Bài 11. Định lí và chứng minh định lí

Định hướng. Viết lại câu đã cho thành dạng "Nếu … thì …" rồi cắt đúng tại chữ "thì" như mẫu ở Ví dụ trang 56.

Vậy GT: $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$ là hai góc đối đỉnh; KL: $\widehat{xOy}=\widehat{x^{\prime }O{y}^{\prime }}$.

Định hướng. Thay vì gọi tên góc bằng ba chữ cái, đánh số bốn góc quanh $O$ theo thứ tự rồi chọn đúng cặp đối đỉnh — cách này hay dùng khi hình có nhiều góc chung đỉnh.

Vậy GT: $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_3}$ là hai góc đối đỉnh; KL: $\widehat{O_1}=\widehat{O_3}$.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác cách đặt tên góc, còn nội dung GT, KL hoàn toàn như nhau — đó chính là lí do bài này chỉ có hai cách trình bày khác bản chất.

Định hướng. Gọi số đo mỗi góc bằng nhau là $a$, dùng ngay điều kiện kề bù để lập một phương trình bậc nhất theo $a$.

Vậy $\widehat{xOy}=\widehat{yOz}=90^{\circ }$, tức mỗi góc là một góc vuông.

Định hướng. Giả sử kết luận sai rồi chỉ ra mâu thuẫn với đúng hai điều kiện đề cho — cách này khẳng định chắc chắn không còn khả năng nào khác $90^{\circ }$.

Vậy điều giả sử sai, tức $\widehat{xOy}=\widehat{yOz}=90^{\circ }$.

Định hướng. Nhận ra rằng "kề bù và bằng nhau" chính là cách nói khác của "chia đôi góc bẹt", nên quy về tính chất tia phân giác của một góc bẹt.

Vậy $\widehat{xOy}=\widehat{yOz}=90^{\circ }$, mỗi góc là một góc vuông.

Nhận xét. Ba cách cùng đi đến $90^{\circ }$, nhưng Cách 3 lộ rõ bản chất hình học: "hai góc kề bù bằng nhau" chỉ là một cách nói khác của "tia phân giác của góc bẹt", còn Cách 1, Cách 2 làm việc thuần trên số đo.

Định hướng. Lấy phản ví dụ đơn giản nhất: hai góc bằng nhau nhưng đặt ở hai vị trí bất kì, còn xa hơn cả điều kiện "đối đỉnh" (vì đối đỉnh trước hết phải chung đỉnh).

Vậy hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh.

Định hướng. Đưa phản ví dụ về đúng bối cảnh dễ nhầm nhất — hai góc CHUNG ĐỈNH và bằng nhau — để phản bác chắc chắn hơn Cách 1.

Vậy hai góc bằng nhau, chung đỉnh, vẫn có thể không đối đỉnh — bạn thứ hai nói đúng.

Định hướng. Trả lời luôn câu hỏi "làm thế nào để khẳng định" của bạn thứ hai bằng một nguyên tắc chung, áp dụng được cho mọi mệnh đề đảo chứ không riêng bài này.

Vậy bạn thứ nhất nêu đúng câu hỏi cần xét, bạn thứ hai phán đoán đúng, và cách khẳng định là chỉ ra phản ví dụ như Cách 2.

Nhận xét. Đây là nguyên tắc dùng lại được cho rất nhiều tình huống: phát biểu thuận đúng không bảo đảm phát biểu đảo cũng đúng, luôn phải kiểm tra riêng bằng phản ví dụ.

Định hướng. Chọn cặp góc đồng vị tại hai giao điểm — cả hai đều là góc do đường vuông góc tạo ra nên cùng bằng $90^{\circ }$, khớp thẳng với dấu hiệu nhận biết.

Vậy theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, $a\parallel b$ — định lí được suy ra trực tiếp từ dấu hiệu nhận biết.

Định hướng. Thay vì chọn góc đồng vị, chọn đúng cặp góc so le trong — dấu hiệu nhận biết chấp nhận cả hai loại cặp góc này.

Vậy theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, $a\parallel b$.

Định hướng. Không dùng dấu hiệu nhận biết mà đi theo hướng khác để so sánh: giả sử $a$, $b$ cắt nhau rồi chỉ ra mâu thuẫn với tính duy nhất của đường vuông góc.

Vậy $a$ và $b$ không cắt nhau, tức $a\parallel b$.

Nhận xét. Cách 3 không dùng dấu hiệu nhận biết nên trả lời đúng phần hai của câu hỏi: định lí này CÓ thể suy trực tiếp từ dấu hiệu nhận biết (Cách 1, 2), nhưng cũng có thể chứng minh bằng một con đường hoàn toàn khác.

Định hướng. Đường thẳng $d$ đóng vai trò cát tuyến của hai đường thẳng song song $d^{\prime }$, $d^{\prime \prime }$; chuyển số đo $90^{\circ }$ từ $A$ sang $B$ bằng cặp góc đồng vị.

Vậy góc tạo bởi $d$ và $d^{\prime \prime }$ tại $B$ bằng $90^{\circ }$, tức $d\perp d^{\prime \prime }$.

Định hướng. Làm y hệt Cách 1 nhưng chọn cặp góc so le trong thay vì đồng vị, để thấy định lí không phụ thuộc vào việc chọn loại cặp góc nào.

Vậy góc tạo bởi $d$ và $d^{\prime \prime }$ tại $B$ bằng $90^{\circ }$, tức $d\perp d^{\prime \prime }$.

Định hướng. Mô phỏng đúng cách sách đã chứng minh định lí về góc đồng vị ở trang 56: giả sử kết luận sai rồi dựng thêm một đường thẳng phụ để chỉ ra hai đường thẳng cùng song song với $d^{\prime }$ qua một điểm.

Vậy $d^{\prime \prime }\perp d$, tức $d\perp d^{\prime \prime }$.

Nhận xét. Cách 3 là đúng con đường sách đã dùng để chứng minh Hình 3.46 (trang 56): phản chứng cộng tiên đề Euclid — nên đây cũng chính là điều "những điều đúng đã biết" mà câu hỏi thứ hai của đề nhắc tới.

Định hướng. Khẳng định (1) đúng ngay theo định nghĩa. Với (2), làm đúng gợi ý của đề: lấy $O{t}^{\prime }$ là tia đối của tia phân giác $Ot$ rồi tính $\widehat{xO{t}^{\prime }}$, $\widehat{t^{\prime }Oy}$ qua các cặp góc kề bù.

Vậy khẳng định (1) đúng, khẳng định (2) sai; phản ví dụ là tia $O{t}^{\prime }$ đối của tia phân giác $Ot$.

Định hướng. Gán một số đo cụ thể cho $\widehat{xOy}$ rồi tính trực tiếp số đo $\widehat{xO{t}^{\prime }}$, $\widehat{t^{\prime }Oy}$ — cách này giúp "nhìn thấy" ngay phản ví dụ bằng con số thay vì biến.

Vậy $O{t}^{\prime }$ thoả mãn $\widehat{xO{t}^{\prime }}=\widehat{t^{\prime }Oy}$ nhưng không phải tia phân giác của $\widehat{xOy}$, tức khẳng định (2) sai.

Định hướng. Không cần dựng lại phản ví dụ, chỉ cần đối chiếu câu chữ của khẳng định (2) với định nghĩa đầy đủ để thấy ngay chỗ thiếu.

Vậy khẳng định (2) thiếu điều kiện nên sai; phản ví dụ cụ thể là tia đối của tia phân giác (như Cách 1, Cách 2 đã dựng).

Nhận xét. Ba cách bổ sung cho nhau: Cách 3 chỉ ra NGUYÊN NHÂN (2) sai, còn Cách 1, Cách 2 dựng CỤ THỂ phản ví dụ mà đề yêu cầu.