Chương I. Số hữu tỉ

Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang10–12 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.10★★Trang 10— Điền số hữu tỉ vào hình tháp cộng theo quy tắc ô trên bằng tổng hai ô kề dưới

Điền các số hữu tỉ thích hợp vào ô trống trong hình tháp dưới đây, biết rằng mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số trong hai ô kề nó ở hàng dưới.

Kiến thức cần nhớ

Mỗi ô ở hàng trên bằng tổng hai ô liền kề ở hàng dưới; nếu biết tổng và một số hạng thì số hạng còn lại bằng tổng trừ đi số hạng đã biết.
Muốn cộng (trừ) hai số hữu tỉ khác mẫu, quy đồng mẫu số dương rồi cộng (trừ) tử số, giữ nguyên mẫu.
Tháp cộng 5 tầng có đỉnh bằng tổng 5 số đáy nhân hệ số tổ hợp Pascal $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Năm ô đã cho nằm rải ở ba tầng khác nhau chứ không dồn hết ở đáy, đó là dấu hiệu phải suy ngược từ một tổng đã biết để tìm số hạng còn thiếu, chứ chưa thể cộng xuôi ngay. Nên bắt đầu từ hai ô tầng bốn đã biết sẵn một số hạng đáy để trừ ngược ra số hạng kia trước, sau đó mới cộng xuôi lên các tầng còn lại. Bẫy dễ gặp là trừ ngược một số âm mà quên đổi dấu, hoặc cộng nhầm hai ô không liền kề nhau.

1Cách 1. Trừ ngược tìm số hạng đáy còn thiếu, rồi cộng xuôi lên đỉnh

Ô tầng bốn $\frac{1}{4}$ và $- \frac{1}{12}$ đã có sẵn một số hạng đáy, nên trừ ngược để tìm số hạng đáy còn thiếu trước; sau khi đáy đủ 5 số thì cộng xuôi lên các tầng còn lại như quy tắc đề cho.

Ô đáy thứ nhất:

\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}

Ô tầng bốn thứ hai:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{6} + (- \frac{2}{6}) = \frac{1}{6}

Ô đáy thứ tư:

- \frac{1}{12} - (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Ô tầng bốn thứ tư:

- \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Ô đáy thứ năm:

- \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

Tầng ba thứ nhất:

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Tầng ba thứ hai:

\frac{1}{6} + (- \frac{1}{12}) = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}

Tầng hai thứ nhất:

\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Tầng hai thứ hai:

\frac{1}{12} + (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{12} - \frac{4}{12} = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Đỉnh:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Vậy đáy (trái sang phải) là $- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}$ ; tầng bốn là $\frac{1}{4}; \frac{1}{6}; - \frac{1}{12}; - \frac{1}{4}$ ; tầng ba là $\frac{5}{12}; \frac{1}{12}; - \frac{1}{3}$ ; tầng hai là $\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}$ ; đỉnh là $\frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn cho ba ô đáy còn thiếu rồi lập phương trình

Gọi ba ô đáy còn thiếu lần lượt là $x, y, z$ (từ trái, ở vị trí 1, 4, 5), lập phương trình dựa vào các ô tầng trên đã biết rồi giải từng phương trình một.

Ô đáy 1:

x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

nên

x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

Ô đáy 4:

- \frac{1}{3} + y = - \frac{1}{12}

nên

y = - \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1}{4}

Tầng bốn ô cuối:

- \frac{1}{3} + (- \frac{1}{12}) = - \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = - \frac{5}{12}

, mà đề đã có

- \frac{1}{3}

ở tầng ba là tổng của

- \frac{1}{12}

và ô tầng bốn cuối, nên ô tầng bốn cuối

= - \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Ô đáy 5:

y + z = - \frac{1}{4}

nên

z = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

Các tầng còn lại cộng xuôi: tầng ba

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}

;

\frac{1}{6} + (- \frac{1}{12}) = \frac{1}{12}

Tầng hai:

\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}

;

\frac{1}{12} + (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{4}

Đỉnh:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}

Vậy $x = - \frac{1}{4}$ , $y = \frac{1}{4}$ , $z = - \frac{1}{2}$ , khớp hoàn toàn với Cách 1.

3Cách 3. Dùng hệ số tổ hợp Pascal 1-4-6-4-1 để kiểm tra thẳng ô đỉnh

Với tháp cộng 4 lần liên tiếp (5 tầng), ô đỉnh luôn bằng tổng 5 số đáy nhân hệ số $1; 4; 6; 4; 1$ (hệ số hàng thứ 4 của tam giác Pascal), nên sau khi đã có đủ 5 số đáy có thể tính thẳng đỉnh mà không cần cộng qua từng tầng trung gian.

Năm số đáy (đã tìm được như hai cách trên):

- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}

Đỉnh

= 1 \cdot (- \frac{1}{4}) + 4 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot (- \frac{1}{3}) + 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot (- \frac{1}{2})

= - \frac{1}{4} + 2 - 2 + 1 - \frac{1}{2}

= (- \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) + (2 - 2 + 1)

= - \frac{3}{4} + 1

= \frac{1}{4}

Vậy ô đỉnh bằng $\frac{1}{4}$ , khớp với hai cách cộng tuần tự từng tầng ở trên.

Nhận xét. Công thức hệ số Pascal chỉ giúp kiểm tra nhanh ô đỉnh; các ô tầng giữa vẫn phải cộng tuần tự như Cách 1 mới điền đủ cả bảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đi thẳng từ dữ kiện đề theo đúng thứ tự tự nhiên (trừ ngược rồi cộng xuôi), không mất công đặt thêm ẩn như Cách 2; Cách 3 chỉ nên dùng để dò lại đáp số ô đỉnh khi còn thời gian.

Đáp số. Đáy:

- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}

. Tầng bốn:

\frac{1}{4}; \frac{1}{6}; - \frac{1}{12}; - \frac{1}{4}

. Tầng ba:

\frac{5}{12}; \frac{1}{12}; - \frac{1}{3}

. Tầng hai:

\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}

. Đỉnh:

\frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy ô tầng bốn

- \frac{1}{12}

và ô tầng ba

- \frac{1}{3}

liền kề bên phải liền cộng luôn hai số này để ra ô tầng bốn còn thiếu, trong khi

- \frac{1}{3}

là TỔNG của

- \frac{1}{12}

với ô đó chứ không phải một số hạng cùng cấp — phải trừ ngược

- \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{1}{4}

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với tháp cộng

n

tầng (đáy

n

số), ô đỉnh luôn bằng tổng

n

số đáy nhân hệ số tổ hợp

(0 n - 1); (1 n - 1); \dots; (n - 1 n - 1)

của tam giác Pascal.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.11★★Trang 11— Tìm phép tính (nhân hoặc chia) còn thiếu trong bảng ô chữ số học

Điền số hoặc dấu thích hợp vào ô trống trong bảng dưới đây (hình vẽ), biết theo cả hàng ngang lẫn cột dọc, ba ô nối liền nhau (bỏ qua các ô đã đánh dấu X) tạo thành một phép nhân hoặc phép chia đúng của hai số hữu tỉ.

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai số hữu tỉ: lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.
Chia hai số hữu tỉ: lấy số thứ nhất nhân với nghịch đảo của số thứ hai.
Nhân với một số có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1 luôn cho kết quả lớn hơn về giá trị tuyệt đối; chia thì ngược lại.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng có dạng ô chữ số học

5 \times 5

, các ô nằm giữa hai ô toán tử liên tiếp bị đánh dấu X vì không tạo thành phép tính nào, chỉ còn đúng một ô toán tử thật sự bị bỏ trống ở cột cuối. Dấu hiệu để tìm ô đó là cột này đã có sẵn hai số

- \frac{1}{8}

và

16

cùng kết quả

- \frac{1}{128}

, nên chỉ cần xác định phép tính nào biến

- \frac{1}{8}

và

16

thành

- \frac{1}{128}

. Bẫy dễ gặp là thấy

16

lớn nên vội đoán phép nhân, trong khi kết quả lại NHỎ hơn nhiều so với

- \frac{1}{8}

— dấu hiệu đặc trưng của phép chia.

1Cách 1. Thử trực tiếp cả hai phép tính rồi đối chiếu kết quả đã cho

Thử lần lượt phép nhân rồi phép chia giữa $- \frac{1}{8}$ và $16$ , đối chiếu với kết quả $- \frac{1}{128}$ đã in sẵn trong bảng để chọn đúng phép tính.

Thử nhân:

- \frac{1}{8} \times 16 = - 2

, không khớp

- \frac{1}{128}

Thử chia:

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{8} \times \frac{1}{16} = - \frac{1}{128}

, khớp đúng kết quả đã cho

Kiểm tra lại hai cột đã biết:

- \frac{1}{32} : (- 8) = \frac{1}{256}

;

4 \times (- \frac{1}{2}) = - 2

, cả bảng đều đúng

Vậy ô trống là dấu chia $:$ , vì $- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}$ .

2Cách 2. Suy luận theo độ lớn để loại ngay phép nhân

So sánh độ lớn giữa số đã cho và kết quả: nếu là phép nhân với $16$ thì kết quả phải LỚN hơn $- \frac{1}{8}$ về giá trị tuyệt đối, còn kết quả $- \frac{1}{128}$ lại NHỎ hơn rất nhiều, nên phép tính chỉ có thể là phép chia.

Nếu nhân:

- \frac{1}{8} \times 16 = 2

, lớn hơn

- \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

— không thể ra

- \frac{1}{128}

vì

\frac{1}{128}

nhỏ hơn

\frac{1}{8}

Chia cho

16

thì giá trị tuyệt đối phải giảm đúng

16

lần:

\frac{1}{8} : 16 = \frac{1}{128}

, khớp với

- \frac{1}{128}

Xét dấu: âm chia cho dương ra thương âm, đúng bằng

- \frac{1}{128}

Vậy ô trống phải là dấu chia $:$ , không thể là dấu nhân.

3Cách 3. Đối chiếu quy luật của hai cột đã biết đầy đủ

Hai cột đã có sẵn đầy đủ số liệu đều nối số ở hàng trên với số ở hàng giữa bằng đúng MỘT phép tính để ra số ở hàng dưới; áp dụng thử cách nối tương tự cho cột còn thiếu.

Cột thứ nhất:

- \frac{1}{32} : (- 8) = \frac{1}{256}

— dùng phép chia

Cột thứ ba:

4 \times (- \frac{1}{2}) = - 2

— dùng phép nhân

Cột cuối cần nối

- \frac{1}{8}

với

16

- \frac{1}{128}

; thử theo đúng cấu trúc cột thứ nhất:

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}

, khớp đúng

Vậy ô trống ở cột cuối là dấu chia $:$ , cùng loại phép tính với cột thứ nhất.

Nhận xét. Bảng này không có quy luật cố định phép tính theo cột (cột 1 chia, cột 3 nhân), nên vẫn phải tính thử để chọn đúng phép tính chứ không thể suy diễn máy móc theo vị trí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần so sánh độ lớn (nhân với 16 phải cho kết quả lớn hơn, nhưng đề cho kết quả nhỏ hơn) là loại ngay phép nhân mà không cần tính cả hai phép rồi so sánh như Cách 1.

Đáp số. Ô trống là dấu chia

:

, vì

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

16

là số lớn nên điền luôn dấu nhân, ra

- \frac{1}{8} \times 16 = - 2

— sai vì

- 2

không khớp với

- \frac{1}{128}

đã in sẵn trong bảng; phải chọn đúng phép chia mới khớp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong một bảng ô chữ số học, muốn xác định phép tính còn thiếu giữa hai số đã biết, luôn đối chiếu với ĐÁP SỐ đã in sẵn ở cuối hàng hay cột đó, không đoán theo cảm tính độ lớn của số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.12★★Trang 11— So sánh hai cách tính tổng chứa thừa số chung, chọn cách tính hợp lí hơn

Với bài tập: Tính tổng

A = - 5, 2 \times 72 + 69, 1 + 5, 2 \times (- 28) + (- 1, 1)

, hai bạn Vuông và Tròn đã làm như sau. Bạn Vuông:

A = - 374, 4 + 69, 1 + (- 145, 6) + (- 1, 1) = (- 305, 3) + (- 145, 6) + (- 1, 1) = (- 450, 9) + (- 1, 1) = - 452

. Bạn Tròn:

A = [(- 5, 2) \times 72 + (- 5, 2) \times 28] + (69, 1 - 1, 1) = (- 5, 2) \times (72 + 28) + 68 = (- 5, 2) \times 100 + 68 = (- 520) + 68 = - 452

. a) Em hãy giải thích cách làm của mỗi bạn. b) Theo em, nên làm theo cách nào?

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ .
Tính chất giao hoán, kết hợp giúp gộp các số hạng có cùng thừa số trước khi nhân.
Nhân với số tròn chục, tròn trăm luôn nhanh và ít sai sót hơn nhân với số thập phân lẻ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.13★★Trang 11— Tính hợp lí bằng tính chất phân phối khi có thừa số hoặc số chia chung

Tính bằng cách hợp lí giá trị của các biểu thức: a)

A = (- \frac{1}{5} + \frac{3}{7}) : \frac{5}{4} + (- \frac{4}{5} + \frac{4}{7}) : \frac{5}{4}

; b)

B = 2022, 2021 \cdot 1954, 1945 + 2022, 2021 \cdot (- 1954, 1945)

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ , áp dụng được cả khi $b, c$ là số hữu tỉ hoặc số thập phân.
Chia cho một số hữu tỉ bằng nhân với nghịch đảo của số đó: $x : \frac{5}{4} = x \cdot \frac{4}{5}$ .
Một số cộng với số đối của chính nó luôn bằng $0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.14★★★Trang 11— Đặt dấu ngoặc để thay đổi kết quả của một dãy tính cộng trừ số thập phân

Đặt một cặp dấu ngoặc “( )” vào biểu thức ở vế trái để được kết quả đúng bằng vế phải: a)

2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6 = 6, 6

; b)

2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6 = - 6, 6

Kiến thức cần nhớ

Khi có dấu trừ đứng trước một cặp dấu ngoặc, các số hạng trong ngoặc (trừ số hạng đầu) đổi dấu khi bỏ ngoặc: $a - (b + c - d) = a - b - c + d$ .
Tổng ban đầu (không đặt ngoặc) là mốc để so sánh độ lệch cần tạo ra bằng cách đặt ngoặc.
Đặt ngoặc chỉ đổi dấu các số hạng bên trong, không thay đổi giá trị tuyệt đối của từng số hạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.15★Trang 12— Nhân hỗn số với số thập phân trong bài toán tỉ lệ độ dài

Chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ (Giant hummingbird of South America) là loại chim ruồi to nhất thế giới. Nó dài gấp

4 \frac{1}{8}

lần chim ruồi ong (bee hummingbird). Nếu độ dài của chim ruồi ong là

5, 5

cm thì độ dài của chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đổi hỗn số ra phân số: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$ .
Muốn nhân hai số hữu tỉ, có thể đổi cùng về phân số hoặc cùng về số thập phân rồi nhân trực tiếp.
Phép nhân phân phối với phép cộng giúp tách hỗn số thành phần nguyên và phần phân số để nhân riêng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.16★Trang 12— Chia số nguyên cho số thập phân trong bài toán mật độ dân số

Mật độ dân số là số người sinh sống trên một đơn vị diện tích. Monaco là một đất nước ở khu vực Tây Âu, nằm ở một eo biển nhỏ phía nam nước Pháp, bên bờ biển Côte d’Azur. Đây là đất nước có mật độ dân số cao nhất thế giới. Monaco có diện tích khoảng

2, 1

km². Năm 2020, ước tính dân số Monaco là

38900

người. Hỏi mật độ dân số trên

1

km² của Monaco khoảng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Mật độ dân số $=$ số dân $:$ diện tích.
Chia một số cho một số thập phân bằng cách đổi số thập phân đó ra phân số rồi nhân với nghịch đảo.
Kết quả mật độ dân số thường được làm tròn đến hàng đơn vị vì đơn vị tính là 'người'.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗