Chương I. Số hữu tỉ

Bài 2. Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

SBT (Sách bài tập) Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.10★★Trang 10— Điền số hữu tỉ vào hình tháp cộng theo quy tắc ô trên bằng tổng hai ô kề dưới

Điền các số hữu tỉ thích hợp vào ô trống trong hình tháp dưới đây, biết rằng mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số trong hai ô kề nó ở hàng dưới.

Kiến thức cần nhớ

Mỗi ô ở hàng trên bằng tổng hai ô liền kề ở hàng dưới; nếu biết tổng và một số hạng thì số hạng còn lại bằng tổng trừ đi số hạng đã biết.
Muốn cộng (trừ) hai số hữu tỉ khác mẫu, quy đồng mẫu số dương rồi cộng (trừ) tử số, giữ nguyên mẫu.
Tháp cộng 5 tầng có đỉnh bằng tổng 5 số đáy nhân hệ số tổ hợp Pascal $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Năm ô đã cho nằm rải ở ba tầng khác nhau chứ không dồn hết ở đáy, đó là dấu hiệu phải suy ngược từ một tổng đã biết để tìm số hạng còn thiếu, chứ chưa thể cộng xuôi ngay. Nên bắt đầu từ hai ô tầng bốn đã biết sẵn một số hạng đáy để trừ ngược ra số hạng kia trước, sau đó mới cộng xuôi lên các tầng còn lại. Bẫy dễ gặp là trừ ngược một số âm mà quên đổi dấu, hoặc cộng nhầm hai ô không liền kề nhau.

1Cách 1. Trừ ngược tìm số hạng đáy còn thiếu, rồi cộng xuôi lên đỉnh

Ô tầng bốn $\frac{1}{4}$ và $- \frac{1}{12}$ đã có sẵn một số hạng đáy, nên trừ ngược để tìm số hạng đáy còn thiếu trước; sau khi đáy đủ 5 số thì cộng xuôi lên các tầng còn lại như quy tắc đề cho.

Ô đáy thứ nhất:

\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}

Ô tầng bốn thứ hai:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{6} + (- \frac{2}{6}) = \frac{1}{6}

Ô đáy thứ tư:

- \frac{1}{12} - (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Ô tầng bốn thứ tư:

- \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Ô đáy thứ năm:

- \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

Tầng ba thứ nhất:

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Tầng ba thứ hai:

\frac{1}{6} + (- \frac{1}{12}) = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}

Tầng hai thứ nhất:

\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Tầng hai thứ hai:

\frac{1}{12} + (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{12} - \frac{4}{12} = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Đỉnh:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Vậy đáy (trái sang phải) là $- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}$ ; tầng bốn là $\frac{1}{4}; \frac{1}{6}; - \frac{1}{12}; - \frac{1}{4}$ ; tầng ba là $\frac{5}{12}; \frac{1}{12}; - \frac{1}{3}$ ; tầng hai là $\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}$ ; đỉnh là $\frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn cho ba ô đáy còn thiếu rồi lập phương trình

Gọi ba ô đáy còn thiếu lần lượt là $x, y, z$ (từ trái, ở vị trí 1, 4, 5), lập phương trình dựa vào các ô tầng trên đã biết rồi giải từng phương trình một.

Ô đáy 1:

x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

nên

x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

Ô đáy 4:

- \frac{1}{3} + y = - \frac{1}{12}

nên

y = - \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1}{4}

Tầng bốn ô cuối:

- \frac{1}{3} + (- \frac{1}{12}) = - \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = - \frac{5}{12}

, mà đề đã có

- \frac{1}{3}

ở tầng ba là tổng của

- \frac{1}{12}

và ô tầng bốn cuối, nên ô tầng bốn cuối

= - \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{3}{12} = - \frac{1}{4}

Ô đáy 5:

y + z = - \frac{1}{4}

nên

z = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

Các tầng còn lại cộng xuôi: tầng ba

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}

;

\frac{1}{6} + (- \frac{1}{12}) = \frac{1}{12}

Tầng hai:

\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}

;

\frac{1}{12} + (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{4}

Đỉnh:

\frac{1}{2} + (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}

Vậy $x = - \frac{1}{4}$ , $y = \frac{1}{4}$ , $z = - \frac{1}{2}$ , khớp hoàn toàn với Cách 1.

3Cách 3. Dùng hệ số tổ hợp Pascal 1-4-6-4-1 để kiểm tra thẳng ô đỉnh

Với tháp cộng 4 lần liên tiếp (5 tầng), ô đỉnh luôn bằng tổng 5 số đáy nhân hệ số $1; 4; 6; 4; 1$ (hệ số hàng thứ 4 của tam giác Pascal), nên sau khi đã có đủ 5 số đáy có thể tính thẳng đỉnh mà không cần cộng qua từng tầng trung gian.

Năm số đáy (đã tìm được như hai cách trên):

- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}

Đỉnh

= 1 \cdot (- \frac{1}{4}) + 4 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot (- \frac{1}{3}) + 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot (- \frac{1}{2})

= - \frac{1}{4} + 2 - 2 + 1 - \frac{1}{2}

= (- \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) + (2 - 2 + 1)

= - \frac{3}{4} + 1

= \frac{1}{4}

Vậy ô đỉnh bằng $\frac{1}{4}$ , khớp với hai cách cộng tuần tự từng tầng ở trên.

Nhận xét. Công thức hệ số Pascal chỉ giúp kiểm tra nhanh ô đỉnh; các ô tầng giữa vẫn phải cộng tuần tự như Cách 1 mới điền đủ cả bảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đi thẳng từ dữ kiện đề theo đúng thứ tự tự nhiên (trừ ngược rồi cộng xuôi), không mất công đặt thêm ẩn như Cách 2; Cách 3 chỉ nên dùng để dò lại đáp số ô đỉnh khi còn thời gian.

Đáp số. Đáy:

- \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{2}

. Tầng bốn:

\frac{1}{4}; \frac{1}{6}; - \frac{1}{12}; - \frac{1}{4}

. Tầng ba:

\frac{5}{12}; \frac{1}{12}; - \frac{1}{3}

. Tầng hai:

\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}

. Đỉnh:

\frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy ô tầng bốn

- \frac{1}{12}

và ô tầng ba

- \frac{1}{3}

liền kề bên phải liền cộng luôn hai số này để ra ô tầng bốn còn thiếu, trong khi

- \frac{1}{3}

là TỔNG của

- \frac{1}{12}

với ô đó chứ không phải một số hạng cùng cấp — phải trừ ngược

- \frac{1}{3} - (- \frac{1}{12}) = - \frac{1}{4}

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với tháp cộng

n

tầng (đáy

n

số), ô đỉnh luôn bằng tổng

n

số đáy nhân hệ số tổ hợp

(0 n - 1); (1 n - 1); \dots; (n - 1 n - 1)

của tam giác Pascal.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.11★★Trang 11— Tìm phép tính (nhân hoặc chia) còn thiếu trong bảng ô chữ số học

Điền số hoặc dấu thích hợp vào ô trống trong bảng dưới đây (hình vẽ), biết theo cả hàng ngang lẫn cột dọc, ba ô nối liền nhau (bỏ qua các ô đã đánh dấu X) tạo thành một phép nhân hoặc phép chia đúng của hai số hữu tỉ.

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai số hữu tỉ: lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.
Chia hai số hữu tỉ: lấy số thứ nhất nhân với nghịch đảo của số thứ hai.
Nhân với một số có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1 luôn cho kết quả lớn hơn về giá trị tuyệt đối; chia thì ngược lại.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng có dạng ô chữ số học

5 \times 5

, các ô nằm giữa hai ô toán tử liên tiếp bị đánh dấu X vì không tạo thành phép tính nào, chỉ còn đúng một ô toán tử thật sự bị bỏ trống ở cột cuối. Dấu hiệu để tìm ô đó là cột này đã có sẵn hai số

- \frac{1}{8}

và

16

cùng kết quả

- \frac{1}{128}

, nên chỉ cần xác định phép tính nào biến

- \frac{1}{8}

và

16

thành

- \frac{1}{128}

. Bẫy dễ gặp là thấy

16

lớn nên vội đoán phép nhân, trong khi kết quả lại NHỎ hơn nhiều so với

- \frac{1}{8}

— dấu hiệu đặc trưng của phép chia.

1Cách 1. Thử trực tiếp cả hai phép tính rồi đối chiếu kết quả đã cho

Thử lần lượt phép nhân rồi phép chia giữa $- \frac{1}{8}$ và $16$ , đối chiếu với kết quả $- \frac{1}{128}$ đã in sẵn trong bảng để chọn đúng phép tính.

Thử nhân:

- \frac{1}{8} \times 16 = - 2

, không khớp

- \frac{1}{128}

Thử chia:

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{8} \times \frac{1}{16} = - \frac{1}{128}

, khớp đúng kết quả đã cho

Kiểm tra lại hai cột đã biết:

- \frac{1}{32} : (- 8) = \frac{1}{256}

;

4 \times (- \frac{1}{2}) = - 2

, cả bảng đều đúng

Vậy ô trống là dấu chia $:$ , vì $- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}$ .

2Cách 2. Suy luận theo độ lớn để loại ngay phép nhân

So sánh độ lớn giữa số đã cho và kết quả: nếu là phép nhân với $16$ thì kết quả phải LỚN hơn $- \frac{1}{8}$ về giá trị tuyệt đối, còn kết quả $- \frac{1}{128}$ lại NHỎ hơn rất nhiều, nên phép tính chỉ có thể là phép chia.

Nếu nhân:

- \frac{1}{8} \times 16 = 2

, lớn hơn

- \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

— không thể ra

- \frac{1}{128}

vì

\frac{1}{128}

nhỏ hơn

\frac{1}{8}

Chia cho

16

thì giá trị tuyệt đối phải giảm đúng

16

lần:

\frac{1}{8} : 16 = \frac{1}{128}

, khớp với

- \frac{1}{128}

Xét dấu: âm chia cho dương ra thương âm, đúng bằng

- \frac{1}{128}

Vậy ô trống phải là dấu chia $:$ , không thể là dấu nhân.

3Cách 3. Đối chiếu quy luật của hai cột đã biết đầy đủ

Hai cột đã có sẵn đầy đủ số liệu đều nối số ở hàng trên với số ở hàng giữa bằng đúng MỘT phép tính để ra số ở hàng dưới; áp dụng thử cách nối tương tự cho cột còn thiếu.

Cột thứ nhất:

- \frac{1}{32} : (- 8) = \frac{1}{256}

— dùng phép chia

Cột thứ ba:

4 \times (- \frac{1}{2}) = - 2

— dùng phép nhân

Cột cuối cần nối

- \frac{1}{8}

với

16

- \frac{1}{128}

; thử theo đúng cấu trúc cột thứ nhất:

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}

, khớp đúng

Vậy ô trống ở cột cuối là dấu chia $:$ , cùng loại phép tính với cột thứ nhất.

Nhận xét. Bảng này không có quy luật cố định phép tính theo cột (cột 1 chia, cột 3 nhân), nên vẫn phải tính thử để chọn đúng phép tính chứ không thể suy diễn máy móc theo vị trí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì chỉ cần so sánh độ lớn (nhân với 16 phải cho kết quả lớn hơn, nhưng đề cho kết quả nhỏ hơn) là loại ngay phép nhân mà không cần tính cả hai phép rồi so sánh như Cách 1.

Đáp số. Ô trống là dấu chia

:

, vì

- \frac{1}{8} : 16 = - \frac{1}{128}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

16

là số lớn nên điền luôn dấu nhân, ra

- \frac{1}{8} \times 16 = - 2

— sai vì

- 2

không khớp với

- \frac{1}{128}

đã in sẵn trong bảng; phải chọn đúng phép chia mới khớp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong một bảng ô chữ số học, muốn xác định phép tính còn thiếu giữa hai số đã biết, luôn đối chiếu với ĐÁP SỐ đã in sẵn ở cuối hàng hay cột đó, không đoán theo cảm tính độ lớn của số.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.12★★Trang 11— So sánh hai cách tính tổng chứa thừa số chung, chọn cách tính hợp lí hơn

Với bài tập: Tính tổng

A = - 5, 2 \times 72 + 69, 1 + 5, 2 \times (- 28) + (- 1, 1)

, hai bạn Vuông và Tròn đã làm như sau. Bạn Vuông:

A = - 374, 4 + 69, 1 + (- 145, 6) + (- 1, 1) = (- 305, 3) + (- 145, 6) + (- 1, 1) = (- 450, 9) + (- 1, 1) = - 452

. Bạn Tròn:

A = [(- 5, 2) \times 72 + (- 5, 2) \times 28] + (69, 1 - 1, 1) = (- 5, 2) \times (72 + 28) + 68 = (- 5, 2) \times 100 + 68 = (- 520) + 68 = - 452

. a) Em hãy giải thích cách làm của mỗi bạn. b) Theo em, nên làm theo cách nào?

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ .
Tính chất giao hoán, kết hợp giúp gộp các số hạng có cùng thừa số trước khi nhân.
Nhân với số tròn chục, tròn trăm luôn nhanh và ít sai sót hơn nhân với số thập phân lẻ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không yêu cầu tính lại từ đầu mà đưa sẵn hai lời giải để so sánh, dấu hiệu là phải đọc hiểu đúng bạn nào dùng tính chất nào rồi mới đánh giá cách nào nhanh hơn, chứ không phải chỉ chấm đúng sai kết quả. Nên đếm số phép nhân số thập phân lẻ mỗi bạn phải thực hiện để có căn cứ khách quan chọn cách hay hơn, thay vì cảm tính. Bẫy là thấy cả hai đều ra

- 452

rồi bỏ qua câu b), trong khi đề vẫn cần chỉ rõ nên dùng cách nào và vì sao.

1Cách 1. Đối chiếu đúng tính chất mỗi bạn đã dùng rồi đếm số bước

Đọc kỹ từng dòng của Vuông và Tròn để xác định đúng tính chất mỗi bạn sử dụng, rồi so sánh số phép nhân số thập phân mỗi bên phải thực hiện.

Vuông: nhân từng cặp trước (

- 5, 2 \times 72 = - 374, 4

và

5, 2 \times (- 28) = - 145, 6

) rồi mới cộng bốn số hạng theo đúng thứ tự đề cho

Tròn: nhóm

- 5, 2 \times 72

và

- 5, 2 \times 28

bằng tính chất phân phối thành

- 5, 2 \times (72 + 28) = - 5, 2 \times 100

, đồng thời gộp

69, 1 + (- 1, 1) = 68

Vuông phải nhân hai số thập phân lẻ rồi cộng bốn số thập phân lẻ; Tròn chỉ nhân với số tròn trăm

100

và cộng với số nguyên

68

Vậy a) Vuông tính tuần tự theo đúng thứ tự phép tính; Tròn dùng tính chất phân phối để nhóm nhân tử chung $- 5, 2$ và gộp $69, 1 + (- 1, 1) = 68$ . b) Nên làm theo cách của Tròn vì nhân với số tròn trăm ít bước và ít sai số hơn.

2Cách 2. Tính độc lập theo một cách nhóm thứ ba để kiểm chứng

Tự tính lại $A$ theo một cách nhóm khác — gộp $69, 1$ và $- 1, 1$ trước, giữ nguyên phần nhân — để kiểm tra cả hai bạn đều đúng và có thêm căn cứ so sánh tốc độ.

A = - 5, 2 \times 72 + 5, 2 \times (- 28) + [69, 1 + (- 1, 1)]

= - 5, 2 \times 72 - 5, 2 \times 28 + 68

= - 5, 2 \times (72 + 28) + 68

= - 5, 2 \times 100 + 68

= - 520 + 68

= - 452

Vậy cách nhóm độc lập này cũng ra $- 452$ và đi đúng theo hướng của Tròn, xác nhận Tròn đúng và nhanh; Vuông cũng ra đúng $- 452$ nhưng qua nhiều phép nhân số thập phân lẻ hơn.

3Cách 3. Bấm máy tính cầm tay để kiểm tra rồi đối chiếu thao tác

Bấm trực tiếp biểu thức gốc trên máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả, sau đó xem thao tác bấm máy tối ưu gần với cách làm của bạn nào hơn.

Bấm máy:

(- 5, 2) \times 72 + 69, 1 + 5, 2 \times (- 28) + (- 1, 1) = - 452

Muốn bấm máy nhanh, người bấm thường gộp hai lần bấm nhân cùng thừa số

- 5, 2

thành một lần bấm với

(72 + 28) = 100

, đúng như cách Tròn đã làm bằng tay

Vậy máy tính xác nhận lại $A = - 452$ ; thao tác bấm máy tối ưu cũng trùng với cách nhóm của Tròn.

Nhận xét. Dù tính theo cách nào, kết quả không đổi vì phép cộng và phép nhân số hữu tỉ vẫn tuân theo đúng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối; chọn cách nào chỉ ảnh hưởng tới tốc độ và khả năng sai sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo cách của Tròn (Cách 1) vì tận dụng tính chất phân phối gộp về số tròn trăm, vừa nhanh vừa ít sai số hơn nhân số thập phân lẻ nhiều lần như Vuông.

Đáp số. a) Vuông tính tuần tự theo thứ tự phép tính; Tròn dùng tính chất phân phối và giao hoán để nhóm nhân tử chung. b) Nên làm theo cách của Tròn; cả hai đều cho

A = - 452

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng Vuông làm sai vì các số trung gian 'lẻ' hơn Tròn, nhưng thực chất cả hai đều đúng và cùng ra

- 452

— khác biệt duy nhất là số bước tính và độ dễ sai sót, không phải đúng sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: khi tổng có nhiều số hạng cùng chứa một thừa số chung, luôn nên dùng tính chất phân phối để nhóm thừa số đó lại trước, đưa phép nhân về số tròn chục, tròn trăm rồi mới cộng phần còn lại.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.13★★Trang 11— Tính hợp lí bằng tính chất phân phối khi có thừa số hoặc số chia chung

Tính bằng cách hợp lí giá trị của các biểu thức: a)

A = (- \frac{1}{5} + \frac{3}{7}) : \frac{5}{4} + (- \frac{4}{5} + \frac{4}{7}) : \frac{5}{4}

; b)

B = 2022, 2021 \cdot 1954, 1945 + 2022, 2021 \cdot (- 1954, 1945)

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ , áp dụng được cả khi $b, c$ là số hữu tỉ hoặc số thập phân.
Chia cho một số hữu tỉ bằng nhân với nghịch đảo của số đó: $x : \frac{5}{4} = x \cdot \frac{4}{5}$ .
Một số cộng với số đối của chính nó luôn bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều có cùng một số chia hoặc thừa số lặp lại ở hai số hạng (

\frac{5}{4}

ở câu a,

2022, 2021

ở câu b), đó là dấu hiệu của dạng đặt nhân tử chung bằng tính chất phân phối thay vì tính trực tiếp từng ngoặc. Với câu a nên đưa phép chia về phép nhân với

\frac{4}{5}

trước khi nhóm, vì nhân tử chung chỉ lộ rõ sau khi đổi phép chia. Bẫy của câu b là các số thập phân quá lẻ khiến nhiều bạn cắm đầu nhân trực tiếp mà không nhận ra hai số hạng đối nhau triệt tiêu ngay khi gộp.

1Cách 1. Đổi phép chia thành nhân rồi đặt nhân tử chung

Đổi cả hai phép chia cho $\frac{5}{4}$ thành nhân với $\frac{4}{5}$ , khi đó $\frac{4}{5}$ trở thành nhân tử chung của hai ngoặc; câu b) thừa số $2022, 2021$ đã lặp sẵn nên gộp luôn.

A = (- \frac{1}{5} + \frac{3}{7}) \cdot \frac{4}{5} + (- \frac{4}{5} + \frac{4}{7}) \cdot \frac{4}{5}

= [(- \frac{1}{5} - \frac{4}{5}) + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7})] \cdot \frac{4}{5}

= (- 1 + 1) \cdot \frac{4}{5} = 0 \cdot \frac{4}{5} = 0

B = 2022, 2021 \cdot [1954, 1945 + (- 1954, 1945)]

= 2022, 2021 \cdot 0

= 0

Vậy $A = 0$ và $B = 0$ .

2Cách 2. Tính trực tiếp bằng quy đồng mẫu số trong từng ngoặc

Không nhóm nhân tử chung mà tính trực tiếp: quy đồng trong từng ngoặc trước, đổi phép chia thành nhân rồi cộng hai kết quả để đối chiếu với Cách 1.

- \frac{1}{5} + \frac{3}{7} = - \frac{7}{35} + \frac{15}{35} = \frac{8}{35}

;

\frac{8}{35} : \frac{5}{4} = \frac{8}{35} \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{175}

- \frac{4}{5} + \frac{4}{7} = - \frac{28}{35} + \frac{20}{35} = - \frac{8}{35}

;

- \frac{8}{35} : \frac{5}{4} = - \frac{8}{35} \cdot \frac{4}{5} = - \frac{32}{175}

A = \frac{32}{175} + (- \frac{32}{175}) = 0

1954, 1945

và

- 1954, 1945

là hai số đối nhau, nên

2022, 2021 \times 1954, 1945

và

2022, 2021 \times (- 1954, 1945)

cũng là hai số đối nhau (cùng giá trị tuyệt đối, khác dấu)

B =

(một số)

+

(số đối của chính nó)

= 0

Vậy tính trực tiếp cũng cho $A = 0$ và $B = 0$ , khớp với Cách 1 nhưng câu a) phải quy đồng mẫu số $35$ dài hơn hẳn.

3Cách 3. Dùng tính chất phân phối của phép chia, không đổi sang phép nhân

Với câu a), áp dụng thẳng tính chất $x : \frac{5}{4} + y : \frac{5}{4} = (x + y) : \frac{5}{4}$ mà không cần đổi phép chia thành phép nhân; với câu b), nhận diện ngay hai tích đối nhau để kết luận bằng $0$ mà không cần nhân số nào cả.

A = [(- \frac{1}{5} + \frac{3}{7}) + (- \frac{4}{5} + \frac{4}{7})] : \frac{5}{4}

= [(- \frac{1}{5} - \frac{4}{5}) + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7})] : \frac{5}{4}

= (- 1 + 1) : \frac{5}{4} = 0 : \frac{5}{4} = 0

b) Hai số hạng của

B

chỉ khác nhau ở dấu của thừa số thứ hai (

1954, 1945

và

- 1954, 1945

) nên là hai số đối nhau ngay khi chưa nhân ra số cụ thể

Vậy $A = 0$ (dùng phân phối của phép chia) và $B = 0$ (nhận diện số đối), khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Câu b) không cần nhân ra số cụ thể — chỉ cần thấy hai tích là hai số đối nhau là kết luận được ngay $B = 0$ , nhanh hơn hẳn việc nhân hai số thập phân dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì nhận diện thẳng cấu trúc 'số đối nhau' hoặc 'phân phối của phép chia', tránh mọi phép quy đồng hay nhân số thập phân dài dòng của Cách 2.

Đáp số. a)

A = 0

; b)

B = 0

Sai lầm thường gặp. Có bạn ở câu b) cố nhân ra số cụ thể

2022, 2021 \times 1954, 1945

rồi mới cộng với số đối của nó, vừa mất thời gian vừa dễ sai ở phép nhân số thập phân nhiều chữ số, trong khi chỉ cần nhận ra hai số hạng đối nhau là kết luận ngay

B = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi biểu thức dạng

a \cdot b + a \cdot (- b)

hoặc

x : c + y : c

đều có thể rút gọn ngay bằng tính chất phân phối hoặc nhận diện số đối, không phụ thuộc

a, b, c, x, y

là số nguyên, phân số hay số thập phân.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.14★★★Trang 11— Đặt dấu ngoặc để thay đổi kết quả của một dãy tính cộng trừ số thập phân

Đặt một cặp dấu ngoặc “( )” vào biểu thức ở vế trái để được kết quả đúng bằng vế phải: a)

2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6 = 6, 6

; b)

2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6 = - 6, 6

Kiến thức cần nhớ

Khi có dấu trừ đứng trước một cặp dấu ngoặc, các số hạng trong ngoặc (trừ số hạng đầu) đổi dấu khi bỏ ngoặc: $a - (b + c - d) = a - b - c + d$ .
Tổng ban đầu (không đặt ngoặc) là mốc để so sánh độ lệch cần tạo ra bằng cách đặt ngoặc.
Đặt ngoặc chỉ đổi dấu các số hạng bên trong, không thay đổi giá trị tuyệt đối của từng số hạng.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái của cả hai câu giống hệt nhau và có tổng gốc (không đặt ngoặc) bằng

4, 4

, còn hai vế phải lại khác nhau, đó là dấu hiệu phải tìm đúng cụm số cần đổi dấu để tạo ra đúng độ lệch cần thiết so với

4, 4

. Nên tính trước độ lệch cần tạo ra rồi mới suy luận cặp ngoặc phù hợp, thay vì thử ngẫu nhiên mọi vị trí. Bẫy là đặt dấu ngoặc ngay sau dấu trừ đầu tiên nhưng quên rằng mọi số hạng bên trong ngoặc (trừ số hạng đầu cụm) đều bị đổi dấu, không chỉ một số hạng.

1Cách 1. Tính tổng gốc rồi thử đặt ngoặc để đối chiếu

Tính tổng khi chưa đặt ngoặc để biết mốc so sánh, rồi thử đặt ngoặc ở cụm số hạng liên tiếp từ $3, 3$ và tính lại để đối chiếu với vế phải.

Tổng gốc (không đặt ngoặc):

2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6 = 4, 4

a) Thử đặt ngoặc:

2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5) + 6, 6 = 2, 2 - 2, 2 + 6, 6 = 6, 6

, đúng bằng vế phải

b) Thử đặt ngoặc rộng hơn:

2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6) = 2, 2 - 8, 8 = - 6, 6

, đúng bằng vế phải

Vậy a) $2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5) + 6, 6 = 6, 6$ ; b) $2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6) = - 6, 6$ .

2Cách 2. Suy luận theo quy tắc đổi dấu để định vị ngay cụm cần bọc

Khi bọc ngoặc có dấu trừ phía trước một cụm liên tiếp bắt đầu từ $3, 3$ , số hạng đầu cụm giữ nguyên dấu còn các số hạng sau nó trong cụm bị đổi dấu; tính xem đổi dấu bao nhiêu số hạng thì ra đúng độ lệch cần thiết.

So với tổng gốc

4, 4

: câu a) cần

6, 6

, lệch

+ 2, 2

; câu b) cần

- 6, 6

, lệch

- 11

Bọc

(3, 3 + 4, 4 - 5, 5)

: chỉ có

4, 4

đổi từ

+

thành

-

và

- 5, 5

đổi thành

+ 5, 5

, độ lệch

= - 2 \times 4, 4 + 2 \times 5, 5 = - 8, 8 + 11 = 2, 2

, đúng độ lệch cần cho câu a)

Bọc

(3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6)

: có thêm

6, 6

đổi từ

+

thành

-

, độ lệch

= 2, 2 - 2 \times 6, 6 = 2, 2 - 13, 2 = - 11

, đúng độ lệch cần cho câu b)

Vậy câu a) bọc ngoặc quanh $3, 3 + 4, 4 - 5, 5$ ; câu b) bọc ngoặc quanh $3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Liệt kê các vị trí đặt ngoặc hợp lí rồi loại dần

Liệt kê các cụm liên tiếp có thể bọc ngoặc, bắt đầu từ $3, 3$ hoặc $4, 4$ , tính thử từng cụm rồi loại những cụm không cho đúng vế phải.

Bọc

(3, 3 + 4, 4)

2, 2 - (3, 3 + 4, 4) - 5, 5 + 6, 6 = 2, 2 - 7, 7 - 5, 5 + 6, 6 = - 4, 4

, loại

Bọc

(3, 3 + 4, 4 - 5, 5)

2, 2 - 2, 2 + 6, 6 = 6, 6

, đúng câu a)

Bọc

(4, 4 - 5, 5)

2, 2 - 3, 3 - (4, 4 - 5, 5) + 6, 6 = 2, 2 - 3, 3 + 1, 1 + 6, 6 = 6, 6

, cũng đúng câu a) — thêm một cách đặt ngoặc khác

Bọc

(3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6)

2, 2 - 8, 8 = - 6, 6

, đúng câu b)

Vậy câu a) có thể bọc $(3, 3 + 4, 4 - 5, 5)$ hoặc $(4, 4 - 5, 5)$ đều cho $6, 6$ ; câu b) bọc $(3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6)$ cho $- 6, 6$ .

Nhận xét. Câu a) có nhiều hơn một cách đặt ngoặc cùng cho đúng kết quả, miễn giữ nguyên thứ tự các số hạng ban đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì tính trước độ lệch cần tạo ra rồi suy luận thẳng cụm cần đổi dấu, không phải thử nhiều vị trí như Cách 1 và Cách 3.

Đáp số. a)

2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5) + 6, 6 = 6, 6

(hoặc

2, 2 - 3, 3 - (4, 4 - 5, 5) + 6, 6 = 6, 6

); b)

2, 2 - (3, 3 + 4, 4 - 5, 5 + 6, 6) = - 6, 6

Sai lầm thường gặp. Có bạn đặt ngoặc là

(2, 2 - 3, 3 + 4, 4 - 5, 5) + 6, 6

(bọc luôn từ số hạng đầu) rồi cho rằng đổi được kết quả, nhưng vì không có dấu trừ đứng trước ngoặc nên các số hạng bên trong không đổi dấu, biểu thức vẫn y nguyên

4, 4

, không phải

6, 6

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đặt ngoặc có dấu trừ phía trước một cụm gồm

k

số hạng liên tiếp (trừ số hạng đầu cụm) sẽ đổi dấu đúng

k - 1

số hạng cuối của cụm, làm tổng thay đổi một lượng bằng hai lần tổng các số hạng bị đổi dấu đó.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.15★Trang 12— Nhân hỗn số với số thập phân trong bài toán tỉ lệ độ dài

Chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ (Giant hummingbird of South America) là loại chim ruồi to nhất thế giới. Nó dài gấp

4 \frac{1}{8}

lần chim ruồi ong (bee hummingbird). Nếu độ dài của chim ruồi ong là

5, 5

cm thì độ dài của chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đổi hỗn số ra phân số: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$ .
Muốn nhân hai số hữu tỉ, có thể đổi cùng về phân số hoặc cùng về số thập phân rồi nhân trực tiếp.
Phép nhân phân phối với phép cộng giúp tách hỗn số thành phần nguyên và phần phân số để nhân riêng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ số dưới dạng hỗn số

4 \frac{1}{8}

và độ dài gốc dưới dạng số thập phân

5, 5

cm, dấu hiệu là phải đưa cả hai về CÙNG một dạng trước khi nhân, không thể nhân trực tiếp hỗn số với thập phân. Nên đổi hỗn số ra phân số vì

5, 5 = \frac{11}{2}

cũng là phân số mẫu nhỏ, phép nhân phân số sẽ gọn hơn nhân số thập phân nhiều chữ số. Bẫy là quên đổi hỗn số

4 \frac{1}{8}

thành

\frac{33}{8}

mà nhân nhầm chỉ phần lẻ

\frac{1}{8}

với

5, 5

1Cách 1. Đổi hỗn số ra phân số rồi nhân

Đổi hỗn số $4 \frac{1}{8}$ và số thập phân $5, 5$ đều về phân số, rồi nhân tử với tử, mẫu với mẫu.

4 \frac{1}{8} = \frac{4 \times 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}

;

5, 5 = \frac{55}{10}

Độ dài chim ruồi khổng lồ

= \frac{33}{8} \times \frac{55}{10}

= \frac{33 \times 55}{8 \times 10} = \frac{1815}{80}

= \frac{363}{16}

= 22, 6875

(cm)

Vậy chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ dài $22, 6875$ cm.

2Cách 2. Đổi tất cả về số thập phân rồi nhân trực tiếp

Đổi hỗn số $4 \frac{1}{8}$ ra số thập phân rồi nhân trực tiếp với $5, 5$ .

4 \frac{1}{8} = 4 + \frac{1}{8} = 4 + 0, 125 = 4, 125

Độ dài chim ruồi khổng lồ

= 4, 125 \times 5, 5

= 22, 6875

(cm)

Vậy đổi ra thập phân cũng cho cùng kết quả $22, 6875$ cm như Cách 1.

3Cách 3. Tách phần nguyên và phần phân số rồi nhân phân phối

Tách $4 \frac{1}{8} = 4 + \frac{1}{8}$ , nhân riêng từng phần với $5, 5$ rồi cộng hai kết quả lại, không cần đổi hẳn hỗn số thành một phân số lớn.

4 \frac{1}{8} \times 5, 5 = (4 + \frac{1}{8}) \times 5, 5

= 4 \times 5, 5 + \frac{1}{8} \times 5, 5

= 22 + 0, 6875

= 22, 6875

(cm)

Vậy tách riêng phần nguyên và phần phân số cũng cho đúng $22, 6875$ cm.

Nhận xét. Cách 3 tránh nhân hai số có tử và mẫu lớn như $33 \times 55$ , phù hợp khi hỗn số có phần nguyên nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đổi hẳn về phân số rồi nhân một lần là ra kết quả chính xác tuyệt đối, tránh sai số làm tròn có thể gặp khi nhân số thập phân dài như Cách 2.

Đáp số. Chim ruồi “khổng lồ” Nam Mỹ dài

\frac{363}{16} = 22, 6875

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ tính

4 \times 5, 5 = 22

rồi quên hẳn phần

\frac{1}{8} \times 5, 5 = 0, 6875

của hỗn số, ra đáp số thiếu là

22

cm thay vì

22, 6875

cm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: khi nhân một hỗn số

a \frac{b}{c}

với một số thập phân

d

, luôn có thể chọn đổi cả hai về phân số hoặc đổi cả hai về thập phân — kết quả không đổi, chỉ khác độ phức tạp của phép tính trung gian.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.16★Trang 12— Chia số nguyên cho số thập phân trong bài toán mật độ dân số

Mật độ dân số là số người sinh sống trên một đơn vị diện tích. Monaco là một đất nước ở khu vực Tây Âu, nằm ở một eo biển nhỏ phía nam nước Pháp, bên bờ biển Côte d’Azur. Đây là đất nước có mật độ dân số cao nhất thế giới. Monaco có diện tích khoảng

2, 1

km². Năm 2020, ước tính dân số Monaco là

38900

người. Hỏi mật độ dân số trên

1

km² của Monaco khoảng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Mật độ dân số $=$ số dân $:$ diện tích.
Chia một số cho một số thập phân bằng cách đổi số thập phân đó ra phân số rồi nhân với nghịch đảo.
Kết quả mật độ dân số thường được làm tròn đến hàng đơn vị vì đơn vị tính là 'người'.

🧠 Phân tích tư duy

Mật độ dân số là THƯƠNG của số dân chia cho diện tích, đề đã cho sẵn cả hai đại lượng nên dấu hiệu là chỉ cần thực hiện đúng một phép chia số nguyên cho số thập phân. Nên đổi số chia

2, 1

thành phân số

\frac{21}{10}

để phép chia trở thành phép nhân với nghịch đảo, tránh chia trực tiếp cho số thập phân dễ đặt sai dấu phẩy. Bẫy là lấy nhầm diện tích chia cho dân số thay vì dân số chia cho diện tích.

1Cách 1. Chia trực tiếp bằng số thập phân

Lấy số dân chia trực tiếp cho diện tích bằng phép chia số thập phân.

Mật độ dân số

= 38900 : 2, 1

\approx 18523, 8

(người/km²)

Vậy mật độ dân số của Monaco khoảng $18524$ người/km² (làm tròn đến hàng đơn vị).

2Cách 2. Đổi số chia ra phân số rồi nhân với nghịch đảo

Đổi $2, 1 = \frac{21}{10}$ rồi dùng quy tắc chia phân số: nhân số dân với nghịch đảo của $\frac{21}{10}$ .

Mật độ dân số

= 38900 : \frac{21}{10}

= 38900 \times \frac{10}{21}

= \frac{389 000}{21}

\approx 18523, 8

(người/km²)

Vậy quy về phân số cũng cho cùng kết quả khoảng $18524$ người/km² như Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng bằng nhân thử rồi tinh chỉnh dần

Nhân thử diện tích với một mật độ tròn số để ước lượng khoảng giá trị, rồi tinh chỉnh dần cho gần đúng $38900$ người mà không cần đặt phép chia dài.

Thử mật độ

18000

người/km²:

2, 1 \times 18000 = 37800

, còn thiếu

38900 - 37800 = 1100

người

1100

người ứng với

1100 : 2, 1 \approx 524

người/km² tăng thêm

Mật độ ước lượng

\approx 18000 + 524 = 18524

(người/km²)

Vậy ước lượng bằng cách tinh chỉnh dần cũng cho khoảng $18524$ người/km², khớp với hai cách chia trực tiếp ở trên.

Nhận xét. Vì $38900$ không chia hết cho $2, 1$ nên mọi cách đều phải làm tròn kết quả cuối cùng; đơn vị 'người' luôn làm tròn đến số nguyên gần nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đổi hẳn về phép nhân với phân số nghịch đảo, tránh đặt tính chia cho số thập phân dễ lệch dấu phẩy như Cách 1.

Đáp số. Mật độ dân số của Monaco khoảng

18524

người/km² (số đúng là

\frac{389 000}{21} \approx 18523, 8

người/km²).

Sai lầm thường gặp. Có bạn lấy diện tích chia cho dân số (

2, 1 : 38900

) do nhớ nhầm thứ tự công thức mật độ dân số, ra một số cực nhỏ gần

0

— phải luôn lấy SỐ DÂN chia cho DIỆN TÍCH mới đúng ý nghĩa 'số người trên mỗi km²'.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: công thức mật độ (số lượng chia diện tích, hoặc khối lượng chia thể tích như mật độ vật chất) đều là phép CHIA đại lượng cần đo cho đại lượng không gian chứa nó, không bao giờ chia ngược lại.

Nguồn: SBT Toán 7 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-7-kn/bai-2-cong-tru-nhan-chia-so-huu-ti.jsp · https://loigiaihay.com/bai-2-cong-tru-nhan-chia-so-huu-ti-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-e26724.html