cửa khi mở: đỉnh là bản lề cửa, hai cạnh là mép cửa và mép khung cửa Kim đồng hồ tại một thời điểm: đỉnh là tâm đồng hồ, hai cạnh là kim giờ và kim phút Hai kim đồng hồ đo góc (một loại dụng cụ đo góc): đỉnh là trục quay, hai cạnh là hai thanh đo
Vậy trong đời sống có rất nhiều hình ảnh của góc, miễn là tìm đúng điểm chung cố định (đỉnh) và hai bộ phận thẳng (cạnh).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đây là câu hỏi liên hệ thực tế, mở, chỉ có 1 cách làm bản chất là quan sát và mô tả đúng đỉnh — cạnh; Cách 1, 2 chỉ khác nhau ở nhóm ví dụ minh hoạ (đồ dùng học tập / đời sống), không phải hai phương pháp giải toán khác bản chất.
Đáp số.Có nhiều hình ảnh của góc trong thực tế, ví dụ: ê-ke, kéo, quyển sách mở, cánh cửa mở, kim đồng hồ — mỗi vật đều có một đỉnh (điểm chung cố định) và hai cạnh (hai bộ phận thẳng xuất phát từ đỉnh).
Sai lầm thường gặp.Nhầm lẫn chọn vật không có điểm chung cố định (ví dụ hai que tính rời nhau) làm ví dụ về góc — như vậy không có đỉnh chung nên không tạo thành góc.
🚀 Mở rộng.Độ mở của compa, kéo hay cửa chính là số đo của góc tạo bởi hai cạnh đó; compa mở càng rộng thì góc ở đỉnh compa càng lớn — đây là ý tưởng sẽ gặp lại khi học số đo góc ở bài sau.
Bài 4 · HĐ1★Trang 59— Nhận biết điểm nằm trong một góc qua tình huống thực tế (góc sút bóng đá)
HĐ1 (trang 59). Quan sát Hình 8.42 và cho biết cầu thủ nào nằm trong góc sút.
Kiến thức cần nhớ
Một điểm nằm trong một góc (không phải góc bẹt) nếu nó nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc, không nằm trên cạnh nào.
🧠 Phân tích tư duy
"Góc sút" ở đây là góc có đỉnh tại chân cầu thủ đang sút bóng, hai cạnh là hai tia nối từ điểm đó tới hai cột dọc của khung thành (thể hiện bằng hai đường nét đứt trong hình). Cầu thủ nào đứng ở vị trí lọt giữa hai đường nét đứt đó thì nằm trong góc sút, còn đứng lệch hẳn ra ngoài vùng giới hạn bởi hai tia thì không.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp vị trí trên hình
Định hướng. So sánh vị trí từng cầu thủ với hai đường nét đứt nối từ chân cầu thủ sút đến hai cột dọc.
Cầu thủ đứng trong khung thành (giữa hai đường nét đứt): lọt vào miền giữa hai cạnh của góc sút Cầu thủ đứng lệch hẳn sang bên phải, ngoài hai đường nét đứt: nằm ngoài miền đó
Vậy cầu thủ đứng trong khung thành, giữa hai đường nét đứt, nằm trong góc sút; cầu thủ đứng lệch ngoài hai đường đó thì không.
2Cách 2. Kiểm tra bằng tia nối tới vị trí cầu thủ
Định hướng. Từ chân cầu thủ sút, thử vẽ một tia tới từng cầu thủ và xem tia đó có nằm giữa hai tia nét đứt (hai cạnh của góc) hay không.
Tia nối tới cầu thủ đứng trong khung thành: nằm giữa hai tia nối tới hai cột dọc Tia nối tới cầu thủ đứng lệch phải: không nằm giữa hai tia đó, mà lệch hẳn ra ngoài
Vậy kết quả trùng với Cách 1: chỉ cầu thủ có tia nối "lọt" giữa hai cạnh góc sút mới nằm trong góc sút.
3Cách 3. Đối chiếu với định nghĩa điểm trong của góc
Định hướng. Áp dụng đúng định nghĩa vừa học ở mục 2: điểm trong của góc là điểm nằm ở miền trong, không thuộc hai cạnh.
Góc sút có đỉnh là chân cầu thủ sút, hai cạnh là hai tia tới hai cột dọc Cầu thủ trong khung thành nằm ở miền trong hai cạnh đó → là điểm trong của góc sút Cầu thủ đứng lệch phải nằm ngoài miền đó → không phải điểm trong của góc sút
Vậy cả ba cách đều cho cùng kết luận, khớp với quan sát trực quan ban đầu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 1 (quan sát trực tiếp) là nhanh nhất với hình ảnh thực tế; Cách 3 (đối chiếu định nghĩa) chắc chắn nhất khi cần giải thích rõ vì sao.
Đáp số.Cầu thủ đứng trong khung thành, ở giữa hai đường nét đứt nối tới hai cột dọc, nằm trong góc sút; cầu thủ đứng lệch hẳn sang phải, ngoài hai đường nét đứt, không nằm trong góc sút.
Sai lầm thường gặp.Cho rằng "nằm gần khung thành" là đủ để tính là nằm trong góc sút, mà không so sánh đúng với hai đường nét đứt (hai cạnh của góc).
🚀 Mở rộng.Đây chính là lí do các cầu thủ thường cố gắng dịch chuyển vào giữa để "mở rộng góc sút": đỉnh góc càng gần khung thành và cầu thủ phòng ngự càng ở ngoài góc sút thì cơ hội ghi bàn càng cao — một ứng dụng thực tế thú vị của khái niệm góc và điểm trong của góc.
Bài 5 · HĐ2★Trang 59— Nhận biết điểm nằm trong, nằm ngoài một góc qua trải nghiệm cắt giấy
HĐ2 (trang 59). Trên tờ giấy màu A4, em xác định hai điểm M, N rồi dùng kéo cắt rời một góc từ tờ giấy như hình bên. Em hãy cho biết trong hai điểm M, N: a) Điểm nào nằm trong góc vừa cắt rời? b) Điểm nào không nằm trong góc đó?
Kiến thức cần nhớ
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc, không thuộc cạnh nào.
🧠 Phân tích tư duy
Khi cắt rời một góc từ tờ giấy, phần giấy còn lại chính là "hình ảnh" của góc với hai mép cắt là hai cạnh. Điểm nào lọt vào phần giấy đó (miền trong hai mép cắt) là nằm trong góc; điểm nào ở phần giấy đã bỏ đi (ngoài hai mép cắt) thì không.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp hình vừa cắt
Định hướng. Xem điểm nào lọt vào phần giấy hình góc vừa cắt, điểm nào nằm ở phần đã cắt bỏ.
Điểm M nằm ở phần giấy hình góc vừa cắt rời Điểm N nằm ở phần giấy phía ngoài, đã bị cắt bỏ
Vậy a) M nằm trong góc vừa cắt rời; b) N không nằm trong góc đó.
2Cách 2. Kiểm tra bằng tia nối từ đỉnh góc
Định hướng. Từ đỉnh góc vừa cắt, vẽ thử tia đi qua từng điểm và xét tia đó có nằm giữa hai cạnh của góc hay không.
Tia từ đỉnh góc qua M nằm giữa hai cạnh (hai mép cắt) của góc Tia từ đỉnh góc qua N không nằm giữa hai cạnh, mà lệch hẳn ra ngoài mép cắt phía trên
Vậy kết quả trùng Cách 1: M nằm trong góc, N nằm ngoài góc.
3Cách 3. Đối chiếu với định nghĩa điểm trong của góc
Định hướng. Áp dụng định nghĩa: điểm trong của góc là điểm ở miền trong, không thuộc hai cạnh của góc.
M ở miền trong, không nằm trên mép cắt nào → M là điểm trong của góc N ở ngoài miền giới hạn bởi hai mép cắt → N không phải điểm trong của góc
Vậy đối chiếu định nghĩa cho cùng kết luận: a) M nằm trong góc; b) N không nằm trong góc.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Với hoạt động cắt giấy thực tế, Cách 1 (quan sát trực tiếp) là tự nhiên và nhanh nhất; Cách 3 dùng để giải thích chắc chắn bằng định nghĩa khi trình bày bài.
Đáp số.a) Điểm M nằm trong góc vừa cắt rời. b) Điểm N không nằm trong góc đó.
Sai lầm thường gặp.Chỉ dựa vào khoảng cách gần đỉnh góc để đoán điểm nằm trong góc, mà không kiểm tra điểm đó có nằm giữa hai cạnh (hai mép cắt) hay không.
🚀 Mở rộng.Hoạt động cắt giấy này chính là mô hình trực quan cho định nghĩa "điểm trong của một góc" được phát biểu chính thức ngay sau đó trong SGK với Hình 8.48.
Bài 6 · Câu hỏi (trang 59)★★Trang 59— Kể tên các điểm nằm trong một góc cho trước qua vị trí trên hình vẽ
Câu hỏi (trang 59). Quan sát Hình 8.49 và kể tên các điểm nằm trong góc mOn.
Kiến thức cần nhớ
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc, không thuộc cạnh nào của góc.
🧠 Phân tích tư duy
Góc mOn có đỉnh O, cạnh Om và On. Muốn biết một điểm có nằm trong góc hay không, ta so sánh vị trí điểm đó với miền giới hạn bởi hai cạnh: điểm A nằm lệch hẳn về phía trên, ngoài cạnh Om nên không thuộc miền trong; hai điểm B, C đều nằm giữa hai cạnh Om và On nên thuộc miền trong của góc.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp theo hình vẽ
Định hướng. So sánh trực tiếp vị trí từng điểm với hai cạnh Om, On.
A nằm phía trên, ngoài cạnh Om (không lọt vào miền giữa Om và On) B nằm ngay dưới cạnh Om và phía trên On → thuộc miền trong C nằm gần cạnh On nhưng vẫn ở phía trên nó → thuộc miền trong
Vậy hai điểm B, C nằm trong góc mOn; điểm A không nằm trong góc mOn.
2Cách 2. Kiểm tra bằng tia OA, OB, OC
Định hướng. Vẽ thử các tia OA, OB, OC rồi xét tia nào nằm giữa hai tia Om, On.
Tia OA lệch ra ngoài, vượt qua cả tia Om → OA không nằm giữa Om và On Tia OB nằm giữa Om và On Tia OC nằm giữa Om và On (gần phía On hơn)
Vậy chỉ có OB, OC nằm giữa hai cạnh của góc, khớp với Cách 1: B, C nằm trong góc mOn, A thì không.
3Cách 3. Đối chiếu với định nghĩa điểm trong của góc
Định hướng. Áp dụng đúng định nghĩa: điểm trong của góc phải nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh, không thuộc cạnh.
B, C thoả mãn: nằm giữa Om và On, không thuộc Om hay On → là điểm trong của góc mOn A không thoả mãn vì nằm ngoài miền giới hạn bởi Om và On
Vậy theo đúng định nghĩa: B và C là điểm trong của góc mOn; A không phải.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên làm theo Cách 1 (quan sát trực tiếp) vì nhanh; nếu đề yêu cầu giải thích thì trình bày thêm Cách 3 để chứng minh chặt chẽ theo định nghĩa.
Đáp số.Hai điểm B và C nằm trong góc mOn; điểm A không nằm trong góc mOn.
Sai lầm thường gặp.Nhầm rằng cứ ở gần đỉnh O là nằm trong góc, mà không để ý điểm đó có lọt vào đúng miền giữa hai cạnh Om, On hay không (như điểm A tuy không quá xa nhưng đã lệch ra ngoài cạnh Om).
🚀 Mở rộng.Nếu lấy thêm một điểm nằm đúng trên cạnh Om hoặc On (ví dụ trung điểm của Om) thì điểm đó KHÔNG được tính là điểm trong của góc, vì định nghĩa yêu cầu điểm không thuộc cạnh nào — đây là điểm học sinh hay nhầm.
Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 60— Kể tên điểm nằm trong góc; xét điểm thuộc đoạn thẳng và điểm thuộc đường thẳng nhưng ngoài đoạn thẳng có nằm trong góc không
Luyện tập 2 (trang 60). Vẽ Hình 8.50 vào vở. a) Kể tên các điểm nằm trong góc xOy; b) Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng AB, điểm K nằm trên đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB. Hỏi điểm I có nằm trong góc xOy không? Điểm K có nằm trong góc xOy không?
Kiến thức cần nhớ
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc, không thuộc cạnh nào.
Nếu A thuộc một cạnh và B thuộc cạnh còn lại của góc xOy thì mọi điểm nằm giữa A và B đều là điểm trong của góc xOy.
🧠 Phân tích tư duy
Góc xOy có đỉnh O, cạnh Ox đi qua A, cạnh Oy đi qua B. Muốn biết P, M có nằm trong góc không, so sánh vị trí với hai cạnh Ox, Oy — cả hai đều lọt vào miền trong. Với đoạn AB nối một điểm trên Ox với một điểm trên Oy: mọi điểm thực sự nằm giữa A và B (như I) đều lọt vào miền trong góc; còn kéo dài đường thẳng AB ra khỏi đoạn AB (như K, hoặc như N trên hình) thì lại vượt ra ngoài một trong hai cạnh của góc, dù kéo dài về phía nào.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp theo hình vẽ
a) Định hướng. So sánh vị trí P, M, N với hai cạnh Ox, Oy.
P nằm giữa hai cạnh Ox, Oy → nằm trong góc xOy M nằm giữa hai cạnh Ox, Oy (gần cạnh Ox hơn) → nằm trong góc xOy N nằm ở phía ngoài cạnh Oy (trên đường thẳng AB kéo dài quá B) → không nằm trong góc xOy
b) Định hướng. I nằm giữa A và B (trên đoạn AB); K nằm trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn AB (kéo dài quá A hoặc quá B, giống vị trí điểm N).
I nằm giữa A (trên Ox) và B (trên Oy) nên lọt vào đúng miền trong hai cạnh K nằm ngoài đoạn AB nên bị đẩy ra ngoài một trong hai cạnh Ox hoặc Oy (tương tự N)
Vậy a) P, M nằm trong góc xOy; b) I nằm trong góc xOy, còn K không nằm trong góc xOy.
2Cách 2. Dùng tia OI, OK để kiểm tra
Định hướng. Vẽ tia từ O qua I và tia từ O qua K, xét tia nào nằm giữa Ox và Oy.
Vì I nằm giữa A và B nên tia OI luôn nằm giữa hai tia OA (trùng Ox) và OB (trùng Oy) — đây là tính chất của đoạn thẳng nối hai cạnh một góc K nằm ngoài đoạn AB nên tia OK không còn nằm giữa Ox và Oy nữa mà trùng ra ngoài, về phía kéo dài của Ox hoặc Oy
Vậy tia OI nằm giữa Ox, Oy nên I là điểm trong góc xOy; tia OK không nằm giữa Ox, Oy nên K không phải điểm trong góc xOy — khớp với Cách 1.
3Cách 3. Đối chiếu với định nghĩa điểm trong của góc
Định hướng. Dùng đúng định nghĩa: điểm trong của góc là điểm ở miền trong, không thuộc cạnh nào của góc.
P, M không thuộc Ox hay Oy và nằm ở miền giữa hai cạnh → là điểm trong của góc xOy I nằm giữa A, B (hai điểm lần lượt trên Ox, Oy) nên cũng nằm ở miền giữa hai cạnh → là điểm trong của góc xOy K nằm ngoài đoạn AB nên bị đẩy vượt ra ngoài một cạnh của góc → không thoả mãn định nghĩa điểm trong
Vậy theo đúng định nghĩa, kết luận trùng khớp hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 (quan sát trực tiếp) cho phần a) vì có hình vẽ rõ; với phần b) nên trình bày thêm lập luận như Cách 2 hoặc Cách 3 để giải thích chắc chắn vì sao I nằm trong còn K thì không.
Đáp số.a) Hai điểm P, M nằm trong góc xOy. b) Điểm I nằm trong góc xOy; điểm K không nằm trong góc xOy (dù lấy K về phía kéo dài qua A hay qua B).
Sai lầm thường gặp.Cho rằng mọi điểm trên đường thẳng AB đều nằm trong góc xOy chỉ vì đường thẳng đó "đi qua" miền trong góc — thực ra chỉ đúng với các điểm thuộc đoạn AB, còn điểm ngoài đoạn AB (như K) đã bị kéo ra ngoài góc.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: nếu A thuộc cạnh Ox, B thuộc cạnh Oy của một góc xOy không bẹt thì đoạn thẳng AB luôn nằm trọn trong góc (chỉ trừ hai đầu mút A, B nằm trên cạnh), còn phần đường thẳng AB kéo dài ra ngoài đoạn AB luôn nằm ngoài góc — đây là tính chất hay dùng để chứng minh điểm nằm trong góc ở các lớp trên.
Bài 8 · Vận dụng 2★★Trang 60— Xác định vạch số nằm trong góc tạo bởi các kim đồng hồ
Vận dụng 2 (trang 60). Quan sát mặt đồng hồ ở hình bên và cho biết trong các vạch chỉ số trên mặt đồng hồ, những vạch nào nằm trong góc tạo bởi: a) Kim giờ và kim phút; b) Kim giây và kim phút.
Kiến thức cần nhớ
Vòng tròn mặt đồng hồ chia thành 12 phần bằng nhau, mỗi phần ứng với góc 30° ở tâm.
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh (ở đây là hai kim) của góc.
🧠 Phân tích tư duy
Ba kim của đồng hồ đều xuất phát từ tâm nên mỗi cặp kim tạo thành một góc có đỉnh là tâm đồng hồ; các vạch chỉ số 1 đến 12 chia đều vòng tròn thành 12 phần, mỗi phần ứng với 30°. Muốn tìm vạch nằm trong một góc, chỉ cần đi theo chiều kim đồng hồ từ kim này sang kim kia theo đường ngắn hơn (không vượt quá nửa vòng tròn) và liệt kê các vạch gặp trên đường đi đó.
1Cách 1. Quan sát trực tiếp trên mặt đồng hồ
Định hướng. Nhìn hình để xác định kim giờ chỉ đúng số 10, kim phút chỉ giữa số 1 và số 2, kim giây (kim mảnh màu đỏ) chỉ giữa số 8 và số 9; sau đó xem giữa hai kim, đường đi ngắn hơn (không vượt nửa vòng) đi qua những vạch số nào.
a) Từ kim giờ (số 10) đến kim phút (giữa 1 và 2), đường ngắn đi theo chiều 10 → 11 → 12 → 1, gặp các vạch 11, 12, 1 b) Từ kim giây (giữa 8 và 9) đến kim phút (giữa 1 và 2), đường ngắn đi theo chiều 9 → 10 → 11 → 12 → 1, gặp các vạch 9, 10, 11, 12, 1
Vậy a) các vạch 11, 12, 1 nằm trong góc kim giờ – kim phút; b) các vạch 9, 10, 11, 12, 1 nằm trong góc kim giây – kim phút.
2Cách 2. Tính bằng số phần chia của mặt đồng hồ
Định hướng. Đếm số "khoảng số" giữa hai kim theo hai chiều rồi chọn chiều có số khoảng nhỏ hơn 6 (ứng với góc nhỏ hơn 180°).
a) Từ 10 đến 1,5 (giữa 1 và 2): đi thuận chiều kim qua 11, 12, 1 hết 3,5 khoảng (nhỏ hơn 6) — đây là góc cần xét; đi ngược lại hết 8,5 khoảng (góc tù hơn, loại) b) Từ 8,5 (kim giây) đến 1,5 (kim phút): đi thuận chiều kim qua 9, 10, 11, 12, 1 hết 5 khoảng (nhỏ hơn 6) — nhận; đi ngược lại hết 7 khoảng (loại vì lớn hơn 180°)
Vậy kết quả trùng Cách 1: a) 11, 12, 1; b) 9, 10, 11, 12, 1.
3Cách 3. Đối chiếu bằng số đo góc ở tâm
Định hướng. Mỗi khoảng giữa hai số liên tiếp ứng với 30°; nhân số khoảng ở Cách 2 với 30° để kiểm tra góc luôn nhỏ hơn 180°.
a) 3,5 khoảng × 30° = 105°, nhỏ hơn 180° → đúng là góc cần xét, các vạch 11, 12, 1 nằm trong góc 105° này b) 5 khoảng × 30° = 150°, nhỏ hơn 180° → đúng là góc cần xét, các vạch 9, 10, 11, 12, 1 nằm trong góc 150° này
Vậy cả hai góc đều nhỏ hơn góc bẹt, xác nhận đúng các vạch tìm được ở hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên làm theo Cách 1 (quan sát trực tiếp) cho nhanh vì đã có hình; khi cần giải thích rõ vì sao chọn đúng phía thì trình bày thêm Cách 3 (tính số đo góc) để chắc chắn góc đó nhỏ hơn 180°.
Đáp số.a) Các vạch 11, 12, 1 nằm trong góc tạo bởi kim giờ và kim phút. b) Các vạch 9, 10, 11, 12, 1 nằm trong góc tạo bởi kim giây và kim phút.
Sai lầm thường gặp.Đếm nhầm theo chiều "đi xa hơn" (quá nửa vòng tròn) khiến liệt kê thừa hoặc thiếu vạch, ví dụ đếm từ kim giờ số 10 vòng qua 9, 8,... 2 (chiều dài 8,5 khoảng) thay vì đi đường ngắn hơn qua 11, 12, 1.
🚀 Mở rộng.Nếu hai kim đối nhau hoàn toàn (cách đúng 6 khoảng, ví dụ 12 và 6) thì góc tạo thành là góc bẹt — khi đó khái niệm "điểm trong của góc" không còn được xác định rõ ràng như với góc thường, đúng như chú thích ở Hình 8.48 trong SGK ("góc xOy không là góc bẹt").
Bài 9 · 8.25★Trang 60— Viết tên góc, chỉ ra đỉnh, cạnh của góc trong hình vẽ cho trước
8.25 (trang 60). Viết tên (cách viết kí hiệu) của góc, chỉ ra đỉnh, cạnh của góc trong mỗi hình vẽ sau: a) Hình gồm hai đoạn thẳng My, Mx chung gốc M; b) Tam giác DEF.
Kiến thức cần nhớ
Góc là hình gồm hai tia chung gốc; gốc chung là đỉnh, hai tia là hai cạnh.
Ba đỉnh của một tam giác lần lượt là đỉnh của 3 góc trong tam giác đó.
🧠 Phân tích tư duy
Ở hình a) chỉ có 2 tia My, Mx chung gốc M nên chỉ có đúng 1 góc. Ở hình b), tam giác DEF có 3 cạnh DE, EF, FD; tại mỗi đỉnh có đúng 2 cạnh của tam giác gặp nhau nên mỗi đỉnh cho đúng 1 góc — tổng cộng tam giác có 3 góc, mỗi góc mang tên đỉnh ở giữa.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo hình vẽ
Định hướng. Xác định đỉnh chung rồi đọc tên hai cạnh xuất phát từ đỉnh đó.
a) Hai tia My, Mx chung gốc M → góc yMx (hay xMy), đỉnh M, cạnh My và Mx b) Tại D: hai cạnh DE, DF → góc EDF (hay D), đỉnh D, cạnh DE, DF Tại E: hai cạnh ED, EF → góc DEF (hay E), đỉnh E, cạnh ED, EF Tại F: hai cạnh FD, FE → góc DFE (hay F), đỉnh F, cạnh FD, FE
Vậy hình a) có 1 góc, hình b) có 3 góc, mỗi góc đã chỉ rõ đỉnh và hai cạnh.
2Cách 2. Đếm bằng số cạnh gặp nhau tại mỗi đỉnh
Định hướng. Ở mỗi đỉnh, đếm số đoạn thẳng (tia) gặp nhau; đúng 2 tia thì cho đúng 1 góc.
a) Tại M có đúng 2 tia (My, Mx) → 1 góc duy nhất yMx b) Tại mỗi đỉnh D, E, F của tam giác đều có đúng 2 cạnh gặp nhau → mỗi đỉnh cho đúng 1 góc, tam giác có 3 góc
Vậy số góc đếm được khớp với Cách 1: 1 góc ở hình a), 3 góc ở hình b).
3Cách 3. Kiểm chứng bằng cách khoanh vòng cung tại mỗi đỉnh
Định hướng. Vẽ một vòng cung nhỏ nối hai cạnh tại mỗi đỉnh (như cách SGK đánh dấu góc) để xác nhận đúng số góc và tên góc.
a) Vòng cung tại M nối My và Mx → xác nhận góc yMx b) Vòng cung tại D nối DE, DF → góc D; tại E nối ED, EF → góc E; tại F nối FD, FE → góc F
Vậy cách đánh dấu bằng vòng cung xác nhận đúng 1 góc ở hình a) và 3 góc ở hình b), thống nhất với hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhìn thẳng vào hình, đọc tên hai cạnh gặp nhau tại từng đỉnh là ra ngay tên góc, không cần đếm phức tạp.
Đáp số.a) Góc yMx (hay xMy), đỉnh M, cạnh My, Mx. b) Ba góc D (= EDF), E (= DEF), F (= DFE), tương ứng đỉnh D, E, F với cạnh là hai cạnh tam giác gặp nhau tại đỉnh đó.
Sai lầm thường gặp.Ở hình b), quên rằng tam giác có tới 3 góc (một số học sinh chỉ nêu 1 góc do nhầm với dạng bài chỉ có một góc như hình a).
🚀 Mở rộng.Tên gọi tắt bằng một chữ cái ở đỉnh (như D, E, F) chỉ dùng được khi tại đỉnh đó chỉ có duy nhất một góc — nếu tại đỉnh có nhiều hơn 2 cạnh gặp nhau (như đỉnh A ở Bài 8.29) thì bắt buộc phải viết đủ 3 chữ cái để tránh nhầm lẫn góc nào với góc nào.
Bài 10 · 8.26★★Trang 60— Gọi tên các góc bẹt tạo bởi hai điểm trên một đường thẳng
8.26 (trang 60). Cho đường thẳng xy. Vẽ hai điểm A, B nằm trên đường thẳng xy. Gọi tên các góc bẹt tạo thành.
Kiến thức cần nhớ
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì hai tia gốc tại điểm đó, nằm trên đường thẳng và về hai phía, là hai tia đối nhau.
Khi hai tia là hai tia đối nhau thì góc tạo bởi chúng là góc bẹt.
🧠 Phân tích tư duy
Trên đường thẳng xy có 4 điểm mốc: x, y (hai đầu, hiểu theo tên hai tia gốc), A, B. Tại mỗi điểm A, B đều có hai tia đối nhau tạo bởi chính đường thẳng xy đó, nên tại mỗi điểm đều có một góc bẹt. Cần chú ý phân biệt góc bẹt tại A (đỉnh A) với góc bẹt tại B (đỉnh B) — đây là hai góc bẹt khác nhau dù cùng nằm trên một đường thẳng.
1Cách 1. Xét lần lượt từng điểm trên đường thẳng
Định hướng. Với mỗi điểm A, B, xác định hai tia đối nhau xuất phát từ điểm đó dọc theo đường thẳng xy.
Tại A: hai tia Ax, Ay đối nhau (vì A thuộc xy) → góc bẹt xAy Tại B: hai tia Bx, By đối nhau (vì B thuộc xy) → góc bẹt xBy
Vậy có 2 góc bẹt tạo thành: xAy (đỉnh A) và xBy (đỉnh B).
2Cách 2. Đếm theo số điểm mốc trên đường thẳng
Định hướng. Cứ mỗi điểm nằm trên một đường thẳng thì tạo ra đúng 1 góc bẹt có đỉnh tại điểm đó; đề bài có 2 điểm A, B nên có đúng 2 góc bẹt.
Số điểm được đánh dấu thêm trên xy: A, B (2 điểm) Mỗi điểm cho đúng 1 góc bẹt → 2 góc bẹt: xAy, xBy
Vậy kết quả khớp với Cách 1: đúng 2 góc bẹt.
3Cách 3. Kiểm chứng bằng đo góc
Định hướng. Dùng thước đo góc đặt tại A và tại B để xác nhận số đo góc bẹt.
Đo góc xAy tại A: hai cạnh Ax, Ay thẳng hàng → số đo 180° Đo góc xBy tại B: hai cạnh Bx, By thẳng hàng → số đo 180°
Vậy cả hai góc đo được đều bằng 180°, xác nhận đúng là góc bẹt, khớp hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: xét lần lượt từng điểm mốc thêm trên đường thẳng, mỗi điểm cho đúng 1 góc bẹt — cách này áp dụng được cho mọi số điểm thêm trên đường thẳng.
Đáp số.Có 2 góc bẹt tạo thành: xAy (đỉnh A) và xBy (đỉnh B).
Sai lầm thường gặp.Nhầm cho rằng đường thẳng xy chỉ tạo ra 1 góc bẹt duy nhất, quên rằng mỗi điểm A, B nằm trên đó đều là đỉnh của một góc bẹt riêng.
🚀 Mở rộng.Nếu trên đường thẳng xy có thêm n điểm khác A, B thì tổng số góc bẹt tạo thành sẽ là (n + 2), vì mỗi điểm nằm trên đường thẳng đều là đỉnh của đúng 1 góc bẹt.
Bài 11 · 8.27★★Trang 60— Xác định vạch số nằm trong góc tạo bởi kim giờ và kim phút tại một thời điểm cho trước
8.27 (trang 60). Quan sát mặt đồng hồ dưới đây. Trong các vạch chỉ số trên mặt đồng hồ, những vạch nào nằm trong góc tạo bởi kim giờ và kim phút khi đồng hồ chỉ 8 giờ 15 phút?
Kiến thức cần nhớ
Kim phút quay hết một vòng (12 khoảng số) trong 60 phút, mỗi khoảng số ứng với 5 phút.
Kim giờ quay từ số này sang số liền sau trong 60 phút, nên khi kim phút đi được a phần của giờ thì kim giờ cũng đi được đúng a phần của khoảng cách tới số tiếp theo.
🧠 Phân tích tư duy
Lúc 8 giờ 15 phút, kim phút chỉ đúng số 3 (vì 15 phút = 15 : 5 = 3 khoảng số). Kim giờ lúc này không còn đứng yên ở đúng số 8 mà đã đi được 1/4 quãng đường sang số 9 (vì 15 phút bằng 1/4 giờ). Từ đó xác định đường đi ngắn hơn giữa hai kim để liệt kê đúng các vạch nằm trong góc.
1Cách 1. Xác định vị trí hai kim rồi liệt kê trực tiếp
Định hướng. Tính vị trí kim phút (đúng số 3) và kim giờ (giữa số 8 và 9), sau đó đọc các vạch trên cung ngắn hơn nối hai kim.
15 phút = 3 khoảng số → kim phút chỉ đúng số 3 15 phút = 41 giờ → kim giờ đi được 41 khoảng từ số 8 sang số 9, tức kim giờ ở giữa 8 và 9 (gần số 8 hơn) Đường ngắn hơn nối kim phút (3) và kim giờ (gần 8): đi theo chiều 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8, gặp các vạch 4, 5, 6, 7, 8
Vậy các vạch 4, 5, 6, 7, 8 nằm trong góc tạo bởi kim giờ và kim phút lúc 8 giờ 15 phút.
2Cách 2. Tính bằng số khoảng chia của mặt đồng hồ
Định hướng. Đếm số khoảng số giữa hai kim theo hai chiều, chọn chiều có số khoảng nhỏ hơn 6.
Từ kim phút (3) đến kim giờ (gần 8,25) theo chiều thuận kim: 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8, hết khoảng 5,25 khoảng (nhỏ hơn 6) → nhận, đi qua các vạch 4, 5, 6, 7, 8 Theo chiều ngược lại: hết 6,75 khoảng (lớn hơn 6, tức góc tù hơn 180°) → loại
Vậy kết quả khớp Cách 1: các vạch 4, 5, 6, 7, 8 nằm trong góc cần tìm.
3Cách 3. Đối chiếu bằng số đo góc ở tâm
Định hướng. Nhân số khoảng ở Cách 2 với 30° để kiểm tra góc nhỏ hơn 180°, đồng thời tính trực tiếp số đo góc giữa hai kim.
5,25 khoảng × 30° = 157,5°, nhỏ hơn 180° → đúng là góc cần xét Kiểm tra riêng: kim phút ở vị trí 90° (tính từ số 12, theo chiều kim đồng hồ); kim giờ ở vị trí 8,25 × 30° = 247,5°; hiệu hai vị trí = 247,5° − 90° = 157,5°, khớp với số vừa tính
Vậy góc giữa hai kim đúng bằng 157,5° (nhỏ hơn 180°), xác nhận các vạch 4, 5, 6, 7, 8 nằm trong góc đó.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: xác định nhanh vị trí kim phút (nhân số phút với 6°, hoặc chia cho 5 ra số khoảng) và kim giờ (giờ cộng thêm phần phút/60), rồi liệt kê trực tiếp các vạch trên cung ngắn hơn.
Đáp số.Các vạch 4, 5, 6, 7, 8 nằm trong góc tạo bởi kim giờ và kim phút khi đồng hồ chỉ 8 giờ 15 phút.
Sai lầm thường gặp.Quên rằng kim giờ không còn đứng yên ở đúng số 8 mà đã nhích sang phía số 9 một chút (vì đã qua 15 phút), dẫn đến chọn sai đầu mút của góc.
🚀 Mở rộng.Tổng quát, ở thời điểm h giờ m phút (0 ≤ m nhỏ hơn 60), kim phút chỉ ở vị trí 5m (tính theo số khoảng số) và kim giờ chỉ ở vị trí h+60m (cũng theo số khoảng số) — đây là công thức dùng chung để tính góc giữa kim giờ và kim phút ở mọi thời điểm trong ngày.
Bài 12 · 8.28★★★Trang 60— Đếm số góc tạo bởi các cặp trong ba tia chung gốc, không có hai tia đối nhau
8.28 (trang 60). Cho ba tia chung gốc Oa, Ob và Oc, trong đó không có hai tia nào đối nhau. Hỏi có bao nhiêu góc có hai cạnh là hai trong ba tia đã cho?
Kiến thức cần nhớ
Với n tia chung gốc đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành bằng số cách chọn 2 trong n tia đó.
🧠 Phân tích tư duy
Vì cả ba tia Oa, Ob, Oc đều chung gốc O nên cứ chọn 2 trong 3 tia là được một góc (điều kiện "không có hai tia nào đối nhau" chỉ để bảo đảm không góc nào bị suy biến thành góc bẹt, không ảnh hưởng đến việc đếm số góc). Bài toán quy về đếm số cách chọn 2 tia trong 3 tia đã cho.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp từng cặp tia
Định hướng. Ghép lần lượt từng cặp trong ba tia Oa, Ob, Oc.
2Cách 2. Dùng công thức số cách chọn 2 trong n tia
Định hướng. Với n = 3 tia chung gốc, đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành là 2n(n−1).
Số góc = 23×(3−1) = 23×2 = 3
Vậy có 3 góc, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Đếm bằng cách cố định từng tia làm cạnh chung
Định hướng. Với mỗi tia, đếm xem nó ghép được với bao nhiêu tia còn lại rồi chia đôi để không đếm trùng mỗi góc hai lần.
Tia Oa ghép được với Ob, Oc → 2 góc chứa Oa Tia Ob ghép được với Oa, Oc → 2 góc chứa Ob Tia Oc ghép được với Oa, Ob → 2 góc chứa Oc Tổng lượt ghép: 2 + 2 + 2 = 6, nhưng mỗi góc đã được đếm 2 lần (một lần từ mỗi cạnh) → số góc thật = 6 : 2 = 3
Vậy kết quả vẫn là 3 góc, thống nhất với hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (công thức 2n(n−1)) cho nhanh khi n lớn; với n nhỏ như bài này, Cách 1 liệt kê trực tiếp cũng rất nhanh và trực quan.
Đáp số.Có 3 góc có hai cạnh là hai trong ba tia đã cho: aOb, bOc, aOc.
Sai lầm thường gặp.Đếm cả hai chiều của một góc (ví dụ tính aOb và bOa là 2 góc khác nhau) dẫn đến đếm gấp đôi số góc thực tế.
🚀 Mở rộng.Nếu có n tia chung gốc, đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành là 2n(n−1); ví dụ với 4 tia sẽ có 24×3=6 góc, với 5 tia sẽ có 25×4=10 góc — quy luật này chính là số cách chọn 2 phần tử trong n phần tử đã gặp lại ở Câu hỏi trang 58 và Luyện tập 1.
Bài 13 · 8.29★★Trang 60— Viết tên các góc có chung một đỉnh trong hình vẽ có nhiều tia
8.29 (trang 60). Viết tên các góc có đỉnh A, đỉnh M trong hình vẽ sau (tam giác ABC với H, M là hai điểm nằm trên cạnh BC, theo thứ tự B, H, M, C, và các đoạn thẳng AH, AM được vẽ thêm).
Kiến thức cần nhớ
Với n tia chung gốc đôi một không trùng nhau, số góc tạo thành là 2n(n−1).
Nếu ba điểm thẳng hàng, hai tia gốc tại điểm giữa đi về hai phía là hai tia đối nhau, tạo thành một góc bẹt.
🧠 Phân tích tư duy
Tại đỉnh A có 4 tia: AB, AH, AM, AC (theo đúng thứ tự từ trái sang phải, vì B, H, M, C nằm thẳng hàng theo thứ tự đó trên cạnh BC) nên số góc tại A là 24×3=6. Tại đỉnh M, vì B, H, M, C thẳng hàng nên MB và MC là hai tia đối nhau; cộng thêm tia MA, tại M có 3 tia (MA, MB, MC) nên có 3 góc, trong đó góc BMC là góc bẹt.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo thứ tự tia trên hình
Định hướng. Tại A, xét đủ 4 tia theo đúng thứ tự AB, AH, AM, AC rồi ghép từng cặp; tại M, xét 3 tia MA, MB, MC.
Đỉnh A: BAH, BAM, BAC, HAM, HAC, MAC (6 góc) Đỉnh M: AMB, AMC, BMC (3 góc, trong đó BMC là góc bẹt vì B, M, C thẳng hàng)
Vậy đỉnh A có 6 góc, đỉnh M có 3 góc (kể cả góc bẹt BMC).
2Cách 2. Dùng công thức số góc theo số tia tại mỗi đỉnh
Định hướng. Đếm số tia thực sự có tại mỗi đỉnh rồi áp dụng công thức 2n(n−1).
Tại A có 4 tia (AB, AH, AM, AC) → số góc = 24×3=6 Tại M có 3 tia (MA, MB, MC) → số góc = 23×2=3
Vậy số góc tính được khớp với Cách 1: 6 góc tại A, 3 góc tại M.
3Cách 3. Kiểm chứng bằng cách cố định từng tia làm cạnh chung
Định hướng. Với mỗi tia tại một đỉnh, đếm số tia ghép được rồi chia đôi để tránh đếm trùng.
Tại A: mỗi tia trong 4 tia ghép được với 3 tia còn lại → 4×3 = 12 lượt, mỗi góc đếm 2 lần → 12 : 2 = 6 góc Tại M: mỗi tia trong 3 tia ghép được với 2 tia còn lại → 3×2 = 6 lượt, chia đôi → 6 : 2 = 3 góc
Vậy kết quả trùng khớp cả ba cách: 6 góc tại A, 3 góc tại M.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (công thức 2n(n−1)) để tính nhanh số góc, sau đó dùng Cách 1 liệt kê đúng tên từng góc theo đúng thứ tự các tia trên hình để không bỏ sót.
Đáp số.Đỉnh A có 6 góc: BAH, BAM, BAC, HAM, HAC, MAC. Đỉnh M có 3 góc: AMB, AMC, BMC (trong đó BMC là góc bẹt).
Sai lầm thường gặp.Quên rằng tại M còn có góc bẹt BMC (do B, M, C thẳng hàng) nên chỉ liệt kê 2 góc AMB, AMC mà bỏ sót góc bẹt; hoặc tại A chỉ liệt kê các góc "nhỏ" kề nhau (BAH, HAM, MAC) mà quên các góc "ghép xa" như BAM, HAC, BAC.
🚀 Mở rộng.Nếu trên cạnh BC có thêm điểm thứ ba (ngoài H, M) và từ A vẽ thêm một đoạn tới điểm đó thì tại A sẽ có 5 tia, số góc tăng lên 25×4=10 góc, còn tại điểm mới trên BC vẫn chỉ có 3 góc như tại H hoặc M (vì vẫn chỉ có 3 tia: nối lên A và hai tia đối nhau dọc BC).
Bài 14 · 8.30★★★Trang 60— Xác định miền chứa điểm trong chung của cả ba góc trong một tam giác
8.30 (trang 60). Lấy ba điểm không thẳng hàng A, B, C trên tờ giấy trắng rồi vẽ các đoạn thẳng AB, BC, CA. Em hãy tô màu phần hình chứa tất cả các điểm trong của cả ba góc BAC, ACB, CBA.
Kiến thức cần nhớ
Điểm trong của một góc là điểm nằm ở miền giới hạn bởi hai cạnh của góc.
Miền trong của một tam giác chính là giao của ba miền trong của ba góc ở ba đỉnh tam giác đó.
🧠 Phân tích tư duy
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên ba đoạn thẳng AB, BC, CA tạo thành một tam giác ABC. Mỗi góc BAC, ACB, CBA có miền trong riêng (mở rộng ra vô hạn về phía đối diện đỉnh); điểm vừa nằm trong cả ba góc đó đồng thời chỉ có thể là điểm nằm trong tam giác, vì ra khỏi tam giác thì luôn có ít nhất một góc mà điểm đó nằm ngoài.
1Cách 1. Xét từng góc rồi lấy phần chung bằng quan sát
Định hướng. Hình dung riêng miền trong của từng góc BAC, ACB, CBA rồi tìm phần chung của cả ba miền đó.
Miền trong góc BAC: toàn bộ dải mở rộng từ đỉnh A, giữa hai cạnh AB, AC, về phía có cạnh BC Miền trong góc ACB: dải mở rộng từ đỉnh C, giữa hai cạnh CA, CB Miền trong góc CBA: dải mở rộng từ đỉnh B, giữa hai cạnh BA, BC Phần chung của cả ba dải chính là miền bị cả ba cạnh AB, BC, CA bao kín lại
Vậy phần cần tô màu chính là miền trong của tam giác ABC.
2Cách 2. Kiểm tra bằng một điểm thử bất kỳ
Định hướng. Lấy một điểm thử P bên trong tam giác và một điểm thử Q bên ngoài tam giác, kiểm tra từng điểm với cả ba góc.
P bên trong tam giác: P nằm trong góc BAC (giữa AB, AC), nằm trong góc ACB (giữa CA, CB), nằm trong góc CBA (giữa BA, BC) → P thoả mãn cả ba góc Q bên ngoài tam giác (ví dụ qua khỏi cạnh BC): Q không còn nằm trong góc BAC (vì đã vượt qua cạnh BC, ra khỏi dải giữa AB và AC) → Q không thoả mãn cả ba góc
Vậy chỉ những điểm bên trong tam giác mới thoả mãn nằm trong cả ba góc, xác nhận đúng Cách 1.
3Cách 3. Suy luận bằng phản chứng cho điểm ngoài tam giác
Định hướng. Giả sử có điểm M nằm ngoài tam giác ABC, chỉ ra M luôn nằm ngoài ít nhất một trong ba góc.
M ở ngoài tam giác nghĩa là M ở khác phía với tam giác so với một trong ba cạnh, chẳng hạn khác phía với đỉnh A qua cạnh BC Khi đó M không còn nằm giữa hai cạnh AB, AC nữa (vì đã vượt qua cạnh BC, ra khỏi dải của góc BAC) → M không phải điểm trong của góc BAC
Vậy mọi điểm ngoài tam giác đều bị loại khỏi ít nhất một góc, nên phần chung của cả ba góc chỉ có thể là miền trong tam giác — khẳng định lại kết quả của Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi trình bày theo Cách 1 (quan sát trực tiếp ba miền góc) cho ngắn gọn; nếu cần giải thích chắc chắn hơn thì nêu thêm Cách 3 (loại trừ điểm ngoài tam giác) để lập luận có căn cứ.
Đáp số.Phần hình cần tô màu (chứa tất cả các điểm trong của cả ba góc BAC, ACB, CBA) chính là miền trong của tam giác ABC.
Sai lầm thường gặp.Chỉ tô phần trong của một hoặc hai góc rồi dừng lại, không kiểm tra tiếp góc thứ ba nên tô nhầm cả những điểm nằm ngoài tam giác (ví dụ điểm nằm trong góc BAC nhưng đã vượt qua cạnh BC nên không còn trong góc ACB hay CBA).
🚀 Mở rộng.Tính chất "miền trong tam giác là giao của ba miền trong ba góc ở ba đỉnh" là nền tảng quan trọng để sau này (lớp 7-8) học khái niệm "điểm nằm trong tam giác" và tia phân giác của tam giác một cách chặt chẽ hơn.
