Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.9★Trang 7— Tìm hai số biết tỉ số và tổng, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

\frac{x}{3} = \frac{y}{5}

và

x + y = 16

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$ .
Nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$ thì đặt $x = mk$ , $y = nk$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ thức chứa

x, y

và tổng

x + y

— dấu hiệu ghép tổng đã biết vào dãy tỉ số để tạo ra một tỉ số có cả tử và mẫu đều đã biết số. Vì đây là bài mở đầu của mục BÀI TẬP nên số liệu nhỏ, phù hợp áp dụng ngay công thức cơ bản không cần biện luận dấu.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ghép tổng $x + y = 16$ đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ .

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{16}{8} = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Đặt $x = 3 k$ , $y = 5 k$ từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ rồi thay vào tổng đã cho.

x = 3 k

;

y = 5 k

x + y = 3 k + 5 k = 8 k = 16

k = 2 \Rightarrow x = 3 \cdot 2 = 6

;

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

3Cách 3. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Coi $3$ và $5$ là số phần của $x$ và $y$ , tìm giá trị một phần từ tổng $16$ .

Tổng số phần:

3 + 5 = 8

(phần)

Giá trị

1

phần:

16 : 8 = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

;

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng áp dụng tính chất dãy tỉ số là ra ngay kết quả.

Đáp số.

x = 6

y = 10

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm mẫu số

3 + 5

thành

7

hoặc

9

(tính sai phép cộng cơ bản), dẫn đến chia sai giá trị một phần.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tổng thành

x + y = 40

(giữ nguyên tỉ số

\frac{x}{3} = \frac{y}{5}

) thì

k = \frac{40}{8} = 5

, ra

x = 15

y = 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.10★★Trang 7— Tìm hai số biết đẳng thức tích và hiệu

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

7 x = 3 y

và

y - x = - 16

Kiến thức cần nhớ

Từ $7 x = 3 y$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ (hệ số của ẩn này là mẫu số của ẩn kia).
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đẳng thức tích

7 x = 3 y

chứ không phải tỉ lệ thức có sẵn — dấu hiệu phải tự chuyển sang dạng

\frac{x}{3} = \frac{y}{7}

(hệ số của ẩn nào thì đứng đối diện ẩn kia ở mẫu) trước khi áp dụng tính chất dãy tỉ số. Bẫy: dễ viết nhầm thành

\frac{x}{7} = \frac{y}{3}

(đặt hệ số sai vị trí).

1Cách 1. Chuyển đẳng thức tích thành tỉ lệ thức rồi dùng tính chất dãy tỉ số

Từ $7 x = 3 y$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ , rồi ghép hiệu $y - x = - 16$ vào dãy tỉ số.

7 x = 3 y \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{7}

\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{y - x}{7 - 3} = \frac{- 16}{4} = - 4

x = 3 \cdot (- 4) = - 12

;

y = 7 \cdot (- 4) = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = k$ , đặt $x = 3 k$ , $y = 7 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 3 k

;

y = 7 k

y - x = 7 k - 3 k = 4 k = - 16

k = - 4 \Rightarrow x = 3 \cdot (- 4) = - 12

;

y = 7 \cdot (- 4) = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ .

3Cách 3. Rút y theo x từ đẳng thức tích rồi thế vào hiệu

Không đổi qua tỉ lệ thức, rút thẳng $y$ theo $x$ từ đẳng thức tích rồi thế vào hiệu.

7 x = 3 y \Rightarrow y = \frac{7 x}{3}

y - x = - 16 \Rightarrow \frac{7 x}{3} - x = - 16 \Rightarrow \frac{7 x - 3 x}{3} = - 16 \Rightarrow \frac{4 x}{3} = - 16

x = - 12

;

y = \frac{7 \cdot ( - 12 )}{3} = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ , trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi ngay đẳng thức tích thành tỉ lệ thức rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số, ngắn gọn nhất.

Đáp số.

x = - 12

y = - 28

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm tỉ lệ thức thành

\frac{x}{7} = \frac{y}{3}

(đặt hệ số

7, 3

sai vị trí) — phải nhớ hệ số của ẩn nào thì đứng đối diện ẩn kia ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: từ đẳng thức

p x = q y

(

p, q

khác

0

) luôn suy ra

\frac{x}{q} = \frac{y}{p}

(đổi chỗ hệ số), không phải

\frac{x}{p} = \frac{y}{q}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.11★★Trang 7— Tìm ba số biết tỉ lệ và một tổ hợp cộng trừ

Tìm ba số

x, y

và

z

, biết:

x : y : z = 3 : 5 : 7

và

x - y + z = 35

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a - b + c}{m - n + p}$ (giữ đúng dấu tương ứng ở tử và mẫu).
Đặt $x = 3 k, y = 5 k, z = 7 k$ từ tỉ lệ $x : y : z = 3 : 5 : 7$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tổ hợp đã biết là

x - y + z

chứ không phải tổng đơn giản — dấu hiệu vẫn dùng tính chất dãy tỉ số mở rộng, chỉ cần cộng/trừ đúng dấu tương ứng ở cả tử (

x, y, z

) và mẫu (

3, 5, 7

). Bẫy: dễ quên đổi dấu mẫu số

5

thành

- 5

khi ghép vào

x - y + z

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số với đúng dấu

Ghép tổ hợp $x - y + z = 35$ vào dãy tỉ số $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ , mẫu số cũng phải trừ-cộng đúng theo thứ tự.

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = \frac{x - y + z}{3 - 5 + 7} = \frac{35}{5} = 7

x = 3 \cdot 7 = 21

;

y = 5 \cdot 7 = 35

;

z = 7 \cdot 7 = 49

Vậy $x = 21$ , $y = 35$ , $z = 49$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Đặt $x = 3 k, y = 5 k, z = 7 k$ rồi thay vào tổ hợp đã cho.

x = 3 k

;

y = 5 k

;

z = 7 k

x - y + z = 3 k - 5 k + 7 k = 5 k = 35

k = 7 \Rightarrow x = 21

y = 35

z = 49

Vậy $x = 21$ , $y = 35$ , $z = 49$ .

3Cách 3. Tính giá trị một phần theo tổ hợp rồi nhân lên

Số phần tương ứng với tổ hợp $x - y + z$ là $3 - 5 + 7$ , từ đó tìm giá trị một phần.

Số phần tương ứng:

3 - 5 + 7 = 5

(phần)

Giá trị

1

phần:

35 : 5 = 7

x = 3 \cdot 7 = 21

;

y = 5 \cdot 7 = 35

;

z = 7 \cdot 7 = 49

Vậy $x = 21$ , $y = 35$ , $z = 49$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay trực tiếp vào công thức mở rộng, không cần đặt ẩn phụ.

Đáp số.

x = 21

y = 35

z = 49

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu ở mẫu khi ghép theo

x - y + z

, viết nhầm mẫu thành

3 + 5 + 7 = 15

thay vì đúng là

3 - 5 + 7 = 5

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại bằng phép thế:

21 - 35 + 49 = 35

, đúng bằng vế phải — luôn kiểm tra lại tổ hợp cộng trừ sau khi tính ra ba số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.12★★★Trang 7— Toán có lời văn — chu vi và tỉ số hai cạnh hình chữ nhật, tính diện tích

Tìm diện tích của một mảnh vườn hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng

\frac{3}{5}

và chu vi bằng

48

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình chữ nhật $P = 2 (x + y)$ với $x, y$ là hai kích thước.
Diện tích hình chữ nhật $S = x \cdot y$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{a + b}{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chu vi (liên quan tới TỔNG hai cạnh) và tỉ số hai cạnh — dấu hiệu ghép hai dữ kiện: nửa chu vi chính là tổng chiều rộng cộng chiều dài, tỉ số hai cạnh cho tỉ lệ thức, kết hợp bằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm từng cạnh trước khi tính diện tích. Bẫy:

48

m là CHU VI (tổng cả bốn cạnh), phải chia đôi để được tổng chiều rộng cộng chiều dài, không được dùng thẳng

48

làm tổng hai cạnh.

1Cách 1. Tìm nửa chu vi rồi dùng tính chất dãy tỉ số

Gọi $x, y$ (m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài ( $x, y$ dương; $x$ nhỏ hơn $y$ ).

2 (x + y) = 48 \Rightarrow x + y = 24

\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{24}{8} = 3

x = 3 \cdot 3 = 9

;

y = 3 \cdot 5 = 15

Diện tích:

S = 9 \cdot 15 = 135

^{2}

)

Vậy diện tích mảnh vườn là $135$ m $^{2}$ .

2Cách 2. Tính giá trị một phần từ nửa chu vi rồi nhân lên

Chia chu vi cho $2$ để được tổng hai cạnh, rồi chia theo tỉ lệ $3 : 5$ .

Nửa chu vi:

48 : 2 = 24

(m)

Tổng số phần:

3 + 5 = 8

(phần); giá trị

1

phần:

24 : 8 = 3

(m)

Chiều rộng:

3 \cdot 3 = 9

(m); chiều dài:

3 \cdot 5 = 15

(m)

Diện tích:

9 \cdot 15 = 135

^{2}

)

Vậy diện tích mảnh vườn là $135$ m $^{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ k rồi lập phương trình theo chu vi

Đặt $x = 3 k$ , $y = 5 k$ ( $k$ dương) rồi thay trực tiếp vào công thức chu vi.

x = 3 k

;

y = 5 k

2 (x + y) = 48 \Rightarrow 2 (3 k + 5 k) = 48 \Rightarrow 16 k = 48 \Rightarrow k = 3

x = 9

;

y = 15

; diện tích

S = 9 \cdot 15 = 135

^{2}

)

Vậy diện tích mảnh vườn là $135$ m $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính nửa chu vi và giá trị một phần trước, tránh phải lập tỉ lệ thức hình thức.

Đáp số. Chiều rộng

9

m, chiều dài

15

m, diện tích mảnh vườn là

135

^{2}

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm

48

(chu vi) làm tổng

x + y

trực tiếp thay vì phải chia đôi trước, dẫn tới tính ra diện tích sai gấp nhiều lần giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu tỉ số hai cạnh đổi thành

m : n

bất kì với chu vi

P

, ta luôn có

x = \frac{m P}{2 ( m + n )}

y = \frac{n P}{2 ( m + n )}

— công thức tổng quát cho mọi hình chữ nhật biết chu vi và tỉ số hai cạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.13★★★Trang 7— Toán thực tế — tìm hai đại lượng biết tỉ lệ và hiệu (số liệu lớn)

Số lượt khách quốc tế có quốc tịch Mỹ đến Việt Nam trong năm 2014 và năm 2019 tỉ lệ với

317; 533

. Tính số lượt khách quốc tịch Mỹ đến Việt Nam trong hai năm đó, biết rằng số lượt khách đến năm 2019 nhiều hơn số lượt khách đến năm 2014 là

302400

lượt người.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .
Khi hai đại lượng tỉ lệ với $A : B$ , viết $\frac{x}{A} = \frac{y}{B}$ rồi kết hợp với hiệu hoặc tổng đã cho.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ giữa hai đại lượng (

317 : 533

) và hiệu giữa chúng — cùng dạng với các bài tìm hai số biết tỉ số và hiệu, nhưng số liệu lớn và mang tính thực tế hơn, đòi hỏi tính toán cẩn thận với số nhiều chữ số. Bẫy: dễ đặt sai chiều hiệu — phải đọc kĩ "năm 2019 nhiều hơn năm 2014" để dùng đúng hiệu

y - x

(không phải

x - y

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Gọi $x, y$ lần lượt là số lượt khách năm 2014, năm 2019 ( $x, y$ nguyên dương), $\frac{x}{317} = \frac{y}{533}$ và $y - x = 302400$ .

\frac{x}{317} = \frac{y}{533} = \frac{y - x}{533 - 317} = \frac{302400}{216} = 1400

x = 317 \cdot 1400 = 443800

y = 533 \cdot 1400 = 746200

Vậy năm 2014 có $443800$ lượt khách, năm 2019 có $746200$ lượt khách.

2Cách 2. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Hiệu số phần giữa hai năm ứng đúng với $302400$ lượt khách chênh lệch.

Hiệu số phần:

533 - 317 = 216

(phần)

Giá trị

1

phần:

302400 : 216 = 1400

(lượt khách)

Năm 2014:

317 \cdot 1400 = 443800

; năm 2019:

533 \cdot 1400 = 746200

Vậy hai năm có $443800$ và $746200$ lượt khách.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ k

Đặt $x = 317 k$ , $y = 533 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 317 k

;

y = 533 k

y - x = 533 k - 317 k = 216 k = 302400

k = 1400 \Rightarrow x = 443800

;

y = 746200

Vậy hai năm có $443800$ và $746200$ lượt khách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép chia

302400 : 216

để ra giá trị một phần rồi nhân nhanh, tránh viết tỉ lệ thức cồng kềnh với số lớn.

Đáp số. Năm 2014 có

443800

lượt khách; năm 2019 có

746200

lượt khách.

Sai lầm thường gặp. Đặt nhầm hiệu thành

x - y = 302400

(coi năm 2014 nhiều khách hơn) trong khi đề nói rõ năm 2019 nhiều hơn năm 2014, phải dùng

y - x = 302400

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra lại bằng cách cộng hai kết quả rồi so với tổng

\frac{x + y}{317 + 533}

để thấy giá trị một phần theo hướng tổng khác với giá trị một phần theo hướng hiệu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.14★★Trang 7— Chia một tổng thành ba phần theo tỉ lệ cho trước (ứng dụng thực tế)

Ba bạn Đức, Loan và Hà góp tổng cộng được

120

nghìn đồng ủng hộ các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn mua sách vở nhân dịp năm học mới. Hỏi mỗi bạn đã góp bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền ba bạn góp theo thứ tự tỉ lệ với

2; 1; 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba số tỉ lệ với $m, n, p$ thì đặt ba số đó là $mk, nk, p k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống dạng toán chia lợi nhuận/số cây theo tỉ lệ nhưng đổi bối cảnh quyên góp — ba phần tỉ lệ với

2, 1, 3

và tổng đã biết là

120

nghìn đồng, ghép vào dãy tỉ số bằng tổng. Bẫy: "theo thứ tự tỉ lệ với

2; 1; 3

" ứng đúng với Đức, Loan, Hà theo đúng thứ tự — không được đảo thứ tự gán số cho từng bạn.

1Cách 1. Gọi ẩn rồi dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Gọi $x, y, z$ (nghìn đồng) lần lượt là số tiền Đức, Loan, Hà góp ( $x, y, z$ dương).

x + y + z = 120

và

\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3}

\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3} = \frac{x + y + z}{2 + 1 + 3} = \frac{120}{6} = 20

x = 2 \cdot 20 = 40

;

y = 1 \cdot 20 = 20

;

z = 3 \cdot 20 = 60

Vậy Đức góp $40$ nghìn đồng, Loan góp $20$ nghìn đồng, Hà góp $60$ nghìn đồng.

2Cách 2. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Cộng số phần của ba bạn, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần từng bạn.

Tổng số phần:

2 + 1 + 3 = 6

(phần)

Giá trị

1

phần:

120 : 6 = 20

(nghìn đồng)

Đức:

2 \cdot 20 = 40

; Loan:

1 \cdot 20 = 20

; Hà:

3 \cdot 20 = 60

(nghìn đồng)

Vậy Đức, Loan, Hà góp lần lượt $40$ , $20$ , $60$ nghìn đồng.

3Cách 3. Tính theo phân số của tổng số tiền

Mỗi bạn góp đúng phân số (số phần của mình trên tổng số phần) của $120$ nghìn đồng.

Đức:

120 \cdot \frac{2}{6} = 40

Loan:

120 \cdot \frac{1}{6} = 20

Hà:

120 \cdot \frac{3}{6} = 60

Vậy Đức, Loan, Hà góp lần lượt $40$ , $20$ , $60$ nghìn đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính giá trị một phần trước rồi nhân lên, nhanh và ít nhầm thứ tự nhất.

Đáp số. Đức góp

40

nghìn đồng, Loan góp

20

nghìn đồng, Hà góp

60

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Gán nhầm thứ tự — ví dụ cho Loan một tỉ lệ lớn hơn Đức, do đọc lướt "theo thứ tự" mà không đối chiếu đúng tên với đúng số

2; 1; 3

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại:

40 + 20 + 60 = 120

, đúng tổng số tiền đã cho — luôn cộng lại ba kết quả để tự kiểm tra dạng toán chia theo tỉ lệ này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.15★★★Trang 7— Tìm hai số biết đẳng thức tích và một tổ hợp bậc nhất khác

Tìm hai số

x

và

y

, biết

3 x = 5 y

và

2 x + 3 y = 38

Kiến thức cần nhớ

Từ $3 x = 5 y$ suy ra $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ .
Mở rộng: nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = k$ thì $\frac{p x}{p m} = \frac{q y}{q n} = k$ với mọi $p, q$ khác $0$ , từ đó $\frac{p x + q y}{p m + q n} = k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đẳng thức tích

3 x = 5 y

(chuyển thành

\frac{x}{5} = \frac{y}{3}

) và một tổ hợp

2 x + 3 y

chứ không phải trực tiếp

x + y

hay

x - y

— dấu hiệu phải nhân thêm hệ số

2

và

3

vào cả tử lẫn mẫu tương ứng trước khi ghép vào dãy tỉ số. Bẫy: quên nhân mẫu số tương ứng theo đúng hệ số

2, 3

khi ghép vào dãy.

1Cách 1. Nhân hệ số vào tử và mẫu rồi dùng tính chất dãy tỉ số mở rộng

Từ $3 x = 5 y$ suy ra $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ , nhân tử và mẫu của mỗi tỉ số với đúng hệ số $2$ và $3$ trong tổ hợp $2 x + 3 y$ .

3 x = 5 y \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{y}{3}

\frac{x}{5} = \frac{2 x}{10}

;

\frac{y}{3} = \frac{3 y}{9}

\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{2 x}{10} = \frac{3 y}{9} = \frac{2 x + 3 y}{10 + 9} = \frac{38}{19} = 2

x = 5 \cdot 2 = 10

;

y = 3 \cdot 2 = 6

Vậy $x = 10$ và $y = 6$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k rồi thế vào tổ hợp

Đặt $x = 5 k$ , $y = 3 k$ (từ $\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = k$ ) rồi thay trực tiếp vào $2 x + 3 y$ .

x = 5 k

;

y = 3 k

2 x + 3 y = 2 \cdot 5 k + 3 \cdot 3 k = 10 k + 9 k = 19 k = 38

k = 2 \Rightarrow x = 5 \cdot 2 = 10

;

y = 3 \cdot 2 = 6

Vậy $x = 10$ và $y = 6$ .

3Cách 3. Rút x theo y từ đẳng thức tích rồi thế vào tổ hợp

Không đặt ẩn phụ, rút thẳng $x$ theo $y$ rồi thế vào $2 x + 3 y = 38$ .

3 x = 5 y \Rightarrow x = \frac{5 y}{3}

2 x + 3 y = 38 \Rightarrow 2 \cdot \frac{5 y}{3} + 3 y = 38 \Rightarrow \frac{10 y}{3} + \frac{9 y}{3} = 38 \Rightarrow \frac{19 y}{3} = 38

y = 6

;

x = \frac{5 \cdot 6}{3} = 10

Vậy $x = 10$ và $y = 6$ , trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt ẩn phụ

k

rồi thế thẳng vào tổ hợp, tránh phải nhân hệ số vào cả tử và mẫu như Cách 1.

Đáp số.

x = 10

y = 6

Sai lầm thường gặp. Ghép trực tiếp

\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{2 x + 3 y}{5 + 3}

(quên nhân hệ số

2, 3

vào đúng mẫu số tương ứng), làm mẫu số sai dẫn tới kết quả sai hẳn.

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật "nhân hệ số vào cả tử và mẫu trước khi ghép dãy" ở Cách 1 dùng được cho MỌI tổ hợp tuyến tính

p x + q y

, không riêng gì

2 x + 3 y

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.16★★★★Trang 7— Chứng minh một tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức đã cho (đại số tổng quát)

Từ tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, hãy suy ra tỉ lệ thức

\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Kiến thức cần nhớ

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ thì $a = bk$ , $c = d k$ — kĩ thuật thay tỉ số bằng một ẩn chung.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{p a}{p b} = \frac{q c}{q d}$ , từ đó ghép được dãy tỉ số mới.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu suy luận trên các biến

a, b, c, d

chứ không phải số cụ thể — dấu hiệu của bài chứng minh tổng quát, phải dùng một trong hai kĩ thuật quen thuộc: đặt tỉ số chung bằng

k

, hoặc dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (nhân

3

vào tử và mẫu). Bẫy: chỉ thử vài cặp số cụ thể rồi vội kết luận đúng với mọi

a, b, c, d

không phải là một phép chứng minh chặt chẽ.

1Cách 1. Đặt tỉ số chung bằng k

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ , suy ra $a = bk$ và $c = d k$ , rồi thay vào từng vế cần chứng minh.

a = bk

;

c = d k

\frac{a}{3 a + b} = \frac{bk}{3 bk + b} = \frac{bk}{b ( 3 k + 1 )} = \frac{k}{3 k + 1}

\frac{c}{3 c + d} = \frac{d k}{3 d k + d} = \frac{d k}{d ( 3 k + 1 )} = \frac{k}{3 k + 1}

Vậy $\frac{a}{3 a + b} = \frac{k}{3 k + 1} = \frac{c}{3 c + d}$ , tức tỉ lệ thức cần chứng minh đúng.

2Cách 2. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (nhân hệ số 3 vào tử)

Đổi $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thành $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ , nhân tử và mẫu vế trái với $3$ rồi ghép vào dãy tỉ số.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}

(đổi chỗ trung tỉ và ngoại tỉ)

\frac{a}{c} = \frac{3 a}{3 c}

, nên

\frac{3 a}{3 c} = \frac{b}{d}

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{3 a}{3 c} = \frac{b}{d} = \frac{3 a + b}{3 c + d}

Suy ra

\frac{a}{c} = \frac{3 a + b}{3 c + d}

, tức

\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}

Vậy tỉ lệ thức $\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}$ được chứng minh.

3Cách 3. Chia cả tử và mẫu của mỗi vế cho b (hoặc d)

Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho $b$ (vế trái) và cho $d$ (vế phải) để đưa cả hai về cùng một biểu thức của $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

\frac{a}{3 a + b} = \frac{a / b}{( 3 a + b ) / b} = \frac{a / b}{3 \cdot ( a / b ) + 1}

\frac{c}{3 c + d} = \frac{c / d}{( 3 c + d ) / d} = \frac{c / d}{3 \cdot ( c / d ) + 1}

Vì

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

nên hai biểu thức trên là cùng một hàm số của cùng một giá trị, do đó bằng nhau

Vậy $\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}$ , chứng minh xong.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai bước biến đổi tỉ lệ thức và một lần áp dụng tính chất dãy tỉ số, ngắn gọn hơn Cách 1.

Đáp số.

\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}

— đúng với mọi tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

thoả mãn điều kiện các tỉ số có nghĩa.

Sai lầm thường gặp. Chỉ thử một vài cặp số cụ thể (ví dụ

a = 2, b = 3, c = 4, d = 6

) rồi vội kết luận "đúng với mọi

a, b, c, d

" — đây không phải một chứng minh chặt chẽ, chỉ là kiểm chứng minh hoạ, phải trình bày như Cách 1 hoặc Cách 2 mới đủ chặt chẽ.

🚀 Mở rộng. Bằng cách làm tương tự Cách 2, có thể chứng minh tổng quát hơn: từ

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

suy ra

\frac{a}{p a + q b} = \frac{c}{p c + q d}

với mọi hệ số

p, q

khiến các tỉ số có nghĩa.

Mở bài này trong app ↗