Ôn tập chương II

Định hướng: đối chiếu từng khẳng định với tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu chia hết đã học, tìm khẳng định không còn đúng trong mọi trường hợp.

Vậy khẳng định sai là (C).

Định hướng: để bác bỏ một khẳng định phát biểu “luôn đúng”, chỉ cần chỉ ra một trường hợp cụ thể làm nó sai.

Vậy khẳng định sai là (C).

Định hướng: loại các hợp số trước bằng dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 3, số còn lại mới cần kiểm tra kỹ.

Vậy chỉ còn $461$, đáp án (D).

Định hướng: kiểm tra trực tiếp $461$ có là số nguyên tố hay không bằng cách thử chia cho các số nguyên tố không vượt quá $\sqrt{461}$.

Vậy $461$ là số nguyên tố, đáp án (D).

Định hướng: kiểm tra chữ số tận cùng để phát hiện ngay số chia hết cho 5.

Vậy số không là số nguyên tố là (C) $2335$.

Định hướng: kiểm tra ba số còn lại đều là số nguyên tố bằng cách thử chia cho các số nguyên tố nhỏ hơn căn của chúng.

Vậy trong bốn số, chỉ $2335$ không là số nguyên tố, đáp án (C).

Định hướng: dùng dấu hiệu chia hết cho 9 — tính tổng các chữ số của mỗi số rồi so với 9.

Vậy số chia hết cho $9$ là (D) $9459$.

Định hướng: kiểm chứng lại bằng phép chia trực tiếp để đối chiếu với dấu hiệu chia hết.

Vậy số chia hết cho $9$ là (D) $9459$.

Định hướng: lọc theo dấu hiệu chia hết cho 5 trước (chữ số tận cùng là 0 hoặc 5) để loại nhanh, rồi mới xét dấu hiệu chia hết cho 9 trên các số còn lại.

Vậy số thỏa mãn cả hai điều kiện là (A) $23454$.

Định hướng: kiểm tra đồng thời cả hai dấu hiệu trên từng phương án theo thứ tự cho sẵn, dừng ngay khi một phương án thỏa mãn cả hai điều kiện.

Vậy đáp án đúng là (A) $23454$.

Định hướng: (A), (B), (C) là các tính chất chuẩn đã học về ước chung, bội chung, ƯCLN, BCNN; chỉ cần soát kỹ khẳng định còn lại.

Vậy khẳng định (D) là khẳng định cần nghi ngờ nhất, sẽ kiểm bằng phản ví dụ ở Cách 2.

Định hướng: tìm một phản ví dụ cụ thể để bác bỏ (D).

Vậy khẳng định sai là (D).

Định hướng: không cần tính giá trị cụ thể (có thể rất lớn), chỉ cần chỉ ra một ước chung khác 1 của cả hai hạng tử trong tổng.

Tổng này lớn hơn $4$ và có thêm ước $4$, nên tổng ở câu b) cũng là hợp số. Vậy cả hai tổng đều là hợp số.

Định hướng: tính trực tiếp giá trị của tổng rồi phân tích ra thừa số nguyên tố để kiểm chứng lại kết luận ở Cách 1.

Tổng ở câu b) là số chẵn lớn hơn $2$ nên có thêm ước $2$, do đó là hợp số. Vậy cả hai tổng đều là hợp số, khớp với Cách 1.

Định hướng: thực hiện đúng thứ tự lũy thừa → nhân, chia → cộng, trừ, sau đó phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố.

Phân tích: $76=2^2\cdot 19$. Vậy a) $38=2\cdot 19$; b) $76=2^2\cdot 19$.

Định hướng: đưa các số về dạng lũy thừa của thừa số nguyên tố ngay từ đầu rồi rút gọn, thay vì tính số ra trước.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $38=2\cdot 19$; b) $76=2^2\cdot 19$.

Định hướng: gọi số học sinh là $x$, đưa điều kiện “xếp hàng 10, 12, 15 đều thừa 5” về điều kiện $(x-5)$ là bội chung của $10,12,15$, rồi dùng BCNN để giới hạn giá trị.

Vậy $x-5=240$, suy ra $x=245$. Số học sinh khối lớp 6 của trường là $245$ học sinh.

Định hướng: liệt kê trực tiếp các bội của $60$ nằm gần khoảng $200$ đến $300$ rồi cộng thêm $5$ để kiểm tra điều kiện đề bài.

Vậy số học sinh khối lớp 6 của trường là $245$ học sinh.

Định hướng: xét dấu hiệu chia hết của từng số hạng rồi áp dụng tính chất chia hết của một tổng, không cần cộng ra kết quả.

Chia hết cho $9$: vì $A$ đã không chia hết cho $3$ nên $A$ càng không chia hết cho $9$. Vậy $A$ chia hết cho $5$; không chia hết cho $2,3,9$.

Định hướng: cộng trực tiếp ra giá trị của $A$ rồi áp dụng dấu hiệu chia hết trên số cụ thể, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

Vậy $A$ chia hết cho $5$; không chia hết cho $2,3,9$, khớp với Cách 1.

Định hướng: dùng công thức tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng, rồi chia cho số đã biết để tìm số còn lại.

Vậy số còn lại là $b=3^4\cdot 5^3=10125$.

Định hướng: so sánh trực tiếp số mũ của từng thừa số nguyên tố trong ƯCLN (là số mũ nhỏ hơn) và BCNN (là số mũ lớn hơn) với số mũ đã biết của số $a=2^3\cdot 3^2\cdot 5$.

Vậy $b=3^4\cdot 5^3=10125$, khớp với Cách 1.

Định hướng: đổi thứ tự nhân (tính chất giao hoán, kết hợp) để đưa về nhân một số có 9 chữ số 1 với $a$.

Do đó kết quả $111111111\cdot a$ là một số có $9$ chữ số, mỗi chữ số đều là $a$. Vậy $12345679\cdot a\cdot 9$ luôn có $9$ chữ số, mỗi chữ số đều là $a$.

Định hướng: viết $111111111$ dưới dạng tổng các lũy thừa của $10$ rồi nhân từng số hạng với $a$ để thấy rõ vì sao không có hiện tượng nhớ.

Do $12345679\cdot a\cdot 9=111111111\cdot a$ (theo Cách 1), ta lại được số có $9$ chữ số, mỗi chữ số đều là $a$, khớp với kết luận ở Cách 1.

Định hướng: điều kiện $6⋮(n+1)$ có nghĩa $(n+1)$ là một ước của $6$; tìm tập ước của $6$ rồi suy ra $n$.

Vậy $n\in \{0;1;2;5\}$.

Định hướng: thử trực tiếp các giá trị $n=0,1,2,3,\dots$ và dừng lại khi $n+1$ vượt quá $6$ (vì khi đó $6$ không thể chia hết cho $n+1$).

Vậy $n\in \{0;1;2;5\}$, khớp với Cách 1.

Định hướng: với mỗi thừa số nguyên tố, số mũ trong ƯCLN là số mũ nhỏ hơn (min), số mũ trong BCNN là số mũ lớn hơn (max) của số mũ tương ứng ở hai số đã cho; so sánh riêng cho từng thừa số $2$ và $3$.

Vì $\text{BCNN}$ có số mũ của $3$ là $6=\max (a,5)$, mà $a\ge 5$ nên $\max (a,5)=a$, suy ra $a=6$. Vậy $a=6,b=2$.

Định hướng: dùng công thức tích hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN, so sánh tổng số mũ ở hai vế của mỗi thừa số nguyên tố, thay cho việc xét từng trường hợp min, max.

Vậy $a=6,b=2$, khớp với Cách 1.

Định hướng: tìm BCNN của các mẫu số để quy đồng về mẫu chung nhỏ nhất, giúp phép tính gọn nhất.

Suy ra $\frac{13}{15}-\frac{7}{12}=\frac{52}{60}-\frac{35}{60}=\frac{17}{60}$. Vậy a) $\frac{43}{42}$; b) $\frac{17}{60}$.

Định hướng: quy đồng bằng tích của hai mẫu số (không cần tìm BCNN), rồi rút gọn kết quả cuối về phân số tối giản.

Vì $51=3\cdot 17$ và $180=3\cdot 60$ nên rút gọn cho $3$: $\frac{51}{180}=\frac{17}{60}$, khớp với Cách 1. Vậy a) $\frac{43}{42}$; b) $\frac{17}{60}$.