Chương III. Góc và đường thẳng song song

Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang42–44 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.18★Trang 42— Tính và so sánh các góc tạo bởi một cát tuyến cắt hai đường thẳng song song

Cho Hình 3.19, biết

a ∥ b

.
a) Tính số đo góc

A_{1}

.
b) So sánh góc

A_{4}

và góc

B_{2}

.
c) Tính số đo góc

A_{2}

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

a ∥ b

và một góc cụ thể tại giao điểm thứ hai (

B_{1} = 3 5^{\circ}

) — dấu hiệu của dạng dùng tính chất hai đường thẳng song song để suy các góc còn lại. Việc đầu tiên là nhìn đúng vị trí từng góc so với cát tuyến

A B

A_{1}

so le trong với

B_{1}

, còn

A_{4}

B_{2}

ở vị trí đồng vị. Bẫy của đề là nhầm góc kề (

A_{1}

A_{2}

kề bù trên đường thẳng

a

) với góc so le trong.

1Cách 1. So le trong → đồng vị → kề bù (đi thẳng theo thứ tự đề hỏi)

Định hướng. Xác định đúng vị trí từng cặp góc so với cát tuyến AB rồi áp trực tiếp tính chất hai đường thẳng song song.

A_{1}

và

B_{1}

ở vị trí so le trong (cùng nằm giữa dải

a

b

, hai phía đối diện của cát tuyến

A B

).
Vì

a ∥ b

nên

A_{1} = B_{1} = 3 5^{\circ}

Vậy $A_{1} = 3 5^{\circ}$ .

A_{4}

và

B_{2}

ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến, cùng ở trên hai đường thẳng

a

b

theo đúng thứ tự tương ứng).
Vì

a ∥ b

nên

A_{4} = B_{2}

Vậy $A_{4} = B_{2}$ (hai góc bằng nhau).

A_{1}

và

A_{2}

là hai góc kề bù (cùng đỉnh

A

, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau trên đường thẳng

a

) nên

A_{1} + A_{2} = 18 0^{\circ}

.
Thay số:

3 5^{\circ} + A_{2} = 18 0^{\circ}

, suy ra

A_{2} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng góc trong cùng phía (đường vòng qua kề bù tại B)

Định hướng. Không dùng ngay so le trong; tính góc kề bù tại $B$ trước rồi dùng tính chất góc trong cùng phía có tổng $18 0^{\circ}$ .

B_{1}

và

B_{2}

kề bù trên đường thẳng

b

nên

B_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

.
a)

A_{1}

và

B_{2}

cùng phía cát tuyến (phía trái), cùng ở giữa dải

a

b

nên là góc trong cùng phía:

A_{1} + B_{2} = 18 0^{\circ}

.
Suy ra

A_{1} = 18 0^{\circ} - 14 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

, khớp Cách 1.

A_{2}

và

B_{1}

cũng ở vị trí trong cùng phía (phía phải) nên

A_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

; mà

A_{4}

đối đỉnh với

A_{2}

nên

A_{4} = 14 5^{\circ}

. So với

B_{2} = 14 5^{\circ}

ở trên.

Vậy $A_{4} = B_{2} = 14 5^{\circ}$ , đúng bằng nhau.

c) Đã có

A_{2} = 14 5^{\circ}

ở bước trên.

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Xuất phát từ góc đồng vị rồi suy các góc còn lại bằng đối đỉnh

Định hướng. Chọn tính chất đồng vị làm gốc, dùng đối đỉnh và kề bù để kéo ra mọi góc còn lại — không cần gọi tên "so le trong" ở bước nào.

A_{3}

và

B_{1}

ở vị trí đồng vị nên

A_{3} = B_{1} = 3 5^{\circ}

(vì

a ∥ b

).
a)

A_{1}

đối đỉnh với

A_{3}

nên

A_{1} = A_{3} = 3 5^{\circ}

Vậy $A_{1} = 3 5^{\circ}$ , khớp hai cách trên.

A_{4}

và

A_{3}

kề bù trên đường thẳng

a

nên

A_{4} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

B_{2}

và

B_{1}

kề bù trên đường thẳng

b

nên

B_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{4} = B_{2} = 14 5^{\circ}$ .

A_{2}

đối đỉnh với

A_{4}

nên

A_{2} = A_{4} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ , cả ba cách cho cùng kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám thẳng định nghĩa so le trong – đồng vị – kề bù, chỉ 1 bước tính cho mỗi ý, nhanh và ít khả năng nhầm hơn hai cách vòng qua góc phụ.

Đáp số. a)

A_{1} = 3 5^{\circ}

. b)

A_{4} = B_{2}

(bằng nhau, cùng

14 5^{\circ}

). c)

A_{2} = 14 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

A_{1}

với

B_{1}

là góc đồng vị (vì cùng thấy "cùng phía") nên vẫn ra đúng số

3 5^{\circ}

nhưng sai tên quan hệ; khi gặp đề khác số đo sẽ áp nhầm dấu hiệu. Cũng hay quên

A_{1}

A_{2}

là kề bù (tổng

18 0^{\circ}

) nên tính nhầm

A_{2} = A_{1} = 3 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành

A_{2} = 3 5^{\circ}

(giữ nguyên vị trí các góc), hãy tính lại

B_{1}

— kết quả sẽ đổi vai trò so le trong và trong cùng phía cho nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.19★★Trang 42— Chứng minh hai đường thẳng song song rồi tính góc so le trong, góc kề bù

Vẽ lại Hình 3.20 vào vở.
a) Giải thích tại sao

A x ∥ B y

.
b) Tính số đo góc

A B y^{'}

.
c) Tính số đo góc

A B M

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chưa cho

A x ∥ B y

mà bắt chứng minh trước — dấu hiệu của dạng "dùng dấu hiệu nhận biết" chứ không phải "dùng tính chất". Cát tuyến hợp lí ở đây là đường thẳng

Z N

(qua

Z

M

N

): nó cắt đường thẳng

y^{'} y

tại

M

và cắt đường thẳng

A x

(qua

A

N

) tại

N

, tạo ra cặp góc đồng vị đã cho bằng nhau (

6 0^{\circ}

). Bẫy là dễ nhầm cát tuyến

A Z

(qua

A

B

) mới là đường cần xét, trong khi đó chính là đường thẳng đang được chứng minh song song.

1Cách 1. Dùng đồng vị của cát tuyến ZN để dựng song song, rồi so le trong và kề bù

Định hướng. Chọn đúng cát tuyến $Z N$ cắt hai đường thẳng cần so sánh, so sánh cặp góc đồng vị đã cho.

a) Xét cát tuyến

Z N

cắt đường thẳng

y^{'} y

tại

M

và cắt đường thẳng

A x

tại

N

Z M y^{'} = Z N A = 6 0^{\circ}

(đề cho), hai góc này ở vị trí đồng vị.

Vậy $A x ∥ B y$ theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

b) Vì

A x ∥ B y

, xét cát tuyến

A B

(qua

A

B

A B y^{'}

và

B A x

ở vị trí so le trong.
Mà

B A x = 5 0^{\circ}

(đề cho) nên

A B y^{'} = B A x = 5 0^{\circ}

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

A B y^{'}

và

A B M

kề bù trên đường thẳng

y^{'} y

(vì

y^{'}

B

M

thẳng hàng) nên

A B y^{'} + A B M = 18 0^{\circ}

.
Thay số:

5 0^{\circ} + A B M = 18 0^{\circ}

, suy ra

A B M = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng tổng ba góc trong tam giác ZAN để kiểm tra trước khi kết luận song song

Định hướng. Tính góc còn lại của tam giác $Z A N$ rồi dùng tổng hai góc trong cùng phía bằng $18 0^{\circ}$ thay vì so sánh đồng vị trực tiếp.

a) Trong tam giác

Z A N

Z = 18 0^{\circ} - Z A N - Z N A = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

.
Xét cát tuyến

Z A

cắt

y^{'} y

tại

B

: trong tam giác

Z B M

(đồng dạng vị trí với

Z A N

), góc

Z M B = Z M y^{'}

kề bù với

6 0^{\circ}

… thay vào đó, dùng trực tiếp:

B M N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

và

A N M = 6 0^{\circ}

là hai góc trong cùng phía của cát tuyến

Z N

với hai đường thẳng

y^{'} y

A x

12 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy $y^{'} y ∥ A x$ , tức $B y ∥ A x$ , khớp Cách 1.

b) Vì

A x ∥ B y

và

y^{'}

B

A

Z

liên quan qua cát tuyến

A B

A B y^{'}

B A x

so le trong nên

A B y^{'} = 5 0^{\circ}

(như Cách 1).

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

c) Vì

A B y^{'}

và

A B M

kề bù nên

A B M = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Tính ABM trước bằng tam giác ABz rồi suy ngược ra ABy'

Định hướng. Đảo thứ tự: từ tam giác chứa cạnh $A B$ , $B M$ tính $A B M$ trực tiếp bằng góc ngoài của tam giác, rồi mới suy $A B y^{'}$ bằng kề bù.

a) (giống Cách 1)

Z M y^{'} = Z N A = 6 0^{\circ}

ở vị trí đồng vị của cát tuyến

Z N

nên

A x ∥ B y

Vậy $A x ∥ B y$ .

c) Trong tam giác

A B N

(đỉnh

A

B

N

, với

B A N = 5 0^{\circ}

): góc ngoài

A B M

tại đỉnh

B

(kề bù với

A B N

của tam giác) bằng tổng hai góc trong không kề với nó, tức

A B M = B A N + A N B

.
Vì

A N B = A N M = 6 0^{\circ}

nên

A B M = 5 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ , khớp hai cách trên.

A B y^{'}

kề bù với

A B M

nên

A B y^{'} = 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng góc ngoài tam giác — kiến thức của bài sau (tổng ba góc trong một tam giác) — nên chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không thay cho lời giải chính của Bài 10.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn đúng cát tuyến ZN để dựng song song ngay từ đầu, sau đó so le trong và kề bù cho kết quả trực tiếp, không phải tính thêm góc phụ nào.

Đáp số. a)

A x ∥ B y

(hai góc đồng vị của cát tuyến

Z N

bằng nhau, cùng

6 0^{\circ}

). b)

A B y^{'} = 5 0^{\circ}

. c)

A B M = 13 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm cát tuyến

A B

(đường đang cần chứng minh song song) để so sánh góc thay vì cát tuyến

Z N

, dẫn đến lập luận vòng quanh (dùng chính điều cần chứng minh). Cũng hay quên kề bù ở phần c, tính nhầm

A B M = A B y^{'} = 5 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho

Z N A = 6 0^{\circ}

mà đổi góc tại

M

thành ẩn số

x

, tìm

x

để ba điểm liên quan vẫn tạo ra

A x ∥ B y

— đây chính là cách phát biểu ngược của dấu hiệu nhận biết.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.20★Trang 42— Nhận biết phát biểu đúng của tiên đề Euclid

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào diễn đạt đúng nội dung của tiên đề Euclid?
a) Qua điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

có ít nhất một đường thẳng song song với

d

.
b) Nếu qua điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

có hai đường thẳng song song với

d

thì chúng trùng nhau.
c) Có duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
d) Cho điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

. Đường thẳng đi qua

A

và song song với đường thẳng

d

là duy nhất.

Kiến thức cần nhớ

Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.21★★★Trang 43— Chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng tính duy nhất của đường thẳng song song (tiên đề Euclid)

Cho đường thẳng

x x^{'}

, điểm

A

thuộc

x x^{'}

. Trên tia

A x^{'}

lấy điểm

B

(điểm

B

khác điểm

A

). Vẽ tia

B y

, trên tia

B y

lấy điểm

M

. Hai điểm

N

và

P

thoả mãn:

N M A = M A B

;

P M y = M B x^{'}

(Hình 3.21). Giải thích tại sao ba điểm

N

M

P

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.22★★Trang 43— Chứng minh song song bằng quan hệ từ vuông góc đến song song, rồi tính góc so le trong

Vẽ lại Hình 3.22 vào vở.
a) Giải thích tại sao

a ∥ b

.
b) Tính số đo góc

A B H

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.23★★Trang 43— Chứng minh song song bằng đồng vị, rồi suy vuông góc bằng tính chất bắc cầu vuông góc–song song

Vẽ lại Hình 3.23 vào vở. Giải thích tại sao
a)

x x^{'} ∥ y y^{'}

.
b)

x x^{'} ⊥ a

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.24★★★Trang 44— Chứng minh song song bằng vuông góc chung, tính góc đồng vị – kề bù, dựng tia phân giác rồi tính góc

Cho Hình 3.24.
a) Giải thích tại sao

y y^{'} ∥ z z^{'}

.
b) Tính số đo góc

A B z

.
c) Vẽ tia phân giác

A t

của góc

y^{'} A B

, tia

A t

cắt đường thẳng

z z^{'}

tại

H

. Tính số đo góc

A H N

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.25★★★Trang 44— Chứng minh song song bằng vuông góc chung, tính góc bằng cách kẻ đường phụ song song qua đỉnh trong

Cho Hình 3.25.
a) Giải thích tại sao

A x ∥ B y

.
b) Tính số đo góc

A C B

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.26★★★Trang 44— Tính góc của đường gấp khúc giữa hai đường thẳng song song bằng đường phụ

Cho Hình 3.26, biết

A x ∥ D y

x A C = 5 0^{\circ}

;

A C D = 11 0^{\circ}

. Tính số đo góc

C D y

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Nếu tia $C t$ nằm giữa hai tia $C A$ , $C D$ thì $A C D = A C t + tC D$ .