Chương IV. Tam giác bằng nhau

Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang68–70 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.41★Trang 68— Nhận diện tam giác cân từ dấu hiệu cạnh bằng nhau hoặc góc bằng nhau

Bài 4.41 (trang 68). Trong những tam giác dưới đây (H.4.46): tam giác

A B C

có

A B = A C

; tam giác

D E F

có

D = 7 0^{\circ}

E = 5 0^{\circ}

; tam giác

M N P

có

N = P = 5 0^{\circ}

; tam giác

K G H

có

G = H = 7 0^{\circ}

. Tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tam giác có hai góc bằng nhau thì cân (và ngược lại).
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tam giác cho bốn kiểu dữ kiện khác nhau: một cho sẵn hai cạnh bằng nhau, một cho hai góc rời nhau (phải tính góc còn lại rồi so sánh cả ba góc), hai tam giác còn lại cho sẵn hai góc bằng nhau trực tiếp. Bẫy là quên tính góc thứ ba của

△ D E F

trước khi kết luận, dễ vội cho rằng đề không cho đủ nên không cân.

1Cách 1. Xét từng tam giác theo đúng dấu hiệu cạnh hoặc góc

Định hướng. Với tam giác cho cạnh thì so cạnh, với tam giác cho góc thì so góc (sau khi tính đủ ba góc nếu cần).

△ A B C

có

A B = A C

nên cân tại

A

△ D E F

F = 18 0^{\circ} - D - E = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

; ba góc

7 0^{\circ}, 5 0^{\circ}, 6 0^{\circ}

đôi một khác nhau nên không cân

△ M N P

có

N = P = 5 0^{\circ}

nên cân tại

M

△ K G H

có

G = H = 7 0^{\circ}

nên cân tại

K

Vậy $△ A B C$ cân tại $A$ ; $△ D E F$ không cân; $△ M N P$ cân tại $M$ ; $△ K G H$ cân tại $K$ .

2Cách 2. Quy mọi dữ kiện về cùng một loại (góc) rồi so sánh

Định hướng. Riêng với ΔABC đã cho cạnh, suy luôn ra hai góc đáy bằng nhau để so sánh thống nhất trên cùng tiêu chí góc với ba tam giác còn lại.

△ A B C

A B = A C

nên

B = C

(hai góc đáy tam giác cân) — cân tại

A

△ D E F

: ba góc

7 0^{\circ}

5 0^{\circ}

18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

đôi một khác nhau — không cân

△ M N P

: đã có sẵn

N = P

— cân tại

M

△ K G H

: đã có sẵn

G = H

— cân tại

K

Vậy kết luận giống Cách 1: chỉ $△ D E F$ không cân, ba tam giác còn lại đều cân.

Nhận xét. Đưa tất cả về tiêu chí góc giúp so sánh nhất quán, tránh nhầm lẫn giữa hai loại dấu hiệu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét thẳng theo đúng loại dữ kiện đề cho từng tam giác, không mất công quy đổi như Cách 2.

Đáp số. ΔABC cân tại A; ΔDEF không cân; ΔMNP cân tại M; ΔKGH cân tại K.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên tính góc F của ΔDEF trước khi kết luận, hoặc nhầm cho rằng thiếu góc F thì không đủ dữ kiện xét.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc E của ΔDEF từ 50° thành 70° (bằng góc D), tam giác DEF sẽ trở thành tam giác cân tại F.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.42★Trang 68— Tính góc còn lại của tam giác cân khi biết góc ở đáy hoặc góc ở đỉnh

Bài 4.42 (trang 68). Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47): tam giác

A B C

có

A B = A C

B = 6 5^{\circ}

; tam giác

M N P

có

M N = M P

M = 7 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác cho hai kiểu góc khác nhau:

△ A B C

cân tại

A

cho góc đáy

B

(suy ngay góc đáy

C

rồi tính góc đỉnh),

△ M N P

cân tại

M

cho góc đỉnh

M

(phải chia đều phần còn lại cho hai góc đáy

N

P

). Bẫy là áp dụng nhầm công thức chia đôi cho trường hợp biết góc đáy, hoặc quên rằng

18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

là số lẻ nên mỗi góc đáy bằng

52, 5^{\circ}

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất hai góc đáy bằng nhau rồi tổng ba góc

Định hướng. Với $△ A B C$ đã biết góc đáy, suy góc đáy kia rồi trừ khỏi $18 0^{\circ}$ ; với $△ M N P$ đã biết góc đỉnh, lấy phần còn lại chia đôi.

△ A B C

có

A B = A C

nên cân tại

A

C = B = 6 5^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - B - C = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} - 6 5^{\circ} = 5 0^{\circ}

△ M N P

có

M N = M P

nên cân tại

M

N = P

N + P = 18 0^{\circ} - M = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

N = P = 10 5^{\circ} : 2 = 52, 5^{\circ}

Vậy $A = 5 0^{\circ}$ , $C = 6 5^{\circ}$ ; $N = P = 52, 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Lập công thức tổng quát theo góc đáy hoặc góc đỉnh

Định hướng. Đặt biểu thức tổng quát cho tam giác cân để áp dụng nhanh cho cả hai trường hợp.

Tam giác cân có góc đáy

x

thì góc đỉnh bằng

18 0^{\circ} - 2 x

Thay

x = 6 5^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

C = B = 6 5^{\circ}

Tam giác cân có góc đỉnh

y

thì mỗi góc đáy bằng

(18 0^{\circ} - y) : 2

Thay

y = 7 5^{\circ}

N = P = (18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) : 2 = 52, 5^{\circ}

Vậy kết quả giống Cách 1: $A = 5 0^{\circ}$ , $C = 6 5^{\circ}$ , $N = P = 52, 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai công thức tổng quát này dùng lại được cho mọi bài tính góc tam giác cân, không phải nhớ riêng từng bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số trực tiếp, nhanh hơn việc lập công thức tổng quát như Cách 2 khi chỉ có hai tam giác cần tính.

Đáp số. Tam giác ABC: góc A = 50°, góc C = 65°. Tam giác MNP: góc N = góc P = 52,5°.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy 180° trừ đi góc B rồi chia đôi cho tam giác ABC (nhầm sang công thức của trường hợp biết góc đỉnh), hoặc làm tròn 52,5° thành 52° hay 53° ở tam giác MNP.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại: 50° + 65° + 65° = 180° và 75° + 52,5° + 52,5° = 180°. Góc đỉnh 75° làm phần còn lại 105° không chia đôi được thành số nguyên, nên góc đáy là số thập phân 52,5° — đây vẫn là kết quả đúng, không cần làm tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.43★★Trang 69— Chứng minh chiều đảo: hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh đáy bằng nhau thì tam giác cân

Bài 4.43 (trang 69). Tam giác

A B C

có hai đường cao

B E

và

C F

bằng nhau (

E \in A C

F \in A B

B E ⊥ A C

C F ⊥ A B

) (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác

A B C

cân tại

A

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau (và ngược lại).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.44★★★Trang 69— Chứng minh tam giác vuông, tam giác bằng nhau và tam giác cân từ trung điểm cạnh huyền

Bài 4.44 (trang 69). Cho tam giác

A B C

vuông tại đỉnh

A

. Gọi

M

là trung điểm của

B C

và

D

là điểm nằm trên tia đối của tia

M A

sao cho

M D = M A

(H.4.49). Chứng minh rằng:
a)

△ A B D

vuông tại

B

;
b)

△ A B D = △ B A C

;
c) Các tam giác

A M B

A M C

là các tam giác cân tại đỉnh

M

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác; hai tam giác vuông bằng nhau khi có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
Hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song; một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường kia.
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân; tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.45★★Trang 69— Chứng minh hai đoạn thẳng đặc biệt (trung tuyến, phân giác) xuất phát từ hai góc đáy của tam giác cân bằng nhau

Bài 4.45 (trang 69). Cho tam giác

A B C

là tam giác cân đỉnh

A

. Chứng minh rằng:
a) Hai đường trung tuyến

B M

C N

bằng nhau (H.4.50a) (

M

N

lần lượt là trung điểm của

A C

A B

);
b) Hai đường phân giác

B E

C F

bằng nhau (H.4.50b) (

E

thuộc

A C

F

thuộc

A B

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Tính chất tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.46★★★Trang 69— Dùng tam giác vuông bằng nhau để chứng minh tam giác cân, rồi dùng hai tam giác cân có góc đỉnh đối đỉnh để chứng minh song song

Bài 4.46 (trang 69). Cho các điểm

A

B

C

D

E

như Hình 4.51 (trong hình:

A D = B C

A D B = B C A = 9 0^{\circ}

E

là giao điểm của

A C

và

B D

). Chứng minh rằng:
a)

△ A E B

và

△ D E C

là các tam giác cân đỉnh

E

;
b)

A B ∥ C D

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông; trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g).
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân; trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.47★★★Trang 70— Chứng minh tam giác đều từ đường cao đồng thời là đường trung trực

Bài 4.47 (trang 70). Cho tam giác

A B H

vuông tại đỉnh

H

có

A B H = 6 0^{\circ}

. Trên tia đối của tia

H B

lấy điểm

C

sao cho

H B = H C

(H.4.52). Chứng minh rằng tam giác

A B C

là tam giác đều và

H B = \frac{1}{2} A B

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
Đường vuông góc tại trung điểm của một đoạn thẳng là đường trung trực; điểm trên đó cách đều hai mút.
Tam giác cân có một góc bằng $6 0^{\circ}$ thì là tam giác đều.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.48★Trang 70— Nhận diện hình vẽ đúng của đường trung trực theo định nghĩa

Bài 4.48 (trang 70). Đường thẳng

d

trong hình nào dưới đây là đường trung trực của đoạn thẳng

A B

(H.4.53)?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung trực của đoạn thẳng phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện: đi qua trung điểm VÀ vuông góc với đoạn thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.49★★Trang 70— Xét tính đúng sai của các khẳng định liên quan đến tính chất đường trung trực

Bài 4.49 (trang 70). Cho

A

là một điểm tuỳ ý nằm trên đường trung trực

d

của đoạn thẳng

B C

sao cho

A

không thuộc

B C

. Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a)

A B = A C

;
b) Tam giác

A B C

là tam giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.50★★★Trang 70— Vận dụng tổng hợp tính chất đường cao - đường trung trực của tam giác cân

Bài 4.50 (trang 70). Cho tam giác

A B C

cân tại đỉnh

A

có đường cao

A H

. Gọi

M

là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng

A H

sao cho

M

không trùng với

A

(H.4.54). Chứng minh rằng

M B A = M C A

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy (Bài 4.28).
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút.
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗