Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

Định hướng. Xét từng khẳng định dựa đúng vào định nghĩa: số hữu tỉ dương lớn hơn $0$, số hữu tỉ âm nhỏ hơn $0$, số $0$ không dương không âm, và số nguyên chỉ là một loại số hữu tỉ đặc biệt.

Vậy các khẳng định a), b) đúng; các khẳng định c), d), e) sai.

Định hướng. Lấy một số hữu tỉ âm cụ thể, một số hữu tỉ dương cụ thể, số $0$ và một số nguyên âm để thử trực tiếp vào từng khẳng định.

Vậy thử với các số cụ thể cũng cho a), b) đúng; c), d), e) sai, khớp với Cách 1.

Định hướng. Hình dung trục số: số hữu tỉ âm nằm bên trái điểm $0$, số hữu tỉ dương nằm bên phải điểm $0$, điểm $0$ là ranh giới không thuộc bên nào.

Vậy quan sát trên trục số cũng xác nhận a), b) đúng; c), d), e) sai.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về một điều cốt lõi: số $0$ là điểm phân chia giữa số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương nhưng bản thân nó không thuộc loại nào.

Định hướng. Xét bản chất của $-7$ và $-\frac{3}{5}$ rồi đối chiếu trực tiếp với định nghĩa của từng tập hợp số.

Vậy $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$, $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Định hướng. Viết mỗi số dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$; nếu $b=1$ thì số đó là số nguyên, ngược lại không phải số nguyên.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$, $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Định hướng. Hình dung ba tập hợp lồng nhau $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ như ba vòng tròn đồng tâm, số nằm ở vòng trong cùng thì thuộc luôn cả hai vòng ngoài.

Vậy $-7\notin \mathbb{N}$, $-7\in \mathbb{Z}$, $-7\in \mathbb{Q}$ và $-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}$, $-\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$.

Nhận xét. Muốn biết một số có thuộc $\mathbb{Z}$ hay không, chỉ cần kiểm tra nó có viết được thành phân số với mẫu tối giản bằng $1$ hay không.

Định hướng. Xét dấu của tử và mẫu từng phân số: cùng dấu cho kết quả dương, khác dấu cho kết quả âm, riêng mẫu bằng $0$ thì phân số không tồn tại.

Vậy a) nối với 3), b) nối với 2), c) nối với 1), d) nối với 4).

Định hướng. Tính hoặc rút gọn từng phân số ra giá trị cụ thể rồi so sánh trực tiếp với $0$.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: a-3, b-2, c-1, d-4.

Định hướng. Đưa mỗi phân số có mẫu âm về dạng mẫu dương bằng tính chất $\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$, khi đó chỉ cần nhìn dấu của tử số mới.

Vậy vẫn ra a-3, b-2, c-1, d-4, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Đưa mẫu về dương trước là thao tác nền tảng của việc so sánh và cộng trừ số hữu tỉ ở các bài sau, nên luyện quen từ bài này.

Định hướng. Với hai số khác dấu thì kết luận ngay theo dấu; với hai số cùng dấu thì quy đồng mẫu số dương rồi so sánh tử số.

Vậy $-\frac{57}{2021}<\frac{1}{6345}$; $-\frac{19}{35}>-\frac{13}{21}$; $\frac{6}{73}<\frac{9}{82}$.

Định hướng. Với hai phân số có mẫu dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, so sánh trực tiếp $ad$ với $bc$ mà không cần tìm mẫu chung.

Vậy tích chéo cũng cho đúng ba kết quả như Cách 1.

Định hướng. Với các phân số gần bằng nhau, so sánh qua một số trung gian đơn giản như $0$ hoặc một phân số dễ ước lượng sẽ nhanh hơn quy đồng mẫu số lớn.

Vậy cả ba cách đều thống nhất: $-\frac{57}{2021}<\frac{1}{6345}$; $-\frac{19}{35}>-\frac{13}{21}$; $\frac{6}{73}<\frac{9}{82}$.

Nhận xét. Câu a) dùng dấu là đủ; khi mẫu số quá lớn như $2021$ hay $6345$ thì chọn mốc trung gian $0$ hoặc một phân số dễ ước lượng sẽ nhanh hơn hẳn quy đồng.

Định hướng. Đổi hai số thập phân về phân số rồi quy đồng cả sáu số về cùng một mẫu số chung để so sánh tử số.

Vậy tốc độ màn trập sắp xếp từ nhanh nhất đến chậm nhất là $0,004;\frac{1}{125};\frac{1}{60};\frac{1}{15};0,125;\frac{1}{4}$.

Định hướng. Chia tử cho mẫu của mỗi phân số để đưa cả sáu số về dạng số thập phân rồi so sánh trực tiếp.

Vậy đổi ra số thập phân cũng cho đúng thứ tự $0,004;\frac{1}{125};\frac{1}{60};\frac{1}{15};0,125;\frac{1}{4}$ như Cách 1.

Định hướng. Không cần quy đồng cả sáu số cùng lúc, có thể so sánh dần từng cặp: với các phân số có cùng tử số dương, mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ.

Vậy đúng một dãy tăng dần $0,004<\frac{1}{125}<\frac{1}{60}<\frac{1}{15}<0,125<\frac{1}{4}$.

Nhận xét. Với các phân số có tử số đều là $1$, chỉ cần so sánh mẫu số là biết ngay chiều lớn nhỏ, không cần quy đồng.

Định hướng. Đoạn từ $0$ đến $1$ trên hình được chia thành $6$ phần bằng nhau nên mỗi đơn vị mới bằng $\frac{1}{6}$ đơn vị cũ; chỉ cần đếm số đơn vị mới từ gốc $0$ đến mỗi điểm.

Vậy $A$ biểu diễn $-\frac{1}{2}$, $B$ biểu diễn $-\frac{1}{3}$, $C$ biểu diễn $\frac{1}{3}$, $D$ biểu diễn $\frac{7}{6}$.

Định hướng. Lập công thức chung: điểm cách gốc $0$ đúng $k$ đơn vị mới (dấu $+$ nếu ở bên phải, dấu $-$ nếu ở bên trái) biểu diễn số $\frac{k}{6}$, rồi thay từng giá trị $k$ đọc được trên hình.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $A=-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{1}{3}$, $C=\frac{1}{3}$, $D=\frac{7}{6}$.

Định hướng. Dùng hai mốc đã biết là điểm $0$ và điểm $1$ (cách nhau $6$ đơn vị mới) để nội suy vị trí từng điểm theo tỉ lệ, sau đó rút gọn phân số nhận được.

Vậy nội suy từ hai mốc $0$ và $1$ cũng cho đúng bốn giá trị như hai cách trên.

Nhận xét. Luôn rút gọn kết quả cuối cùng về phân số tối giản, như $\frac{2}{6}$ phải viết thành $\frac{1}{3}$ để đúng chuẩn trình bày.

Định hướng. Quy đồng hai phân số về cùng mẫu số $10$ (bội chung nhỏ nhất của $5$ và $2$), khi đó chỉ cần chia mỗi đơn vị cũ thành $10$ phần bằng nhau là đặt được cả hai điểm chính xác.

Vậy trên trục số chia theo đơn vị $\frac{1}{10}$, điểm $-\frac{4}{5}$ đặt tại vạch thứ $8$ bên trái gốc $0$, điểm $\frac{1}{2}$ đặt tại vạch thứ $5$ bên phải gốc $0$.

Định hướng. Đổi hai phân số sang số thập phân rồi đặt điểm trên trục đã chia sẵn theo từng phần mười, không cần quy đồng mẫu số bằng chữ.

Vậy vị trí hai điểm trùng khớp với Cách 1: $-\frac{4}{5}=-0,8$ và $\frac{1}{2}=0,5$.

Định hướng. Dựng riêng từng điểm bằng cách chia đoạn đơn vị theo đúng mẫu số của nó, sau đó ghép chung vào một trục nhờ cùng gốc $0$ và cùng đơn vị $[0;1]$.

Vậy hai điểm dựng riêng theo mẫu số của chính nó vẫn rơi đúng vào vị trí $-\frac{4}{5}=-\frac{8}{10}$ và $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$ như hai cách trên.

Nhận xét. Khi cần biểu diễn nhiều số hữu tỉ có mẫu số khác nhau, quy đồng về một mẫu chung (Cách 1) là cách chắc chắn nhất vì chỉ cần vẽ đúng một thang chia duy nhất.

Định hướng. Gọi tử số cần tìm là $x$, quy đồng $\frac{x}{7}$ với hai mốc mẫu số $8$ về mẫu chung $56$ rồi giải bất đẳng thức kép để tìm $x$ nguyên.

Vậy hai phân số cần tìm là $-\frac{2}{7}$ và $-\frac{1}{7}$.

Định hướng. Đổi hai mốc sang số thập phân để ước lượng khoảng giá trị của $\frac{x}{7}$, sau đó thử trực tiếp các số nguyên $x$ gần đó.

Vậy vẫn tìm được đúng hai phân số $-\frac{2}{7}$ và $-\frac{1}{7}$ như Cách 1.

Định hướng. Dùng tích chéo trực tiếp trên bất đẳng thức kép mà không cần quy đồng mẫu số chung, vì mẫu số $7$ và $8$ đều dương.

Vậy tích chéo cũng dẫn tới cùng hai phân số $-\frac{2}{7}$ và $-\frac{1}{7}$.

Nhận xét. Khoảng giữa $-\frac{3}{8}$ và $-\frac{1}{8}$ chứa đúng hai giá trị tử số nguyên khi nhân với $8$, nên đề bài có đúng hai đáp số chứ không phải một.

Định hướng. Tính hiệu suất từng mùa, so mỗi hiệu suất với mốc $1$ để chia thành hai nhóm nhỏ (tử lớn hơn mẫu và tử nhỏ hơn mẫu), rồi quy đồng để so sánh riêng trong từng nhóm.

Vậy sắp xếp hiệu suất từ bé đến lớn: $\frac{25}{33}<\frac{6}{7}<\frac{17}{18}<\frac{18}{17}<\frac{37}{34}$, ứng với mùa $2019$–$2020$, $2020$–$2021$, $2017$–$2018$, $2018$–$2019$, $2016$–$2017$; mùa $2016$–$2017$ Messi ghi bàn tốt nhất.

Định hướng. Chia trực tiếp tử cho mẫu để đổi mỗi hiệu suất sang số thập phân rồi so sánh năm số cùng lúc.

Vậy đổi ra số thập phân cũng cho đúng thứ tự như Cách 1: mùa $2019$–$2020$, $2020$–$2021$, $2017$–$2018$, $2018$–$2019$, $2016$–$2017$ (từ hiệu suất bé đến lớn).

Định hướng. Với các phân số gần bằng $1$, so sánh qua phần chênh lệch so với $1$: phân số lớn hơn $1$ có phần dư dương, phân số nhỏ hơn $1$ có phần thiếu; phần thiếu càng lớn thì phân số càng nhỏ.

Vậy theo phần chênh lệch với $1$ vẫn ra đúng thứ tự $\frac{25}{33}<\frac{6}{7}<\frac{17}{18}<\frac{18}{17}<\frac{37}{34}$, mùa $2016$–$2017$ Messi ghi bàn tốt nhất.

Nhận xét. Mùa $2016$–$2017$ đạt hiệu suất bàn trên trận cao nhất trong năm mùa, đúng nghĩa ghi bàn tốt nhất mà đề yêu cầu, dù số trận mùa đó không phải nhiều nhất.