Chương VIII. Những hình hình học cơ bản

Bài 37. Số đo góc

Sách bài tập Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 8.48★★Trang 57— Vẽ góc cho trước số đo rồi vẽ thêm hai tia đối

Bài 8.48 (trang 57). Vẽ góc

x M y

có số đo bằng

45°

, sau đó vẽ tia đối

M x^{'}

của tia

M x

và tia đối

M y^{'}

của tia

M y

Kiến thức cần nhớ

Muốn vẽ góc có số đo cho trước, đặt tâm thước đo góc tại đỉnh, vẽ một cạnh qua vạch 0, đánh dấu vạch chỉ số đo rồi vẽ cạnh còn lại.
Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và cùng nằm trên một đường thẳng, tạo thành góc bẹt $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vẽ tia

M x

tuỳ ý, dùng thước đo góc đặt tâm tại M, tia

M x

qua vạch 0, đánh dấu vạch 45 rồi vẽ tia

M y

đi qua đó là xong góc

x M y = 45°

. Tia đối của một tia là tia chung gốc và nằm về phía ngược lại trên cùng đường thẳng, nên chỉ cần kéo dài

M x

M y

về phía sau M để có

M x^{'}

M y^{'}

1Cách 1. Dùng thước đo góc vẽ trực tiếp

Định hướng. Vẽ tia $M x$ trước, đặt tâm thước tại M, tia $M x$ trùng vạch 0, đánh dấu vạch 45 rồi nối M với điểm đó để được tia $M y$ .

Vẽ tia

M x

tuỳ ý
Đặt tâm thước tại M,

M x

qua vạch 0
Đánh dấu điểm tại vạch 45, vẽ tia

M y

đi qua điểm đó

\Rightarrow x M y = 45°

Kéo dài

M x

qua M được tia đối

M x^{'}

Kéo dài

M y

qua M được tia đối

M y^{'}

Vậy Được bốn tia $M x, M y, M x^{'}, M y^{'}$ chung gốc M, trong đó $x M y = 45°$ .

2Cách 2. Vẽ hai đường thẳng cắt nhau rồi định vị góc 45°

Định hướng. Vẽ trước đường thẳng chứa $x, M, x^{'}$ , sau đó vẽ đường thẳng thứ hai qua M sao cho một góc tạo thành bằng $45°$ .

Vẽ đường thẳng

x x^{'}

đi qua M
Đặt tâm thước tại M, cạnh

M x

qua vạch 0, đánh dấu vạch 45 để được tia

M y

Vẽ đường thẳng qua M và điểm đối xứng với điểm đánh dấu qua M để được tia

M y^{'}

Vậy Đường thẳng thứ hai chính là $y y^{'}$ , cắt $x x^{'}$ tại M, cho cùng bốn tia như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng góc kề bù

Định hướng. Sau khi vẽ xong, dùng tính chất hai góc kề bù (tổng $180°$ ) để kiểm tra hình vẽ có đúng không, thay vì đo lại từ đầu.

x M y

và

y M x^{'}

kề bù nên

y M x^{'} = 180 - 45 = 135

Đo lại bằng thước:

y M x^{'}

đúng bằng

135°

Vậy Hình vẽ đúng vì kết quả kiểm tra khớp với tính chất hai góc kề bù.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: vẽ một tia gốc rồi dùng thước đo góc đánh dấu vạch 45 ngay, không phải dựng thêm đường thẳng phụ như Cách 2.

Đáp số. Hình vẽ gồm bốn tia

M x, M y, M x^{'}, M y^{'}

chung gốc M với

x M y = 45°

M x^{'}

là tia đối của

M x

M y^{'}

là tia đối của

M y

Sai lầm thường gặp. Có em vẽ tia đối không thẳng hàng với tia gốc (chỉ vẽ "đối diện" đại khái); tia đối bắt buộc cùng nằm trên một đường thẳng với tia đã cho, phải dùng thước thẳng kéo dài qua đúng gốc M.

🚀 Mở rộng. Từ hình đã vẽ có thể suy luận số đo của

x^{'} M y^{'}

mà không cần đo lại: đó là góc đối đỉnh với

x M y

nên cũng bằng

45°

— kiến thức sẽ học kĩ ở bài góc đối đỉnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.49★Trang 57— Liệt kê các góc tạo bởi bốn tia chung gốc (bỏ góc bẹt)

Bài 8.49 (trang 57). Kể tên tất cả 4 góc có đỉnh M (không kể các góc bẹt) trong hình vừa vẽ ở Bài 8.48.

Kiến thức cần nhớ

Với các tia chung gốc sắp xếp liên tiếp quanh một điểm, đi hết một vòng theo đúng thứ tự sẽ liệt kê đủ các góc liên tiếp không trùng nhau.
Góc bẹt có hai cạnh là hai tia đối nhau, số đo bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tia

M x, M y, M x^{'}, M y^{'}

chia mặt phẳng quanh M thành bốn góc liên tiếp; đi một vòng quanh M theo đúng thứ tự các tia sẽ liệt kê đủ bốn góc mà không trùng, không sót. Hai góc bẹt

x M x^{'}

và

y M y^{'}

(do

x, M, x^{'}

và

y, M, y^{'}

thẳng hàng) không tính vào bốn góc cần kể.

1Cách 1. Liệt kê theo thứ tự các tia quanh M

Định hướng. Đi một vòng quanh M theo đúng thứ tự $x \to y \to x^{'} \to y^{'} \to x$ , mỗi cặp tia liền kề cho một góc.

Từ

M x

đến

M y

: góc

x M y

Từ

M y

đến

M x^{'}

: góc

y M x^{'}

Từ

M x^{'}

đến

M y^{'}

: góc

x^{'} M y^{'}

Từ

M y^{'}

đến

M x

: góc

y^{'} M x

Vậy Bốn góc cần tìm là $x M y$ , $y M x^{'}$ , $x^{'} M y^{'}$ , $y^{'} M x$ .

2Cách 2. Loại trừ hai góc bẹt khỏi mọi cặp tia có thể chọn

Định hướng. Với 4 tia chung gốc có tổng cộng $(2 4) = 6$ cặp; loại đi 2 cặp tạo thành góc bẹt sẽ còn đúng số góc cần kể.

Sáu cặp tia:

(x, y), (x, x^{'}), (x, y^{'}), (y, x^{'}), (y, y^{'}), (x^{'}, y^{'})

Cặp

(x, x^{'})

và

(y, y^{'})

cho góc bẹt vì

x, M, x^{'}

và

y, M, y^{'}

thẳng hàng

\Rightarrow

loại
Còn lại 4 cặp

Vậy Bốn góc không phải góc bẹt là $x M y$ , $y M x^{'}$ , $x^{'} M y^{'}$ , $y^{'} M x$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Gộp thành hai cặp góc đối đỉnh

Định hướng. Nhận xét bốn góc liên tiếp quanh M thật ra hợp thành hai cặp góc đối đỉnh (nằm ở hai phía ngược nhau qua M).

x M y

và

x^{'} M y^{'}

là một cặp đối đỉnh (mỗi cạnh của góc này là tia đối một cạnh của góc kia)

y M x^{'}

và

y^{'} M x

là cặp đối đỉnh còn lại

Vậy Vẫn ra đúng bốn góc $x M y$ , $x^{'} M y^{'}$ , $y M x^{'}$ , $y^{'} M x$ , thống nhất với hai cách trên.

Nhận xét. Cách nhìn theo cặp đối đỉnh sẽ hữu ích ở Bài 8.50 khi so sánh số đo từng cặp góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: đi một vòng theo đúng thứ tự tia là liệt kê đủ ngay, không cần tính số cặp rồi loại trừ như Cách 2.

Đáp số. Bốn góc (không kể góc bẹt) là

x M y

y M x^{'}

x^{'} M y^{'}

y^{'} M x

Sai lầm thường gặp. Có em kể cả

x M x^{'}

hoặc

y M y^{'}

vào danh sách; đề đã yêu cầu "không kể các góc bẹt" nên hai góc này (đều bằng

180°

) phải loại ra.

🚀 Mở rộng. Nếu có

n

tia chung gốc đôi một không trùng nhau và không có ba tia nào thẳng hàng, tổng số góc tạo thành (kể cả góc bẹt) là

(2 n)

; ở đây

n = 4

cho

6

góc, trừ đi

2

góc bẹt còn

4

góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.50★★Trang 57— Đo bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau, tìm cặp góc bằng nhau

Bài 8.50 (trang 57). Dùng thước đo góc để đo 4 góc đã nêu trong Bài 8.49 rồi viết ra các cặp góc bằng nhau. Trong các góc đó, góc nào là góc nhọn, góc nào là góc tù?

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180°$ .
Hai góc đối đỉnh (mỗi cạnh góc này là tia đối một cạnh góc kia) có số đo bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Vì

x M y = 45°

đã cho từ Bài 8.48 và

M x^{'}, M y^{'}

lần lượt là tia đối của

M x, M y

, nên hai góc kề với

x M y

(là

y M x^{'}

và

y^{'} M x

) đều bù với

45°

, còn góc đối đỉnh

x^{'} M y^{'}

luôn bằng đúng

x M y

. Chỉ cần đo một góc là suy ra được cả bốn nhờ các quan hệ này, thước đo góc dùng để kiểm chứng lại.

1Cách 1. Đo trực tiếp cả bốn góc bằng thước đo góc

Định hướng. Đặt tâm thước tại M, đo lần lượt bốn góc đã liệt kê ở Bài 8.49.

x M y = 45°

y M x^{'} = 135°

x^{'} M y^{'} = 45°

y^{'} M x = 135°

Vậy Cặp góc bằng nhau: $x M y = x^{'} M y^{'} = 45°$ và $y M x^{'} = y^{'} M x = 135°$ ; góc nhọn là $x M y, x^{'} M y^{'}$ , góc tù là $y M x^{'}, y^{'} M x$ .

2Cách 2. Chỉ đo một góc rồi suy ra ba góc còn lại bằng tính chất kề bù, đối đỉnh

Định hướng. Đo $x M y = 45°$ , dùng kề bù và đối đỉnh để tính ngay ba góc kia mà không cần đo thêm.

x M y

và

y M x^{'}

kề bù

\Rightarrow y M x^{'} = 180 - 45 = 135

x^{'} M y^{'}

đối đỉnh với

x M y

\Rightarrow x^{'} M y^{'} = 45

y^{'} M x

đối đỉnh với

y M x^{'}

\Rightarrow y^{'} M x = 135

Vậy Kết quả suy luận khớp hoàn toàn với số đo bằng Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra bằng tổng bốn góc quanh một điểm

Định hướng. Bốn góc liên tiếp quanh M phải có tổng số đo đúng $360°$ ; dùng phép cộng để kiểm tra kết quả đo.

45 + 135 + 45 + 135 = 360

Vậy Tổng đúng $360°$ nên bốn số đo ở Cách 1 là chính xác.

Nhận xét. Nếu tổng khác $360°$ thì chắc chắn có góc đo sai, cần đo lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: chỉ đo một góc rồi suy luận ra ba góc còn lại bằng kề bù, đối đỉnh — vừa nhanh vừa cho thấy hiểu bản chất, hơn hẳn việc đo cả bốn góc như Cách 1.

Đáp số.

x M y = x^{'} M y^{'} = 45°

(góc nhọn);

y M x^{'} = y^{'} M x = 135°

(góc tù).

Sai lầm thường gặp. Có em cho rằng bốn góc quanh một điểm luôn bằng nhau; thực tế chỉ từng cặp đối đỉnh mới bằng nhau (

45°

với

45°

135°

với

135°

), hai góc kề nhau thì bù nhau chứ không bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu thay góc

x M y = 45°

ban đầu bằng một số đo

α

bất kì (

0° < α < 180°

), quy luật vẫn giữ nguyên: hai góc đối đỉnh bằng

α

và

180° - α

, mỗi loại xuất hiện đúng hai lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 8.51★★Trang 57— Đo ba góc của một tam giác rồi sắp xếp theo thứ tự số đo

Bài 8.51 (trang 57). Đo các góc

A B C

A C B

B A C

của tam giác

A B C

rồi sắp xếp các góc đó theo thứ tự từ lớn đến bé.

Kiến thức cần nhớ

Muốn đo một góc của tam giác, đặt tâm thước đo góc trùng đỉnh, một cạnh qua vạch 0, đọc số đo ở cạnh còn lại.
So sánh số đo là so sánh trực tiếp các số đã đo được, số nào lớn hơn thì góc đó lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ cần đặt thước đo góc lần lượt tại ba đỉnh A, B, C rồi so sánh trực tiếp ba số đo đọc được — không cần tính toán gì thêm vì đề chỉ hỏi thứ tự, chưa hỏi tổng. Quan sát hình cũng thấy góc tại A "mở" rộng nhất, góc tại B "khép" hẹp nhất, gợi ý trước thứ tự cần tìm.

1Cách 1. Đo từng góc rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Đặt thước đo góc tại A, B, C, đọc ba số đo rồi so sánh.

B A C = 75°

A B C = 45°

A C B = 60°

So sánh:

75 > 60 > 45

Vậy Thứ tự từ lớn đến bé: $B A C > A C B > A B C$ .

2Cách 2. Ước lượng độ mở của góc bằng mắt trước khi đo

Định hướng. Quan sát hình vẽ, góc nào có hai cạnh "xoè" rộng hơn thì lớn hơn, giúp đoán trước thứ tự rồi đo lại để chắc chắn.

Góc tại A mở rộng nhất bằng mắt

\Rightarrow

đo được lớn nhất

75°

Góc tại C mở vừa

\Rightarrow

đo được

60°

Góc tại B mở hẹp nhất

\Rightarrow

đo được nhỏ nhất

45°

Vậy Ước lượng bằng mắt khớp với số đo chính xác ở Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng tổng ba góc của tam giác

Định hướng. Cộng thử ba số đo đã đo được, đối chiếu với tính chất tổng ba góc trong tam giác luôn bằng $180°$ (sẽ học kĩ ở bài sau) để tự kiểm tra phép đo.

75 + 60 + 45 = 180

Vậy Tổng đúng $180°$ nên ba số đo ở Cách 1 đáng tin cậy, do đó thứ tự $B A C > A C B > A B C$ là chính xác.

Nhận xét. Đây cũng chính là dữ kiện dùng lại ở Bài 8.52.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: đo trực tiếp ba góc rồi so sánh số, không cần bước ước lượng bằng mắt hay kiểm tra tổng nếu chỉ cần trả lời đúng thứ tự.

Đáp số. Thứ tự từ lớn đến bé:

B A C = 75° > A C B = 60° > A B C = 45°

Sai lầm thường gặp. Có em nhìn hình rồi đoán bừa mà không đo, dễ nhầm thứ tự khi hai góc gần bằng nhau; luôn đặt thước đo góc để lấy số đo chính xác trước khi kết luận thứ tự.

🚀 Mở rộng. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn cũng lớn hơn: ở tam giác này cạnh

B C

(đối diện

B A C = 75°

) là cạnh lớn nhất — kiến thức sẽ gặp lại ở phần quan hệ giữa góc và cạnh đối diện.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 8.52★Trang 57— Cộng ba góc đã đo được của một tam giác

Bài 8.52 (trang 57). Tính tổng số đo của ba góc

A B C

A C B

B A C

của tam giác

A B C

trong Bài 8.51.

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số đo đã có sẵn từ Bài 8.51 (

75°, 60°, 45°

), việc cần làm chỉ là cộng lại. Kết quả sẽ khớp với tính chất quan trọng: tổng ba góc trong bất kì tam giác nào cũng bằng

180°

1Cách 1. Cộng trực tiếp ba số đo đã đo được

Định hướng. Lấy đúng ba số đo đã đo ở Bài 8.51 rồi cộng lại.

A B C + A C B + B A C

= 45 + 60 + 75

Vậy $A B C + A C B + B A C = 180°$ .

2Cách 2. Cộng theo thứ tự đã sắp xếp từ lớn đến bé

Định hướng. Dùng lại thứ tự đã sắp xếp ở Bài 8.51 ( $75° > 60° > 45°$ ) để cộng, tránh bỏ sót góc nào.

75 + 60 = 135

135 + 45 = 180

Vậy Tổng vẫn bằng $180°$ , khớp với Cách 1 dù cộng theo thứ tự khác.

3Cách 3. Đối chiếu với tính chất tổng ba góc tam giác

Định hướng. So sánh kết quả cộng được với tính chất tổng ba góc trong tam giác luôn bằng $180°$ để khẳng định phép đo và phép cộng đều đúng.

Tổng đã tính

= 180°

Tính chất tam giác: tổng ba góc trong luôn bằng

180°

Vậy Hai giá trị trùng khớp, xác nhận ba số đo ở Bài 8.51 là chính xác.

Nhận xét. Tính chất này đúng cho MỌI tam giác, không riêng tam giác $A B C$ ở bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: cộng thẳng ba số đo theo đúng thứ tự đề cho (

A B C + A C B + B A C

), nhanh gọn và không cần lập luận thêm.

Đáp số.

A B C + A C B + B A C = 45° + 60° + 75° = 180°

Sai lầm thường gặp. Nếu ở Bài 8.51 đo sai một góc, tổng ở bài này sẽ lệch khỏi

180°

; khi thấy tổng khác

180°

phải quay lại đo kiểm tra từng góc, không được tự sửa số cho tròn

180°

🚀 Mở rộng. Tính chất tổng ba góc tam giác bằng

180°

dùng để tính nhanh góc còn lại khi đã biết hai góc kia, ví dụ tam giác vuông có một góc

90°

thì hai góc còn lại luôn có tổng

90°

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 8.53★★★Trang 57— Đọc số đo góc khi không cạnh nào trùng vạch 0

Bài 8.53 (trang 57). Khi đặt thước đo góc để tâm của thước trùng với đỉnh O của góc

x O y

, bạn Hùng thấy cạnh

O x

đi qua vạch 110 ở vòng cung trong, cạnh

O y

đi qua vạch 140 ở vòng cung ngoài. Tính số đo của góc

x O y

Kiến thức cần nhớ

Tại cùng một vạch, số đo vòng cung trong và vòng cung ngoài luôn có tổng bằng $180°$ .
Khi không cạnh nào trùng vạch 0, số đo góc bằng hiệu hai số đọc được trên cùng một vòng cung.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là tình huống khác Câu hỏi trang 61: cả hai cạnh

O x

O y

đều không đi qua vạch 0, nên không thể đọc số đo trực tiếp trên một vạch. Chìa khoá là mỗi vạch trên thước đo góc có HAI số (một của vòng cung trong, một của vòng cung ngoài) và hai số đó luôn có tổng bằng

180°

; từ đó đổi cả hai cạnh về cùng một vòng cung rồi lấy hiệu.

1Cách 1. Đo theo số đo ở vòng cung ngoài

Định hướng. Đổi vạch của $O x$ (đang đọc ở vòng trong là 110) sang vòng ngoài, rồi lấy hiệu với vạch của $O y$ (đã có sẵn ở vòng ngoài là 140).

O x

ở vòng trong là 110

\Rightarrow

ở vòng ngoài là

180 - 110 = 70

O y

ở vòng ngoài là 140

x O y = 140 - 70 = 70

Vậy $x O y = 70°$ .

2Cách 2. Đo theo số đo ở vòng cung trong

Định hướng. Đổi vạch của $O y$ (đang đọc ở vòng ngoài là 140) sang vòng trong, rồi lấy hiệu với vạch của $O x$ (đã có sẵn ở vòng trong là 110).

O y

ở vòng ngoài là 140

\Rightarrow

ở vòng trong là

180 - 140 = 40

O x

ở vòng trong là 110

x O y = 110 - 40 = 70

Vậy $x O y = 70°$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Xoay thước để một cạnh trùng vạch 0 rồi đo lại

Định hướng. Thay vì tính bằng hiệu, hình dung xoay cả góc $x O y$ (không đổi số đo) sao cho $O x$ trùng vạch 0, khi đó đọc thẳng số đo ở $O y$ .

Xoay góc sao cho

O x

về đúng vạch 0

O y

khi đó lệch khỏi vị trí cũ đúng

110°

(đúng bằng số vạch cũ của

O x

), nên còn cách vạch 0 đúng

140 - 110 = 30

so với vị trí cũ của

O y

...

Nhận xét. Cách xoay hình dung phức tạp hơn, nhưng vẫn quy về đúng phép trừ $140 - 70 = 70$ hoặc $110 - 40 = 70$ như hai cách trên — nên Cách 1, Cách 2 gọn hơn hẳn.

Vậy $x O y = 70°$ , cả ba cách đều thống nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 hoặc Cách 2 (đổi về cùng một vòng cung rồi lấy hiệu), tuỳ đề cho sẵn số nào tiện đổi hơn; không cần tưởng tượng xoay hình như Cách 3.

Đáp số.

x O y = 70°

Sai lầm thường gặp. Có em lấy luôn

140 - 110 = 30

mà quên hai số 110 và 140 thuộc HAI vòng cung khác nhau, không được trừ trực tiếp khi chưa đổi về cùng một vòng cung.

🚀 Mở rộng. Công thức tổng quát: nếu

O x

ở vòng trong là

a

và

O y

ở vòng ngoài là

b

, thì

x O y = b - (180 - a) = a + b - 180

; thay số

110 + 140 - 180 = 70

, khớp kết quả trên.

Mở bài này trong app ↗