Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang7 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.9★Trang 7— Tìm hai số biết tỉ số và tổng, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

\frac{x}{3} = \frac{y}{5}

và

x + y = 16

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$ .
Nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$ thì đặt $x = mk$ , $y = nk$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ thức chứa

x, y

và tổng

x + y

— dấu hiệu ghép tổng đã biết vào dãy tỉ số để tạo ra một tỉ số có cả tử và mẫu đều đã biết số. Vì đây là bài mở đầu của mục BÀI TẬP nên số liệu nhỏ, phù hợp áp dụng ngay công thức cơ bản không cần biện luận dấu.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ghép tổng $x + y = 16$ đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ .

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{16}{8} = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Đặt $x = 3 k$ , $y = 5 k$ từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ rồi thay vào tổng đã cho.

x = 3 k

;

y = 5 k

x + y = 3 k + 5 k = 8 k = 16

k = 2 \Rightarrow x = 3 \cdot 2 = 6

;

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

3Cách 3. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Coi $3$ và $5$ là số phần của $x$ và $y$ , tìm giá trị một phần từ tổng $16$ .

Tổng số phần:

3 + 5 = 8

(phần)

Giá trị

1

phần:

16 : 8 = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

;

y = 5 \cdot 2 = 10

Vậy $x = 6$ và $y = 10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng áp dụng tính chất dãy tỉ số là ra ngay kết quả.

Đáp số.

x = 6

y = 10

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm mẫu số

3 + 5

thành

7

hoặc

9

(tính sai phép cộng cơ bản), dẫn đến chia sai giá trị một phần.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tổng thành

x + y = 40

(giữ nguyên tỉ số

\frac{x}{3} = \frac{y}{5}

) thì

k = \frac{40}{8} = 5

, ra

x = 15

y = 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.10★★Trang 7— Tìm hai số biết đẳng thức tích và hiệu

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

7 x = 3 y

và

y - x = - 16

Kiến thức cần nhớ

Từ $7 x = 3 y$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ (hệ số của ẩn này là mẫu số của ẩn kia).
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đẳng thức tích

7 x = 3 y

chứ không phải tỉ lệ thức có sẵn — dấu hiệu phải tự chuyển sang dạng

\frac{x}{3} = \frac{y}{7}

(hệ số của ẩn nào thì đứng đối diện ẩn kia ở mẫu) trước khi áp dụng tính chất dãy tỉ số. Bẫy: dễ viết nhầm thành

\frac{x}{7} = \frac{y}{3}

(đặt hệ số sai vị trí).

1Cách 1. Chuyển đẳng thức tích thành tỉ lệ thức rồi dùng tính chất dãy tỉ số

Từ $7 x = 3 y$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ , rồi ghép hiệu $y - x = - 16$ vào dãy tỉ số.

7 x = 3 y \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{7}

\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{y - x}{7 - 3} = \frac{- 16}{4} = - 4

x = 3 \cdot (- 4) = - 12

;

y = 7 \cdot (- 4) = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = k$ , đặt $x = 3 k$ , $y = 7 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 3 k

;

y = 7 k

y - x = 7 k - 3 k = 4 k = - 16

k = - 4 \Rightarrow x = 3 \cdot (- 4) = - 12

;

y = 7 \cdot (- 4) = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ .

3Cách 3. Rút y theo x từ đẳng thức tích rồi thế vào hiệu

Không đổi qua tỉ lệ thức, rút thẳng $y$ theo $x$ từ đẳng thức tích rồi thế vào hiệu.

7 x = 3 y \Rightarrow y = \frac{7 x}{3}

y - x = - 16 \Rightarrow \frac{7 x}{3} - x = - 16 \Rightarrow \frac{7 x - 3 x}{3} = - 16 \Rightarrow \frac{4 x}{3} = - 16

x = - 12

;

y = \frac{7 \cdot ( - 12 )}{3} = - 28

Vậy $x = - 12$ và $y = - 28$ , trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi ngay đẳng thức tích thành tỉ lệ thức rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số, ngắn gọn nhất.

Đáp số.

x = - 12

y = - 28

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm tỉ lệ thức thành

\frac{x}{7} = \frac{y}{3}

(đặt hệ số

7, 3

sai vị trí) — phải nhớ hệ số của ẩn nào thì đứng đối diện ẩn kia ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: từ đẳng thức

p x = q y

(

p, q

khác

0

) luôn suy ra

\frac{x}{q} = \frac{y}{p}

(đổi chỗ hệ số), không phải

\frac{x}{p} = \frac{y}{q}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.11★★Trang 7— Tìm ba số biết tỉ lệ và một tổ hợp cộng trừ

Tìm ba số

x, y

và

z

, biết:

x : y : z = 3 : 5 : 7

và

x - y + z = 35

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a - b + c}{m - n + p}$ (giữ đúng dấu tương ứng ở tử và mẫu).
Đặt $x = 3 k, y = 5 k, z = 7 k$ từ tỉ lệ $x : y : z = 3 : 5 : 7$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.12★★★Trang 7— Toán có lời văn — chu vi và tỉ số hai cạnh hình chữ nhật, tính diện tích

Tìm diện tích của một mảnh vườn hình chữ nhật, biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng

\frac{3}{5}

và chu vi bằng

48

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình chữ nhật $P = 2 (x + y)$ với $x, y$ là hai kích thước.
Diện tích hình chữ nhật $S = x \cdot y$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{a + b}{m + n}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.13★★★Trang 7— Toán thực tế — tìm hai đại lượng biết tỉ lệ và hiệu (số liệu lớn)

Số lượt khách quốc tế có quốc tịch Mỹ đến Việt Nam trong năm 2014 và năm 2019 tỉ lệ với

317; 533

. Tính số lượt khách quốc tịch Mỹ đến Việt Nam trong hai năm đó, biết rằng số lượt khách đến năm 2019 nhiều hơn số lượt khách đến năm 2014 là

302400

lượt người.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .
Khi hai đại lượng tỉ lệ với $A : B$ , viết $\frac{x}{A} = \frac{y}{B}$ rồi kết hợp với hiệu hoặc tổng đã cho.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.14★★Trang 7— Chia một tổng thành ba phần theo tỉ lệ cho trước (ứng dụng thực tế)

Ba bạn Đức, Loan và Hà góp tổng cộng được

120

nghìn đồng ủng hộ các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn mua sách vở nhân dịp năm học mới. Hỏi mỗi bạn đã góp bao nhiêu tiền? Biết rằng số tiền ba bạn góp theo thứ tự tỉ lệ với

2; 1; 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba số tỉ lệ với $m, n, p$ thì đặt ba số đó là $mk, nk, p k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.15★★★Trang 7— Tìm hai số biết đẳng thức tích và một tổ hợp bậc nhất khác

Tìm hai số

x

và

y

, biết

3 x = 5 y

và

2 x + 3 y = 38

Kiến thức cần nhớ

Từ $3 x = 5 y$ suy ra $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ .
Mở rộng: nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = k$ thì $\frac{p x}{p m} = \frac{q y}{q n} = k$ với mọi $p, q$ khác $0$ , từ đó $\frac{p x + q y}{p m + q n} = k$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.16★★★★Trang 7— Chứng minh một tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức đã cho (đại số tổng quát)

Từ tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, hãy suy ra tỉ lệ thức

\frac{a}{3 a + b} = \frac{c}{3 c + d}

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Kiến thức cần nhớ

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ thì $a = bk$ , $c = d k$ — kĩ thuật thay tỉ số bằng một ẩn chung.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{p a}{p b} = \frac{q c}{q d}$ , từ đó ghép được dãy tỉ số mới.