Ôn tập chương I

Xét trực tiếp các số tự nhiên lẻ nằm trong khoảng đã cho rồi viết tập hợp theo hai cách mô tả.

Vậy cách 1 (liệt kê phần tử): $P=\{5;7;9\}$; cách 2 (chỉ ra tính chất đặc trưng): $P=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ le},3<x\le 9\}$

Biểu diễn ba phần tử của $P$ trên cùng một tia số gốc $O$, đơn vị là đoạn thẳng đơn vị.

Vậy ba điểm ứng với $5;7;9$ nằm theo đúng thứ tự tăng dần trên tia số, đúng như hình vẽ.

Xuất phát từ số lẻ nhỏ nhất thoả điều kiện rồi liệt kê tuần tự các số lẻ liên tiếp theo quy luật cộng $2$.

Vậy $P=\{5;7;9\}=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ le},3<x\le 9\}$

Đánh dấu các phần tử vừa tìm được trên tia số bằng cách đếm số đơn vị kể từ gốc $O$.

Vậy ba điểm $5;7;9$ được biểu diễn theo đúng thứ tự trên tia số như hình vẽ.

Đặt số cần tìm là $\overline{ab}$ với $a$ là chữ số hàng chục, $b$ là chữ số hàng đơn vị, rồi lập điều kiện từ đề bài.

Vậy số cần tìm là $19$.

Lập bảng thử trực tiếp các giá trị của chữ số hàng chục $a$ từ $1$ đến $9$ và tính $b=a+8$, chỉ giữ lại trường hợp $b$ là một chữ số hợp lệ.

Vậy chỉ có $a=1,b=9$ thoả mãn, số cần tìm là $19$.

Đặt số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a+b+c=5$, $c$ lẻ, rồi xét từng giá trị của chữ số hàng trăm $a$.

Vậy các số cần tìm là $113;131;203;221;311;401$.

Ngược lại, xét theo chữ số hàng đơn vị $c$ (chỉ nhận các giá trị lẻ $1;3;5;7;9$) để tìm $a,b$ tương ứng.

Vậy tập hợp các số cần tìm là $\{113;131;203;221;311;401\}$, trùng với cách 1.

Đặt số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a+b+c=5$, $c$ chẵn, rồi xét từng giá trị của chữ số hàng trăm $a$.

Vậy các số cần tìm là $104;122;140;212;230;302;320;410;500$.

Ngược lại, xét theo chữ số hàng đơn vị $c$ (chỉ nhận các giá trị chẵn $0;2;4$, vì $6,8$ khiến $a+b<0$) để tìm $a,b$ tương ứng.

Vậy tập hợp các số cần tìm là $\{104;122;140;212;230;302;320;410;500\}$, trùng với cách 1.

Vì mỗi số có năm chữ số nhưng chỉ có bốn giá trị khác nhau $\{1;3;5;7\}$ được phép dùng và cả bốn giá trị đều phải xuất hiện, nên phải có đúng một chữ số xuất hiện hai lần, ba chữ số còn lại xuất hiện đúng một lần.

Vậy $E=\{11357;13357;13557;13577\}$

Số lớn nhất trong $E$ là số có các chữ số lớn dần nhanh nhất, tức lặp chữ số lớn nhất $7$.

Vậy $n=1.10000+3.1000+5.100+7.10+7.1$.

Xuất phát từ dãy tăng chuẩn gồm đúng bốn chữ số $1,3,5,7$, rồi chèn thêm một bản sao của một chữ số vào đúng vị trí để dãy vẫn không giảm và có đủ năm chữ số.

Vậy $E=\{11357;13357;13557;13577\}$, số lớn nhất là $n=13577$

Vậy $n=1.10000+3.1000+5.100+7.10+7.1=13577$.

Chia thành hai trường hợp theo vị trí xuất hiện của chữ số $2$, tránh đếm trùng số $22$.

Vậy tổng số các số thoả yêu cầu là $10+8=18$.

Dùng phương pháp đếm phần bù: lấy tổng số các số có hai chữ số trừ đi số các số hoàn toàn không chứa chữ số $2$.

Vậy số các số có mặt chữ số $2$ là $90-72=18$.

Tách số bạn đạt "từ k điểm 10 trở lên" thành số bạn đạt ĐÚNG k điểm 10, rồi tính tổng điểm 10 theo từng nhóm.

Vậy lớp 6A được tất cả $100$ điểm $10$.

Dùng kĩ thuật đếm theo tầng: mỗi bạn đạt được từ $k$ điểm $10$ trở lên thì góp đúng $1$ đơn vị vào "lượt thứ $k$", nên tổng số điểm 10 bằng tổng số bạn ở mỗi mức trở lên.

Vậy lớp 6A được tất cả $100$ điểm $10$, trùng với cách 1.

Vì Quang không dịch cột các tích riêng, kết quả $13783$ chính là tổng ba tích riêng $a.2$, $a.5$, $a.4$ cộng thẳng cột với nhau.

Tính tích đúng $1253\times 254$ bằng cách phân tích $254=250+4$.

Vậy tích đúng là $1253\times 254=318262$.

Tách $11=10+1$ để ước lượng và thử lại giá trị $a$, sau đó tính tích đúng theo quy tắc đặt tính nhân dọc (dịch cột từng hàng).

Đặt tính nhân $1253\times 254$ theo quy tắc dịch cột: tích riêng với $4$ (đơn vị), với $5$ (chục, dịch trái 1 cột), với $2$ (trăm, dịch trái 2 cột).

Vậy tích đúng là $1253\times 254=318262$, trùng với cách 1.

Tách riêng số hạng đầu, rồi nhóm các số hạng còn lại (từ $2$ đến $2021$, gồm $2020$ số hạng, chia hết cho $4$) thành từng nhóm $4$ số liên tiếp.

Vậy mỗi nhóm $4$ số đều bằng $0$, do đó $S=1+0+0+\cdots +0=1$.

Tách riêng số hạng đầu, rồi nhóm các số hạng còn lại thành từng cặp $2$ số liên tiếp để nhận ra quy luật đan dấu $-1;+1;-1;+1;\dots$

Vậy $S=1+0=1$, trùng với cách 1.

Gọi số chia là $b$, thương là $q$ ($b,q\in \mathbb{N}$, $b\ne 0$). Lập đẳng thức chia có dư rồi đưa về phân tích thừa số.

Vậy số chia bằng $77$, thương bằng $1$.

Liệt kê tất cả các ước của $77$ rồi kiểm tra trực tiếp điều kiện số chia phải lớn hơn số dư $12$.

Vậy số chia bằng $77$, thương bằng $1$, trùng với cách 1.