Chương IV. Tam giác bằng nhau

Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.41★Trang 68— Nhận diện tam giác cân từ dấu hiệu cạnh bằng nhau hoặc góc bằng nhau

Bài 4.41 (trang 68). Trong những tam giác dưới đây (H.4.46): tam giác

A B C

có

A B = A C

; tam giác

D E F

có

D = 7 0^{\circ}

E = 5 0^{\circ}

; tam giác

M N P

có

N = P = 5 0^{\circ}

; tam giác

K G H

có

G = H = 7 0^{\circ}

. Tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tam giác có hai góc bằng nhau thì cân (và ngược lại).
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tam giác cho bốn kiểu dữ kiện khác nhau: một cho sẵn hai cạnh bằng nhau, một cho hai góc rời nhau (phải tính góc còn lại rồi so sánh cả ba góc), hai tam giác còn lại cho sẵn hai góc bằng nhau trực tiếp. Bẫy là quên tính góc thứ ba của

△ D E F

trước khi kết luận, dễ vội cho rằng đề không cho đủ nên không cân.

1Cách 1. Xét từng tam giác theo đúng dấu hiệu cạnh hoặc góc

Định hướng. Với tam giác cho cạnh thì so cạnh, với tam giác cho góc thì so góc (sau khi tính đủ ba góc nếu cần).

△ A B C

có

A B = A C

nên cân tại

A

△ D E F

F = 18 0^{\circ} - D - E = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

; ba góc

7 0^{\circ}, 5 0^{\circ}, 6 0^{\circ}

đôi một khác nhau nên không cân

△ M N P

có

N = P = 5 0^{\circ}

nên cân tại

M

△ K G H

có

G = H = 7 0^{\circ}

nên cân tại

K

Vậy $△ A B C$ cân tại $A$ ; $△ D E F$ không cân; $△ M N P$ cân tại $M$ ; $△ K G H$ cân tại $K$ .

2Cách 2. Quy mọi dữ kiện về cùng một loại (góc) rồi so sánh

Định hướng. Riêng với ΔABC đã cho cạnh, suy luôn ra hai góc đáy bằng nhau để so sánh thống nhất trên cùng tiêu chí góc với ba tam giác còn lại.

△ A B C

A B = A C

nên

B = C

(hai góc đáy tam giác cân) — cân tại

A

△ D E F

: ba góc

7 0^{\circ}

5 0^{\circ}

18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

đôi một khác nhau — không cân

△ M N P

: đã có sẵn

N = P

— cân tại

M

△ K G H

: đã có sẵn

G = H

— cân tại

K

Vậy kết luận giống Cách 1: chỉ $△ D E F$ không cân, ba tam giác còn lại đều cân.

Nhận xét. Đưa tất cả về tiêu chí góc giúp so sánh nhất quán, tránh nhầm lẫn giữa hai loại dấu hiệu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét thẳng theo đúng loại dữ kiện đề cho từng tam giác, không mất công quy đổi như Cách 2.

Đáp số. ΔABC cân tại A; ΔDEF không cân; ΔMNP cân tại M; ΔKGH cân tại K.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên tính góc F của ΔDEF trước khi kết luận, hoặc nhầm cho rằng thiếu góc F thì không đủ dữ kiện xét.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc E của ΔDEF từ 50° thành 70° (bằng góc D), tam giác DEF sẽ trở thành tam giác cân tại F.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.42★Trang 68— Tính góc còn lại của tam giác cân khi biết góc ở đáy hoặc góc ở đỉnh

Bài 4.42 (trang 68). Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47): tam giác

A B C

có

A B = A C

B = 6 5^{\circ}

; tam giác

M N P

có

M N = M P

M = 7 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác cho hai kiểu góc khác nhau:

△ A B C

cân tại

A

cho góc đáy

B

(suy ngay góc đáy

C

rồi tính góc đỉnh),

△ M N P

cân tại

M

cho góc đỉnh

M

(phải chia đều phần còn lại cho hai góc đáy

N

P

). Bẫy là áp dụng nhầm công thức chia đôi cho trường hợp biết góc đáy, hoặc quên rằng

18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

là số lẻ nên mỗi góc đáy bằng

52, 5^{\circ}

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất hai góc đáy bằng nhau rồi tổng ba góc

Định hướng. Với $△ A B C$ đã biết góc đáy, suy góc đáy kia rồi trừ khỏi $18 0^{\circ}$ ; với $△ M N P$ đã biết góc đỉnh, lấy phần còn lại chia đôi.

△ A B C

có

A B = A C

nên cân tại

A

C = B = 6 5^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - B - C = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} - 6 5^{\circ} = 5 0^{\circ}

△ M N P

có

M N = M P

nên cân tại

M

N = P

N + P = 18 0^{\circ} - M = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

N = P = 10 5^{\circ} : 2 = 52, 5^{\circ}

Vậy $A = 5 0^{\circ}$ , $C = 6 5^{\circ}$ ; $N = P = 52, 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Lập công thức tổng quát theo góc đáy hoặc góc đỉnh

Định hướng. Đặt biểu thức tổng quát cho tam giác cân để áp dụng nhanh cho cả hai trường hợp.

Tam giác cân có góc đáy

x

thì góc đỉnh bằng

18 0^{\circ} - 2 x

Thay

x = 6 5^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

C = B = 6 5^{\circ}

Tam giác cân có góc đỉnh

y

thì mỗi góc đáy bằng

(18 0^{\circ} - y) : 2

Thay

y = 7 5^{\circ}

N = P = (18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) : 2 = 52, 5^{\circ}

Vậy kết quả giống Cách 1: $A = 5 0^{\circ}$ , $C = 6 5^{\circ}$ , $N = P = 52, 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai công thức tổng quát này dùng lại được cho mọi bài tính góc tam giác cân, không phải nhớ riêng từng bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số trực tiếp, nhanh hơn việc lập công thức tổng quát như Cách 2 khi chỉ có hai tam giác cần tính.

Đáp số. Tam giác ABC: góc A = 50°, góc C = 65°. Tam giác MNP: góc N = góc P = 52,5°.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy 180° trừ đi góc B rồi chia đôi cho tam giác ABC (nhầm sang công thức của trường hợp biết góc đỉnh), hoặc làm tròn 52,5° thành 52° hay 53° ở tam giác MNP.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại: 50° + 65° + 65° = 180° và 75° + 52,5° + 52,5° = 180°. Góc đỉnh 75° làm phần còn lại 105° không chia đôi được thành số nguyên, nên góc đáy là số thập phân 52,5° — đây vẫn là kết quả đúng, không cần làm tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.43★★Trang 69— Chứng minh chiều đảo: hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh đáy bằng nhau thì tam giác cân

Bài 4.43 (trang 69). Tam giác

A B C

có hai đường cao

B E

và

C F

bằng nhau (

E \in A C

F \in A B

B E ⊥ A C

C F ⊥ A B

) (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác

A B C

cân tại

A

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau (và ngược lại).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

B E = C F

cùng cạnh

B C

chung — đúng bộ dữ kiện của hai tam giác vuông

B F C

C E B

để dùng cạnh huyền - cạnh góc vuông, từ đó suy ra cặp góc đáy bằng nhau. Bẫy là ghép nhầm cặp tam giác (ví dụ ghép

A B E

với

A C F

trong khi chưa biết

A B = A C

) khiến thiếu căn cứ.

1Cách 1. Ghép ΔBFC = ΔCEB rồi suy góc đáy bằng nhau

Định hướng. Dùng cạnh BC chung làm cạnh huyền cho hai tam giác vuông chứa hai đường cao đã cho bằng nhau.

Xét

△ B F C

vuông tại

F

và

△ C E B

vuông tại

E

B C

là cạnh huyền chung,

C F = B E

(giả thiết)
nên

△ B F C = △ C E B

(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra

F B C = E C B

, tức

A B C = A C B

Vậy tam giác $A B C$ có $A B C = A C B$ nên cân tại $A$ .

2Cách 2. Tính diện tích hai cách để suy AB = AC

Định hướng. Diện tích tam giác ABC tính theo hai đáy AB, AC và hai đường cao tương ứng CF, BE phải cho cùng một giá trị.

Diện tích

△ A B C = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C F = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B E

Mà

C F = B E

(giả thiết) nên

\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C F = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C F

Suy ra

A B = A C

(cùng chia cho

\frac{1}{2} C F \neq = 0

)

Vậy $A B = A C$ nên tam giác $A B C$ cân tại $A$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng công thức diện tích thay vì ghép tam giác bằng nhau, ngắn gọn nhưng cần nhớ đúng công thức diện tích theo đáy và đường cao tương ứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng kiến thức tam giác bằng nhau đã học chắc, tránh rủi ro nhớ nhầm công thức diện tích như Cách 2.

Đáp số. Tam giác ABC cân tại A.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép ΔABE với ΔACF ngay từ đầu (cần AB=AC để hai tam giác này bằng nhau) trong khi đó chính là điều cần chứng minh, không phải giả thiết.

🚀 Mở rộng. Đây là chiều đảo của Bài 4.23: hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác cân, và ngược lại tam giác cân thì hai đường cao đó luôn bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.44★★★Trang 69— Chứng minh tam giác vuông, tam giác bằng nhau và tam giác cân từ trung điểm cạnh huyền

Bài 4.44 (trang 69). Cho tam giác

A B C

vuông tại đỉnh

A

. Gọi

M

là trung điểm của

B C

và

D

là điểm nằm trên tia đối của tia

M A

sao cho

M D = M A

(H.4.49). Chứng minh rằng:
a)

△ A B D

vuông tại

B

;
b)

△ A B D = △ B A C

;
c) Các tam giác

A M B

A M C

là các tam giác cân tại đỉnh

M

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác; hai tam giác vuông bằng nhau khi có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
Hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song; một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường kia.
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân; tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

M

là trung điểm chung của hai đoạn

B C

và

A D

(

M B = M C

M A = M D

), nên cặp tam giác đối đỉnh tại

M

là

△ A M C

và

△ D M B

bằng nhau (c.g.c). Từ đó chuyển được góc vuông ở

A

sang góc

A B D

(ý a), có

B D = A C

để ghép

△ A B D

với

△ B A C

(ý b), rồi dùng cặp góc hoặc cặp cạnh tương ứng của ý b để thấy các tam giác

A M B

A M C

cân (ý c). Bẫy là ở ý b ghép sai thứ tự đỉnh: đỉnh

A

của

△ A B D

phải ứng với đỉnh

B

của

△ B A C

1Cách 1. Cộng góc để có góc ABD vuông, rồi dùng cặp góc tương ứng để suy tam giác cân

Định hướng. Ghép $△ A M C = △ D M B$ để chuyển góc $A C B$ sang $D B C$ , cộng với $A B C$ được $9 0^{\circ}$ .

a) Xét

△ A M C

và

△ D M B

M A = M D

(giả thiết),

A M C = D M B

(hai góc đối đỉnh),

M C = M B

(

M

là trung điểm

B C

)
nên

△ A M C = △ D M B

(c.g.c), suy ra

D B M = A C M

và

B D = A C

△ A B C

vuông tại

A

nên

A B C + A C B = 9 0^{\circ}

A B D = A B C + C B D = A B C + A C B = 9 0^{\circ}

, do đó

△ A B D

vuông tại

B

b) Xét

△ A B D

vuông tại

B

và

△ B A C

vuông tại

A

A B

là cạnh chung,

B D = A C

(chứng minh trên)
nên

△ A B D = △ B A C

(hai cạnh góc vuông)
c) Từ

△ A B D = △ B A C

suy ra

B A D = A B C

, tức

M A B = M B A

nên

△ A M B

cân tại

M

, suy ra

M A = M B

Mà

M B = M C

nên

M A = M C

, do đó

△ A M C

cân tại

M

Vậy $△ A B D$ vuông tại $B$ , $△ A B D = △ B A C$ , và hai tam giác $A M B$ , $A M C$ cân tại đỉnh $M$ .

2Cách 2. Chứng minh AC song song BD để suy góc vuông, rồi so sánh MA với nửa BC

Định hướng. Dùng cặp góc so le trong để có $A C ∥ B D$ ; ở ý c dùng $A D = B C$ để so sánh độ dài thay vì so sánh góc.

a) Như Cách 1,

△ A M C = △ D M B

(c.g.c), suy ra

M A C = M D B

và

B D = A C

Hai góc

C A D

B D A

ở vị trí so le trong và bằng nhau nên

A C ∥ B D

Mà

A C ⊥ A B

nên

B D ⊥ A B

, tức

A B D = 9 0^{\circ}

△ A B D

vuông tại

B

b) Xét

△ A B D

và

△ B A C

A B

chung,

A B D = B A C = 9 0^{\circ}

B D = A C

nên

△ A B D = △ B A C

(c.g.c)
c) Từ ý b suy ra

A D = B C

(hai cạnh tương ứng)

M A = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} B C = M B = M C

Tam giác

A M B

có

M A = M B

, tam giác

A M C

có

M A = M C

nên cả hai cân tại

M

Vậy kết quả giống Cách 1: $△ A B D$ vuông tại $B$ , $△ A B D = △ B A C$ , các tam giác $A M B$ , $A M C$ cân tại $M$ .

Nhận xét. Ý c của Cách 2 cho luôn hệ quả quan trọng $A M = \frac{1}{2} B C$ : trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập luận song song ở ý a và so sánh độ dài ở ý c ngắn gọn, lại cho thêm hệ quả AM bằng nửa BC.

Đáp số. a) Tam giác ABD vuông tại B; b) Tam giác ABD bằng tam giác BAC; c) Tam giác AMB và tam giác AMC cân tại M (MA = MB = MC).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết sai thứ tự đỉnh "tam giác ABD = tam giác ABC" ở ý b (đỉnh A phải ứng với đỉnh B), hoặc ở ý c chỉ chứng minh một tam giác cân mà quên suy tiếp tam giác còn lại.

🚀 Mở rộng. Kết quả ý c cho hệ quả: trong tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh, tức đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và có một góc vuông nên là hình chữ nhật (học ở lớp 8).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.45★★Trang 69— Chứng minh hai đoạn thẳng đặc biệt (trung tuyến, phân giác) xuất phát từ hai góc đáy của tam giác cân bằng nhau

Bài 4.45 (trang 69). Cho tam giác

A B C

là tam giác cân đỉnh

A

. Chứng minh rằng:
a) Hai đường trung tuyến

B M

C N

bằng nhau (H.4.50a) (

M

N

lần lượt là trung điểm của

A C

A B

);
b) Hai đường phân giác

B E

C F

bằng nhau (H.4.50b) (

E

thuộc

A C

F

thuộc

A B

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Tính chất tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều có chung một khuôn:

A B = A C

(cân),

B = C

(góc đáy), và một cặp đoạn bằng nhau xuất phát từ tính đối xứng của

M, N

(trung điểm) hay

E, F

(chân phân giác). Nhìn ra sự đối xứng này giúp ghép ngay

△ A B M

với

△ A C N

(ý a) hoặc

△ A B E

với

△ A C F

(ý b) theo c.g.c mà không cần dựng thêm đường phụ. Bẫy hay gặp là quên chỉ ra

A M = A N

(ý a) hay

A B E = A C F

(ý b) trước khi ghép, vì đó là yếu tố suy ra chứ không có sẵn trong đề.

1Cách 1. Ghép trực tiếp cặp tam giác chứa BM, CN (ý a) và BE, CF (ý b) bằng c.g.c

Định hướng. Cả hai ý đều ghép một tam giác chứa cạnh cần so sánh với tam giác đối xứng của nó qua trục cân, dùng chung góc A.

N

M

lần lượt là trung điểm

A B

A C

nên

A N = \frac{1}{2} A B

A M = \frac{1}{2} A C

; mà

A B = A C

(giả thiết cân) nên

A N = A M

Xét

△ A B M

và

△ A C N

A B = A C

(giả thiết),

A

là góc chung,

A M = A N

(chứng minh trên)
nên

△ A B M = △ A C N

(c.g.c), suy ra

B M = C N

B E

C F

là phân giác góc

B

, góc

C

nên

A B E = \frac{1}{2} B

A C F = \frac{1}{2} C

; mà

B = C

(tam giác cân) nên

A B E = A C F

Xét

△ A B E

và

△ A C F

A B = A C

(giả thiết),

A

chung,

A B E = A C F

(chứng minh trên)
nên

△ A B E = △ A C F

(g.c.g), suy ra

B E = C F

Vậy $B M = C N$ (ý a) và $B E = C F$ (ý b).

2Cách 2. Ghép hai tam giác có chung cạnh đáy BC (c.g.c ở ý a, g.c.g ở ý b)

Định hướng. Xuất phát từ hai tam giác BMC, CNB có sẵn cạnh BC chung để ghép, thay vì ghép qua đỉnh A như Cách 1.

a) Xét

△ B M C

và

△ C N B

B C

là cạnh chung;

M C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A B = N B

;

M C B = A C B = A B C = N B C

(tam giác cân)
nên

△ B M C = △ C N B

(c.g.c), suy ra

B M = C N

b) Xét

△ B E C

và

△ C F B

B C

là cạnh chung;

E B C = \frac{1}{2} B = \frac{1}{2} C = F C B

;

E C B = A C B = A B C = F B C

nên

△ B E C = △ C F B

(g.c.g), suy ra

B E = C F

Vậy kết quả giống Cách 1: $B M = C N$ và $B E = C F$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng cạnh đáy BC chung thay vì góc ở đỉnh A chung — hữu ích khi bài chỉ cho dữ kiện về cạnh đáy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép qua đỉnh A chung, tự nhiên và ngắn hơn vì đề đã cho sẵn tam giác cân tại A.

Đáp số. a) BM = CN; b) BE = CF.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở ý b) là quên chứng minh góc ABE = góc ACF trước khi ghép g.c.g, chỉ dừng lại ở nhận xét 'BE, CF đối xứng nhau' mà không viết rõ căn cứ.

🚀 Mở rộng. Cả hai kết quả đều là biểu hiện của tính đối xứng qua trục cân của tam giác ABC: mọi cặp đoạn thẳng đặc biệt (trung tuyến, phân giác, đường cao) xuất phát đối xứng từ B và C đều bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.46★★★Trang 69— Dùng tam giác vuông bằng nhau để chứng minh tam giác cân, rồi dùng hai tam giác cân có góc đỉnh đối đỉnh để chứng minh song song

Bài 4.46 (trang 69). Cho các điểm

A

B

C

D

E

như Hình 4.51 (trong hình:

A D = B C

A D B = B C A = 9 0^{\circ}

E

là giao điểm của

A C

và

B D

). Chứng minh rằng:
a)

△ A E B

và

△ D E C

là các tam giác cân đỉnh

E

;
b)

A B ∥ C D

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông; trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g).
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân; trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho hai tam giác vuông

A D B

(vuông tại

D

) và

B C A

(vuông tại

C

) có chung cạnh huyền

A B

và

A D = B C

: đúng dữ kiện cạnh huyền - cạnh góc vuông, từ đó có

D B A = C A B

nên

△ E A B

cân; tiếp tục ghép

△ A D E

với

△ B C E

để có

E D = E C

. Ý b: hai tam giác cân

E A B

E D C

có góc ở đỉnh đối đỉnh nên góc ở đáy bằng nhau, tạo cặp góc so le trong. Bẫy là coi

E A = E B

E D = E C

là giả thiết — thực ra hình chỉ cho

A D = B C

và hai góc vuông.

1Cách 1. Cạnh huyền - cạnh góc vuông hai lần, rồi so sánh góc đáy hai tam giác cân

Định hướng. Ghép hai tam giác vuông chung cạnh huyền $A B$ để có hai góc đáy bằng nhau của $△ E A B$ .

a) Xét

△ A D B

vuông tại

D

và

△ B C A

vuông tại

C

A B

là cạnh huyền chung,

A D = B C

(giả thiết)
nên

△ A D B = △ B C A

(cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra

D B A = C A B

, tức

E B A = E A B

Do đó

△ E A B

cân tại

E

, suy ra

E A = E B

Xét

△ A D E

vuông tại

D

và

△ B C E

vuông tại

C

E A = E B

(cạnh huyền),

A D = B C

(giả thiết)
nên

△ A D E = △ B C E

(cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra

E D = E C

△ E D C

cân tại

E

b) Trong

△ E A B

cân tại

E

E B A = \frac{18 0 ^{\circ} - A E B}{2}

Trong

△ E D C

cân tại

E

E D C = \frac{18 0 ^{\circ} - D E C}{2}

Mà

A E B = D E C

(hai góc đối đỉnh) nên

E B A = E D C

, tức

D B A = B D C

Hai góc này ở vị trí so le trong nên

A B ∥ C D

Vậy $△ A E B$ , $△ D E C$ cân tại đỉnh $E$ và $A B ∥ C D$ .

2Cách 2. Ghép ngay tam giác ADE với tam giác BCE (g.c.g) để có cùng lúc EA = EB và ED = EC

Định hướng. Hai tam giác vuông $A D E$ , $B C E$ có $A D = B C$ và góc ở $E$ đối đỉnh, nên hai góc nhọn kề cạnh $A D$ , $B C$ bằng nhau.

△ A D E

vuông tại

D

D A E = 9 0^{\circ} - A E D

;

△ B C E

vuông tại

C

C B E = 9 0^{\circ} - B E C

Mà

A E D = B E C

(hai góc đối đỉnh) nên

D A E = C B E

Xét

△ A D E

và

△ B C E

A D E = B C E = 9 0^{\circ}

A D = B C

D A E = C B E

nên

△ A D E = △ B C E

(g.c.g), suy ra

E A = E B

và

E D = E C

Vậy

△ A E B

và

△ D E C

cân tại

E

△ E A B

cân tại

E

nên

E A B = \frac{18 0 ^{\circ} - A E B}{2}

;

△ E C D

cân tại

E

nên

E C D = \frac{18 0 ^{\circ} - D E C}{2}

Mà

A E B = D E C

(đối đỉnh) nên

C A B = A C D

Hai góc này ở vị trí so le trong (cát tuyến

A C

) nên

A B ∥ C D

Vậy kết quả giống Cách 1: hai tam giác $A E B$ , $D E C$ cân tại $E$ và $A B ∥ C D$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần ghép một cặp tam giác là có cả hai cặp cạnh bằng nhau, ngắn hơn Cách 1 một bước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một lần ghép tam giác là có đủ EA = EB và ED = EC.

Đáp số. a) Tam giác AEB và tam giác DEC cân tại E (EA = EB, ED = EC); b) AB // CD.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là coi EA = EB, ED = EC là giả thiết đọc từ hình; thực ra hình chỉ cho AD = BC và hai góc vuông tại D, C, nên phải chứng minh qua tam giác vuông bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = BC và hai đường chéo AC = BD (vì EA = EB, EC = ED) — đây là hình thang cân sẽ học ở lớp 8.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.47★★★Trang 70— Chứng minh tam giác đều từ đường cao đồng thời là đường trung trực

Bài 4.47 (trang 70). Cho tam giác

A B H

vuông tại đỉnh

H

có

A B H = 6 0^{\circ}

. Trên tia đối của tia

H B

lấy điểm

C

sao cho

H B = H C

(H.4.52). Chứng minh rằng tam giác

A B C

là tam giác đều và

H B = \frac{1}{2} A B

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.
Đường vuông góc tại trung điểm của một đoạn thẳng là đường trung trực; điểm trên đó cách đều hai mút.
Tam giác cân có một góc bằng $6 0^{\circ}$ thì là tam giác đều.

🧠 Phân tích tư duy

A H

vừa vuông góc

B C

(do

A H B = 9 0^{\circ}

H \in B C

) vừa đi qua trung điểm

B C

(do

H B = H C

) — đúng định nghĩa đường trung trực của

B C

. Từ đó

A B = A C

theo tính chất đường trung trực, và tam giác cân này có sẵn góc đáy

6 0^{\circ}

nên đều. Ý còn lại (

H B = \frac{1}{2} A B

) suy trực tiếp từ tam giác đều vừa có.

1Cách 1. Nhận ra AH là đường trung trực của BC

Định hướng. Ghép hai điều kiện có sẵn (vuông góc tại H, HB=HC) thành đúng định nghĩa đường trung trực để có ngay AB=AC.

A H ⊥ B C

tại

H

(vì

A H B = 9 0^{\circ}

H \in B C

) và

H B = H C

(giả thiết), nên

A H

là đường trung trực của

B C

A

thuộc đường thẳng

A H

nên

A

thuộc đường trung trực của

B C

, suy ra

A B = A C

(tính chất đường trung trực)

△ A B C

cân tại

A

có góc đáy

A B C = 6 0^{\circ}

nên là tam giác đều, suy ra

A B = B C

H

là trung điểm

B C

nên

H B = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} A B

Vậy $△ A B C$ đều và $H B = \frac{1}{2} A B$ .

2Cách 2. Ghép ΔABH = ΔACH bằng hai cạnh góc vuông

Định hướng. Ghép trực tiếp hai tam giác vuông chung cạnh AH thay vì viện dẫn định nghĩa đường trung trực.

Xét

△ A B H

và

△ A C H

vuông tại

H

H B = H C

(giả thiết),

A H

là cạnh chung
nên

△ A B H = △ A C H

(hai cạnh góc vuông), suy ra

A B = A C

△ A B C

cân tại

A

có

A B C = 6 0^{\circ}

nên là tam giác đều
Do đều nên

A B = B C = 2 H B

(vì

H

là trung điểm

B C

), suy ra

H B = \frac{1}{2} A B

Vậy kết quả giống Cách 1: $△ A B C$ đều và $H B = \frac{1}{2} A B$ .

Nhận xét. Cách 2 không cần nhắc tên 'đường trung trực', chỉ thuần tam giác bằng nhau — phù hợp nếu chưa quen thuật ngữ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần kiến thức tam giác bằng nhau cơ bản, tránh nhầm lẫn khi gọi tên đường trung trực như Cách 1.

Đáp số. Tam giác ABC đều; HB = ½AB.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh AB=AC trước, vội dùng luôn góc B=60° để kết luận đều mà chưa chắc tam giác đã cân.

🚀 Mở rộng. Đây là một cách dựng tam giác đều thực hành: chỉ cần một tam giác vuông có góc nhọn 60° rồi lấy đối xứng qua chân đường cao là luôn được tam giác đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.48★Trang 70— Nhận diện hình vẽ đúng của đường trung trực theo định nghĩa

Bài 4.48 (trang 70). Đường thẳng

d

trong hình nào dưới đây là đường trung trực của đoạn thẳng

A B

(H.4.53)?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung trực của đoạn thẳng phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện: đi qua trung điểm VÀ vuông góc với đoạn thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ cần kiểm tra đủ hai điều kiện của định nghĩa cho từng hình:

d

đi qua trung điểm của

A B

(hai nửa có vạch đánh dấu bằng nhau) và

d ⊥ A B

(có kí hiệu góc vuông). Bẫy là dừng lại ngay khi thấy một điều kiện đúng — Hình b) có vạch trung điểm, Hình c) có góc vuông — mà quên kiểm tra điều kiện còn lại.

1Cách 1. Kiểm tra lần lượt cả hai điều kiện cho từng hình

Định hướng. Xét từng hình theo đúng hai tiêu chí của định nghĩa đường trung trực.

Hình a):

d

đi qua trung điểm của

A B

(hai vạch đánh dấu bằng nhau) và có kí hiệu góc vuông,

d ⊥ A B

— đúng cả hai điều kiện
Hình b):

d

đi qua trung điểm của

A B

nhưng tạo với

A B

một góc không vuông — sai
Hình c):

d ⊥ A B

nhưng cắt

A B

tại điểm lệch về phía

A

, không phải trung điểm — sai

Vậy chỉ đường thẳng $d$ ở Hình 4.53a là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

2Cách 2. Loại trừ dần từng hình sai

Định hướng. Loại bỏ lần lượt các hình vi phạm ít nhất một điều kiện, hình còn lại chính là đáp án.

Loại Hình b) vì

d

không vuông góc với

A B

(dù đi qua trung điểm)
Loại Hình c) vì

d

không đi qua trung điểm của

A B

(dù vuông góc)
Chỉ còn Hình a):

d

vừa đi qua trung điểm vừa vuông góc với

A B

Vậy Hình a) là đáp án.

Nhận xét. Cách loại trừ nhanh hơn khi có nhiều phương án và chỉ một phương án đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: loại trừ nhanh khi đề cho nhiều phương án, không cần xét đầy đủ chi tiết như Cách 1.

Đáp số. Chỉ Hình 4.53a: đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn Hình b) chỉ vì thấy vạch đánh dấu trung điểm, hoặc chọn Hình c) chỉ vì thấy kí hiệu góc vuông, mà không kiểm tra đủ hai điều kiện.

🚀 Mở rộng. Muốn vẽ đúng đường trung trực trên giấy kẻ ô: đếm ô để lấy trung điểm của AB rồi kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại điểm đó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực đều cách đều hai đầu mút A và B.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.49★★Trang 70— Xét tính đúng sai của các khẳng định liên quan đến tính chất đường trung trực

Bài 4.49 (trang 70). Cho

A

là một điểm tuỳ ý nằm trên đường trung trực

d

của đoạn thẳng

B C

sao cho

A

không thuộc

B C

. Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a)

A B = A C

;
b) Tam giác

A B C

là tam giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là áp dụng thẳng tính chất đường trung trực vừa học — luôn đúng với MỌI điểm

A

trên

d

. Ý b) dễ gây nhầm vì tam giác

A B C

luôn cân tại

A

nhưng không có gì bắt buộc

B C

cũng phải bằng

A B

— cần một phản ví dụ cụ thể để bác bỏ. Bẫy là ngộ nhận 'cân' và 'đều' là một.

1Cách 1. Dùng tính chất đường trung trực và một phản ví dụ

Định hướng. Ý a dùng thẳng tính chất đã học; ý b cần chỉ ra một trường hợp cụ thể mà tam giác không đều để bác bỏ.

A

thuộc đường trung trực

d

của

B C

nên

A B = A C

(tính chất đường trung trực) — đúng với mọi vị trí của

A

trên

d

b) Chọn

B C = 4 cm

và lấy

A

trên

d

sao cho

A B = A C = 10 cm

(chỉ cần

A B > \frac{B C}{2}

để dựng được

A

); khi đó

A B = A C = 10 cm \neq = B C = 4 cm

, tam giác

A B C

cân tại

A

nhưng không đều

Vậy a) đúng; b) sai (chỉ đúng khi $A$ ở đúng vị trí đặc biệt sao cho $A B = B C$ ).

2Cách 2. Xét theo khoảng cách từ A đến trung điểm O của BC

Định hướng. Dùng tam giác vuông AOB (O là trung điểm BC, giao của d và BC) để thấy AB thay đổi liên tục theo vị trí của A trên d, còn BC thì cố định.

Gọi

O

là giao điểm của

d

và

B C

(

O

là trung điểm

B C

A O ⊥ B C

)
Theo Pythagore:

A B^{2} = A O^{2} + O B^{2}

; khi

A

di chuyển trên

d

thì

A O

thay đổi còn

O B = \frac{B C}{2}

cố định, nên

A B

thay đổi theo

A O

Ba cạnh bằng nhau (

A B = A C = B C

) chỉ xảy ra khi

A O

nhận đúng một giá trị đặc biệt (

A O = \frac{3}{2} B C

), không phải với mọi

A

trên

d

Vậy a) đúng (vì $A B = A C$ luôn đúng do $O$ luôn là trung điểm); b) sai (vì $A B = A C = B C$ chỉ xảy ra ở một vị trí đặc biệt của $A$ ).

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao ý b chỉ đúng ở một trường hợp riêng chứ không phải mọi lúc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu phản ví dụ cụ thể (một bộ số đo) là đủ bác bỏ ý b, nhanh hơn phân tích tổng quát theo AO như Cách 2.

Đáp số. a) Đúng; b) Sai.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nhầm 'tam giác cân' với 'tam giác đều', cho rằng mọi điểm A trên đường trung trực của BC đều tạo thành tam giác đều.

🚀 Mở rộng. Tam giác ABC chỉ đều khi A cách BC một khoảng đúng bằng đường cao của tam giác đều cạnh BC, tức OA = (√3/2)·BC.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.50★★★Trang 70— Vận dụng tổng hợp tính chất đường cao - đường trung trực của tam giác cân

Bài 4.50 (trang 70). Cho tam giác

A B C

cân tại đỉnh

A

có đường cao

A H

. Gọi

M

là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng

A H

sao cho

M

không trùng với

A

(H.4.54). Chứng minh rằng

M B A = M C A

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực của cạnh đáy (Bài 4.28).
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút.
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Theo Bài 4.28, đường cao

A H

của tam giác cân tại

A

chính là đường trung trực của

B C

. Vì

M

nằm trên đường thẳng

A H

nên

M

cũng nằm trên đường trung trực đó, suy ra

M B = M C

. Kết hợp với

A B = A C

(cân) và

A M

chung, hai tam giác

A B M

A C M

bằng nhau theo c.c.c, cho ngay cặp góc cần chứng minh.

1Cách 1. Dùng M thuộc đường trung trực của BC rồi ghép c.c.c

Định hướng. Tận dụng kết quả AH là đường trung trực của BC (đã biết) để có ngay MB = MC cho mọi M trên AH.

A H

là đường trung trực của

B C

(vì tam giác

A B C

cân tại

A

và

A H

là đường cao)

M \in A H

nên

M

thuộc đường trung trực của

B C

, suy ra

M B = M C

Xét

△ A B M

và

△ A C M

A B = A C

(giả thiết cân),

A M

là cạnh chung,

M B = M C

(chứng minh trên)
nên

△ A B M = △ A C M

(c.c.c)

Vậy $M B A = M C A$ (hai góc tương ứng).

2Cách 2. Ghép hai tam giác vuông chứa H trước, rồi cộng hoặc trừ góc

Định hướng. Xét trực tiếp hai tam giác vuông tạo bởi H (không nhắc tên đường trung trực), rồi cộng hoặc trừ với góc đáy đã biết bằng nhau.

Xét

△ A B H

và

△ A C H

vuông tại

H

A B = A C

(giả thiết),

A H

là cạnh chung
nên

△ A B H = △ A C H

(cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra

B H = C H

và

A B H = A C H

Xét

△ M B H

và

△ M C H

vuông tại

H

B H = C H

(chứng minh trên),

M H

là cạnh chung
nên

△ M B H = △ M C H

(hai cạnh góc vuông), suy ra

M B H = M C H

Nếu

M

nằm giữa

A

và

H

(hoặc trên tia đối của tia

H A

) thì

M B A = A B H - M B H

(hoặc

A B H + M B H

), tương tự cho

M C A

với đúng cùng một phép cộng hoặc trừ

Vậy $M B A = M C A$ trong mọi vị trí của $M$ trên đường thẳng $A H$ .

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn và không phải xét nhiều trường hợp vị trí của M như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ngắn gọn và đúng cho MỌI vị trí của M trên đường thẳng AH mà không cần xét riêng từng trường hợp M nằm ở đâu như Cách 2.

Đáp số. góc MBA = góc MCA.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ xét trường hợp M nằm giữa A và H rồi kết luận chung cho mọi vị trí, quên rằng M có thể nằm trên tia đối của tia AH (phía ngoài đoạn AH).

🚀 Mở rộng. Kết quả này đúng cả khi M trùng H (lúc đó góc MBA = góc HBA = góc HCA = góc MCA) và khi M ở rất xa A trên đường thẳng AH theo cả hai phía.

Mở bài này trong app ↗