Bài 1 · 2.12★Trang 34— Nhận biết số chia hết cho 2 và cho 3
Trong các số sau đây, số nào chia hết cho cả 2 và 3? 2020;2022;3303;3306.
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho sẵn bốn số và hỏi số nào thỏa ĐỒNG THỜI hai dấu hiệu chia hết cho 2 và 3, nên đây là dạng kiểm tra điều kiện kép trên từng số. Chọn hướng dùng dấu hiệu chia hết vì chỉ cần nhìn chữ số tận cùng và cộng các chữ số, không phải chia tay các số bốn chữ số. Bẫy dễ sập nhất là mới thỏa một trong hai điều kiện đã vội kết luận, quên kiểm điều kiện còn lại.
1Cách 1 — Dùng dấu hiệu chia hết
Một số chia hết cho cả 2 và 3 phải đồng thời thỏa hai dấu hiệu: chữ số tận cùng là chữ số chẵn, và tổng các chữ số chia hết cho 3.
Xét 2020: chữ số tận cùng là 0 nên 2020⋮2; tổng các chữ số 2+0+2+0=4 không chia hết cho 3, nên 2020 không thỏa cả hai điều kiện.
Xét 2022: chữ số tận cùng là 2 nên 2022⋮2; tổng các chữ số 2+0+2+2=6, mà 6⋮3 nên 2022⋮3. Số này thỏa cả hai điều kiện.
Xét 3303: chữ số tận cùng là 3, là số lẻ, nên 3303 không chia hết cho 2, bị loại ngay.
Xét 3306: chữ số tận cùng là 6 nên 3306⋮2; tổng các chữ số 3+3+0+6=12, mà 12⋮3 nên 3306⋮3. Số này thỏa cả hai điều kiện.
Vậy trong bốn số đã cho, hai số chia hết cho cả 2 và 3 là 2022 và 3306.
2Cách 2 — Thử chia trực tiếp
Có thể kiểm tra bằng cách thực hiện phép chia mỗi số cho 2 rồi cho 3, không cần qua dấu hiệu.
2020:2=1010 chia hết; 2020:3=673 dư 1, không chia hết, nên 2020 bị loại.
2022:2=1011 chia hết; 2022:3=674 chia hết, nên 2022 thỏa cả hai điều kiện.
3303:2=1651 dư 1, không chia hết, nên 3303 bị loại.
3306:2=1653 chia hết; 3306:3=1102 chia hết, nên 3306 thỏa cả hai điều kiện.
Vậy hai số chia hết cho cả 2 và 3 là 2022 và 3306, khớp với kết quả ở Cách 1.
3Cách 3 — Phân tích ra thừa số nguyên tố
Một số chia hết cho cả 2 và 3 khi và chỉ khi trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có mặt đủ hai thừa số nguyên tố 2 và 3.
2020=22⋅5⋅101: không có thừa số 3, nên 2020 không chia hết cho 3, bị loại.
2022=2⋅3⋅337: có đủ thừa số 2 và 3, nên 2022 thỏa cả hai điều kiện.
3303=32⋅367: đây là số lẻ, không có thừa số 2, bị loại.
3306=2⋅3⋅19⋅29: có đủ thừa số 2 và 3, nên 3306 thỏa cả hai điều kiện.
Vậy 2022 và 3306 chia hết cho cả 2 và 3, khớp với Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1 — chỉ cần nhìn chữ số tận cùng và cộng nhẩm các chữ số, nhanh hơn hẳn việc chia tay từng số như Cách 2.
Đáp số.2022 và 3306.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn xét 2020 thấy tận cùng 0 nên chia hết cho 2, rồi vội kết luận 2020 thỏa đề bài; thực ra còn phải cộng chữ số 2+0+2+0=4, không chia hết cho 3, nên 2020 vẫn phải bị loại.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: muốn kiểm một số chia hết cho tích của hai số nguyên tố cùng nhau (ví dụ 2 và 3), chỉ cần kiểm riêng từng dấu hiệu rồi lấy các số thỏa cả hai.
Bài 2 · 2.13★Trang 34— Nhận biết số chia hết cho 3 và cho 5
Trong các số sau đây, số nào chia hết cho cả 3 và 5? 1010;1945;1954;2010.
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 5
🧠 Phân tích tư duy
Cũng là dạng tìm số thỏa đồng thời hai dấu hiệu chia hết như bài trước, nhưng lần này là 3 và 5 — dấu hiệu chia hết cho 5 chỉ cần nhìn chữ số tận cùng (0 hoặc 5), đơn giản hơn dấu hiệu chia hết cho 3 (phải cộng chữ số). Chọn hướng xét dấu hiệu chia hết cho 5 trước vì nó loại nhanh các số không đạt ngay từ chữ số cuối. Bẫy dễ sập là tưởng số chẵn bất kỳ (như tận cùng 4) cũng có thể chia hết cho 5.
1Cách 1 — Dùng dấu hiệu chia hết
Số chia hết cho cả 3 và 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, đồng thời tổng các chữ số chia hết cho 3.
Xét 1010: tận cùng 0 nên 1010⋮5; tổng chữ số 1+0+1+0=2 không chia hết cho 3, bị loại.
Xét 1945: tận cùng 5 nên 1945⋮5; tổng chữ số 1+9+4+5=19 không chia hết cho 3, bị loại.
Xét 1954: tận cùng 4, không chia hết cho 5, bị loại ngay.
Xét 2010: tận cùng 0 nên 2010⋮5; tổng chữ số 2+0+1+0=3, mà 3⋮3 nên 2010⋮3. Số này thỏa cả hai điều kiện.
Vậy trong bốn số đã cho, chỉ có 2010 chia hết cho cả 3 và 5.
2Cách 2 — Thử chia trực tiếp
Kiểm tra bằng cách chia trực tiếp mỗi số cho 5 rồi cho 3.
1010:5=202 chia hết; 1010:3=336 dư 2, không chia hết, bị loại.
1945:5=389 chia hết; 1945:3=648 dư 1, không chia hết, bị loại.
1954:5=390 dư 4, không chia hết cho 5, bị loại ngay.
2010:5=402 chia hết; 2010:3=670 chia hết, nên 2010 thỏa cả hai điều kiện.
Vậy chỉ có 2010 chia hết cho cả 3 và 5, khớp với Cách 1.
3Cách 3 — Phân tích ra thừa số nguyên tố
Một số chia hết cho cả 3 và 5 khi và chỉ khi phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có mặt đủ hai thừa số 3 và 5.
1010=2⋅5⋅101: không có thừa số 3, bị loại.
1945=5⋅389: không có thừa số 3, bị loại.
1954=2⋅977: không có cả thừa số 3 lẫn 5, bị loại.
2010=2⋅3⋅5⋅67: có đủ thừa số 3 và 5, thỏa cả hai điều kiện.
Vậy chỉ có 2010 chia hết cho cả 3 và 5, khớp với Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1, xét dấu hiệu chia hết cho 5 trước để loại nhanh, rồi mới cộng chữ số kiểm chia hết cho 3 trên các số còn lại.
Đáp số.2010.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy 1954 tận cùng là 4 (số chẵn) nên nghĩ nó có thể chia hết cho 5, thử chia 1954:5=390 dư 4 mới biết sai; dấu hiệu chia hết cho 5 chỉ đúng khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, không phải mọi số chẵn.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: khi cần kiểm chia hết cho tích hai số nguyên tố khác nhau bất kỳ, luôn có thể tách thành kiểm riêng từng số nguyên tố rồi lấy giao các số thỏa cả hai điều kiện.
Bài 4 · 2.15★★Trang 34— Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu (chia hết cho 2)
Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 hay không, vì sao? a) 2020+2022; b) 20213−20203 (ghi chú: nguồn gốc trên web hiển thị đề là dãy số liền không có ký hiệu lũy thừa, đã suy luận và kiểm chứng lại bằng Python — xem ghichu_nguon).
Kiến thức cần nhớ
Tính chất chia hết của tổng, hiệu; tính chẵn lẻ của lũy thừa
Bài 5 · 2.16★★Trang 34— Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu (chia hết cho 5)
Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 hay không, vì sao? a) 2020+2021; b) 20255−20204 (ghi chú: nguồn gốc trên web hiển thị đề là dãy số liền không có ký hiệu lũy thừa, đã suy luận và kiểm chứng lại bằng Python — xem ghichu_nguon).
Kiến thức cần nhớ
Tính chất chia hết của tổng, hiệu; chữ số tận cùng của lũy thừa
Bài 6 · 2.17★★Trang 34— Bài toán thực tế dùng bội chung nhỏ nhất suy từ dấu hiệu chia hết
Lớp 6A muốn thành lập một nhóm nhảy để khi biểu diễn có thể tách ra đều thành từng nhóm 3 người hoặc nhóm 5 người. Hỏi nhóm nhảy cần ít nhất bao nhiêu người?
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 5; khái niệm bội chung
Bài 7 · 2.18★★★Trang 34— Lập số theo điều kiện chia hết, xét đủ trường hợp chữ số tận cùng
Dùng bốn chữ số 0;2;3;5 để tạo ra các số có bốn chữ số, mỗi chữ số cho chỉ được dùng một lần, sao cho: a) số đó chia hết cho 2; b) số đó chia hết cho 5; c) số đó chia hết cho cả 2 và 5.
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5; lập số thỏa điều kiện
Bài 9 · 2.20★★★Trang 34— Bài toán thực tế dùng dấu hiệu chia hết để giới hạn nghiệm
Chuẩn bị cho năm học mới, Mai được mẹ mua cho một số bút và một số quyển vở, hết tất cả 165 nghìn đồng. Biết một chiếc bút giá 17 nghìn đồng, một quyển vở giá 5 nghìn đồng. Hỏi mẹ Mai đã mua bao nhiêu chiếc bút và bao nhiêu quyển vở?
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu chia hết cho 5; lập phương trình có điều kiện số nguyên dương
