Chương III. Góc và đường thẳng song song

Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.18★Trang 42— Tính và so sánh các góc tạo bởi một cát tuyến cắt hai đường thẳng song song

Cho Hình 3.19, biết

a ∥ b

.
a) Tính số đo góc

A_{1}

.
b) So sánh góc

A_{4}

và góc

B_{2}

.
c) Tính số đo góc

A_{2}

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

a ∥ b

và một góc cụ thể tại giao điểm thứ hai (

B_{1} = 3 5^{\circ}

) — dấu hiệu của dạng dùng tính chất hai đường thẳng song song để suy các góc còn lại. Việc đầu tiên là nhìn đúng vị trí từng góc so với cát tuyến

A B

A_{1}

so le trong với

B_{1}

, còn

A_{4}

B_{2}

ở vị trí đồng vị. Bẫy của đề là nhầm góc kề (

A_{1}

A_{2}

kề bù trên đường thẳng

a

) với góc so le trong.

1Cách 1. So le trong → đồng vị → kề bù (đi thẳng theo thứ tự đề hỏi)

Định hướng. Xác định đúng vị trí từng cặp góc so với cát tuyến AB rồi áp trực tiếp tính chất hai đường thẳng song song.

A_{1}

và

B_{1}

ở vị trí so le trong (cùng nằm giữa dải

a

b

, hai phía đối diện của cát tuyến

A B

).
Vì

a ∥ b

nên

A_{1} = B_{1} = 3 5^{\circ}

Vậy $A_{1} = 3 5^{\circ}$ .

A_{4}

và

B_{2}

ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến, cùng ở trên hai đường thẳng

a

b

theo đúng thứ tự tương ứng).
Vì

a ∥ b

nên

A_{4} = B_{2}

Vậy $A_{4} = B_{2}$ (hai góc bằng nhau).

A_{1}

và

A_{2}

là hai góc kề bù (cùng đỉnh

A

, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau trên đường thẳng

a

) nên

A_{1} + A_{2} = 18 0^{\circ}

.
Thay số:

3 5^{\circ} + A_{2} = 18 0^{\circ}

, suy ra

A_{2} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng góc trong cùng phía (đường vòng qua kề bù tại B)

Định hướng. Không dùng ngay so le trong; tính góc kề bù tại $B$ trước rồi dùng tính chất góc trong cùng phía có tổng $18 0^{\circ}$ .

B_{1}

và

B_{2}

kề bù trên đường thẳng

b

nên

B_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

.
a)

A_{1}

và

B_{2}

cùng phía cát tuyến (phía trái), cùng ở giữa dải

a

b

nên là góc trong cùng phía:

A_{1} + B_{2} = 18 0^{\circ}

.
Suy ra

A_{1} = 18 0^{\circ} - 14 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

, khớp Cách 1.

A_{2}

và

B_{1}

cũng ở vị trí trong cùng phía (phía phải) nên

A_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

; mà

A_{4}

đối đỉnh với

A_{2}

nên

A_{4} = 14 5^{\circ}

. So với

B_{2} = 14 5^{\circ}

ở trên.

Vậy $A_{4} = B_{2} = 14 5^{\circ}$ , đúng bằng nhau.

c) Đã có

A_{2} = 14 5^{\circ}

ở bước trên.

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Xuất phát từ góc đồng vị rồi suy các góc còn lại bằng đối đỉnh

Định hướng. Chọn tính chất đồng vị làm gốc, dùng đối đỉnh và kề bù để kéo ra mọi góc còn lại — không cần gọi tên "so le trong" ở bước nào.

A_{3}

và

B_{1}

ở vị trí đồng vị nên

A_{3} = B_{1} = 3 5^{\circ}

(vì

a ∥ b

).
a)

A_{1}

đối đỉnh với

A_{3}

nên

A_{1} = A_{3} = 3 5^{\circ}

Vậy $A_{1} = 3 5^{\circ}$ , khớp hai cách trên.

A_{4}

và

A_{3}

kề bù trên đường thẳng

a

nên

A_{4} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

B_{2}

và

B_{1}

kề bù trên đường thẳng

b

nên

B_{2} = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{4} = B_{2} = 14 5^{\circ}$ .

A_{2}

đối đỉnh với

A_{4}

nên

A_{2} = A_{4} = 14 5^{\circ}

Vậy $A_{2} = 14 5^{\circ}$ , cả ba cách cho cùng kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám thẳng định nghĩa so le trong – đồng vị – kề bù, chỉ 1 bước tính cho mỗi ý, nhanh và ít khả năng nhầm hơn hai cách vòng qua góc phụ.

Đáp số. a)

A_{1} = 3 5^{\circ}

. b)

A_{4} = B_{2}

(bằng nhau, cùng

14 5^{\circ}

). c)

A_{2} = 14 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

A_{1}

với

B_{1}

là góc đồng vị (vì cùng thấy "cùng phía") nên vẫn ra đúng số

3 5^{\circ}

nhưng sai tên quan hệ; khi gặp đề khác số đo sẽ áp nhầm dấu hiệu. Cũng hay quên

A_{1}

A_{2}

là kề bù (tổng

18 0^{\circ}

) nên tính nhầm

A_{2} = A_{1} = 3 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành

A_{2} = 3 5^{\circ}

(giữ nguyên vị trí các góc), hãy tính lại

B_{1}

— kết quả sẽ đổi vai trò so le trong và trong cùng phía cho nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.19★★Trang 42— Chứng minh hai đường thẳng song song rồi tính góc so le trong, góc kề bù

Vẽ lại Hình 3.20 vào vở.
a) Giải thích tại sao

A x ∥ B y

.
b) Tính số đo góc

A B y^{'}

.
c) Tính số đo góc

A B M

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chưa cho

A x ∥ B y

mà bắt chứng minh trước — dấu hiệu của dạng "dùng dấu hiệu nhận biết" chứ không phải "dùng tính chất". Cát tuyến hợp lí ở đây là đường thẳng

Z N

(qua

Z

M

N

): nó cắt đường thẳng

y^{'} y

tại

M

và cắt đường thẳng

A x

(qua

A

N

) tại

N

, tạo ra cặp góc đồng vị đã cho bằng nhau (

6 0^{\circ}

). Bẫy là dễ nhầm cát tuyến

A Z

(qua

A

B

) mới là đường cần xét, trong khi đó chính là đường thẳng đang được chứng minh song song.

1Cách 1. Dùng đồng vị của cát tuyến ZN để dựng song song, rồi so le trong và kề bù

Định hướng. Chọn đúng cát tuyến $Z N$ cắt hai đường thẳng cần so sánh, so sánh cặp góc đồng vị đã cho.

a) Xét cát tuyến

Z N

cắt đường thẳng

y^{'} y

tại

M

và cắt đường thẳng

A x

tại

N

Z M y^{'} = Z N A = 6 0^{\circ}

(đề cho), hai góc này ở vị trí đồng vị.

Vậy $A x ∥ B y$ theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

b) Vì

A x ∥ B y

, xét cát tuyến

A B

(qua

A

B

A B y^{'}

và

B A x

ở vị trí so le trong.
Mà

B A x = 5 0^{\circ}

(đề cho) nên

A B y^{'} = B A x = 5 0^{\circ}

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

A B y^{'}

và

A B M

kề bù trên đường thẳng

y^{'} y

(vì

y^{'}

B

M

thẳng hàng) nên

A B y^{'} + A B M = 18 0^{\circ}

.
Thay số:

5 0^{\circ} + A B M = 18 0^{\circ}

, suy ra

A B M = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng tổng ba góc trong tam giác ZAN để kiểm tra trước khi kết luận song song

Định hướng. Tính góc còn lại của tam giác $Z A N$ rồi dùng tổng hai góc trong cùng phía bằng $18 0^{\circ}$ thay vì so sánh đồng vị trực tiếp.

a) Trong tam giác

Z A N

Z = 18 0^{\circ} - Z A N - Z N A = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

.
Xét cát tuyến

Z A

cắt

y^{'} y

tại

B

: trong tam giác

Z B M

(đồng dạng vị trí với

Z A N

), góc

Z M B = Z M y^{'}

kề bù với

6 0^{\circ}

… thay vào đó, dùng trực tiếp:

B M N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

và

A N M = 6 0^{\circ}

là hai góc trong cùng phía của cát tuyến

Z N

với hai đường thẳng

y^{'} y

A x

12 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy $y^{'} y ∥ A x$ , tức $B y ∥ A x$ , khớp Cách 1.

b) Vì

A x ∥ B y

và

y^{'}

B

A

Z

liên quan qua cát tuyến

A B

A B y^{'}

B A x

so le trong nên

A B y^{'} = 5 0^{\circ}

(như Cách 1).

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

c) Vì

A B y^{'}

và

A B M

kề bù nên

A B M = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Tính ABM trước bằng tam giác ABz rồi suy ngược ra ABy'

Định hướng. Đảo thứ tự: từ tam giác chứa cạnh $A B$ , $B M$ tính $A B M$ trực tiếp bằng góc ngoài của tam giác, rồi mới suy $A B y^{'}$ bằng kề bù.

a) (giống Cách 1)

Z M y^{'} = Z N A = 6 0^{\circ}

ở vị trí đồng vị của cát tuyến

Z N

nên

A x ∥ B y

Vậy $A x ∥ B y$ .

c) Trong tam giác

A B N

(đỉnh

A

B

N

, với

B A N = 5 0^{\circ}

): góc ngoài

A B M

tại đỉnh

B

(kề bù với

A B N

của tam giác) bằng tổng hai góc trong không kề với nó, tức

A B M = B A N + A N B

.
Vì

A N B = A N M = 6 0^{\circ}

nên

A B M = 5 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

Vậy $A B M = 13 0^{\circ}$ , khớp hai cách trên.

A B y^{'}

kề bù với

A B M

nên

A B y^{'} = 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

Vậy $A B y^{'} = 5 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng góc ngoài tam giác — kiến thức của bài sau (tổng ba góc trong một tam giác) — nên chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không thay cho lời giải chính của Bài 10.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn đúng cát tuyến ZN để dựng song song ngay từ đầu, sau đó so le trong và kề bù cho kết quả trực tiếp, không phải tính thêm góc phụ nào.

Đáp số. a)

A x ∥ B y

(hai góc đồng vị của cát tuyến

Z N

bằng nhau, cùng

6 0^{\circ}

). b)

A B y^{'} = 5 0^{\circ}

. c)

A B M = 13 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm cát tuyến

A B

(đường đang cần chứng minh song song) để so sánh góc thay vì cát tuyến

Z N

, dẫn đến lập luận vòng quanh (dùng chính điều cần chứng minh). Cũng hay quên kề bù ở phần c, tính nhầm

A B M = A B y^{'} = 5 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho

Z N A = 6 0^{\circ}

mà đổi góc tại

M

thành ẩn số

x

, tìm

x

để ba điểm liên quan vẫn tạo ra

A x ∥ B y

— đây chính là cách phát biểu ngược của dấu hiệu nhận biết.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.20★Trang 42— Nhận biết phát biểu đúng của tiên đề Euclid

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào diễn đạt đúng nội dung của tiên đề Euclid?
a) Qua điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

có ít nhất một đường thẳng song song với

d

.
b) Nếu qua điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

có hai đường thẳng song song với

d

thì chúng trùng nhau.
c) Có duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
d) Cho điểm

A

nằm ngoài đường thẳng

d

. Đường thẳng đi qua

A

và song song với đường thẳng

d

là duy nhất.

Kiến thức cần nhớ

Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là dạng "soi câu chữ": bốn phát biểu trông rất giống nhau nhưng khác nhau ở đúng hai chỗ — có nhắc "qua điểm

A

nằm ngoài

d

" hay không, và nói về "ít nhất một" hay "duy nhất". Dấu hiệu nhận dạng là phải so từng câu với phát biểu chuẩn của tiên đề: tính DUY NHẤT gắn với một ĐIỂM cố định, không phải với "một đường thẳng cho trước" nói chung. Bẫy nằm ở câu c) — thiếu chữ "qua điểm A" khiến phát biểu sai hẳn ý nghĩa.

1Cách 1. Đối chiếu từng câu với đúng nội dung tiên đề Euclid

Định hướng. Nhắc lại chính xác tiên đề: "Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó", rồi so từng câu.

a) Chỉ nói "có ít nhất một", thiếu tính duy nhất — sai (tiên đề khẳng định chỉ có đúng một, không phải chỉ tồn tại).
b) Diễn đạt lại đúng nghĩa của tính duy nhất: nếu có hai đường cùng thoả thì chúng phải là một — đúng.
c) Không nhắc đến điểm

A

và đường thẳng "cho trước" ở đây có thể là chính

d

hoặc một đường bất kì đi qua nó — phát biểu mơ hồ, không đúng nội dung tiên đề (tiên đề nói về đường qua một ĐIỂM ngoài

d

) — sai.
d) Đúng nguyên văn nội dung tiên đề Euclid — đúng.

Vậy phát biểu đúng là b) và d).

2Cách 2. Dựng phản ví dụ để loại câu sai

Định hướng. Với câu nghi ngờ sai, thử tìm một tình huống hình học làm nó vô lí hoặc không đủ ý.

a) Nếu chỉ đòi "ít nhất một" thì câu này vẫn đúng ngay cả khi có tới hai, ba đường song song với

d

qua

A

— nhưng thực tế hình học phẳng chỉ cho đúng một, nên câu a) tuy không sai về logic (yếu hơn) lại KHÔNG diễn đạt đúng nội dung tiên đề (tiên đề mạnh hơn, khẳng định duy nhất) — loại.
c) Thử với

d

và một đường thẳng

d^{'}

cắt

d

tại một điểm bất kì không phải là điểm cho trước: không có khái niệm "duy nhất một đường song song với một đường cho trước" nếu không neo vào điểm cụ thể — vô số đường thẳng song song với

d

(mỗi đường qua một điểm khác nhau), nên câu c) sai.
b), d) không tìm được phản ví dụ nào — giữ lại.

Vậy phát biểu đúng là b) và d), khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng hệ quả duy nhất để kiểm tra chiều "nếu... thì..."

Định hướng. Coi tiên đề như một điều kiện hai chiều: (i) tồn tại đường song song qua $A$ ; (ii) đường đó là duy nhất. Kiểm tra mỗi câu có giữ đủ cả (i) và (ii) hay không.

a) chỉ giữ (i), bỏ (ii) — thiếu, không phải tiên đề đầy đủ.
b) chính là cách phát biểu của (ii) dưới dạng "nếu có hai đường cùng song song qua

A

thì trùng nhau" — giữ đủ (ii), tương đương tiên đề.
c) không gắn với điểm

A

cụ thể nên không khớp cấu trúc (i)+(ii) của tiên đề — loại.
d) giữ đủ cả (i) (có đường đi qua

A

song song

d

) lẫn (ii) (là duy nhất) — đúng nguyên văn tiên đề.

Vậy phát biểu đúng là b) và d), cả ba cách đều thống nhất kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuộc lòng đúng một câu chuẩn của tiên đề rồi soi từng đáp án là nhanh nhất, không cần dựng phản ví dụ như Cách 2.

Đáp số. Phát biểu đúng nội dung tiên đề Euclid là b) và d).

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm câu a) vì thấy "có đường thẳng song song" là quen tai, trong khi tiên đề đòi hỏi chặt hơn: đúng MỘT đường, không chỉ "có". Cũng hay chọn nhầm câu c) vì đọc lướt bỏ sót chi tiết thiếu "điểm A nằm ngoài d".

🚀 Mở rộng. Viết lại tiên đề Euclid theo ba cách diễn đạt khác nhau (tồn tại + duy nhất; phủ định của "có từ hai đường trở lên"; và bằng ngôn ngữ tập hợp "tập các đường thẳng song song với d qua A chỉ có đúng 1 phần tử") để thấy chúng tương đương nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.21★★★Trang 43— Chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng tính duy nhất của đường thẳng song song (tiên đề Euclid)

Cho đường thẳng

x x^{'}

, điểm

A

thuộc

x x^{'}

. Trên tia

A x^{'}

lấy điểm

B

(điểm

B

khác điểm

A

). Vẽ tia

B y

, trên tia

B y

lấy điểm

M

. Hai điểm

N

và

P

thoả mãn:

N M A = M A B

;

P M y = M B x^{'}

(Hình 3.21). Giải thích tại sao ba điểm

N

M

P

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho sẵn đường thẳng qua

N

M

P

mà chỉ cho hai điều kiện góc — dấu hiệu của dạng "chứng minh thẳng hàng bằng cách chỉ ra cùng đi qua một đường song song duy nhất". Từ điều kiện góc

N M A = M A B

(so le trong của cát tuyến

A M

) suy ra

M N ∥ x x^{'}

; tương tự

M P ∥ x x^{'}

. Bẫy là dừng lại ở đó — phải dùng thêm tiên đề Euclid (qua

M

chỉ có một đường song song với

x x^{'}

) mới kết luận được

M N

và

M P

là CÙNG một đường thẳng, tức

N

M

P

thẳng hàng.

1Cách 1. Hai lần dùng dấu hiệu song song rồi dùng tiên đề Euclid để hợp nhất hai đường

Định hướng. Chứng minh $M N$ và $M P$ đều song song với $x x^{'}$ , sau đó dùng tính duy nhất của tiên đề Euclid.

N M A = M A B

, mà hai góc này ở vị trí so le trong của cát tuyến

A M

cắt hai đường thẳng

M N

x x^{'}

, nên

M N ∥ x x^{'}

P M y = M B x^{'}

, mà hai góc này ở vị trí đồng vị của cát tuyến

B M

(kéo dài thành

B M y

) cắt hai đường thẳng

M P

x x^{'}

, nên

M P ∥ x x^{'}

Theo tiên đề Euclid, qua điểm

M

chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với

x x^{'}

. Mà cả

M N

và

M P

đều song song với

x x^{'}

nên tia

M N

và tia

M P

nằm trên cùng một đường thẳng.

Vậy ba điểm $N$ , $M$ , $P$ thẳng hàng.

2Cách 2. Chứng minh góc NMP bằng 180° (dùng tổng ba góc kề nhau tại M)

Định hướng. Thay vì hợp nhất hai đường thẳng, tính trực tiếp $N M P$ và chỉ ra nó bằng $18 0^{\circ}$ — đó chính là điều kiện ba điểm thẳng hàng.

Gọi

A M B = α

là góc tại

M

giữa hai tia

M A

M B

(chính là

M B y

vì

M

trên tia

B y

, coi

A M B

là góc giữa

M A

và

M B

).
Vì

N M A = M A B

nên tia

M N

và tia

M A

tạo với

M B

hai góc kề bù đúng phần bù cần thiết:

N M B = N M A + α

; tương tự

P M B = P M y

nằm ở phía đối diện qua

M B

.
Cộng hai góc kề bù tại

M

theo hai phía của tia

M B

N M B + P M B = (M A B + α) + M B x^{'}

. Do

M A B + α = 18 0^{\circ} - A B M

(góc trong tam giác

M A B

tại

A

và góc kề tại

M

) và

M B x^{'} = 18 0^{\circ} - A B M

(kề bù với

A B M

trên đường thẳng

x x^{'}

) khi thay đúng vị trí, ta được

N M P = N M B + P M B = 18 0^{\circ}

Vậy $N M P = 18 0^{\circ}$ nên $N$ , $M$ , $P$ thẳng hàng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách này đúng nhưng dài và phải cẩn trọng gọi tên góc; Cách 1 (dùng tiên đề Euclid trực tiếp) gọn và chắc chắn hơn.

3Cách 3. Dùng phản chứng: giả sử N, M, P không thẳng hàng

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh là sai, chỉ ra mâu thuẫn với tiên đề Euclid.

Giả sử ba điểm

N

M

P

không thẳng hàng, tức đường thẳng

M N

và đường thẳng

M P

là hai đường thẳng phân biệt, cùng đi qua

M

.
Theo Cách 1 (hai bước so le trong và đồng vị) đã chứng minh

M N ∥ x x^{'}

và

M P ∥ x x^{'}

. Vậy qua điểm

M

có hai đường thẳng phân biệt (

M N

và

M P

) cùng song song với

x x^{'}

.
Điều này trái với tiên đề Euclid (qua một điểm ngoài đường thẳng

x x^{'}

chỉ có đúng một đường thẳng song song với

x x^{'}

Vậy điều giả sử là sai, tức $M N$ và $M P$ phải là cùng một đường thẳng, hay $N$ , $M$ , $P$ thẳng hàng — khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chứng minh hai lần song song rồi áp thẳng tiên đề Euclid — đây là cách chuẩn của SGK, ngắn và không cần tính góc cụ thể như Cách 2.

Đáp số.

M N ∥ x x^{'}

và

M P ∥ x x^{'}

nên theo tiên đề Euclid,

M N

và

M P

trùng nhau; do đó

N

M

P

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Chứng minh xong

M N ∥ x x^{'}

và

M P ∥ x x^{'}

rồi kết luận ngay "nên thẳng hàng" mà không nêu căn cứ tiên đề Euclid — thiếu bước lập luận quan trọng nhất của bài, dù kết quả cuối đúng nhưng lời giải không được chấp nhận trọn vẹn.

🚀 Mở rộng. Đây chính là cách chứng minh chuẩn cho bài toán dựng đường thẳng qua một điểm song song với đường thẳng cho trước bằng thước và êke: dựng hai lần góc so le trong bằng nhau từ hai phía, kết quả luôn cho một đường thẳng duy nhất nhờ tiên đề Euclid.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.22★★Trang 43— Chứng minh song song bằng quan hệ từ vuông góc đến song song, rồi tính góc so le trong

Vẽ lại Hình 3.22 vào vở.
a) Giải thích tại sao

a ∥ b

.
b) Tính số đo góc

A B H

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề vẽ sẵn hai vuông góc tại

H

K

— dấu hiệu rõ ràng của "quan hệ từ vuông góc đến song song" chứ không phải dùng góc so le trong hay đồng vị để chứng minh câu a). Sau khi có

a ∥ b

, câu b) mới quay lại dùng so le trong với cát tuyến

A B

. Bẫy là vội tìm cặp góc bằng nhau để chứng minh song song ngay từ đầu trong khi đề chưa cho góc nào ở A, B lúc đó.

1Cách 1. Vuông góc với đường thẳng thứ ba rồi so le trong

Định hướng. Dùng quan hệ từ vuông góc đến song song cho câu a), rồi so le trong cho câu b).

H K ⊥ a

tại

H

và

H K ⊥ b

tại

K

(đường thẳng

H K

cùng vuông góc với cả

a

và

b

Vậy $a ∥ b$ (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba).

b) Vì

a ∥ b

, xét cát tuyến

A B

A B H

và

B A b

ở vị trí so le trong.
Mà

B A b = 5 5^{\circ}

(đề cho) nên

A B H = B A b = 5 5^{\circ}

Vậy $A B H = 5 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng so le trong bằng 90° để chứng minh song song, rồi trong cùng phía để tính góc

Định hướng. Coi hai góc vuông tại $H$ , $K$ chính là một cặp so le trong đặc biệt (đều bằng $9 0^{\circ}$ ) của cát tuyến $H K$ , thay vì gọi tên tính chất "vuông góc với đường thẳng thứ ba"; câu b) đổi sang dùng góc trong cùng phía.

a H K = b K H = 9 0^{\circ}

(đề cho), hai góc này ở vị trí so le trong của cát tuyến

H K

cắt

a

tại

H

và

b

tại

K

Vậy $a ∥ b$ vì có một cặp góc so le trong bằng nhau, khớp Cách 1.

b) Vì

a ∥ b

, xét cát tuyến

A B

A B H

và

B A b

cùng nằm giữa dải

a

b

nhưng ở hai phía đối diện của cát tuyến nên là so le trong — để đổi cách, ta tính qua góc trong cùng phía kề với

B A b

: gọi

B A H^{'}

là góc kề bù với

B A b

trên đường thẳng

a

(phía

H

B A H^{'} = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 12 5^{\circ}

; góc này và

A B H

ở vị trí trong cùng phía nên

B A H^{'} + A B H = 18 0^{\circ}

, suy ra

A B H = 18 0^{\circ} - 12 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

Vậy $A B H = 5 5^{\circ}$ , thống nhất với Cách 1.

3Cách 3. Phản chứng cho câu a), đối đỉnh cho câu b)

Định hướng. Câu a) lập luận bằng phản chứng để thấy rõ vì sao "cùng vuông góc với $H K$ " buộc $a$ , $b$ phải song song; câu b) đổi qua đối đỉnh thay vì so le trong.

a) Giả sử

a

không song song với

b

, khi đó

a

và

b

cắt nhau tại một điểm

O

nào đó. Vì

a ⊥ H K

và

b ⊥ H K

, cả hai đường

a

b

đều đi qua các điểm

H

K

trên

H K

với cùng góc vuông — nếu

a

b

cắt nhau thì qua điểm cắt đó có hai đường cùng vuông góc với

H K

, trái với tính duy nhất của đường vuông góc dựng từ một điểm đến một đường thẳng.

Vậy $a ∥ b$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

b) Trên đường thẳng

a

, gọi

A_{1}

là góc đối đỉnh với

B A b

tại

A

thì

A_{1} = B A b = 5 5^{\circ}

;

A_{1}

và

A B H

lại ở vị trí so le trong (phía đối diện) nên cũng bằng nhau:

A B H = A_{1} = 5 5^{\circ}

Vậy $A B H = 5 5^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quan hệ từ vuông góc đến song song cho câu a) rồi so le trong cho câu b) — chỉ hai bước, không cần tính góc phụ như Cách 2, Cách 3.

Đáp số. a)

a ∥ b

vì cùng vuông góc với

H K

. b)

A B H = 5 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Cố tìm cặp góc so le trong hoặc đồng vị để chứng minh

a ∥ b

ngay từ câu a) trong khi đề chỉ cho hai góc vuông — bỏ sót dấu hiệu "cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba" là dấu hiệu đúng và ngắn nhất ở đây.

🚀 Mở rộng. Nếu thay góc

5 5^{\circ}

ở

A

bằng ẩn

x

và cho thêm

A B H = 2 x - 2 0^{\circ}

, hãy lập phương trình từ tính chất so le trong để tìm

x

— đây là bước chuyển tiếp sang dạng toán có ẩn ở lớp 7.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.23★★Trang 43— Chứng minh song song bằng đồng vị, rồi suy vuông góc bằng tính chất bắc cầu vuông góc–song song

Vẽ lại Hình 3.23 vào vở. Giải thích tại sao
a)

x x^{'} ∥ y y^{'}

.
b)

x x^{'} ⊥ a

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì $a ∥ b$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc

11 0^{\circ}

bằng nhau ở vị trí đồng vị là dấu hiệu chứng minh

x x^{'} ∥ y y^{'}

ở câu a). Câu b) không tính góc mới mà dùng lại kết quả song song vừa có: đường thẳng

a

đã vuông góc với

y y^{'}

(đề cho, đánh dấu vuông trong hình), mà

y y^{'} ∥ x x^{'}

nên

a

cũng vuông góc với

x x^{'}

. Bẫy là cố tính số đo góc giữa

a

và

x x^{'}

bằng

11 0^{\circ}

, trong khi chỉ cần dùng tính chất bắc cầu, không cần tính toán số học nào.

1Cách 1. Đồng vị dựng song song, rồi bắc cầu vuông góc–song song

Định hướng. So sánh cặp góc đồng vị của cát tuyến $t t^{'}$ cho câu a); dùng tính chất "vuông góc với một trong hai đường song song" cho câu b).

x A t = y B t = 11 0^{\circ}

(đề cho), hai góc này ở vị trí đồng vị của cát tuyến

t t^{'}

cắt

x x^{'}

tại

A

và

y y^{'}

tại

B

Vậy $x x^{'} ∥ y y^{'}$ .

b) Đề cho

a ⊥ y y^{'}

(đánh dấu vuông tại giao điểm của

a

và

y y^{'}

). Mà

y y^{'} ∥ x x^{'}

(câu a).

Vậy $a ⊥ x x^{'}$ (đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).

2Cách 2. Dùng góc so le trong thay cho đồng vị

Định hướng. Tính góc kề bù tại $A$ trước để chuyển cặp đồng vị đã cho thành một cặp so le trong, rồi dùng lại như Cách 1.

x A t

và

x^{'} A t

kề bù trên đường thẳng

x x^{'}

nên

x^{'} A t = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

.
Lại có

x^{'} A t

và

y B t

(góc đối đỉnh của góc

11 0^{\circ}

tại

B

, tức góc

y^{'} B t^{'} = 11 0^{\circ}

, suy ra

tB y = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

ở phía đối) là hai góc so le trong:

x^{'} A t = tB y = 7 0^{\circ}

Vậy $x x^{'} ∥ y y^{'}$ , khớp Cách 1.

b) (giống Cách 1)

a ⊥ y y^{'}

và

y y^{'} ∥ x x^{'}

nên

a ⊥ x x^{'}

Vậy $a ⊥ x x^{'}$ .

3Cách 3. Phản chứng cho câu b) bằng tiên đề Euclid

Định hướng. Câu a) giữ như Cách 1; câu b) chứng minh bằng phản chứng để thấy rõ vì sao chỉ có duy nhất một góc vuông có thể xảy ra.

a) (như Cách 1)

x A t = y B t = 11 0^{\circ}

đồng vị nên

x x^{'} ∥ y y^{'}

Vậy $x x^{'} ∥ y y^{'}$ .

b) Giả sử

a

không vuông góc với

x x^{'}

. Khi đó qua giao điểm của

a

và

x x^{'}

, đường thẳng

a

tạo với

x x^{'}

một góc khác

9 0^{\circ}

; nhưng vì

x x^{'} ∥ y y^{'}

, góc giữa

a

và

y y^{'}

(là góc đồng vị hoặc so le trong với góc giữa

a

và

x x^{'}

) cũng phải khác

9 0^{\circ}

.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết

a ⊥ y y^{'}

(góc vuông, đã đánh dấu trong hình).

Vậy điều giả sử sai, tức $a ⊥ x x^{'}$ — khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đồng vị cho câu a), bắc cầu vuông góc–song song cho câu b) — không cần tính thêm góc phụ nào, nhanh và chắc chắn nhất.

Đáp số. a)

x x^{'} ∥ y y^{'}

(hai góc đồng vị

11 0^{\circ}

bằng nhau). b)

a ⊥ x x^{'}

(vì

a ⊥ y y^{'}

và

y y^{'} ∥ x x^{'}

Sai lầm thường gặp. Cố tính số đo góc giữa

a

và

x x^{'}

rồi mới kết luận vuông góc, trong khi chỉ cần áp dụng thẳng tính chất "vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại" — không cần số liệu nào cho câu b).

🚀 Mở rộng. Tính chất "vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại" chính là hệ quả trực tiếp của tính chất hai đường thẳng song song (áp dụng với góc so le trong bằng

9 0^{\circ}

); hãy tự chứng minh lại tính chất này bằng lập luận góc so le trong.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.24★★★Trang 44— Chứng minh song song bằng vuông góc chung, tính góc đồng vị – kề bù, dựng tia phân giác rồi tính góc

Cho Hình 3.24.
a) Giải thích tại sao

y y^{'} ∥ z z^{'}

.
b) Tính số đo góc

A B z

.
c) Vẽ tia phân giác

A t

của góc

y^{'} A B

, tia

A t

cắt đường thẳng

z z^{'}

tại

H

. Tính số đo góc

A H N

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ ; hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đi theo ba lớp kiến thức khác nhau: a) dùng đường vuông góc chung

M N

; b) dùng đồng vị rồi kề bù cho một cát tuyến duy nhất

x x^{'}

; c) dựng thêm tia phân giác — dấu hiệu của dạng "tổng hợp", phải xác định đúng góc

y^{'} A B

(chứ không phải

x A y

) mới bấm đúng

12 0^{\circ}

để chia đôi. Bẫy lớn nhất ở câu c) là quên đường thẳng

A t

cũng là một cát tuyến mới của cặp

y y^{'} ∥ z z^{'}

, nên lại dùng được so le trong lần thứ hai.

1Cách 1. Vuông góc chung → đồng vị & kề bù → so le trong với cát tuyến phân giác

Định hướng. Đi đúng ba bước độc lập: chứng minh song song bằng đường vuông góc chung $M N$ ; tính $A B z$ bằng đồng vị rồi kề bù; tính $A H N$ bằng so le trong của cát tuyến mới $A t$ .

M N ⊥ y y^{'}

tại

M

và

M N ⊥ z z^{'}

tại

N

(đề cho, đánh dấu vuông trong hình).

Vậy $y y^{'} ∥ z z^{'}$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với $M N$ ).

x A y^{'}

và

A B z^{'}

ở vị trí đồng vị của cát tuyến

x x^{'}

, mà

y y^{'} ∥ z z^{'}

nên

A B z^{'} = x A y^{'} = 6 0^{\circ}

A B z^{'}

và

A B z

kề bù trên đường thẳng

z z^{'}

nên

A B z = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A B z = 12 0^{\circ}$ .

y^{'} A B

kề bù với

x A y^{'} = 6 0^{\circ}

trên đường thẳng

x x^{'}

nên

y^{'} A B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(cũng chính là

A B z

tính so le trong ở trên, khớp kiểm tra).

A t

là tia phân giác của

y^{'} A B

nên

y^{'} A t = t A B = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

.
Xét cát tuyến

A H

(chính là tia

A t

kéo dài) cắt

y y^{'}

tại

A

và

z z^{'}

tại

H

y^{'} A H

và

A H z

ở vị trí so le trong nên

A H z = y^{'} A H = 6 0^{\circ}

A H z

và

A H N

kề bù trên đường thẳng

z z^{'}

(vì

z

H

N

z^{'}

cùng thuộc

z z^{'}

) nên

A H N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A H N = 12 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng so le trong (thay đồng vị) cho câu b), và trong cùng phía cho câu c)

Định hướng. Câu a) như Cách 1. Câu b) chuyển qua so le trong bằng cách lấy góc kề bù trước; câu c) dùng góc trong cùng phía thay so le trong.

a) (như Cách 1)

M N ⊥ y y^{'}

M N ⊥ z z^{'}

nên

y y^{'} ∥ z z^{'}

Vậy $y y^{'} ∥ z z^{'}$ .

y^{'} A B

kề bù với

x A y^{'} = 6 0^{\circ}

nên

y^{'} A B = 12 0^{\circ}

. Vì

y y^{'} ∥ z z^{'}

y^{'} A B

và

A B z

ở vị trí so le trong nên

A B z = y^{'} A B = 12 0^{\circ}

Vậy $A B z = 12 0^{\circ}$ , khớp Cách 1.

A t

là phân giác của

y^{'} A B = 12 0^{\circ}

nên

t A B = 6 0^{\circ}

. Vì

y y^{'} ∥ z z^{'}

t A B

(kề với cát tuyến

A H

phía

B

) và

A H z^{'}

(kề với

N

... xét chính xác: góc

A B H

tạo bởi tia

A B

và tia

A H

) — thay bằng lối gọn:

y^{'} A t

và

A H N

ở vị trí trong cùng phía của cát tuyến

A H

(cùng phía bên phải, cùng nằm giữa dải

y y^{'}

z z^{'}

), nên

y^{'} A t + A H N = 18 0^{\circ}

, suy ra

A H N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A H N = 12 0^{\circ}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng tổng góc trong tam giác ABH để kiểm tra chéo câu c)

Định hướng. Câu a), b) như Cách 1; câu c) dùng tổng ba góc trong tam giác $A B H$ để tính $A H B$ rồi suy $A H N$ bằng kề bù — một con đường "tính hộ" khác hẳn so le trong.

a), b) (như Cách 1)

y y^{'} ∥ z z^{'}

;

A B z = 12 0^{\circ}

, nên

A B H = A B z = 12 0^{\circ}

(vì

H

nằm trên tia

B z

giữa

B

và

z

, hoặc trên phần kéo dài tương ứng theo hình).

c) Trong tam giác

A B H

B A H = t A B = 6 0^{\circ}

(đã tính ở Cách 1),

A B H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

(góc kề bù của

A B z = 12 0^{\circ}

H

ở phía

z^{'}

trên đường thẳng

z z^{'}

).
Tổng ba góc trong tam giác:

B A H + A B H + A H B = 18 0^{\circ} \Rightarrow A H B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A H B

và

A H N

kề bù trên đường thẳng

z z^{'}

nên

A H N = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy $A H N = 12 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 dùng kiến thức tổng ba góc trong một tam giác (Bài 12, học sau Bài 10) nên chỉ dùng để kiểm tra chéo, không phải lời giải chính thức cho Bài 10.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu chỉ một quan hệ góc chuẩn (vuông góc chung → đồng vị+kề bù → so le trong với cát tuyến mới At), không phải nhớ thêm tổng ba góc tam giác như Cách 3.

Đáp số. a)

y y^{'} ∥ z z^{'}

(cùng vuông góc với

M N

). b)

A B z = 12 0^{\circ}

. c)

A H N = 12 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), bấm nhầm phân giác của góc

x A B

(góc thẳng,

18 0^{\circ}

) thay vì

y^{'} A B = 12 0^{\circ}

, khiến kết quả chia đôi sai hoàn toàn. Cũng hay quên tia

A t

chính là một cát tuyến MỚI của cặp

y y^{'} ∥ z z^{'}

nên bỏ qua bước so le trong ở

H

🚀 Mở rộng. Thử tổng quát: nếu

x A y^{'} = α

(thay cho

6 0^{\circ}

), chứng minh

A H N

luôn bằng

18 0^{\circ} - \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2} = 9 0^{\circ} + \frac{α}{2}

— một công thức tổng quát cho cả họ bài toán phân giác kiểu này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.25★★★Trang 44— Chứng minh song song bằng vuông góc chung, tính góc bằng cách kẻ đường phụ song song qua đỉnh trong

Cho Hình 3.25.
a) Giải thích tại sao

A x ∥ B y

.
b) Tính số đo góc

A C B

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) quen thuộc:

A x ⊥ c

B y ⊥ c

nên

A x ∥ B y

. Câu b) khó hơn vì

C

không nằm trên

A x

hay

B y

— dấu hiệu của dạng "góc so le trong không cắt trực tiếp", phải kẻ thêm đường phụ

C t

song song với

A x

(và do đó song song với

B y

) đi qua đúng đỉnh

C

để tách

A C B

thành hai góc so le trong với

x A C

và

y B C

. Bẫy là cộng nhầm hai góc đã cho (

4 0^{\circ} + 3 0^{\circ}

) mà không chứng minh vì sao được phép cộng trực tiếp như vậy.

1Cách 1. Kẻ Ct song song với Ax (và By) qua C, tách góc ACB thành hai so le trong

Định hướng. Kẻ đường phụ $C t$ đi qua $C$ , song song với $A x$ ; vì $A x ∥ B y$ nên $C t$ cũng song song với $B y$ . Khi đó $A C B = A C t + tC B$ , mỗi phần tính bằng so le trong.

A x ⊥ c

tại giao điểm với

c

B y ⊥ c

tại giao điểm với

c

(đề cho, đánh dấu vuông).

Vậy $A x ∥ B y$ (cùng vuông góc với đường thẳng $c$ ).

b) Kẻ tia

C t

đi qua

C

sao cho

C t ∥ A x

; vì

A x ∥ B y

nên

C t ∥ B y

x A C

và

A C t

ở vị trí so le trong (

C t ∥ A x

) nên

A C t = x A C = 4 0^{\circ}

tC B

và

y B C

ở vị trí so le trong (

C t ∥ B y

) nên

tC B = y B C = 3 0^{\circ}

.
Vì tia

C t

nằm giữa hai tia

C A

C B

nên

A C B = A C t + tC B = 4 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

Vậy $A C B = 7 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Kẻ đường phụ qua A hoặc B thay vì qua C

Định hướng. Thay vì kẻ đường phụ qua $C$ , kẻ đường thẳng phụ đi qua $B$ song song với $A x$ để dựng một tam giác chứa cả ba điểm liên quan, dùng góc ngoài của tam giác.

a) (như Cách 1)

A x ⊥ c

B y ⊥ c

nên

A x ∥ B y

Vậy $A x ∥ B y$ .

b) Kéo dài tia đối của tia

C A

và xét tia

C m

song song

B y

tại

C

hệt như Cách 1 nhưng đặt tên đường phụ theo hướng

B y

: gọi

C m ∥ B y

(

m

về phía

B

y B C = B C m = 3 0^{\circ}

(so le trong,

C m ∥ B y

). Vì

C m ∥ B y ∥ A x

nên

C m ∥ A x

, suy ra

x A C = A C m = 4 0^{\circ}

(so le trong).
Tia

C m

nằm giữa

C A

C B

(cùng lí do hình học với tia

C t

ở Cách 1) nên

A C B = A C m + m C B = 4 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

Vậy $A C B = 7 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 (thực chất $C m$ và $C t$ là cùng một tia, chỉ đổi tên để nhấn mạnh xuất phát từ $B y$ thay vì từ $A x$ ).

3Cách 3. Dùng tổng góc trong cùng phía của cả Ax và By với cát tuyến AB (đường phụ AB)

Định hướng. Kẻ thêm đoạn thẳng $A B$ nối trực tiếp hai chân đường vuông góc, tạo cát tuyến chung cho cả $A x$ và $B y$ , rồi dùng tổng góc trong tứ giác $A$ , $B$ (chân vuông góc), điểm chân $c$ để tính $A C B$ qua tam giác $A B C$ .

a) (như Cách 1)

A x ∥ B y

Vậy $A x ∥ B y$ .

b) Nối đoạn

A B

. Xét tứ giác tạo bởi

A

, chân đường vuông góc trên

c

B

và

C

: vì

A x ∥ B y

, khi kẻ

C t ∥ A x

như Cách 1, ba tia

A x

C t

B y

đôi một song song, nên các góc so le trong tương ứng bằng nhau:

A C t = x A C = 4 0^{\circ}

tC B = y B C = 3 0^{\circ}

. Cộng theo tia

C t

nằm giữa:

A C B = 7 0^{\circ}

Vậy $A C B = 7 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2 (Cách 3 chỉ đổi cách trình bày bằng việc nối thêm $A B$ để hình dung, bản chất vẫn dùng đường phụ song song qua $C$ ).

Nhận xét. Ba cách đều quy về đúng MỘT kĩ thuật cốt lõi — kẻ đường phụ song song qua đỉnh trong $C$ — vì đây gần như là cách duy nhất khả thi ở lớp 7 khi $C$ không nằm trên $A x$ hay $B y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: kẻ Ct song song Ax ngay tại C, tách góc ACB thành hai so le trong rồi cộng lại — đây là kĩ thuật chuẩn và duy nhất thực sự hiệu quả cho dạng "góc gấp khúc giữa hai đường song song".

Đáp số. a)

A x ∥ B y

(cùng vuông góc với

c

). b)

A C B = 7 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Cộng thẳng

4 0^{\circ} + 3 0^{\circ}

mà không kẻ đường phụ

C t

để giải thích vì sao được cộng — thiếu căn cứ hình học, dù đúng số nhưng lời giải không hợp lệ. Cũng hay quên chứng minh tia

C t

nằm giữa hai tia

C A

C B

trước khi cộng góc.

🚀 Mở rộng. Đây là kĩ thuật gốc của "góc có cạnh tương ứng song song" hay "đường gấp khúc giữa hai đường song song": với

n

điểm gấp khúc giữa hai đường song song, tổng các góc trong luôn tính được bằng cách kẻ

n

đường phụ song song, mỗi đỉnh một đường.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.26★★★Trang 44— Tính góc của đường gấp khúc giữa hai đường thẳng song song bằng đường phụ

Cho Hình 3.26, biết

A x ∥ D y

x A C = 5 0^{\circ}

;

A C D = 11 0^{\circ}

. Tính số đo góc

C D y

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Nếu tia $C t$ nằm giữa hai tia $C A$ , $C D$ thì $A C D = A C t + tC D$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống Bài 3.25 nhưng ngược chiều: biết

A C D

, phải suy ra

C D y

trong khi

x A C

đã biết. Dấu hiệu vẫn là đường gấp khúc

A

–

C

–

D

giữa hai tia song song

A x

D y

— kẻ đường phụ

C t ∥ A x

(

∥ D y

) qua đỉnh trong

C

để tách

A C D

thành hai góc so le trong. Bẫy là trừ nhầm thứ tự (

11 0^{\circ} - 5 0^{\circ}

hay

5 0^{\circ} - 11 0^{\circ}

) mà không xác định rõ tia phụ

C t

nằm giữa

C A

và

C D

hay không trước khi trừ.

1Cách 1. Kẻ Ct song song Ax và Dy qua C, tách góc ACD

Định hướng. Kẻ tia $C t$ qua $C$ , song song với $A x$ (nên cũng song song với $D y$ ), tách $A C D$ thành hai góc so le trong đã biết một phần.

Kẻ tia

C t

đi qua

C

sao cho

C t ∥ A x

; vì

A x ∥ D y

nên

C t ∥ D y

C A x

và

A C t

ở vị trí so le trong (

C t ∥ A x

) nên

A C t = x A C = 5 0^{\circ}

.
Vì tia

C t

nằm giữa hai tia

C A

C D

(vì

A C D = 11 0^{\circ}

lớn hơn

A C t = 5 0^{\circ}

) nên

tC D = A C D - A C t = 11 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

tC D

và

C D y

ở vị trí so le trong (

C t ∥ D y

) nên

C D y = tC D = 6 0^{\circ}

Vậy $C D y = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Kẻ đường phụ qua D thay vì qua C

Định hướng. Đặt đường phụ tại đỉnh $D$ thay vì $C$ : kẻ $D m ∥ A x$ ( $∥ C t$ của Cách 1 nhưng xuất phát từ $D$ ), rồi dùng đồng vị và so le trong theo trình tự khác.

Kẻ tia

D m

đi qua

D

sao cho

D m ∥ A x

; vì

A x ∥ D y

nên

D m

D y

cùng đi qua

D

và cùng song song với

A x

— theo tiên đề Euclid,

D m

và

D y

trùng nhau (hai tia đối hoặc cùng phía tuỳ hướng chọn); chọn

D m

trùng tia

D y

.
Xét cát tuyến

C D

cắt

C t

(đường phụ song song

A x

qua

C

như Cách 1) và

D y

: vì

C t ∥ D y

tC D

và

C D y

so le trong.
Mặt khác

tC D = A C D - A C t = 11 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

(tính như Cách 1, vì

A C t = x A C = 5 0^{\circ}

so le trong với

C t ∥ A x

Vậy $C D y = tC D = 6 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 (cách này chỉ đổi góc nhìn, thực chất cùng một đường phụ $C t$ ).

Nhận xét. Vì $D y$ đã cố định bởi đề bài ( $A x ∥ D y$ ), đường phụ hiệu quả duy nhất vẫn là $C t$ qua đỉnh trong $C$ — đây là đặc thù của dạng toán "đường gấp khúc giữa hai đường song song".

3Cách 3. Dùng tổng bốn góc của "tứ giác mở" A-x, C, D-y

Định hướng. Thay vì kẻ đường phụ, dùng trực tiếp công thức tổng quát của đường gấp khúc giữa hai đường song song: nếu $C$ tạo góc lõm (như hình vẽ) thì $x A C + A C D + C D y = 36 0^{\circ}$ khi $A C D$ đo về phía trong, hoặc $A C D = x A C + C D y$ khi đo về phía ngoài — cần xác định đúng trường hợp bằng hình vẽ trước khi dùng.

Theo hình 3.26, đường gấp khúc

A

–

C

–

D

"lõm" về phía trong dải

A x ∥ D y

(giống chữ Z hai khúc), nên góc tại

C

đo được (

11 0^{\circ}

) chính là góc mà đường phụ

C t

chia thành hai phần cộng lại đúng kiểu Cách 1:

A C D = x A C + C D y

.
Thay số:

11 0^{\circ} = 5 0^{\circ} + C D y

, suy ra

C D y = 6 0^{\circ}

Vậy $C D y = 6 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Công thức nhanh $A C D = x A C + C D y$ chỉ đúng khi đã xác định đúng hình dạng "lõm" của đường gấp khúc bằng cách kẻ đường phụ như Cách 1 — không nên học thuộc máy móc mà không hiểu vì sao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: kẻ Ct song song Ax và Dy qua đúng đỉnh C, trừ góc rồi so le trong — vừa chắc chắn vừa cho thấy rõ vì sao có công thức cộng/trừ góc ở Cách 3.

Đáp số.

C D y = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Trừ sai thứ tự thành

C D y = 5 0^{\circ} - 11 0^{\circ}

(số âm, vô lí) do không kẻ đường phụ để xác định tia nào nằm giữa. Cũng hay nhầm dùng công thức cộng (

A C D = x A C + C D y

) mà không kiểm tra hình có đúng dạng "lõm" như Bài 3.25 hay không.

🚀 Mở rộng. So sánh Bài 3.25 (cộng hai góc đã biết để ra góc giữa) với Bài 3.26 (biết góc giữa, trừ đi một góc để ra góc còn lại) — cùng một kĩ thuật đường phụ nhưng ứng dụng ngược chiều nhau, cho thấy bản chất chung của dạng toán "đường gấp khúc giữa hai đường song song".

Mở bài này trong app ↗