Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Định hướng. Vì hai tam giác đều vuông tại $A$, $A^{\prime }$ nên góc vuông chính là góc xen giữa hai cạnh góc vuông đã cho bằng nhau; chỉ cần khớp đúng ba yếu tố cạnh - góc - cạnh.

Vậy $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (c.g.c).

Định hướng. Từ hai cạnh góc vuông bằng nhau, dùng định lí Pythagore suy ra cạnh huyền cũng bằng nhau, rồi ghép cả ba cặp cạnh.

Vậy $△ABC$ và $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$, $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (c.c.c).

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết luận, nhưng Cách 1 ngắn hơn vì không cần tính thêm cạnh huyền.

Định hướng. Cạnh $AB$ nằm giữa góc vuông $\hat{A}$ và góc nhọn $\hat{B}$ đã cho bằng nhau, nên ghép đúng thứ tự góc - cạnh - góc.

Vậy $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g.c.g).

Định hướng. Một tam giác vuông hoàn toàn xác định khi biết một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy (dựng góc vuông tại $A$, đặt $B$ theo $AB$ đã cho, dựng góc $\hat{B}$ rồi lấy giao điểm với tia $Ax$ để được $C$); phép dựng này cho kết quả duy nhất.

Vậy hai phép dựng cho cùng một tam giác (sai khác vị trí), tức $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Định hướng. Nhận diện đúng cạnh góc vuông chung là chiều cao cột, góc nhọn kề là góc ở đỉnh cột, rồi suy ra cạnh bóng tương ứng.

Vậy $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (hai cạnh tương ứng), tức hai bóng dài bằng nhau — lí do bạn Tròn đưa ra là đúng.

Định hướng. Nếu cùng cạnh góc vuông và cùng góc nhọn kề mà bóng lại khác nhau thì sẽ có hai tam giác vuông khác nhau dựng từ cùng một bộ dữ kiện — trái với tính duy nhất của phép dựng đã biết ở HĐ2.

Vậy điều giả sử là sai, tức $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ — bóng hai cột luôn dài bằng nhau.

Định hướng. Suy ra góc nhọn còn lại bằng nhau, khi đó cạnh huyền $BC$ nằm đúng giữa hai góc $\hat{B}$, $\hat{C}$ đã bằng nhau, đủ điều kiện g.c.g.

Vậy $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g.c.g).

Định hướng. Không cần viết riêng bước tính số đo góc $C$, chỉ cần lập luận "hai góc nhọn phụ nhau với cùng một góc bằng nhau thì bằng nhau" rồi ghép thẳng.

Vậy $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g.c.g).

Nhận xét. Đây chính là cách chứng minh định lí "cạnh huyền - góc nhọn" sẽ được thừa nhận ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Xét lần lượt từng cặp tam giác có cùng kiểu dấu (số gạch, vị trí cung góc) rồi gọi tên định lí.

Vậy có ba cặp tam giác vuông bằng nhau: $(ABC,DEF)$; $(GHK,MNP)$; $(RST,XYZ)$.

Định hướng. Trước tiên nhóm các tam giác có vị trí góc vuông "cùng vai trò" (ví dụ cùng là đỉnh có hai cạnh mang dấu, hoặc cùng là đỉnh đối diện cạnh có dấu), sau đó mới đối chiếu dấu cạnh - góc để tránh nhầm cạnh huyền với cạnh góc vuông.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: ba cặp $(ABC,DEF)$, $(GHK,MNP)$, $(RST,XYZ)$, mỗi cặp ứng với đúng một trong ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

Định hướng. Dùng cạnh huyền - góc nhọn cho ý a), rồi dùng kết quả đó cùng cạnh chung $AE$ để lập tiếp cặp tam giác vuông ở ý b).

Vậy $AC$ vuông góc với $BD$ tại $E$.

Định hướng. Vì $△BAC=△DAC$ nên $B$ và $D$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $AC$ (do $AB=AD$, $CB=CD$ và cùng nhìn $AC$ dưới hai góc bằng nhau về hai phía); mà đường nối hai điểm đối xứng qua một trục luôn vuông góc với trục đó tại giao điểm.

Vậy $AC\perp BD$ tại trung điểm $E$ của $BD$.

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất đường trung trực (mỗi điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng thì nằm trên trung trực của đoạn ấy) sẽ được học kĩ hơn ở Bài 16.

Định hướng. Nhận ra $OM$ là cạnh huyền chung của cả hai tam giác vuông tại $A$ và tại $B$, còn góc nhọn bằng nhau lấy từ tính chất tia phân giác.

Vậy $△OMA=△OMB$ (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra $MA=MB$ (hai cạnh tương ứng).

Định hướng. Thay vì dùng cạnh huyền chung, có thể dùng ngay góc ở đỉnh $O$ kề với cạnh $OM$ để ghép theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề, vì $OM$ vừa là cạnh chung vừa kề với góc $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$.

Vậy $△OMA=△OMB$, suy ra $MA=MB$ — kết quả trùng Cách 1, chỉ khác tên gọi trường hợp bằng nhau được nhấn mạnh.

Nhận xét. Vì $OM$ đồng thời đóng vai trò cạnh huyền của tam giác này, việc gọi tên "cạnh huyền - góc nhọn" (Cách 1) là chuẩn xác và được ưu tiên khi trình bày.

Định hướng. Dựng cạnh góc vuông trước, dựng tia vuông góc tại $A$, rồi dùng compa khoá đúng cạnh huyền $5$ cm để xác định $C$.

Vậy ta được tam giác vuông $ABC$ với $\hat{A}=90^{\circ }$, $AB=3$ cm, $BC=5$ cm.

Định hướng. Vì đã biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền, có thể tính luôn cạnh góc vuông còn lại rồi dựng tam giác theo hai cạnh góc vuông và góc vuông xen giữa — cách dựng khác nhưng cho cùng một tam giác.

Vậy đo lại $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm, khớp với cạnh huyền đã cho — cùng một tam giác với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một tam giác vì mỗi tam giác vuông chỉ có đúng một hình dạng ứng với bộ ba số đo $(3,4,5)$.

Định hướng. Dùng compa đo trực tiếp $A^{\prime }{C}^{\prime }$ trên hình vừa dựng và so với $AC$ đã biết ở HĐ4, rồi đối chiếu đủ ba cạnh để kết luận.

Vậy a) $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$; b) $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (c.c.c) vì ba cặp cạnh tương ứng đều bằng nhau.

Định hướng. Thay vì đo bằng compa (có sai số dụng cụ), tính trực tiếp $A^{\prime }{C}^{\prime }$ từ $A^{\prime }{B}^{\prime }=3$ cm, $B^{\prime }{C}^{\prime }=5$ cm bằng định lí Pythagore để có kết quả chính xác tuyệt đối.

Vậy a) $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }=4$ cm (khớp Cách 1 nhưng chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc dụng cụ đo); b) hai tam giác có đủ ba cặp cạnh bằng nhau nên $△ABC=△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Nhận xét. Vì $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$ đã cho trước, cạnh góc vuông còn lại $AC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ luôn bị ép bằng nhau theo Pythagore — đây là lí do "cạnh huyền - cạnh góc vuông" đủ để hai tam giác vuông bằng nhau.

Định hướng. Tìm đúng cạnh huyền ở mỗi tam giác (đối diện góc vuông), so dấu cạnh huyền và cạnh góc vuông giữa hai tam giác.

Vậy có hai cặp tam giác vuông bằng nhau: $(ABC,DEF)$ và $(KGH,MNP)$.

Định hướng. Thay vì ghép ngay, trước tiên nhóm các tam giác có cùng kiểu dấu trên cạnh huyền (một gạch hay hai gạch) để tránh so nhầm cạnh góc vuông với cạnh huyền.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $△ABC=△DEF$ và $△KGH=△MNP$, cả hai đều theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Định hướng. Nhận ra $AC$ là cạnh huyền chung của cả hai tam giác vuông, còn $AB=AD$ là cặp cạnh góc vuông bằng nhau.

Vậy $△ABC=△ADC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Định hướng. Nếu chưa quen định lí mới, có thể quy về c.c.c bằng cách chứng minh cạnh góc vuông còn lại cũng bằng nhau qua Pythagore.

Vậy $△ABC$ và $△ADC$ có $AB=AD$, $BC=DC$, $AC$ chung nên $△ABC=△ADC$ (c.c.c) — cùng kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chính là lí do vì sao định lí "cạnh huyền - cạnh góc vuông" ở Cách 1 luôn đúng: nó chỉ là hệ quả của Pythagore kết hợp c.c.c.

Định hướng. Với mỗi chân đường vuông góc ($M$, $N$, $P$), xét hai tam giác vuông chung cạnh góc vuông là đoạn nối tâm $O$ với chân đó, cạnh huyền là hai bán kính.

Vậy có ba cặp tam giác vuông bằng nhau: $(OMB,OMC)$; $(ONA,ONC)$; $(OPA,OPB)$, đều theo cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Định hướng. Dùng trực tiếp kết quả quen thuộc: đường vuông góc kẻ từ tâm xuống một dây sẽ đi qua trung điểm dây đó, rồi suy ngược ra ba cặp tam giác bằng nhau bằng cạnh góc vuông tương ứng.

Vậy $△OMB=△OMC$; $△ONA=△ONC$; $△OPA=△OPB$ — theo trường hợp hai cạnh góc vuông, cùng kết quả với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm thông tin $M$, $N$, $P$ chính là trung điểm ba dây, điều mà Cách 1 chưa nêu rõ.

Định hướng. Nhận diện $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (thang dài bằng nhau) là cặp cạnh huyền, $BH=B^{\prime }{H}^{\prime }$ (độ cao bằng nhau) là cặp cạnh góc vuông, ghép thẳng định lí.

Vậy $△ABH=△A^{\prime }{B}^{\prime }{H}^{\prime }$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{H}^{\prime }}$ (hai góc tương ứng).

Định hướng. Tính chân thang $AH$, $A^{\prime }{H}^{\prime }$ theo Pythagore để thấy hai tam giác có đủ ba cạnh bằng nhau, từ đó góc ở đỉnh $A$, $A^{\prime }$ cũng phải bằng nhau (vì hai tam giác trùng khít).

Vậy $△ABH=△A^{\prime }{B}^{\prime }{H}^{\prime }$, suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{H}^{\prime }}$ — cùng kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy chân hai thang cũng cách tường một khoảng bằng nhau ($AH=A^{\prime }{H}^{\prime }$), một thông tin phụ thú vị không có ở Cách 1.

Định hướng. Với mỗi hình, liệt kê đúng ba yếu tố (cạnh - góc, hoặc cạnh - cạnh) theo dấu đã đánh, rồi gọi tên trường hợp bằng nhau tương ứng.

Vậy $△ABC=△ADC$; $△EGH=△FHG$; $△MNP=△MQK$; $△SVT=△TUS$.

Định hướng. Trước khi đọc dấu cạnh/góc, khoanh vùng đúng đỉnh góc vuông ở mỗi hình (dựa vào kí hiệu vuông góc), từ đó xác định cạnh huyền, tránh nhầm lẫn ở các hình có nhiều đoạn thẳng cắt nhau.

Vậy việc xác định trước vị trí góc vuông giúp soát lại và khẳng định chắc chắn bốn cặp tam giác ở Cách 1 đều bằng nhau, dù tên gọi trường hợp ở hình b) có thể phát biểu theo hai cách tương đương.

Nhận xét. Khi một cặp tam giác thoả đồng thời hai trường hợp (ví dụ vừa đủ hai cạnh góc vuông vừa đủ cạnh huyền - cạnh góc vuông), chỉ cần nêu MỘT trường hợp hợp lệ là đủ.

Định hướng. Xác định góc đối đỉnh tại $E$ trước, sau đó ghép đúng thứ tự góc vuông - cạnh - góc quanh cạnh $AB$, $DC$.

Vậy $△ABE=△DCE$ (góc - cạnh - góc, vì tổng ba góc trong tam giác cho góc còn lại $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ tự động bằng nhau, nên có thể ghép trực tiếp g.c.g với hai góc $\widehat{BAE},\widehat{AEB}$ kề cạnh $AB$).

Định hướng. Tính góc thứ ba của mỗi tam giác nhỏ từ tổng ba góc, cho thấy $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$, rồi ghép g.c.g quanh cạnh $AB=DC$ theo đúng hai góc kề cạnh đó.

Vậy $△ABE=△DCE$ (g.c.g), cùng kết luận với Cách 1 nhưng làm rõ thêm góc $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm thông tin về góc $\widehat{ABE}$, $\widehat{DCE}$ — hữu ích nếu đề bài hỏi thêm về các góc này.

Định hướng. Nhận ra $AB=DC$ (cạnh đối hình chữ nhật) và $MB=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$) chính là hai cặp cạnh góc vuông của hai tam giác vuông tại $B$, $C$.

Vậy $△ABM=△DCM$ (hai cạnh góc vuông).

Định hướng. Đặt hệ toạ độ với $B$ làm gốc, dùng độ dài các cạnh hình chữ nhật để tính trực tiếp $AM$, $DM$ bằng Pythagore, từ đó so sánh đủ ba cạnh của hai tam giác.

Vậy $△ABM$ và $△DCM$ có $AB=DC$, $BM=CM$, $AM=DM$ nên bằng nhau (c.c.c) — cùng kết luận với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm công thức tường minh $AM=DM=\sqrt{a^2+b^2}$, hữu ích nếu đề bài hỏi thêm độ dài $AM$.