Bài 12. Tổng các góc trong một tam giác

Định hướng. Áp dụng định lí tổng ba góc cho từng tam giác để tìm $\hat{A}$, $\hat{D}$, $\hat{N}$, sau đó so sánh cả ba góc với $90^{\circ }$.

Vậy $\hat{A}=100^{\circ }$ (tam giác $ABC$ là tam giác tù); $\hat{D}=60^{\circ }$ (tam giác $DEF$ là tam giác nhọn, vì $60^{\circ }$, $70^{\circ }$, $50^{\circ }$ đều nhỏ hơn $90^{\circ }$); $\hat{N}=90^{\circ }$ (tam giác $MNP$ là tam giác vuông).

Định hướng. So sánh tổng hai góc đã biết với $90^{\circ }$ để đoán nhanh loại tam giác, rồi tính chính xác để xác nhận.

Vậy $\hat{A}=100^{\circ }$, $\hat{D}=60^{\circ }$, $\hat{N}=90^{\circ }$; tam giác $ABC$ tù, $DEF$ nhọn, $MNP$ vuông — khớp Cách 1.

Nhận xét. Quy luật dùng nhanh: tổng hai góc đã cho bằng $90^{\circ }$ thì tam giác vuông; nhỏ hơn $90^{\circ }$ thì tam giác tù; lớn hơn $90^{\circ }$ thì còn phải tính cụ thể mới chắc chắn nhọn hay không.

Định hướng. Sau khi tính, cộng lại đủ ba góc từng tam giác để chắc chắn không sai sót trước khi kết luận loại tam giác.

Vậy cả ba kết quả đều được xác nhận đúng: $\hat{A}=100^{\circ }$ (tù), $\hat{D}=60^{\circ }$ (nhọn), $\hat{N}=90^{\circ }$ (vuông).

Định hướng. Dùng định lí tổng ba góc tìm góc còn lại của từng tam giác, rồi xét xem tam giác đó nhọn, vuông hay tù.

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ($\hat{B}=90^{\circ }$); tam giác $DEF$ nhọn ($\hat{D}=60^{\circ }$, cả ba góc đều nhỏ hơn $90^{\circ }$); tam giác $MNP$ tù ($\hat{N}=100^{\circ }$).

Định hướng. So sánh $\hat{A}+\hat{C}$, $\hat{E}+\hat{F}$, $\hat{M}+\hat{P}$ với $90^{\circ }$ để đoán loại tam giác trước khi tính chính xác.

Vậy $ABC$ vuông, $DEF$ nhọn, $MNP$ tù — khớp Cách 1.

Nhận xét. Kí hiệu vuông vẽ sẵn trong hình ở tam giác $ABC$ chỉ mang tính minh hoạ; lời giải vẫn phải tính ra đúng $90^{\circ }$ từ số liệu đề cho mới được công nhận, không được chỉ nhìn hình mà kết luận.

Định hướng. Cộng lại cả ba góc mỗi tam giác để kiểm tra không sai sót trước khi kết luận.

Vậy cả ba kết quả đều đúng: $ABC$ vuông, $DEF$ nhọn, $MNP$ tù.

Định hướng. Tìm $x$ trước bằng tính kề bù tại $R$, sau đó thay vào định lí tổng ba góc của tam giác $PQR$ để tìm $y$.

Vậy $x=80^{\circ }$, $y=50^{\circ }$.

Định hướng. Góc $100^{\circ }$ chính là góc ngoài tại $R$ của tam giác $PQR$, áp dụng thẳng tính chất "góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề" để có ngay một phương trình chứa $y$.

Vậy $y=50^{\circ }$, $x=80^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn vì tìm $y$ trước bằng MỘT phép trừ duy nhất, nhờ nhận ra ngay $100^{\circ }$ là góc ngoài — không cần đi qua bước trung gian tìm $x$ trước như Cách 1.

Định hướng. Sau khi có $x$, $y$, cộng đủ ba góc trong tam giác $PQR$ để kiểm tra chắc chắn ra $180^{\circ }$.

Vậy cả hai kết quả $x=80^{\circ }$, $y=50^{\circ }$ đều được xác nhận đúng.

Định hướng. Biểu diễn $\hat{B}=180^{\circ }-8x$ (kề bù với góc ngoài $8x$), thay cùng $\hat{A}=105^{\circ }$, $\hat{C}=x$ vào định lí tổng ba góc.

Vậy $\hat{C}=x=15^{\circ }$; $\hat{B}=180^{\circ }-8\cdot 15^{\circ }=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Định hướng. Góc $8x$ chính là góc ngoài tại $B$, bằng tổng hai góc trong không kề là $\hat{A}$ và $\hat{C}$ — lập phương trình ngắn hơn hẳn Cách 1.

Vậy $\hat{C}=15^{\circ }$; $\hat{B}=180^{\circ }-8\cdot 15^{\circ }=60^{\circ }$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho ngay một phương trình $8x=105^{\circ }+x$ chỉ với MỘT tính chất (góc ngoài), ngắn hơn hẳn việc phải đổi góc ngoài sang góc trong rồi cộng đủ ba góc như Cách 1.

Định hướng. Thay $x=15^{\circ }$ trở lại đề bài, cộng đủ ba góc trong tam giác để kiểm tra chắc chắn ra $180^{\circ }$.

Vậy $\hat{B}=60^{\circ }$, $\hat{C}=15^{\circ }$ đều được xác nhận đúng.

Định hướng. Đi theo đúng hai bước quen thuộc: tìm $\hat{B}$ bằng định lí tổng ba góc, sau đó dùng kề bù để có $x$.

Vậy $x=140^{\circ }$.

Định hướng. Nhận ra $x$ chính là góc ngoài tại $B$, áp dụng thẳng tính chất góc ngoài — không cần tính $\hat{B}$ trước.

Vậy $x=140^{\circ }$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ mất một dòng cộng, ngắn hơn hẳn Cách 1 vì bỏ qua được bước tính $\hat{B}$ trung gian — đây chính là lí do tính chất góc ngoài được xem là công cụ "đi tắt" hữu ích.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách cộng $x$ với $\hat{B}$ đã tính ở Cách 1, phải ra đúng $180^{\circ }$.

Vậy $x=140^{\circ }$ được xác nhận đúng qua phép kiểm tra kề bù.

Định hướng. Tính tổng $\hat{B}+\hat{C}$ (một số cố định vì $\hat{A}$ đã biết), rồi dùng bất đẳng thức đã cho về $\hat{B}$ để suy ra chiều so sánh của $\hat{C}$ với $\hat{A}$.

Vậy a) $\hat{C}<\hat{A}<\hat{B}$; b) $\hat{B}<\hat{A}<\hat{C}$.

Định hướng. Chọn một số đo cụ thể cho $\hat{B}$ thoả mãn đúng bất đẳng thức đề cho, tính $\hat{C}$ rồi so sánh trực tiếp bằng số — cách này giúp "nhìn thấy" ngay kết quả.

Vậy với số liệu thử, a) $\hat{C}<\hat{A}<\hat{B}$; b) $\hat{B}<\hat{A}<\hat{C}$ — khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ đúng cho MỘT bộ số cụ thể đã chọn, không chứng minh được đúng cho MỌI trường hợp thoả mãn bất đẳng thức đề cho — phải dùng lập luận tổng quát như Cách 1 mới là lời giải đầy đủ.

Định hướng. Thử thêm một giá trị $\hat{B}$ khác (vẫn thoả điều kiện) để chắc chắn kết luận ở Cách 1 không phụ thuộc vào số cụ thể đã chọn.

Vậy dù đổi số đo $\hat{B}$ (miễn thoả điều kiện), thứ tự tăng dần vẫn luôn là a) $\hat{C},\hat{A},\hat{B}$ và b) $\hat{B},\hat{A},\hat{C}$ — xác nhận chắc chắn kết luận tổng quát ở Cách 1.

Định hướng. Câu a) dùng tổng không đổi như Bài 4.6. Câu b) dùng $\hat{C}=180^{\circ }-\hat{A}-\hat{B}$ để chặn $\hat{C}$ nhỏ hơn cả $\hat{A}$ lẫn $\hat{B}$.

Vậy a) $\hat{C}>\hat{A}>\hat{B}$; b) $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$.

Định hướng. Chọn số đo cụ thể thoả các bất đẳng thức đề cho để kiểm tra trực tiếp bằng số trước khi tin vào lập luận tổng quát.

Vậy với số liệu thử, a) $\hat{C}>\hat{A}>\hat{B}$; b) $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$ — khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu b) cần thử lại với một bộ số KHÁC (ví dụ $\hat{A}=170^{\circ }$, $\hat{B}=46^{\circ }$, $\hat{C}=180^{\circ }-170^{\circ }-46^{\circ }$ — chú ý tổng phải hợp lệ) để chắc chắn thứ tự không đổi, không chỉ tin vào một bộ số duy nhất.

Định hướng. Chọn một bộ số khác hẳn cho câu b) (vẫn thoả $\hat{A}>90^{\circ }$, $\hat{B}>45^{\circ }$) để kiểm tra kết luận ở Cách 1 không phụ thuộc số đã chọn.

Vậy dù đổi số đo (miễn thoả điều kiện), thứ tự giảm dần vẫn luôn là $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$ — xác nhận chắc chắn Cách 1.

Định hướng. Áp dụng định lí tổng ba góc riêng cho tam giác $ABD$ để tìm $\hat{A}$, riêng cho tam giác $CBD$ để tìm $\hat{C}$, rồi cộng hai kết quả.

Vậy $\hat{A}+\hat{C}=170^{\circ }$.

Định hướng. Thay vì tính riêng từng góc, cộng thẳng cả bốn góc đã cho của cả hai tam giác lại rồi lấy hai lần $180^{\circ }$ trừ đi — vì hai tam giác cùng góp phần vào tổng $360^{\circ }$.

Vậy $\hat{A}+\hat{C}=170^{\circ }$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp cả hai bước trừ của Cách 1 thành MỘT phép trừ duy nhất ($360^{\circ }-190^{\circ }$), nhanh hơn khi cần tính ngay tổng $\hat{A}+\hat{C}$ mà không cần biết riêng từng góc.

Định hướng. Sau khi có $\hat{A}=100^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$, cộng lại đủ ba góc mỗi tam giác để kiểm tra chắc chắn ra $180^{\circ }$.

Vậy $\hat{A}=100^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$ đều đúng, nên $\hat{A}+\hat{C}=170^{\circ }$.

Định hướng. Đặt $\hat{C}=t$ (đơn vị độ), khi đó $\hat{A}=\hat{B}=2t$; thay cả ba vào định lí tổng ba góc để có phương trình một ẩn.

Vậy $\hat{C}=36^{\circ }$; $\hat{A}=\hat{B}=2\cdot 36^{\circ }=72^{\circ }$. Cả ba góc $72^{\circ }$, $72^{\circ }$, $36^{\circ }$ đều nhỏ hơn $90^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

Định hướng. Xem $\hat{C}$ là 1 phần, mỗi góc $\hat{A}$, $\hat{B}$ là 2 phần bằng nhau — tổng cả ba góc là $180^{\circ }$ chia đều theo tổng số phần, giống dạng "tổng — tỉ" đã học ở lớp 6-7.

Vậy $\hat{C}=36^{\circ }$, $\hat{A}=\hat{B}=72^{\circ }$, khớp Cách 1; tam giác $ABC$ là tam giác nhọn vì cả ba góc đều nhỏ hơn $90^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 2 là cách nhìn "tổng — tỉ" quen thuộc từ lớp 6, không cần lập phương trình đại số như Cách 1, phù hợp khi chưa quen dùng ẩn $t$.

Định hướng. Sau khi có ba góc, kiểm tra lại cả hai điều kiện đề cho: tổng bằng $180^{\circ }$ và đúng tỉ lệ $\hat{A}=\hat{B}=2\hat{C}$.

Vậy cả hai điều kiện đề cho đều thoả mãn, xác nhận $\hat{A}=\hat{B}=72^{\circ }$, $\hat{C}=36^{\circ }$; tam giác nhọn vì góc lớn nhất $72^{\circ }$ vẫn nhỏ hơn $90^{\circ }$.