Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

Định hướng. Xét từng khẳng định dựa đúng vào định nghĩa: số hữu tỉ dương lớn hơn $0$, số hữu tỉ âm nhỏ hơn $0$, số $0$ không dương không âm, và số nguyên chỉ là một loại số hữu tỉ đặc biệt.

Vậy các khẳng định a), b) đúng; các khẳng định c), d), e) sai.

Định hướng. Lấy một số hữu tỉ âm cụ thể, một số hữu tỉ dương cụ thể, số $0$ và một số nguyên âm để thử trực tiếp vào từng khẳng định.

Vậy thử với các số cụ thể cũng cho a), b) đúng; c), d), e) sai, khớp với Cách 1.

Định hướng. Hình dung trục số: số hữu tỉ âm nằm bên trái điểm $0$, số hữu tỉ dương nằm bên phải điểm $0$, điểm $0$ là ranh giới không thuộc bên nào.

Vậy quan sát trên trục số cũng xác nhận a), b) đúng; c), d), e) sai.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về một điều cốt lõi: số $0$ là điểm phân chia giữa số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương nhưng bản thân nó không thuộc loại nào.

Định hướng. Xét bản chất của $-7$ và $-\frac{3}{5}$ rồi đối chiếu trực tiếp với định nghĩa của từng tập hợp số.

Vậy $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$, $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Định hướng. Viết mỗi số dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$; nếu $b=1$ thì số đó là số nguyên, ngược lại không phải số nguyên.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$, $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Định hướng. Hình dung ba tập hợp lồng nhau $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ như ba vòng tròn đồng tâm, số nằm ở vòng trong cùng thì thuộc luôn cả hai vòng ngoài.

Vậy $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$ và $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Nhận xét. Muốn biết một số có thuộc $\mathbb{Z}$ hay không, chỉ cần kiểm tra nó có viết được thành phân số với mẫu tối giản bằng $1$ hay không.