Bài 1 · 4.31★★Trang 64— Nhận diện trường hợp bằng nhau tam giác vuông từ các dấu hiệu trên hình (bài tổng ôn)
Bài 4.31 (trang 64). Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao? a) Tam giác ABC và ADC chung đỉnh C (vuông tại C), BC=CD. b) Tam giác EGF và KGH chung đỉnh G (vuông tại G), GE=GK, E=K. c) Tam giác OMN và OQP chung đỉnh O, vuông tại N, P, OM=OQ, M=Q. d) Tam giác XYZ và STZ chung đỉnh Z, vuông tại X, S, ZX=ZS.
Kiến thức cần nhớ
Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông đã học trong Bài 15.
Khi hai tam giác chung một đỉnh, cạnh nối từ đỉnh chung đến đỉnh góc vuông thường đóng vai trò cạnh góc vuông hoặc cạnh chung, cần xác định rõ trước khi kết luận.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn hình lần lượt minh hoạ bốn trường hợp đã học: a) hai cạnh góc vuông (BC=CD, AC chung); b) cạnh góc vuông - góc nhọn kề (GE=GK, E=K); c) cạnh huyền - góc nhọn (OM=OQ là cạnh huyền, M=Q); d) cạnh huyền - cạnh góc vuông (ZX=ZS là cạnh góc vuông, ZY=ZT là cạnh huyền). Hướng làm là xác định đúng góc vuông ở từng hình trước khi gọi tên cạnh huyền hay cạnh góc vuông. Bẫy hay gặp ở hình c), d) là lẫn lộn cạnh huyền với cạnh góc vuông khi cả hai tam giác chung một đỉnh không phải đỉnh góc vuông.
1Cách 1. Xét lần lượt bốn hình theo dấu hiệu đã cho
Định hướng. Với mỗi hình, liệt kê đúng ba yếu tố theo dấu đã đánh rồi gọi tên trường hợp bằng nhau.
a) △ABC và △ADC vuông tại C: AC chung; BC=CD⇒ bằng nhau (hai cạnh góc vuông) b) △EGF và △KGH vuông tại G: GE=GK; E=K⇒ bằng nhau (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) c) △OMN và △OQP vuông tại N, P: OM=OQ (cạnh huyền); M=Q⇒ bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn) d) △XYZ và △STZ vuông tại X, S: ZX=ZS (cạnh góc vuông); ZY=ZT (cạnh huyền chung do Y, Z, T thẳng hàng) ⇒ bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Vậy cả bốn hình đều có một cặp tam giác vuông bằng nhau, theo đúng bốn trường hợp đã học.
2Cách 2. Xác định cạnh huyền trước, rồi mới đối chiếu dấu
Định hướng. Trước khi ghép cặp, xác định lại cạnh huyền ở mỗi tam giác (đối diện góc vuông) để tránh nhầm lẫn, đặc biệt ở hình c), d) nơi đỉnh chung không phải đỉnh góc vuông.
a) góc vuông tại C⇒ cạnh huyền AB, AD; dấu cho ở cạnh góc vuông BC=CD và cạnh chung AC c) góc vuông tại N, P⇒ cạnh huyền OM, OQ; dấu cho đúng ở cạnh huyền, khớp trường hợp cạnh huyền - góc nhọn d) góc vuông tại X, S⇒ cạnh huyền ZY, ZT; dấu cho ở cạnh góc vuông ZX=ZS, khớp trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (nhờ ZY=ZT suy ra từ Y,Z,T thẳng hàng)
Vậy việc xác định lại cạnh huyền xác nhận đúng bốn kết luận ở Cách 1, không có hình nào bị gọi sai tên trường hợp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đọc dấu và ghép luôn theo bốn định lí, nhanh và đủ chặt chẽ cho bài tổng ôn.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp nhất là ở hình d): nhầm cạnh góc vuông chung đỉnh (ZX=ZS) với cạnh huyền — cần nhớ cạnh huyền là cạnh ĐỐI DIỆN góc vuông, ở đây là ZY và ZT.
🚀 Mở rộng.Bài này là bài tổng ôn bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông trong SBT, tương tự bài 4.20 ở SGK — rất hữu ích để luyện phản xạ nhận diện trước khi làm các bài chứng minh phức tạp hơn.
Bài 2 · 4.32★★Trang 64— Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau bằng cạnh góc vuông - góc nhọn kề (dùng góc đối đỉnh)
Bài 4.32 (trang 64). Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34, biết rằng AB⊥BC, DC⊥BC và E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng △ABE=△DCE.
Kiến thức cần nhớ
Trung điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; trường hợp bằng nhau cạnh góc vuông - góc nhọn kề.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho AB⊥BC, DC⊥BC (hai góc vuông tại B, C) và E là trung điểm BC (suy ra BE=CE) — đúng dấu hiệu cạnh góc vuông bằng nhau; còn thiếu một góc để ghép g.c.g thì lấy góc đối đỉnh AEB=DEC tại E (vì A, E, D thẳng hàng theo hình vẽ). Hướng làm là ghép △ABE, △DCE theo cạnh góc vuông - góc nhọn kề với cạnh BE=CE và góc đối đỉnh tại E. Bẫy hay gặp là quên nêu căn cứ A, E, D thẳng hàng trước khi dùng góc đối đỉnh.
1Cách 1. Dùng góc đối đỉnh tại E rồi ghép cạnh góc vuông - góc nhọn kề
Định hướng. Xác định BE=CE (cạnh góc vuông) và góc đối đỉnh tại E (góc nhọn kề cạnh ấy), ghép đúng định lí thứ hai của bài học.
E là trung điểm BC⇒BE=CE AEB=DEC (hai góc đối đỉnh, vì A, E, D thẳng hàng) Xét △ABE vuông tại B và △DCE vuông tại C: BE=CE; AEB=DEC
Vậy△ABE=△DCE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
2Cách 2. Ghép theo góc - cạnh - góc dùng đủ ba yếu tố
Định hướng. Trình bày lại theo đúng thứ tự góc - cạnh - góc quanh cạnh BE=CE, nêu rõ cả góc vuông tại B, C lẫn góc đối đỉnh tại E.
ABE=DCE=90∘ (vì AB⊥BC, DC⊥BC) BE=CE (E trung điểm BC) AEB=DEC (đối đỉnh)
Vậy△ABE=△DCE (g.c.g), cùng kết luận với Cách 1 nhưng liệt kê đủ cả ba yếu tố góc - cạnh - góc.
Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở tên gọi trường hợp bằng nhau được nhấn mạnh (cạnh góc vuông - góc nhọn kề là trường hợp riêng của g.c.g cho tam giác vuông).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: gọi đúng tên "cạnh góc vuông - góc nhọn kề" vì đây là bài luyện đúng trọng tâm Bài 15.
Đáp số.△ABE=△DCE.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là dùng góc đối đỉnh AEB=DEC mà không nêu căn cứ A, E, D thẳng hàng — thiếu căn cứ này thì "đối đỉnh" chưa được chứng minh chặt chẽ.
🚀 Mở rộng.Từ △ABE=△DCE suy ra AE=DE, tức E cũng là trung điểm của AD — đây là mô hình quen thuộc của phép đối xứng tâm qua điểm E.
Bài 3 · 4.33★★★Trang 65— Chứng minh liên tiếp hai cặp tam giác bằng nhau: trước bằng hai cạnh góc vuông, sau bằng ba cạnh
Bài 4.33 (trang 65). Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD tại E, EA=EB và EC=ED. Chứng minh rằng: a) △AED=△BEC; b) △ABC=△BAD.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Trường hợp bằng nhau ba cạnh (c.c.c) của tam giác.
Bài 4 · 4.34★★★Trang 65— Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và vuông góc bằng hai cạnh góc vuông kết hợp góc phụ nhau
Bài 4.34 (trang 65). Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng BN=CM và BN⊥CM.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Nếu hai góc nhọn của một tam giác vuông phụ nhau và bằng hai góc tương ứng ở tam giác kia thì góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh tương ứng bằng 90∘.
Bài 7 · 4.37★★★★Trang 66— Chứng minh hai tam giác bằng nhau bằng cách quy về hai tam giác vuông tạo bởi đường cao
Bài 4.37 (trang 66). Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng: a) Nếu AB=DE, BC=EF và AH=DK thì △ABC=△DEF; b) Nếu AB=DE, AC=DF và AH=DK thì △ABC=△DEF.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh và cạnh - cạnh - cạnh của tam giác.
Bài 9 · 4.39★★★Trang 66— Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hai cạnh góc vuông) rồi suy ra song song qua góc so le trong
Bài 4.39 (trang 66). Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE=CF (H.4.41). Chứng minh rằng: a) AF=CE; b) AF∥CE.
Kiến thức cần nhớ
Tính chất hình chữ nhật: các cạnh đối bằng nhau, bốn góc vuông.
Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông; dấu hiệu hai đường thẳng song song bằng góc so le trong.
Bài 10 · 4.40★★★★Trang 66— Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hai cạnh góc vuông) rồi suy ra hai đường thẳng vuông góc
Bài 4.40 (trang 66). Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA=DC, DB=DE, ADB=CDE=90∘. a) Chứng minh rằng AB=CE. b) Đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng BFC=90∘.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360∘; góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề.
