Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 8— Tính tỉ số tổng, tỉ số hiệu từ một tỉ lệ thức cho trước

Cho tỉ lệ thức

\frac{2}{3} = \frac{6}{9}

. Tính các tỉ số

\frac{2 + 6}{3 + 9}

và

\frac{2 - 6}{3 - 9}

Kiến thức cần nhớ

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Muốn tính một tỉ số $\frac{m}{n}$ , ta thực hiện phép chia $m$ cho $n$ (hoặc rút gọn nếu $m$ , $n$ có ước chung).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tỉ lệ thức cụ thể rồi yêu cầu tính thêm hai tỉ số mới ghép từ tổng và hiệu các số hạng — dấu hiệu đây là bước chuẩn bị để phát hiện ra một tính chất tổng quát ở HĐ2, chứ không đơn thuần là bài tính toán. Bẫy: ở tỉ số hiệu, cả tử và mẫu đều âm (

2 - 6 = - 4

3 - 9 = - 6

), dễ tính nhầm dấu.

1Cách 1. Tính trực tiếp rồi rút gọn

Định hướng. Cộng (trừ) đúng tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn phân số nhận được.

\frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{- 4}{- 6} = \frac{2}{3}

Vậy cả hai tỉ số $\frac{2 + 6}{3 + 9}$ và $\frac{2 - 6}{3 - 9}$ đều bằng $\frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Đổi ra số thập phân để so sánh nhanh

Định hướng. Thực hiện phép chia trực tiếp để ra kết quả dạng thập phân, khỏi phải rút gọn phân số.

\frac{2 + 6}{3 + 9} = 8 : 12 = 0, 666 \dots

\frac{2 - 6}{3 - 9} = (- 4) : (- 6) = 0, 666 \dots

Vậy hai tỉ số đều bằng $0, 666 \dots$ , tức đều bằng $\frac{2}{3}$ .

3Cách 3. Đặt tỉ lệ thức bằng một ẩn chung rồi biến đổi tổng quát

Định hướng. Đặt $\frac{2}{3} = \frac{6}{9} = k$ , biểu diễn $2$ và $6$ theo $k$ rồi thay vào từng tỉ số cần tính.

k = \frac{2}{3}

nên

2 = 3 k

và

6 = 9 k

\frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{3 k + 9 k}{3 + 9} = \frac{12 k}{12} = k

\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{3 k - 9 k}{3 - 9} = \frac{- 6 k}{- 6} = k

Vậy cả hai tỉ số đều bằng $k = \frac{2}{3}$ , đúng bằng hai tỉ số ban đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính trực tiếp rồi rút gọn là nhanh nhất với số liệu nhỏ như bài này.

Đáp số. Cả hai tỉ số

\frac{2 + 6}{3 + 9}

và

\frac{2 - 6}{3 - 9}

đều bằng

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Tính sai dấu ở tỉ số hiệu: nhiều bạn viết

\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{- 4}{- 6}

rồi vội kết luận ra số âm, quên rằng âm chia âm ra số dương

\frac{2}{3}

🚀 Mở rộng. Cách 3 (đặt ẩn chung

k

) chính là chìa khoá để chứng minh tính chất đúng với MỌI tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, không riêng gì cặp số

2, 3, 6, 9

— đây là nội dung sẽ được phát biểu ở khung tính chất ngay sau HĐ2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 8— Phát hiện tính chất của dãy tỉ số bằng nhau từ kết quả hoạt động

So sánh hai tỉ số nhận được ở HĐ1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Từ HĐ1: $\frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{2}{3}$ và $\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{2}{3}$ , đều trùng với hai tỉ số $\frac{2}{3}$ , $\frac{6}{9}$ ban đầu.
Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu so sánh kết quả vừa tính — dấu hiệu của một hoạt động "khám phá tính chất", mục tiêu không dừng ở việc xác nhận hai số bằng nhau mà phải khái quát hoá thành một quy luật đúng cho mọi tỉ lệ thức. Bẫy: dễ nghĩ đây chỉ là sự trùng hợp riêng của cặp số

2, 3, 6, 9

mà không nhận ra đó là một tính chất tổng quát.

1Cách 1. So sánh trực tiếp các giá trị đã tính ở HĐ1

Định hướng. Đặt bốn tỉ số cạnh nhau rồi đối chiếu giá trị.

\frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

(đều bằng

\frac{2}{3}

)

\frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{2}{3}

;

\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{2}{3}

Vậy cả bốn tỉ số $\frac{2}{3}$ , $\frac{6}{9}$ , $\frac{2 + 6}{3 + 9}$ , $\frac{2 - 6}{3 - 9}$ đều bằng nhau.

2Cách 2. Chứng minh bằng cách đặt tỉ số chung k (tổng quát hoá)

Định hướng. Dùng lại phép đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ ở Cách 3 của HĐ1 nhưng viết cho $a, b, c, d$ bất kì để thấy kết quả không phụ thuộc số liệu cụ thể.

Đặt

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k

thì

a = bk

c = d k

\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + d k}{b + d} = \frac{( b + d ) k}{b + d} = k

\frac{a - c}{b - d} = \frac{bk - d k}{b - d} = \frac{( b - d ) k}{b - d} = k

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ đúng với MỌI tỉ lệ thức, không riêng cặp số ở HĐ1.

3Cách 3. Kiểm tra thêm một tỉ lệ thức khác để củng cố quy luật

Định hướng. Thử lại quy luật với một tỉ lệ thức khác, ví dụ $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , để xác nhận đây không phải sự trùng hợp riêng của HĐ1.

\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

\frac{3 + 9}{4 + 12} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

\frac{3 - 9}{4 - 12} = \frac{- 6}{- 8} = \frac{3}{4}

Vậy quy luật vẫn đúng với cặp số mới, càng khẳng định đây là tính chất chung cho mọi tỉ lệ thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chứng minh tổng quát bằng cách đặt

k

là lập luận chắc chắn nhất, không phụ thuộc một ví dụ số cụ thể nào.

Đáp số. Hai tỉ số

\frac{2 + 6}{3 + 9}

và

\frac{2 - 6}{3 - 9}

đều bằng hai tỉ số ban đầu

\frac{2}{3}

\frac{6}{9}

— từ đó rút ra tính chất

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}

Sai lầm thường gặp. Chỉ dừng ở việc xác nhận "hai số bằng nhau" cho riêng ví dụ HĐ1 mà không khái quát hoá được thành tính chất đúng với mọi

a, b, c, d

🚀 Mở rộng. Tính chất này còn được SGK mở rộng ngay sau đó cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau: từ

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

suy ra

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập★★Trang 8— Tìm hai số biết tỉ số và hiệu, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

\frac{x}{11} = \frac{y}{17}

và

x - y = 12

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}$ .
Nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$ thì có thể đặt $x = mk$ , $y = nk$ với $k$ là tỉ số chung.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tỉ lệ thức chứa

x, y

và hiệu

x - y

đã biết — dấu hiệu ghép thêm hiệu vào dãy tỉ số để tạo ra một tỉ số có cả tử và mẫu đều là số đã biết. Bẫy: vì hệ số

11

nhỏ hơn

17

mà hiệu

x - y

lại dương, tỉ số chung bắt buộc phải âm — không được thấy kết quả âm mà nghi ngờ mình tính sai.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Ghép thêm hiệu $x - y = 12$ đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{11} = \frac{y}{17}$ .

\frac{x}{11} = \frac{y}{17} = \frac{x - y}{11 - 17} = \frac{12}{- 6} = - 2

x = 11 \cdot (- 2) = - 22

y = 17 \cdot (- 2) = - 34

Vậy $x = - 22$ và $y = - 34$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Định hướng. Từ $\frac{x}{11} = \frac{y}{17}$ , đặt $x = 11 k$ , $y = 17 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 11 k

;

y = 17 k

x - y = 11 k - 17 k = - 6 k = 12

k = - 2

x = 11 \cdot (- 2) = - 22

;

y = 17 \cdot (- 2) = - 34

Vậy $x = - 22$ và $y = - 34$ .

3Cách 3. Rút y theo x rồi thế vào hiệu (không dùng tính chất dãy tỉ số)

Định hướng. Biến đổi tỉ lệ thức thành phương trình một ẩn bằng phép thế, không cần dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

\frac{x}{11} = \frac{y}{17} \Rightarrow 17 x = 11 y \Rightarrow y = \frac{17 x}{11}

x - y = 12 \Rightarrow x - \frac{17 x}{11} = 12 \Rightarrow \frac{11 x - 17 x}{11} = 12 \Rightarrow \frac{- 6 x}{11} = 12

x = - 22

y = \frac{17 \cdot ( - 22 )}{11} = - 34

Vậy $x = - 22$ và $y = - 34$ , trùng kết quả hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng áp dụng tính chất dãy tỉ số là ra ngay kết quả, không cần đặt ẩn phụ hay quy đồng.

Đáp số.

x = - 22

y = - 34

Sai lầm thường gặp. Thấy kết quả âm tưởng mình tính sai nên tự ý đổi đề thành

y - x = 12

— thực ra với

11

nhỏ hơn

17

thì

x, y

bắt buộc phải âm mới thoả mãn

x - y = 12

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hiệu thành

y - x = 12

(giữ nguyên tỉ số

\frac{x}{11} = \frac{y}{17}

) thì

k = \frac{12}{6} = 2

, ra

x = 22

y = 34

đều dương — hãy tự làm và so sánh vì sao đổi vị trí trừ lại đổi hẳn dấu của

x, y

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng★★Trang 9— Chia một tổng thành ba phần theo tỉ lệ cho trước (ứng dụng dãy tỉ số bằng nhau)

Ba nhà đầu tư góp vốn để mở một công ty theo tỉ lệ

2 : 3 : 4

. Cuối năm, số tiền lợi nhuận công ty dự kiến trả cho các nhà đầu tư là

72

triệu đồng, chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được.

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba số tỉ lệ với $m, n, p$ thì có thể đặt ba số đó là $mk, nk, p k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng cho ba tỉ số: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ góp vốn của ba nhà đầu tư và tổng lợi nhuận cần chia — đúng dạng toán đã học ở Ví dụ 2 (bài toán mở đầu). Gọi ba ẩn theo đúng tỉ lệ rồi ghép với tổng

72

triệu đã biết vào dãy tỉ số là hướng ngắn nhất, vì tổng ba phần đã có sẵn trong đề. Bẫy: phải giữ đúng thứ tự ba nhà đầu tư ứng với đúng số

2, 3, 4

1Cách 1. Gọi ẩn rồi dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Gọi $x, y, z$ (triệu đồng) là lợi nhuận ba nhà đầu tư ( $x, y, z$ dương), ghép tổng $72$ triệu đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ .

x + y + z = 72

và

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = \frac{x + y + z}{2 + 3 + 4} = \frac{72}{9} = 8

x = 2 \cdot 8 = 16

;

y = 3 \cdot 8 = 24

;

z = 4 \cdot 8 = 32

Vậy ba nhà đầu tư nhận lần lượt $16$ , $24$ và $32$ triệu đồng.

2Cách 2. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Định hướng. Cộng số phần của ba nhà đầu tư, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần từng người.

Tổng số phần:

2 + 3 + 4 = 9

(phần)
Giá trị

1

phần:

72 : 9 = 8

(triệu đồng)
Nhà đầu tư 1:

2 \cdot 8 = 16

; nhà đầu tư 2:

3 \cdot 8 = 24

; nhà đầu tư 3:

4 \cdot 8 = 32

(triệu đồng)

Vậy ba nhà đầu tư nhận lần lượt $16$ , $24$ và $32$ triệu đồng.

3Cách 3. Tính theo phân số của tổng lợi nhuận

Định hướng. Mỗi nhà đầu tư nhận đúng phân số (số phần của mình trên tổng số phần) của $72$ triệu đồng.

Nhà đầu tư 1:

72 \cdot \frac{2}{9} = 16

Nhà đầu tư 2:

72 \cdot \frac{3}{9} = 24

Nhà đầu tư 3:

72 \cdot \frac{4}{9} = 32

Vậy ba nhà đầu tư nhận lần lượt $16$ , $24$ và $32$ triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính giá trị một phần trước rồi nhân lên, không cần viết tỉ lệ thức hình thức, nhanh và ít sai sót nhất.

Đáp số. Nhà đầu tư thứ nhất nhận

16

triệu đồng, thứ hai nhận

24

triệu đồng, thứ ba nhận

32

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Quên kiểm tra tổng ba phần vừa tìm được có bằng đúng

72

hay không (

16 + 24 + 32 = 72

) — bỏ qua bước kiểm tra dễ để lọt sai sót ngay từ bước cộng

2 + 3 + 4

🚀 Mở rộng. Đây chính là dạng toán "chia lợi nhuận theo vốn góp" quen thuộc trong thực tế kinh doanh; nếu tỉ lệ góp vốn không phải số nguyên đơn giản (ví dụ

2, 5 : 3, 5 : 4

) thì cách làm vẫn y hệt, chỉ cần nhân cả ba tỉ số với cùng một số để đưa về số nguyên trước khi tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.7★Trang 9— Tìm hai số biết tỉ số và tổng, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

\frac{x}{9} = \frac{y}{11}

và

x + y = 40

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$ .
Nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$ thì đặt $x = mk$ , $y = nk$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ thức chứa

x, y

và tổng

x + y

— cùng dạng với Ví dụ 1 của bài, chỉ khác số liệu. Dấu hiệu: ghép thêm "tổng

x + y

" vào dãy tỉ số để tạo ra tỉ số có cả tử và mẫu đều đã biết.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Ghép tổng $x + y = 40$ đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{9} = \frac{y}{11}$ .

\frac{x}{9} = \frac{y}{11} = \frac{x + y}{9 + 11} = \frac{40}{20} = 2

x = 9 \cdot 2 = 18

y = 11 \cdot 2 = 22

Vậy $x = 18$ và $y = 22$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Định hướng. Đặt $x = 9 k$ , $y = 11 k$ từ $\frac{x}{9} = \frac{y}{11}$ rồi thay vào tổng đã cho.

x = 9 k

;

y = 11 k

x + y = 9 k + 11 k = 20 k = 40

k = 2

x = 9 \cdot 2 = 18

;

y = 11 \cdot 2 = 22

Vậy $x = 18$ và $y = 22$ .

3Cách 3. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Định hướng. Coi $9$ và $11$ là số phần của $x$ và $y$ , tính giá trị một phần từ tổng $40$ rồi nhân lên.

Tổng số phần:

9 + 11 = 20

(phần)
Giá trị

1

phần:

40 : 20 = 2

x = 9 \cdot 2 = 18

;

y = 11 \cdot 2 = 22

Vậy $x = 18$ và $y = 22$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng áp dụng tính chất dãy tỉ số là ra ngay kết quả.

Đáp số.

x = 18

y = 22

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm mẫu số

9 + 11

thành

21

hoặc

19

(tính sai phép cộng cơ bản) dẫn đến chia sai giá trị một phần.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tổng thành

x + y = 100

(giữ nguyên tỉ số

\frac{x}{9} = \frac{y}{11}

) thì

k = \frac{100}{20} = 5

, ra

x = 45

y = 55

— tổng quát

k = \frac{x + y}{20}

với mọi tổng cho trước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.8★★Trang 9— Tìm hai số biết tỉ số và hiệu, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tìm hai số

x

và

y

, biết:

\frac{x}{17} = \frac{y}{21}

và

x - y = 8

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}$ .
Nếu $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$ thì đặt $x = mk$ , $y = nk$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cùng dạng với bài Luyện tập ở trang 8, chỉ đổi số liệu — ghép hiệu

x - y = 8

vào dãy tỉ số

\frac{x}{17} = \frac{y}{21}

. Dấu hiệu nhận dạng: đề đã cho sẵn cả tỉ lệ thức chứa hai ẩn lẫn hiệu của chúng, nên chỉ cần cộng thêm hiệu vào dãy tỉ số là ra ngay tỉ số chung. Bẫy: vì

17

nhỏ hơn

21

mà hiệu

x - y

lại dương, tỉ số chung bắt buộc phải âm, dẫn tới

x, y

đều âm — đây là kết quả đúng, không phải dấu hiệu tính sai.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Ghép hiệu $x - y = 8$ đã biết vào dãy tỉ số $\frac{x}{17} = \frac{y}{21}$ .

\frac{x}{17} = \frac{y}{21} = \frac{x - y}{17 - 21} = \frac{8}{- 4} = - 2

x = 17 \cdot (- 2) = - 34

y = 21 \cdot (- 2) = - 42

Vậy $x = - 34$ và $y = - 42$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Định hướng. Đặt $x = 17 k$ , $y = 21 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 17 k

;

y = 21 k

x - y = 17 k - 21 k = - 4 k = 8

k = - 2

x = 17 \cdot (- 2) = - 34

;

y = 21 \cdot (- 2) = - 42

Vậy $x = - 34$ và $y = - 42$ .

3Cách 3. Rút y theo x rồi thế vào hiệu (không dùng tính chất dãy tỉ số)

Định hướng. Biến đổi tỉ lệ thức thành phương trình một ẩn bằng phép thế.

\frac{x}{17} = \frac{y}{21} \Rightarrow 21 x = 17 y \Rightarrow y = \frac{21 x}{17}

x - y = 8 \Rightarrow x - \frac{21 x}{17} = 8 \Rightarrow \frac{17 x - 21 x}{17} = 8 \Rightarrow \frac{- 4 x}{17} = 8

x = - 34

y = \frac{21 \cdot ( - 34 )}{17} = - 42

Vậy $x = - 34$ và $y = - 42$ , trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng áp dụng tính chất dãy tỉ số, không cần quy đồng hay giải phương trình.

Đáp số.

x = - 34

y = - 42

Sai lầm thường gặp. Thấy kết quả âm tưởng tính sai nên tự ý đổi dấu đề bài — thực chất với

17

nhỏ hơn

21

và

x - y

dương thì

x, y

bắt buộc âm.

🚀 Mở rộng. So sánh với bài 6.7 (tổng dương, cả hai số dương) để thấy khi đổi "tổng" thành "hiệu" cùng thứ tự hệ số, dấu của

x, y

có thể thay đổi hoàn toàn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.9★★★Trang 9— Toán tỉ số có lời văn — đổi tỉ số thập phân sang tỉ số nguyên rồi dùng dãy tỉ số bằng nhau

Tỉ số giữa số sản phẩm làm được của hai công nhân là

0, 95

. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia

10

sản phẩm?

Kiến thức cần nhớ

$0, 95 = \frac{19}{20}$ (rút gọn từ $\frac{95}{100}$ ).
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ số dạng thập phân

0, 95

chứ không phải một tỉ lệ thức có sẵn hai ẩn rõ ràng như các bài trước — dấu hiệu phải tự đổi

0, 95

thành tỉ số hai số nguyên (

19 : 20

) trước khi lập dãy tỉ số. Bẫy lớn nhất: đề không nói rõ ai làm nhiều hơn ai, phải tự suy luận từ

0, 95

nhỏ hơn

1

để biết người ứng với số

20

là người làm nhiều sản phẩm hơn.

1Cách 1. Đổi tỉ số thập phân ra tỉ số hai số nguyên rồi dùng tính chất dãy tỉ số

Định hướng. Gọi $x, y$ (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của công nhân làm ít hơn và công nhân làm nhiều hơn ( $x, y$ nguyên dương). Đổi tỉ số $0, 95$ thành phân số tối giản trước khi lập dãy tỉ số.

0, 95 = \frac{19}{20}

nên

\frac{x}{19} = \frac{y}{20}

và

y - x = 10

\frac{x}{19} = \frac{y}{20} = \frac{y - x}{20 - 19} = \frac{10}{1} = 10

x = 19 \cdot 10 = 190

y = 20 \cdot 10 = 200

Vậy người làm ít hơn được $190$ sản phẩm, người làm nhiều hơn được $200$ sản phẩm.

2Cách 2. Tính giá trị một phần từ hiệu số phần rồi nhân lên

Định hướng. Hiệu số phần giữa hai công nhân ứng đúng với $10$ sản phẩm chênh lệch.

Hiệu số phần:

20 - 19 = 1

(phần)
Giá trị

1

phần:

10 : 1 = 10

(sản phẩm)
Người làm ít hơn:

19 \cdot 10 = 190

; người làm nhiều hơn:

20 \cdot 10 = 200

Vậy hai công nhân làm được $190$ và $200$ sản phẩm.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ k

Định hướng. Đặt $x = 19 k$ , $y = 20 k$ (với $k$ dương) rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 19 k

;

y = 20 k

y - x = 20 k - 19 k = k = 10

x = 19 \cdot 10 = 190

;

y = 20 \cdot 10 = 200

Vậy hai công nhân làm được $190$ và $200$ sản phẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi

0, 95

\frac{19}{20}

ngay từ đầu để tránh làm việc với số thập phân ở các bước sau.

Đáp số. Người làm ít hơn được

190

sản phẩm; người làm nhiều hơn được

200

sản phẩm.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

0, 95

thành phân số tối giản

\frac{19}{20}

mà giữ nguyên dạng thập phân khi lập dãy tỉ số; hoặc gán nhầm người làm nhiều hơn ứng với số

19

thay vì

20

🚀 Mở rộng. Nếu tỉ số cho là một số thập phân khác

0, 95

, luôn đổi được về phân số tối giản rồi áp dụng đúng cách làm này để tìm hai đại lượng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.10★★Trang 9— Chia một tổng thành ba phần theo tỉ lệ cho trước

Ba lớp 7A, 7B và 7C được giao nhiệm vụ trồng

120

cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B và 7C tỉ lệ với

7; 8; 9

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba số tỉ lệ với $m, n, p$ thì có thể đặt ba số đó là $mk, nk, p k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống dạng bài Vận dụng ở trang 9 nhưng đổi ngữ cảnh: ba lớp trồng cây tỉ lệ

7 : 8 : 9

và tổng

120

cây đã biết. Dấu hiệu nhận dạng: cho tỉ lệ ba phần cùng tổng, nên gọi ba ẩn theo đúng tỉ lệ rồi ghép vào dãy tỉ số bằng tổng

120

để tìm giá trị chung. Bẫy nhỏ: phải cộng đúng ba số

7, 8, 9

ở mẫu trước khi chia, cộng sai tổng số phần sẽ làm sai toàn bộ kết quả.

1Cách 1. Gọi ẩn rồi dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Gọi $x, y, z$ (cây) lần lượt là số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được ( $x, y, z$ dương), ghép tổng $120$ cây vào dãy tỉ số $\frac{x}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z}{9}$ .

x + y + z = 120

và

\frac{x}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z}{9}

\frac{x}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z}{9} = \frac{x + y + z}{7 + 8 + 9} = \frac{120}{24} = 5

x = 7 \cdot 5 = 35

;

y = 8 \cdot 5 = 40

;

z = 9 \cdot 5 = 45

Vậy lớp 7A trồng $35$ cây, 7B trồng $40$ cây, 7C trồng $45$ cây.

2Cách 2. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Định hướng. Cộng số phần của ba lớp, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần từng lớp.

Tổng số phần:

7 + 8 + 9 = 24

(phần)
Giá trị

1

phần:

120 : 24 = 5

(cây)
7A:

7 \cdot 5 = 35

; 7B:

8 \cdot 5 = 40

; 7C:

9 \cdot 5 = 45

(cây)

Vậy ba lớp trồng lần lượt $35$ , $40$ và $45$ cây.

3Cách 3. Tính theo phân số của tổng số cây

Định hướng. Mỗi lớp trồng đúng phân số (số phần của mình trên tổng số phần) của $120$ cây.

7A:

120 \cdot \frac{7}{24} = 35

7B:

120 \cdot \frac{8}{24} = 40

7C:

120 \cdot \frac{9}{24} = 45

Vậy ba lớp trồng lần lượt $35$ , $40$ và $45$ cây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính giá trị một phần trước rồi nhân lên, nhanh và ít nhầm lẫn nhất.

Đáp số. Lớp 7A trồng

35

cây, lớp 7B trồng

40

cây, lớp 7C trồng

45

cây.

Sai lầm thường gặp. Cộng sai tổng số phần

7 + 8 + 9 = 24

(nhầm thành

23

hoặc

25

) dẫn tới chia sai giá trị một phần.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại:

35 + 40 + 45 = 120

, đúng bằng tổng số cây đề cho — luôn cộng lại kết quả để tự kiểm tra dạng toán chia theo tỉ lệ này.

Mở bài này trong app ↗