Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Định hướng. Với mỗi hình, liệt kê đúng ba yếu tố theo dấu đã đánh rồi gọi tên trường hợp bằng nhau.

Vậy cả bốn hình đều có một cặp tam giác vuông bằng nhau, theo đúng bốn trường hợp đã học.

Định hướng. Trước khi ghép cặp, xác định lại cạnh huyền ở mỗi tam giác (đối diện góc vuông) để tránh nhầm lẫn, đặc biệt ở hình c), d) nơi đỉnh chung không phải đỉnh góc vuông.

Vậy việc xác định lại cạnh huyền xác nhận đúng bốn kết luận ở Cách 1, không có hình nào bị gọi sai tên trường hợp.

Định hướng. Xác định $BE=CE$ (cạnh góc vuông) và góc đối đỉnh tại $E$ (góc nhọn kề cạnh ấy), ghép đúng định lí thứ hai của bài học.

Vậy $△ABE=△DCE$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

Định hướng. Trình bày lại theo đúng thứ tự góc - cạnh - góc quanh cạnh $BE=CE$, nêu rõ cả góc vuông tại $B$, $C$ lẫn góc đối đỉnh tại $E$.

Vậy $△ABE=△DCE$ (g.c.g), cùng kết luận với Cách 1 nhưng liệt kê đủ cả ba yếu tố góc - cạnh - góc.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở tên gọi trường hợp bằng nhau được nhấn mạnh (cạnh góc vuông - góc nhọn kề là trường hợp riêng của g.c.g cho tam giác vuông).

Định hướng. Dùng hai cạnh góc vuông cho ý a), rồi từ kết quả đó suy ra đủ ba cạnh bằng nhau để ghép c.c.c ở ý b).

Vậy $△ABC=△BAD$ (c.c.c).

Định hướng. Từ ý a) có thêm $\widehat{DAE}=\widehat{CBE}$ (góc tương ứng); kết hợp góc vuông tại $E$ để tính $\widehat{DAB}$, $\widehat{CBA}$ rồi ghép c.g.c với cạnh $AB$ chung, tránh phải tính $AC=BD$ như Cách 1.

Vậy $△ABC=△BAD$ (c.g.c), cùng kết luận với Cách 1 nhưng không cần tính riêng $AC=BD$.

Nhận xét. Cách 1 (c.c.c) an toàn và dễ trình bày hơn vì không phải biện luận về góc cộng thêm như Cách 2.

Định hướng. Ghép hai cạnh góc vuông cho $△ABN$, $△BCM$ để có $BN=CM$ và góc tương ứng, sau đó lần theo tổng góc trong tam giác vuông để suy ra vuông góc.

Vậy $\widehat{BKC}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, tức $BN=CM$ và $BN\perp CM$.

Định hướng. Đặt cạnh hình vuông là $2a$, gắn toạ độ $A(0,0)$, $B(2a,0)$, $C(2a,2a)$, $D(0,2a)$, tính toạ độ $M$, $N$ rồi kiểm tra độ dài và tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{CM}$.

Vậy $BN=CM$ và $BN\perp CM$ (vì tích vô hướng bằng $0$), khớp hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng công cụ toạ độ (học ở lớp trên) để kiểm chứng nhanh, nhưng Cách 1 mới là lời giải phù hợp chương trình lớp 7.

Định hướng. Xác định đúng cặp đỉnh tương ứng ($A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow B$) rồi ghép định lí.

Vậy $△ACB=△ADB$ (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra $CB=DB$ (hai cạnh tương ứng).

Định hướng. Tính $\widehat{ABC}$, $\widehat{ABD}$ từ tổng ba góc trong tam giác vuông, cho thấy chúng bằng nhau, rồi ghép g.c.g quanh cạnh chung $AB$.

Vậy $△ACB=△ADB$ (g.c.g), suy ra $CB=DB$ — cùng kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ là cách chứng minh lại định lí cạnh huyền - góc nhọn từ gốc bằng g.c.g, dài hơn Cách 1.

Định hướng. Từ $△ABC=△DEF$ lấy ra cặp cạnh $AB=DE$ (cạnh huyền của hai tam giác vuông nhỏ) và cặp góc $\hat{B}=\hat{E}$ (góc nhọn), ghép định lí cạnh huyền - góc nhọn.

Vậy $△ABH=△DEK$ (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra $AH=DK$ (hai cạnh tương ứng).

Định hướng. Thay vì dùng góc $\hat{B}=\hat{E}$ trực tiếp, có thể chứng minh $BH=EK$ trước (nhờ một cặp tam giác vuông khác hoặc tính chất đối xứng), rồi ghép hai cạnh góc vuông cho $△ABH$, $△DEK$.

Vậy dù xét cặp tam giác vuông ở phía đỉnh $B,E$ (Cách 1) hay phía đỉnh $C,F$ (Cách 2), kết quả đều là $AH=DK$.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở việc chọn cặp tam giác vuông nào (kề $B,E$ hay kề $C,F$) để chứng minh, bản chất suy luận giống hệt nhau.

Định hướng. Tách ra hai tam giác vuông $ABH$, $DEK$ bằng nhau (ch-cgv) để lấy góc $\hat{B}=\hat{E}$, rồi ghép c.g.c cho tam giác lớn.

Vậy $△ABC=△DEF$ (c.g.c).

Định hướng. Tách ra hai tam giác vuông $ACH$, $DFK$ bằng nhau (ch-cgv) để lấy $CH=FK$, cộng với $BH=EK$ (từ ý a với vai trò tương tự) để có $BC=EF$, rồi ghép c.c.c.

Vậy $△ABC$ và $△DEF$ có $AB=DE$, $AC=DF$, $BC=EF$ nên $△ABC=△DEF$ (c.c.c).

Nhận xét. Cả hai ý đều dùng chung kĩ thuật "chẻ tam giác lớn thành hai tam giác vuông bởi chân đường cao" — kĩ thuật cốt lõi của bài này.

Định hướng. Xác định $BC$ là cạnh huyền chung của cả hai tam giác vuông (vì góc vuông tại $A$, $D$ đối diện $BC$), ghép ch-cgv, rồi lấy góc tương ứng để chứng minh song song.

Vậy a) $AC=DB$; b) $AD\parallel BC$ (hai góc so le trong bằng nhau qua cát tuyến chung).

Định hướng. Vì $A$, $D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$ (do hai góc vuông tại $A$, $D$) và $AB=DC$, có thể lập luận $A$, $D$ đối xứng nhau qua trung trực của $BC$, từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ (hoặc $ADCB$) là hình thang cân, dẫn tới $AD\parallel BC$.

Vậy $AD\parallel BC$, cùng kết luận với Cách 1 nhưng dùng công cụ đường tròn (sẽ học kĩ hơn ở lớp 9).

Nhận xét. Cách 1 phù hợp chương trình lớp 7 hơn vì chỉ dùng tam giác bằng nhau và góc so le trong.

Định hướng. Từ $AE=CF$ và $AD=BC$ suy ra $ED=BF$, rồi ghép hai cạnh góc vuông cho $△ABF$, $△CDE$ (vuông tại $B$, $D$).

a) $AF=CE$. b) Từ $△ABF=△CDE$: $\widehat{AFB}=\widehat{CED}$ (góc tương ứng); vì $AD\parallel BC$ nên $\widehat{CED}=\widehat{ECF}$ (so le trong với cát tuyến $CE$), suy ra $\widehat{AFB}=\widehat{ECF}$, mà đây là cặp góc đồng vị của $AF$, $CE$ với cát tuyến $BC$ $\Rightarrow AF\parallel CE$.

Định hướng. Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật (giao điểm hai đường chéo); chứng minh $E$ và $F$ đối xứng nhau qua $O$, từ đó $A$, $F$ đối xứng với $C$, $E$ qua $O$ nên hai đoạn $AF$, $CE$ vừa bằng nhau vừa song song (do phép đối xứng tâm biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng song song hoặc trùng phương và bằng độ dài).

Vậy $AF=CE$ và $AF\parallel CE$ (ảnh của một đoạn thẳng qua phép đối xứng tâm luôn song song hoặc trùng với đoạn ban đầu), khớp kết luận Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phù hợp chương trình lớp 7 hơn (chỉ dùng tam giác bằng nhau), Cách 2 dùng phép đối xứng tâm sẽ học kĩ hơn ở chương sau.

Định hướng. Ghép $△ADB=△CDE$ để lấy $AB=CE$ và góc tương ứng, rồi xét tứ giác $DAFC$ (hoặc tam giác chứa $F$) để tính góc tại $F$ từ góc $\widehat{ADC}=90^{\circ }$.

a) $AB=CE$. b) Biến đổi cho thấy $\widehat{AFC}$ và $\widehat{BFC}$ (kề bù hoặc liên quan trực tiếp) thoả mãn $\widehat{BFC}=90^{\circ }$, tức $AB\perp CE$ tại $F$.

Định hướng. Coi tam giác $CDE$ là ảnh của tam giác $ADB$ qua phép quay tâm $D$ góc $\widehat{ADC}$ (đưa tia $DA$ về tia $DC$ và tia $DB$ về tia $DE$, hợp lệ vì $DA=DC$, $DB=DE$ và $\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$); khi quay một hình một góc $\alpha$, mọi đoạn thẳng của hình cũng quay đúng góc $\alpha$ đó, nên đoạn $CE$ (ảnh của $AB$) hợp với $AB$ đúng góc $\widehat{ADC}$.

Vậy nếu góc quay $\widehat{ADC}=90^{\circ }$ (suy ra được từ cách bố trí bốn tia $DA,DB,DC,DE$ vuông góc từng đôi quanh $D$) thì $AB$ và $CE$ vuông góc, tức $\widehat{BFC}=90^{\circ }$ — cùng kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 trực quan hơn nhưng dùng khái niệm phép quay (học kĩ ở chương trình nâng cao); Cách 1 chỉ dùng tam giác bằng nhau và tổng góc, phù hợp lớp 7.