Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Định hướng. Vì $CA=CB$ nên $C$ thuộc đường trung trực của $AB$; chỉ còn xác định đúng độ cao 5 cm trên đường đó.

Vậy $C$ là giao điểm của đường trung trực $d$ của $AB$ với đường thẳng song song $AB$ và cách $AB$ 5 cm.

Định hướng. Gắn hệ trục toạ độ với $AB$ nằm ngang để tính thẳng toạ độ điểm $C$ rồi kiểm tra lại $CA=CB$.

Vậy $CA=CB=\sqrt{29}\text{ cm}$, đúng với yêu cầu hai mái nghiêng bằng nhau.

Nhận xét. Cách 1 là cách dựng bằng dụng cụ học tập như đề bài yêu cầu; Cách 2 dùng toạ độ chỉ để kiểm tra lại vị trí điểm $C$.

Định hướng. So sánh trực tiếp độ dài các cặp cạnh xuất phát từ $A$ để nhận ra tam giác cân.

Vậy Hình 4.59 có hai tam giác cân: $△ABC$ cân tại $A$ (cạnh bên $AB,AC$, cạnh đáy $BC$, góc ở đỉnh $\widehat{BAC}$, hai góc ở đáy $\widehat{ABC}$, $\widehat{ACB}$) và $△ACD$ cân tại $A$ (cạnh bên $AC,AD$, cạnh đáy $CD$, góc ở đỉnh $\widehat{CAD}$, hai góc ở đáy $\widehat{ACD}$, $\widehat{ADC}$).

Định hướng. Liệt kê hết các tam giác có thể tạo từ bốn điểm rồi loại các tam giác thiếu dữ kiện.

Vậy chỉ có $△ABC$ và $△ACD$ là hai tam giác cân xác định được từ hình vẽ, đều cân tại đỉnh $A$.

Nhận xét. Cách liệt kê đầy đủ giúp chắc chắn không bỏ sót tam giác nào trong hình có nhiều điểm.

Định hướng. Ghép thẳng ba cặp cạnh đã có sẵn bằng nhau vào trường hợp c.c.c.

Vậy $△ABD=△ACD$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng), tức là $\hat{B}=\hat{C}$.

Định hướng. Kẻ thêm đường cao từ $A$ để tạo hai tam giác vuông bằng nhau, từ đó xác định luôn chân đường cao trùng với $D$.

Vậy $△ABD=△ACD$ (chính là $△ABH=△ACH$), suy ra $\hat{B}=\hat{C}$.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn hơn vì đề đã cho sẵn D là trung điểm; Cách 2 hữu ích khi đề chỉ cho tam giác cân mà chưa nêu D.

Định hướng. Dùng tổng ba góc trong từng tam giác nhỏ để so sánh hai góc tại $K$ trước khi ghép g.c.g.

Vậy $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$ (ý a). Xét $△MPK$ và $△NPK$: $\hat{M}=\hat{N}$, $PK$ là cạnh chung, $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$, nên $△MPK=△NPK$ (g.c.g) (ý b). Suy ra $PM=PN$ (hai cạnh tương ứng), nên tam giác $MNP$ cân tại $P$ (ý c).

Định hướng. Dựng thêm đường cao từ $P$ xuống $MN$, chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau rồi chỉ ra đường cao đó chính là tia phân giác $PK$.

Vậy $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}=90^{\circ }$ (ý a); $△MPK=△NPK$ suy từ $△PMH=△PNH$ (ý b); và $PM=PN$ nên tam giác $MNP$ cân tại $P$ (ý c).

Nhận xét. Cách 2 cho thêm một sự thật quan trọng: trong tam giác cân, tia phân giác của góc ở đỉnh cũng chính là đường cao.

Định hướng. Dùng ngay tính chất hai góc đáy tam giác cân bằng nhau rồi tổng ba góc để tính góc còn lại.

Vậy $\hat{D}=\hat{E}=\hat{F}=60^{\circ }$.

Định hướng. Sau khi có ba góc đều $60^{\circ }$, dùng ngay tính chất ngược để suy ba cạnh bằng nhau, khỏi cần dựng thêm đường phụ.

Vậy $DE=4\text{ cm}$; tam giác $DEF$ là tam giác đều.

Nhận xét. Một tam giác cân có một góc đáy bằng $60^{\circ }$ luôn là tam giác đều.

Định hướng. Xét trực tiếp từng ý bằng tính chất hai góc bằng nhau thì cạnh đối diện bằng nhau.

Vậy a) Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều; b) Cả hai trường hợp đều cho ba góc bằng $60^{\circ }$, nên tam giác cân có một góc $60^{\circ }$ luôn là tam giác đều.

Định hướng. Đặt góc đáy bằng biến $x$ để xét đủ cả hai vị trí có thể của góc $60^{\circ }$.

Vậy dù góc $60^{\circ }$ ở vị trí nào, tam giác cân đó vẫn luôn có đủ ba góc $60^{\circ }$, tức là tam giác đều.

Nhận xét. Lập biểu thức tổng quát theo $x$ giúp thấy ngay cả hai trường hợp đều quy về cùng một kết quả.

Định hướng. Dùng tính chất phép đối xứng trục của nếp gấp để suy ra cả hai kết luận cùng lúc.

Vậy a) $O$ là trung điểm của $AB$; b) $d$ vuông góc với $AB$.

Định hướng. Kiểm chứng trực tiếp bằng thước và thước đo góc đúng như hoạt động yêu cầu.

Vậy a) $O$ là trung điểm của $AB$ (vì $OA=OB$); b) $d$ vuông góc với $AB$ (vì góc đo được bằng $90^{\circ }$).

Nhận xét. Cách 1 giải thích vì sao luôn đúng; Cách 2 là cách kiểm chứng bằng dụng cụ đúng như yêu cầu hoạt động.

Định hướng. Kiểm tra lần lượt hai điều kiện của định nghĩa đường trung trực cho từng hình.

Vậy chỉ có Hình a) là đường trung trực đúng của đoạn thẳng $AB$; Hình b), c) đều sai.

Định hướng. Dùng phản ví dụ để chỉ ra vì sao thiếu một điều kiện thì không còn là đường trung trực.

Vậy chỉ Hình a) — vừa vuông góc vừa qua trung điểm — là đường trung trực đúng.

Nhận xét. Hai điều kiện của định nghĩa đường trung trực độc lập với nhau, thiếu một điều kiện là sai ngay.

Định hướng. Dùng lại tính chất đối xứng trục của đường trung trực $d$ vừa xác lập ở HĐ3.

Vậy $AM=BM$ với mọi điểm $M$ trên $d$.

Định hướng. Đo đạc trực tiếp bằng thước có vạch chia đúng như hoạt động yêu cầu.

Vậy kết quả đo cho $AM=BM$, đúng với dự đoán ở Cách 1.

Nhận xét. Kết quả này đúng với MỌI điểm M lấy trên d, không riêng gì một vị trí — đó chính là nội dung của tính chất đường trung trực nêu ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Gọi trung điểm $O$ của $AB$ rồi ghép hai tam giác $OMA$, $OMB$ bằng c.c.c.

Vậy $OM\perp AB$ tại trung điểm $O$ của $AB$, tức là $OM$ là đường trung trực của $AB$, nên $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Định hướng. Thay vì lấy trung điểm trước, dựng thẳng đường vuông góc từ M xuống AB rồi chứng minh nó đi qua đúng trung điểm.

Vậy $MH\perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$, nên đường thẳng $MH$ là đường trung trực của $AB$; do $M$ thuộc đường thẳng đó nên $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Nhận xét. Hai cách đều dùng một tam giác bằng nhau, chỉ khác điểm khởi đầu: Cách 1 xuất phát từ trung điểm, Cách 2 xuất phát từ đường vuông góc.

Định hướng. Dùng ngay tính chất đường trung trực để có $MA=MB$ rồi suy tam giác cân.

Vậy $BM=3\text{ cm}$ và $\widehat{MBA}=60^{\circ }$.

Định hướng. Một tam giác cân có một góc đáy $60^{\circ }$ luôn là tam giác đều (đã biết ở Thử thách nhỏ), nên đọc thẳng kết quả từ tính chất đó.

Vậy $BM=3\text{ cm}$, $\widehat{MBA}=60^{\circ }$ (và thêm $AB=3\text{ cm}$).

Nhận xét. Cách 2 cho biết thêm cả độ dài AB mà Cách 1 không hỏi tới.

Định hướng. Ghép hai tam giác vuông $ABE$, $ACF$ có chung góc $A$ và cạnh huyền bằng nhau.

Vậy $BE=CF$ (hai cạnh tương ứng).

Định hướng. Dùng cạnh $BC$ chung làm cạnh huyền cho hai tam giác vuông khác, cùng với hai góc đáy đã biết bằng nhau.

Vậy $CF=BE$ (hai cạnh tương ứng).

Nhận xét. Cách 1 dùng góc A chung, Cách 2 dùng cạnh BC chung — hai lối ghép tam giác hoàn toàn khác nhau nhưng cùng cho một kết quả.

Định hướng. Ghép ba cặp cạnh $AB=AC$, $BM=CM$, $AM$ chung vào trường hợp c.c.c.

Vậy $AM\perp BC$ tại $M$, và $AM$ là tia phân giác của góc $BAC$ (vì chia góc đó thành hai góc bằng nhau).

Định hướng. Xuất phát từ tia phân giác góc A thay vì từ trung điểm, rồi chỉ ra nó cắt BC đúng tại M.

Vậy $AM\equiv AN$ vừa là tia phân giác góc $BAC$ vừa vuông góc với $BC$ tại $M$.

Nhận xét. Cách 1 xuất phát từ trung điểm (đúng như đề cho), Cách 2 xuất phát từ phân giác rồi suy ngược lại — cả hai đều dùng chung ý tưởng ghép hai tam giác bằng nhau.

Định hướng. Ý a dùng ngay hai cạnh góc vuông; ý b phải dựng thêm điểm đối xứng $D$ vì góc phân giác không xen giữa hai cạnh đã biết.

Vậy cả hai trường hợp đều cho tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Định hướng. Dùng công cụ khác cho từng ý: Pythagore cho ý a (đã có sẵn góc vuông tại M); dựng hai đường vuông góc từ M xuống hai cạnh cho ý b (đã có sẵn góc bằng nhau tại A).

Vậy ý a cho $AB=AC$; ý b cho $\hat{B}=\hat{C}$ nên $AB=AC$ (hai góc đáy bằng nhau thì cân) — cả hai đều kết luận tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Nhận xét. Ý b theo Cách 2 gọn hơn Cách 1 vì không cần dựng điểm đối xứng D.

Định hướng. Dùng Pythagore để loại trừ khả năng cạnh huyền bằng cạnh góc vuông, rồi dùng tổng ba góc cho hai ý còn lại.

Vậy cả ba khẳng định đều đúng.

Định hướng. Thay Pythagore ở ý a bằng lập luận qua độ lớn góc, rồi giải phương trình một ẩn cho ý b, c.

Vậy cả ba khẳng định đều đúng, phù hợp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở công cụ chứng minh cạnh huyền là cạnh lớn nhất: Pythagore (Cách 1) hay quan hệ góc lớn - cạnh lớn (Cách 2).

Định hướng. Đếm số ô lưới từ $A$, $B$ tới từng đường để kiểm tra cả hai điều kiện vuông góc và qua trung điểm.

Vậy đường thẳng $m$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Định hướng. Đặt toạ độ theo đúng các nút lưới để kiểm tra bằng số thay vì đếm bằng mắt.

Vậy đường thẳng $m$ (phương trình $x=3$) là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Nhận xét. Cách 2 cho kết quả chắc chắn tuyệt đối, tránh đếm nhầm ô như Cách 1.

Định hướng. Chỉ còn phải chứng minh $D$ là trung điểm $BC$ bằng cách ghép hai tam giác vuông $ABD$, $ACD$.

Vậy $AD$ vừa vuông góc với $BC$ (đường cao) vừa đi qua trung điểm $D$ của $BC$, nên $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Định hướng. Tam giác cân tại A đã có sẵn một đường vừa vuông góc BC vừa qua trung điểm (theo Bài 4.24); chỉ cần chỉ ra AD trùng với đường đó.

Vậy $D$ là trung điểm của $BC$, nên $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng lại kết quả đã chứng minh ở Bài 4.24 nên rất ngắn gọn.