Bài 11. Định lí và chứng minh định lí

Định hướng. Viết lại định lí thành "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì …" rồi cắt đúng tại chữ "thì", sau đó đặt tên các đối tượng để vẽ hình.

Vậy GT: $a\parallel b$, $c$ cắt $a$ tại $A$, $c$ cắt $b$ tại $B$, $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong; KL: $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$.

Định hướng. Đánh số bốn góc quanh mỗi giao điểm $A$, $B$ theo chiều quay, rồi chọn đúng cặp góc ở vị trí so le trong — cách trình bày hay gặp khi hình có nhiều góc.

Vậy GT: $a\parallel b$, $c$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$; KL: $\widehat{A_1}=\widehat{B_3}$.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác cách gọi tên góc (theo ba chữ cái hay theo số thứ tự), nội dung GT, KL bên trong không đổi.

Định hướng. Cắt câu định lí tại chữ "thì": lần này điều CHO TRƯỚC là góc so le trong bằng nhau, điều PHẢI CHỨNG MINH là song song — ngược hẳn Bài 3.27.

Vậy GT: $c$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$, $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong, $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$; KL: $a\parallel b$.

Định hướng. Cũng đánh số bốn góc quanh $A$, $B$ như Bài 3.27, nhưng lần này số đo bằng nhau là GIẢ THIẾT chứ không phải điều rút ra từ song song.

Vậy GT: $c$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$, $\widehat{A_1}=\widehat{B_3}$; KL: $a\parallel b$.

Nhận xét. So với Bài 3.27, GT và KL đổi chỗ hoàn toàn cho nhau — đây chính là cặp định lí thuận và dấu hiệu nhận biết (đảo) mà Bài 9, Bài 10 đã xây dựng.

Định hướng. Ghép hai cặp góc đối đỉnh: $\widehat{x^{\prime }O{t}^{\prime }}$ đối đỉnh với $\widehat{xOt}$, và $\widehat{y^{\prime }O{t}^{\prime }}$ đối đỉnh với $\widehat{yOt}$ — từ đó chuyển thẳng đẳng thức đã có của $Ot$ sang $O{t}^{\prime }$.

Vậy $O{t}^{\prime }$ nằm giữa $O{x}^{\prime }$, $O{y}^{\prime }$ và tạo với hai tia đó hai góc bằng nhau, tức $O{t}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$.

Định hướng. Không gọi tên "đối đỉnh" mà tính trực tiếp qua các cặp góc kề bù dọc theo từng tia đối — cách này chỉ dùng một loại kiến thức duy nhất trong suốt bài.

Vậy $\widehat{x^{\prime }O{t}^{\prime }}=\widehat{y^{\prime }O{t}^{\prime }}=\alpha$, và vì $O{t}^{\prime }$ nằm giữa $O{x}^{\prime }$, $O{y}^{\prime }$ nên $O{t}^{\prime }$ là tia phân giác của $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$.

Nhận xét. Cách 2 đi vòng qua hai lần kề bù nhưng chỉ dùng một loại kiến thức, thích hợp khi chưa quen gọi ngay hai góc là "đối đỉnh".

Định hướng. Từ mỗi điều kiện phụ, rút số đo góc A và góc B đều về dạng "$90^{\circ }$ trừ góc C", hai biểu thức giống hệt nhau nên hai góc bằng nhau.

Vậy $\hat{A}=\hat{B}$ (cùng bằng $90^{\circ }-\hat{C}$).

Định hướng. Không giải riêng từng góc, mà đặt hai đẳng thức $\hat{A}+\hat{C}=90^{\circ }$ và $\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ }$ cạnh nhau rồi trừ theo vế — cách này thuần đại số, không cần phát biểu lại.

Vậy $\hat{A}=\hat{B}$.

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai rồi chỉ ra mâu thuẫn với chính hai giả thiết đã cho — cách này chắc chắn không bỏ sót trường hợp nào.

Vậy điều giả sử sai, tức $\hat{A}=\hat{B}$.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một phép toán cốt lõi — khử góc $C$ chung — chỉ khác cách trình bày: thế trực tiếp, trừ hai vế, hay phản chứng.

Định hướng. Làm hệt ý a nhưng đổi mốc từ $90^{\circ }$ sang $180^{\circ }$: rút số đo góc A, góc B về cùng một biểu thức theo góc C.

Vậy $\hat{A}=\hat{B}$ (cùng bằng $180^{\circ }-\hat{C}$).

Định hướng. Đặt hai đẳng thức tổng cạnh nhau rồi trừ theo vế để triệt tiêu $\hat{C}$, không cần giải riêng từng góc.

Vậy $\hat{A}=\hat{B}$.

Định hướng. Đưa bài toán "bù" về đúng bài toán "phụ" đã chứng minh ở ý a, bằng cách xét hai góc phụ với nửa của $\hat{C}$ … thực chất gọn hơn nếu liên hệ trực tiếp: mỗi góc bù với $\hat{C}$ cũng chính là góc kề bù với một góc phụ của $\hat{C}$, nên có thể dùng lại kết quả ý a cho phần "góc phụ" rồi cộng thêm $90^{\circ }$ hai vế.

Vậy $\hat{A}=\hat{B}$.

Nhận xét. Định lí "cùng phụ" và "cùng bù" có chứng minh giống hệt nhau về cấu trúc, chỉ khác mốc $90^{\circ }$ hay $180^{\circ }$ — nắm một bài là làm được cả hai.

Định hướng. Sắp các tia theo đúng thứ tự $Ox,Ou,Oy,Ov,Oz$ quanh $O$ rồi cộng dồn từng cặp góc liền kề để tính $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$.

Vậy $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ có chung cạnh $Oy$ và có tổng số đo $180^{\circ }$, tức là hai góc kề bù.

Định hướng. Không tính riêng $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$ theo thứ tự hình học, mà viết thẳng mỗi góc bằng hai lần góc "nửa" của nó rồi cộng lại, dựa hẳn vào định nghĩa tia phân giác.

Vậy $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ có chung cạnh $Oy$, tổng bằng $180^{\circ }$, tức là hai góc kề bù.

Định hướng. Đi theo chiều ngược lại: chứng minh $Ox$, $Oz$ là hai tia đối nhau bằng cách cộng bốn góc liên tiếp thành góc bẹt, rồi kết luận kề bù trực tiếp từ định nghĩa (chung cạnh $Oy$, hai cạnh còn lại đối nhau) mà không cần cộng riêng $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$.

Vậy theo đúng định nghĩa, $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù.

Nhận xét. Cách 3 đi bằng định nghĩa hình học (hai cạnh ngoài đối nhau) thay vì chỉ dựa vào tổng số đo $180^{\circ }$ như Cách 1, Cách 2 — hai lối tư duy này bổ sung cho nhau khi cần chứng minh "kề bù" thật chặt chẽ.

Định hướng. Giả sử $c$ không cắt $b$, tức $c\parallel b$; khi đó qua điểm $A$ (là điểm chung của $c$ và $a$) có hai đường thẳng $a$, $c$ cùng song song với $b$, trái tiên đề Euclid.

Vậy điều giả sử sai, tức $c$ phải cắt $b$.

Định hướng. Liệt kê đủ mọi khả năng có thể xảy ra giữa $c$ và $b$ (trùng, song song, cắt nhau), loại lần lượt hai khả năng đầu bằng chính giả thiết, khả năng còn lại là đáp số.

Vậy $c$ cắt $b$.

Nhận xét. Cách 2 trình bày tường minh cả ba khả năng nên chặt chẽ hơn cho người mới học phản chứng, còn Cách 1 gộp luôn bước loại "trùng nhau" vào phần lập luận cho gọn.