Bài 9. Dấu hiệu chia hết

Một số chia hết cho cả $2$ và $3$ phải đồng thời thỏa hai dấu hiệu: chữ số tận cùng là chữ số chẵn, và tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Vậy trong bốn số đã cho, hai số chia hết cho cả $2$ và $3$ là $2022$ và $3306$.

Có thể kiểm tra bằng cách thực hiện phép chia mỗi số cho $2$ rồi cho $3$, không cần qua dấu hiệu.

Vậy hai số chia hết cho cả $2$ và $3$ là $2022$ và $3306$, khớp với kết quả ở Cách 1.

Số chia hết cho cả $3$ và $5$ phải có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$, đồng thời tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Vậy trong bốn số đã cho, chỉ có $2010$ chia hết cho cả $3$ và $5$.

Kiểm tra bằng cách chia trực tiếp mỗi số cho $5$ rồi cho $3$.

Vậy chỉ có $2010$ chia hết cho cả $3$ và $5$, khớp với Cách 1.

Số chia hết cho cả $2$ và $9$ phải có chữ số tận cùng là chữ số chẵn, đồng thời tổng các chữ số chia hết cho $9$.

Vậy trong bốn số đã cho, chỉ có $2340$ chia hết cho cả $2$ và $9$.

Trước tiên loại các số lẻ vì không thể chia hết cho $2$, sau đó chia trực tiếp các số còn lại cho $9$.

Vậy chỉ có $2340$ chia hết cho cả $2$ và $9$, khớp với Cách 1.

Không cần tính giá trị cụ thể, chỉ cần xét tính chẵn lẻ (chia hết cho $2$ hay không) của từng số hạng rồi áp dụng tính chất của tổng, hiệu.

Vậy $2020+2022$ chia hết cho $2$, còn $2021^3-2020^3$ không chia hết cho $2$.

Có thể chỉ xét chữ số tận cùng cho câu a, và dùng hằng đẳng thức $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ để phân tích câu b theo một hướng khác.

Vậy $2021^3-2020^3$ bằng $1$ nhân với một số lẻ nên là số lẻ, không chia hết cho $2$ — kết quả khớp với Cách 1.

Xét chữ số tận cùng của từng số hạng để biết số đó có chia hết cho $5$ hay không, rồi áp dụng tính chất của tổng, hiệu.

Hai số $2025^5$ và $2020^4$ đều chia hết cho $5$ nên hiệu của chúng cũng chia hết cho $5$. Vậy $2020+2021$ không chia hết cho $5$, còn $2025^5-2020^4$ chia hết cho $5$.

Câu a có thể xét trực tiếp chữ số tận cùng của tổng; câu b có thể coi mỗi lũy thừa là một tích nhiều thừa số bằng cơ số.

Áp dụng tính chất hiệu hai số cùng chia hết cho $5$ thì hiệu cũng chia hết cho $5$, ta lại được $2025^5-2020^4⋮5$, khớp với kết quả ở Cách 1.

Gọi số người của nhóm nhảy là $n$ (người), $n$ là số nguyên dương; cần tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy nhóm nhảy cần ít nhất $15$ người.

Có thể liệt kê trực tiếp các bội của $3$ và các bội của $5$ rồi tìm số nhỏ nhất xuất hiện ở cả hai dãy.

Vậy nhóm nhảy cần ít nhất $15$ người, khớp với kết quả ở Cách 1.

Chữ số hàng nghìn không được là $0$. Với mỗi câu, trước tiên chọn chữ số tận cùng thỏa dấu hiệu chia hết, sau đó xếp ba chữ số còn lại vào ba vị trí đầu.

Vậy: a) có $10$ số chia hết cho $2$: $2350,2530,3052,3250,3502,3520,5032,5230,5302,5320$. b) có $10$ số chia hết cho $5$: $2035,2305,2350,2530,3025,3205,3250,3520,5230,5320$. c) có $6$ số chia hết cho cả $2$ và $5$: $2350,2530,3250,3520,5230,5320$.

Có thể liệt kê hết các số có bốn chữ số khác nhau tạo từ $0,2,3,5$ (hàng nghìn khác $0$), rồi lọc ra những số thỏa từng câu, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

Lọc tiếp các số vừa chẵn vừa tận cùng $0$ hoặc $5$ (tức tận cùng $0$): được đúng $6$ số, trùng khớp hoàn toàn với kết quả câu c ở Cách 1.

Vì $n$ chia hết cho $5$ nên chữ số tận cùng $b$ chỉ có thể là $0$ hoặc $5$; xét lần lượt hai trường hợp rồi áp dụng dấu hiệu chia hết cho $9$.

Vậy có hai cặp chữ số thỏa mãn: $(a;b)=(1;0)$ cho $n=32310$, và $(a;b)=(5;5)$ cho $n=32355$.

Với mỗi giá trị $b\in \{0,5\}$ đã biết từ dấu hiệu chia hết cho $5$, thử lần lượt $a$ từ $0$ đến $9$ và kiểm tra $n$ có chia hết cho $9$ không.

Vậy $(a;b)=(1;0)$ hoặc $(5;5)$, khớp hoàn toàn với kết quả ở Cách 1.

Gọi $x$ là số chiếc bút, $y$ là số quyển vở đã mua ($x,y$ là số nguyên dương). Theo đề bài, tổng số tiền là $17x+5y=165$ (nghìn đồng).

Vậy mẹ Mai đã mua $5$ chiếc bút và $16$ quyển vở.

Vì $17x<165$ nên $x$ chỉ có thể nhận các giá trị nguyên dương từ $1$ đến $9$. Với mỗi giá trị, tính $165-17x$ rồi kiểm tra có chia hết cho $5$ không.

Chỉ có $x=5$ cho $y=16$ là nghiệm nguyên dương hợp lệ, khớp với kết quả ở Cách 1. Vậy mẹ Mai đã mua $5$ chiếc bút và $16$ quyển vở.

Số $10^{12}$ viết ra gồm chữ số $1$ theo sau là $12$ chữ số $0$; từ đó xác định các chữ số của $A$ và $B$ rồi tính tổng các chữ số.

Vậy $A=10^{12}+1$ không chia hết cho $3$, còn $B=10^{12}+2$ chia hết cho $3$.

Có thể xét trước số dư của $10^{12}$ khi chia cho $3$, rồi cộng thêm số dư của phần cộng vào để suy ra số dư của cả tổng.

Câu b: $B=10^{12}+2$ chia cho $3$ dư $1+2=3$, mà $3$ chia hết cho $3$ nên số dư thực chất là $0$, do đó $B$ chia hết cho $3$ — kết quả khớp với Cách 1.

Tương tự bài trước, $10^{12}$ gồm chữ số $1$ theo sau là $12$ chữ số $0$; từ đó xác định tổng các chữ số của $A$ và $B$.

Vậy $A=10^{12}+7$ không chia hết cho $9$, còn $B=10^{12}+8$ chia hết cho $9$.

Xét số dư của $10^{12}$ khi chia cho $9$ trước, rồi cộng thêm số hạng còn lại để suy ra số dư của cả tổng.

Câu b: $B=10^{12}+8$ chia cho $9$ dư $1+8=9$, mà $9$ chia hết cho $9$ nên số dư thực chất là $0$, do đó $B$ chia hết cho $9$ — kết quả khớp với Cách 1.