Bài 12. Tổng các góc trong một tam giác

Định hướng. Nhìn đúng vào đỉnh chung $B$: ba góc màu (hồng, vàng, xanh) của ba tam giác gạch nằm sát nhau, không hở khe cũng không chồng mép lên nhau.

Vậy tổng ba góc tại mỗi đỉnh chung (chẳng hạn tại $B$) bằng $180^{\circ }$; vì ba góc đó chụm thành một đường thẳng nên ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Định hướng. Vì các viên gạch giống hệt nhau (tam giác bằng nhau), ba góc chụm tại $B$ chính là bản sao của đúng ba góc trong MỘT viên gạch gốc — chỉ cần biết ba góc ấy có thể xếp thành một đường thẳng hay không.

Vậy tổng ba góc của một tam giác — nhìn qua cách ghép — cũng chính là góc bẹt $180^{\circ }$, phù hợp với nhận xét ở Cách 1.

Nhận xét. Đây mới là một dự đoán từ hình ảnh ghép gạch, chưa phải một chứng minh chặt chẽ bằng lập luận hình học — chứng minh chính thức bằng đường thẳng song song sẽ được trình bày ngay sau ở định lí "Tổng ba góc trong một tam giác".

Định hướng. Vẽ tam giác $MNP$ như hình, đặt thước đo góc lần lượt tại $M$, $N$, $P$ rồi cộng ba số đo lại.

Vậy với tam giác $MNP$ vừa vẽ, tổng ba góc đo được xấp xỉ $180^{\circ }$.

Định hướng. Làm đúng gợi ý "so sánh kết quả với các bạn": vẽ thêm một tam giác vuông (hình dáng khác hẳn tam giác nhọn ở Cách 1) rồi đo lại, xem kết quả có còn xấp xỉ $180^{\circ }$ không.

Vậy dù đổi hẳn hình dạng tam giác (từ tam giác nhọn sang tam giác vuông), tổng ba góc đo được vẫn xấp xỉ $180^{\circ }$.

Nhận xét. Sai số nhỏ khi đo (ví dụ $178^{\circ }$ hay $181^{\circ }$) là do dụng cụ đo, nhưng mọi bạn trong lớp đều ra kết quả rất gần $180^{\circ }$ dù vẽ tam giác khác nhau — đó là dấu hiệu cho thấy tổng ba góc trong MỌI tam giác đều bằng đúng $180^{\circ }$, sẽ được chứng minh chặt chẽ ở HĐ2 và định lí ngay sau.

Định hướng. Việc cắt ghép không làm đổi số đo góc $x$, $y$, $z$, chỉ đổi chỗ đặt của chúng; nếu sau khi ghép ba cạnh ngoài cùng tạo thành một đường thẳng thì tổng ba góc đúng bằng góc bẹt.

Vậy ba góc $x$, $y$, $z$ sau khi ghép lấp đầy đúng một góc bẹt, tức $x+y+z=180^{\circ }$.

Định hướng. Gán số đo cụ thể cho $x$, $y$, $z$ trên tam giác giấy đã cắt, cộng lại để kiểm tra bằng con số thay vì chỉ nhìn hình.

Vậy $70^{\circ }+50^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$, xác nhận ba góc ghép lại vừa đúng một góc bẹt.

Nhận xét. Cách cắt ghép này thuyết phục hơn hẳn cách đo ở HĐ1 vì không phụ thuộc độ chính xác của thước đo góc — chỉ cần mắt thường thấy ba cạnh thẳng hàng là đủ kết luận, đây chính là ý tưởng gốc để xây dựng phép chứng minh bằng đường thẳng song song ở định lí ngay sau.

Định hướng. Nhận ra ba góc chụm tại $B$ chính là ba góc trong của tam giác gạch gốc (chỉ tách rời ra rồi đặt lại đúng thứ tự cạnh nhau), nên áp dụng thẳng định lí tổng ba góc.

Vậy tổng ba góc tại $B$ bằng $180^{\circ }$; vì ba góc đó lấp đầy đúng một góc bẹt tại $B$ nên ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Định hướng. Không nhắc lại định lí mà lập luận trực tiếp: ba góc tại $B$ không hở không chồng, cộng lại vừa khít một nửa mặt phẳng phía trên đường đáy — đó chính là định nghĩa góc bẹt.

Vậy tổng ba góc tại $B$ bằng $180^{\circ }$, và vì góc đó là góc bẹt nên $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng một kết quả nhưng đi hai chiều ngược nhau: Cách 1 dùng định lí đã học để SUY RA góc bẹt, còn Cách 2 dùng chính quan sát hình ảnh để CHỨNG THỰC định lí — đây là lí do câu Mở đầu chỉ là dự đoán còn câu hỏi này mới là câu trả lời chắc chắn.

Định hướng. Áp dụng thẳng định lí tổng ba góc cho từng tam giác; riêng câu c) đổi "vuông tại $M$" thành $\hat{M}=90^{\circ }$ trước khi trừ.

Vậy $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{D}=100^{\circ }$, $\hat{P}=30^{\circ }$.

Định hướng. Thay vì trừ hai lần liên tiếp, cộng hai góc đã biết thành một tổng rồi trừ $180^{\circ }$ một lần — ít bước tính hơn, khó sai hơn khi tính nhẩm.

Vậy $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{D}=100^{\circ }$, $\hat{P}=30^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi tính ra góc còn lại, cộng cả ba góc của từng tam giác lại — nếu đúng $180^{\circ }$ thì kết quả chắc chắn không sai sót.

Vậy cả ba kết quả $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{D}=100^{\circ }$, $\hat{P}=30^{\circ }$ đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Cách 3 không dùng để TÌM ra đáp số mà dùng để TỰ KIỂM sau khi đã tính — nên luôn cộng lại cả ba góc trước khi ghi đáp số cuối cùng vào bài làm.

Định hướng. Đổi "vuông tại $A$" thành $\hat{A}=90^{\circ }$, thay vào định lí tổng ba góc rồi suy ra tổng hai góc còn lại.

Vậy $\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ }$.

Định hướng. Chọn tạm hai số đo cụ thể thoả mãn tam giác vuông tại $A$ (ví dụ $\hat{B}=40^{\circ }$) để kiểm tra quy luật, sau đó khái quát bằng biến.

Vậy $\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ }$ với mọi tam giác vuông tại $A$, không phụ thuộc số đo cụ thể của từng góc.

Nhận xét. Cách 2 chỉ để KIỂM TRA trực giác bằng ví dụ số, còn Cách 1 mới là lời giải chính thức vì chứng minh đúng cho MỌI tam giác vuông chứ không riêng một trường hợp — đây chính là nội dung phần "Nhận xét" ngay sau bài: "trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau".

Định hướng. Biểu diễn cả $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ACx}$ theo $180^{\circ }$ trừ đi các góc còn lại, rồi so sánh hai cách biểu diễn đó.

Vậy $\widehat{ACx}=\widehat{BAC}+\widehat{CBA}$.

Định hướng. Viết riêng hai đẳng thức (tổng ba góc trong tam giác, và tính kề bù tại $C$), rồi trừ hai vế cho nhau thay vì thế biểu thức lồng nhau như Cách 1 — ít nhầm dấu hơn.

Vậy $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=\widehat{ACx}$, tức $\widehat{ACx}=\widehat{BAC}+\widehat{CBA}$.

Định hướng. Gán số đo cụ thể cho $\widehat{BAC}$, $\widehat{CBA}$ để tính thử $\widehat{ACx}$, kiểm tra quy luật trước khi viết chứng minh tổng quát bằng biến như Cách 1, 2.

Vậy với số liệu cụ thể, $\widehat{ACx}=\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=120^{\circ }$, khớp với chứng minh tổng quát ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ kiểm tra được MỘT trường hợp cụ thể, không thay thế được cho chứng minh bằng biến ở Cách 1, 2 — vì đề yêu cầu "chứng minh" đúng cho MỌI tam giác $ABC$, không riêng một bộ số nào.

Định hướng. Với mỗi tam giác, lấy $180^{\circ }$ trừ tổng hai góc đã biết để ra góc còn lại; tam giác thứ ba đổi ô vuông góc thành $90^{\circ }$ trước khi trừ.

Vậy $x=25^{\circ }$, $y=50^{\circ }$, $z=35^{\circ }$.

Định hướng. Cộng dồn hai góc đã biết của mỗi tam giác thành một số, rồi trừ $180^{\circ }$ một lần duy nhất — giảm bớt thao tác trừ liên tiếp dễ nhầm dấu.

Vậy $x=25^{\circ }$, $y=50^{\circ }$, $z=35^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi tính, cộng lại đủ ba góc từng tam giác để chắc chắn ra đúng $180^{\circ }$ — cách kiểm tra nhanh, khó bỏ sót góc vuông ở tam giác thứ ba.

Vậy cả ba kết quả $x=25^{\circ }$, $y=50^{\circ }$, $z=35^{\circ }$ đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Riêng tam giác thứ nhất có một góc tù $120^{\circ }$ khiến góc còn lại $x$ rất nhỏ ($25^{\circ }$) — nhìn hình thấy đỉnh $x$ rất nhọn, khớp với việc một tam giác không thể có hai góc từ $90^{\circ }$ trở lên.

Định hướng. Với mỗi tam giác, tìm góc thứ ba bằng định lí tổng ba góc, rồi xét xem trong ba góc có góc nào bằng hoặc lớn hơn $90^{\circ }$ không.

Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông (vuông tại $B$); tam giác $DEF$ là tam giác nhọn; tam giác $MNP$ là tam giác tù (tù tại $N$).

Định hướng. So sánh tổng hai góc đã biết với $90^{\circ }$: nếu tổng đúng $90^{\circ }$ thì góc còn lại chắc chắn vuông; nếu tổng lớn hơn hay nhỏ hơn $90^{\circ }$ thì suy luận nhanh loại tam giác mà không cần tính chính xác góc thứ ba trước.

Vậy $ABC$ vuông, $DEF$ nhọn, $MNP$ tù — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Quy luật dùng được luôn: nếu tổng hai góc đã biết bằng $90^{\circ }$ thì tam giác vuông; nếu tổng đó nhỏ hơn $90^{\circ }$ thì góc còn lại chắc chắn lớn hơn $90^{\circ }$ (tam giác tù); còn lại (tổng lớn hơn $90^{\circ }$ và cả hai góc đã biết đều nhỏ hơn $90^{\circ }$) cần tính cụ thể góc thứ ba mới chắc chắn là nhọn.

Định hướng. Xử lí từng điểm theo đúng thứ tự đường thẳng đi qua: $x$ ở $B$ dùng kề bù, $y$ ở tam giác $ABC$ dùng tổng ba góc, $z$ ở $D$ dùng góc ngoài của tam giác chứa đỉnh $70^{\circ }$.

Vậy $x=60^{\circ }$, $y=40^{\circ }$, $z=110^{\circ }$.

Định hướng. Không dùng tính chất góc ngoài mà quay lại đúng công cụ chính của bài — định lí tổng ba góc — áp dụng riêng cho tam giác phía dưới đường thẳng, đổi $z$ thành góc kề bù của nó trước.

Vậy $x=60^{\circ }$, $y=40^{\circ }$, $z=110^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi có $x$, $y$, $z$, kiểm tra lại bằng cách cộng các cặp góc kề bù tại $B$ và tại $D$ — nếu đều ra $180^{\circ }$ thì kết quả chắc chắn không sai.

Vậy cả ba kết quả $x=60^{\circ }$, $y=40^{\circ }$, $z=110^{\circ }$ đều được xác nhận đúng qua phép cộng kiểm tra.

Nhận xét. Bài này là ví dụ điển hình phối hợp CẢ BA công cụ đã học trong bài: kề bù, tổng ba góc, và góc ngoài — nên luôn xác định rõ mỗi góc thuộc hình nào (kề bù hay trong tam giác nào) trước khi đặt bút tính, tránh gán nhầm công cụ.