Bài 6. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Đếm số lần một thừa số được lặp lại rồi viết theo định nghĩa lũy thừa $a^n=a\cdot a\cdot \dots \cdot a$ ($n$ thừa số $a$).

Vậy a) $2^5$; c) $4^2\cdot 5^3$.

Với câu b) các thừa số không hoàn toàn giống nhau nên dùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân để ghép $2\cdot 3$ thành một thừa số bằng $6$ trước khi viết gọn.

Vậy b) $2\cdot 3\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^4$.

Tính lần lượt từng giá trị $2^n$ bằng cách nhân kết quả trước đó với $2$, bắt đầu từ $2^0=1$.

Vậy bảng giá trị của $2^n$ lần lượt là $1;2;4;8;16;32;64;128;256;512;1024$.

Với câu b), đối chiếu trực tiếp số đã cho với bảng giá trị vừa lập ở câu a) để tìm đúng số mũ tương ứng.

Vậy $8=2^3;256=2^8;1024=2^{10};2048=2^{11}$.

Tính trực tiếp $n^2$ với $n$ chạy từ $0$ đến $19$ rồi xếp thành dãy tăng.

Vậy dãy bình phương là $0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196;225;256;289;324;361$.

Có thể tính nhanh hơn nhờ nhận xét hai bình phương liên tiếp hơn nhau một số lẻ tăng dần: $(n+1{)}^2=n^2+(2n+1)$, khỏi cần nhân lại từ đầu.

Vậy kết quả trùng với cách 1: dãy $0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169;196;225;256;289;324;361$. Đối chiếu dãy này, ta được $64=8^2;100=10^2;121=11^2;169=13^2;196=14^2;289=17^2$.

Nhân liên tiếp với $10$ để tính từng giá trị $10^n$.

Vậy $10^n$ chính là số $1$ theo sau bởi $n$ chữ số $0$.

Với câu b), không cần nhân lại từ đầu mà chỉ cần đếm số chữ số $0$ đứng sau chữ số $1$ trong mỗi số để suy ra ngay số mũ, theo quy tắc vừa phát biểu ở câu a).

Vậy $10=10^1;10000=10^4;100000=10^5;10000000=10^7;1\text{ ti}=10^9$.

Tính riêng từng lũy thừa theo định nghĩa, sau đó nhân các kết quả theo thứ tự.

Vậy a) $32$; b) $25$; c) $1008$.

Với câu c), có thể nhóm $2^4\cdot 3^2$ thành $(2^2\cdot 3{)}^2$ nhờ tính chất lũy thừa của một tích, tính gọn hơn trước khi nhân với $7$.

Vậy kết quả câu c) vẫn là $1008$, khớp với cách 1.

Với câu a) tính trực tiếp giá trị lũy thừa; với câu b), c) phân tích số đã cho ra thừa số nguyên tố để đưa về dạng lũy thừa rồi so sánh.

Vậy a) $n=625$; b) $n=5$; c) $n=3$.

Với câu b), c) có thể thử trực tiếp các giá trị $n$ nhỏ liên tiếp thay vào rồi kiểm tra kết quả, không cần phân tích thừa số nguyên tố.

Vậy kết quả trùng với cách 1: b) $n=5$; c) $n=3$.

Áp dụng trực tiếp quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số và lũy thừa của lũy thừa.

Vậy a) $3^{10}$; b) $1$; c) $x^{12}$.

Kiểm chứng lại bằng định nghĩa: viết mỗi lũy thừa thành tích các thừa số bằng nhau rồi đếm lại tổng số thừa số, không dùng công thức tổng quát.

Vậy kết quả không đổi so với cách 1: a) $3^{10}$; b) $1$; c) $x^{12}$.

Liệt kê chữ số tận cùng của bình phương mọi chữ số từ $0$ đến $9$, rồi xem chữ số $2$ có xuất hiện hay không.

Vậy kết luận đã cho là đúng: không có số chính phương nào có chữ số hàng đơn vị là $2$.

Chứng minh bằng phản chứng: giả sử có một số chính phương $n^2$ tận cùng bằng $2$, rồi xét chữ số tận cùng $a$ của $n$ để tìm mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại số chính phương nào có chữ số hàng đơn vị là $2$; kết luận đã cho đúng.

Chữ số tận cùng của một tích chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của các thừa số, nên nhân trực tiếp chữ số tận cùng của $47$ và của $2021$ qua từng bước.

Vì số chính phương chỉ tận cùng bằng $0;1;4;5;6;9$, mà $47^5+2021^6$ tận cùng bằng $8$, nên $47^5+2021^6$ không phải là số chính phương.

Dùng chu kì lặp của chữ số tận cùng khi nâng lũy thừa: chữ số tận cùng của các lũy thừa của $7$ lặp lại theo chu kì $4$ số hạng $7;9;3;1$.

Vậy $47^5+2021^6$ tận cùng bằng $7+1=8$, không thuộc $\{0;1;4;5;6;9\}$, nên không phải là số chính phương — kết quả khớp với cách 1.

Đưa hai lũy thừa về cùng một cơ số bằng cách viết cơ số đã cho thành lũy thừa của một số nhỏ hơn, rồi so sánh số mũ.

Vậy a) $27^{11}>81^8$; b) $625^5<125^7$.

Với câu c), hai cơ số $5$ và $11$ không đưa được về cùng một cơ số, nên đưa hai lũy thừa về cùng một số mũ rồi so sánh cơ số.

Vậy c) $5^{36}>11^{24}$.

Tính trực tiếp giá trị mỗi hiệu, sau đó phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố để chỉ ra đó là bình phương của một số tự nhiên.

Vậy $A=3^2,B=33^2,C=333^2$ đều là số chính phương.

Nhận xét quy luật chung của ba biểu thức: số bị trừ gồm toàn chữ số $1$, số trừ gồm toàn chữ số $2$ với một nửa số chữ số, rồi dự đoán kết quả là bình phương của số gồm toàn chữ số $3$, sau đó kiểm chứng bằng phép nhân trực tiếp.

Vậy cả ba số $A,B,C$ đều là số chính phương, kết quả khớp với cách 1.