Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 22. Đại lượng tỉ lệ thuận

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.17★Trang 10— Tìm hệ số tỉ lệ và tính giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận

Biết rằng

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi

x = 5

thì

y = 3

.
a) Viết công thức tính

y

theo

x

.
b) Tính giá trị của

y

khi

x = 10

.
c) Tính giá trị của

x

khi

y = \frac{3}{25}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x, y$ tỉ lệ thuận thì $y = a x$ với $a = \frac{y}{x}$ không đổi.
Từ $y = a x$ suy ra $x = \frac{y}{a}$ khi cần tính $x$ từ $y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Một cặp giá trị

x = 5, y = 3

đã đủ để tính hệ số tỉ lệ

a = \frac{y}{x} = \frac{3}{5}

, từ đó dùng công thức

y = \frac{3}{5} x

cho phần b) và chiều ngược

x = \frac{5}{3} y

cho phần c). Bẫy: ở phần c) dễ nhân nhầm

x = y \cdot \frac{3}{5}

thay vì phải chia đúng

x = \frac{y}{3/5}

1Cách 1. Tính hệ số tỉ lệ rồi áp dụng công thức cho cả hai chiều

Tính hệ số $a$ từ cặp $x = 5, y = 3$ , rồi dùng $y = a x$ để tính $y$ từ $x$ và $x = \frac{y}{a}$ để tính $x$ từ $y$ .

a = \frac{3}{5}

, công thức

y = \frac{3}{5} x

x = 10 \Rightarrow y = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6

y = \frac{3}{25} \Rightarrow x = \frac{3/25}{3/5} = \frac{3}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1}{5}

Vậy $y = \frac{3}{5} x$ ; khi $x = 10$ thì $y = 6$ ; khi $y = \frac{3}{25}$ thì $x = \frac{1}{5}$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ thức so với cặp giá trị mẫu

Với mỗi giá trị cần tính, lập tỉ lệ thức so với cặp mẫu $x = 5, y = 3$ mà không cần viết hệ số $a$ riêng.

\frac{x}{5} = \frac{y}{3}

với mọi cặp

(x, y)

tương ứng, suy ra công thức

y = \frac{3}{5} x

x = 10 \Rightarrow \frac{10}{5} = \frac{y}{3} \Rightarrow y = 6

y = \frac{3}{25} \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{3/25}{3} \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{1}{25} \Rightarrow x = \frac{1}{5}

Vậy $y = \frac{3}{5} x$ ; khi $x = 10$ thì $y = 6$ ; khi $y = \frac{3}{25}$ thì $x = \frac{1}{5}$ , trùng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = \frac{3}{5}

ngay từ dữ kiện đầu bài rồi thay số lần lượt cho từng phần a), b), c), khỏi phải lập tỉ lệ thức riêng cho mỗi phần.

Đáp số. a)

y = \frac{3}{5} x

. b)

y = 6

. c)

x = \frac{1}{5}

Sai lầm thường gặp. Ở phần c), nhân nhầm

x = y \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{125}

thay vì phải chia đúng cho hệ số

a = \frac{3}{5}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi cặp giá trị mẫu (

x = 5, y = 3

) thành cặp khác, hệ số

a

sẽ khác đi nhưng cách làm ba phần a), b), c) vẫn y hệt — luôn tính

a

từ MỘT cặp giá trị đủ cả

x

lẫn

y

trước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.18★★Trang 10— Điền bảng giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận và viết công thức liên hệ

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Thay dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.

$x$	$2$	$5$	?	?	$- 1, 5$	?
$y$	$6$	?	$12$	$- 9$	?	$- 1, 5$

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng

x

và

y

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x, y$ tỉ lệ thuận thì $y = a x$ với $a = \frac{y}{x}$ không đổi.
Từ $y = a x$ suy ra $x = \frac{y}{a}$ khi cần tính $x$ từ $y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cặp giá trị đầu tiên

x = 2, y = 6

đã đủ để tính hệ số tỉ lệ

a = \frac{y}{x} = 3

, từ đó dùng công thức

y = 3 x

(hoặc

x = \frac{y}{3}

) điền toàn bộ bảng. Bẫy: ô cuối cùng cho cả

y = - 1, 5

để tìm

x

trong khi ô thứ năm cho

x = - 1, 5

để tìm

y

— phải xác định đúng chiều tính cho từng ô, không nhầm lẫn giữa hai ô có cùng giá trị

- 1, 5

1Cách 1. Tính hệ số tỉ lệ rồi áp dụng công thức cho cả hai chiều

Tính hệ số $a$ từ cặp $x = 2, y = 6$ , rồi dùng $y = a x$ để tính $y$ từ $x$ và $x = \frac{y}{a}$ để tính $x$ từ $y$ .

a = \frac{6}{2} = 3

, công thức

y = 3 x

x = 5 \Rightarrow y = 3 \cdot 5 = 15

y = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{3} = 4

y = - 9 \Rightarrow x = \frac{- 9}{3} = - 3

x = - 1, 5 \Rightarrow y = 3 \cdot (- 1, 5) = - 4, 5

y = - 1, 5 \Rightarrow x = \frac{- 1 , 5}{3} = - 0, 5

Vậy bảng đầy đủ là $x : 2; 5; 4; - 3; - 1, 5; - 0, 5$ và $y : 6; 15; 12; - 9; - 4, 5; - 1, 5$ ; công thức liên hệ là $y = 3 x$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ thức so với cặp giá trị mẫu

Với mỗi ô còn thiếu, lập tỉ lệ thức so với cặp mẫu $x = 2, y = 6$ mà không cần tính hệ số $a$ tường minh trước.

\frac{x}{2} = \frac{y}{6}

với mọi cặp

(x, y)

tương ứng

x = 5 \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{y}{6} \Rightarrow y = 15

y = 12 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{12}{6} \Rightarrow x = 4

y = - 9 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{- 9}{6} \Rightarrow x = - 3

x = - 1, 5 \Rightarrow \frac{- 1 , 5}{2} = \frac{y}{6} \Rightarrow y = - 4, 5

y = - 1, 5 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{- 1 , 5}{6} \Rightarrow x = - 0, 5

Vậy bảng đầy đủ trùng Cách 1; công thức liên hệ là $y = 3 x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = 3

một lần rồi áp dụng công thức cho mọi ô, tránh phải lập lại tỉ lệ thức nhiều lần.

Đáp số. Bảng đầy đủ:

x : 2; 5; 4; - 3; - 1, 5; - 0, 5

và

y : 6; 15; 12; - 9; - 4, 5; - 1, 5

. Công thức liên hệ:

y = 3 x

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn hai ô có cùng giá trị

- 1, 5

(một ô là

x = - 1, 5

cần tìm

y

, một ô là

y = - 1, 5

cần tìm

x

), dẫn tới tính sai chiều và ra kết quả

- 0, 5

với

- 4, 5

đảo ngược cho nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi cặp mẫu từ

x = 2, y = 6

sang cặp khác (ví dụ

x = 5, y = 15

), hệ số

a = 3

tính ra vẫn không đổi — đây chính là bản chất của "tỉ số không đổi" định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.19★★Trang 10— Kiểm tra hai đại lượng có tỉ lệ thuận hay không từ bảng giá trị

Trong mỗi bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng

x

và

y

có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?
a)

$x$	$4$	$- 10$	$22$	$36$
$y$	$24$	$- 60$	$132$	$216$

$x$	$5$	$- 8$	$14$	$- 26$
$y$	$20$	$- 32$	$46$	$- 104$

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x, y$ tỉ lệ thuận thì mọi tỉ số $\frac{y}{x}$ tương ứng đều bằng nhau (và bằng hệ số tỉ lệ $a$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Muốn kết luận

x, y

tỉ lệ thuận, phải kiểm tra TẤT CẢ các tỉ số

\frac{y}{x}

tương ứng có cùng bằng nhau hay không, không chỉ vài cặp đầu. Bẫy ở bảng b): ba cặp đầu và cặp cuối đều cho tỉ số

4

nhưng cặp thứ ba

(14, 46)

lại cho tỉ số

\frac{23}{7}

, dễ bỏ sót nếu chỉ kiểm tra hai cặp đầu rồi vội kết luận có.

1Cách 1. Tính từng tỉ số y/x rồi so sánh

Tính lần lượt các tỉ số $\frac{y}{x}$ của bảng a) và bảng b) rồi so sánh xem có bằng nhau hết hay không.

Bảng a):

\frac{24}{4} = 6

;

\frac{- 60}{- 10} = 6

;

\frac{132}{22} = 6

;

\frac{216}{36} = 6

Bảng b):

\frac{20}{5} = 4

;

\frac{- 32}{- 8} = 4

;

\frac{46}{14} = \frac{23}{7}

;

\frac{- 104}{- 26} = 4

Vậy bảng a) có tất cả tỉ số bằng $6$ nên $x, y$ tỉ lệ thuận; bảng b) có tỉ số $\frac{23}{7} \neq = 4$ nên $x, y$ không tỉ lệ thuận.

2Cách 2. Tính hệ số từ cặp đầu rồi kiểm tra các cặp còn lại

Tính hệ số $a$ từ cặp giá trị đầu tiên của mỗi bảng, rồi kiểm tra công thức $y = a x$ có đúng với các cặp còn lại không.

Bảng a):

a = \frac{24}{4} = 6

; kiểm tra

6 \cdot (- 10) = - 60

(đúng),

6 \cdot 22 = 132

(đúng),

6 \cdot 36 = 216

(đúng)

Bảng b):

a = \frac{20}{5} = 4

; kiểm tra

4 \cdot (- 8) = - 32

(đúng),

4 \cdot 14 = 56 \neq = 46

(sai),

4 \cdot (- 26) = - 104

(đúng)

Vậy bảng a) thoả mãn $y = 6 x$ ở mọi cặp nên tỉ lệ thuận; bảng b) có cặp $(14, 46)$ không thoả $y = 4 x$ nên không tỉ lệ thuận, trùng kết luận Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính hệ số từ cặp đầu rồi thử nhanh các cặp còn lại, hễ gặp một cặp sai là kết luận ngay "không tỉ lệ thuận" mà không cần tính hết.

Đáp số. a) Có,

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ thuận (mọi tỉ số

\frac{y}{x}

đều bằng

6

). b) Không, vì

\frac{46}{14} = \frac{23}{7} \neq = 4

trong khi ba tỉ số còn lại đều bằng

4

Sai lầm thường gặp. Chỉ kiểm tra hai cặp đầu của bảng b) (đều cho tỉ số

4

) rồi vội kết luận "có tỉ lệ thuận" mà bỏ sót cặp

(14, 46)

phá vỡ quy luật.

🚀 Mở rộng. Đây là kĩ năng ngược với việc LẬP bảng tỉ lệ thuận ở Bài 6.18 — Bài 6.18 cho sẵn tính chất tỉ lệ thuận để điền số, còn bài này phải tự kiểm tra tính chất đó có đúng không trước khi kết luận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.20★★Trang 11— Toán thực tế về đại lượng tỉ lệ thuận (quãng đường và lượng xăng tiêu thụ)

Dưới đây là bảng tiêu thụ xăng của một loại ô tô cỡ nhỏ.

Quãng đường đi được (km)	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$80$	$100$
Lượng xăng tiêu thụ (lít)	$0, 8$	$1, 6$	$2, 4$	$3, 2$	$4, 0$	$6, 4$	$8, 0$

Quãng đường đi được có tỉ lệ thuận với lượng xăng tiêu thụ hay không? Nếu có thì hãy tìm hệ số tỉ lệ và tính lượng xăng tiêu thụ khi ô tô chạy được

150

km.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x, y$ tỉ lệ thuận thì mọi tỉ số $\frac{x}{y}$ (hoặc $\frac{y}{x}$ ) tương ứng đều bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bảy cặp số liệu đều cho tỉ số quãng đường trên xăng bằng nhau — dấu hiệu quãng đường tỉ lệ thuận với lượng xăng tiêu thụ, từ đó tính hệ số tỉ lệ rồi áp dụng cho quãng đường

150

km. Bẫy: đề hỏi "quãng đường tỉ lệ thuận với xăng" (không phải chiều ngược lại), nên hệ số tỉ lệ đúng phải là tỉ số quãng đường chia cho lượng xăng (bằng

12, 5

), chứ không phải tỉ số xăng chia cho quãng đường (bằng

0, 08

1Cách 1. Kiểm tra tỉ số rồi tính hệ số theo đúng chiều đề hỏi

Gọi $x$ (km) là quãng đường, $y$ (lít) là lượng xăng (cả $x$ và $y$ đều dương); kiểm tra tỉ số $\frac{x}{y}$ có không đổi không, rồi dùng hệ số đó để suy ra $y$ khi biết $x = 150$ .

\frac{10}{0 , 8} = \frac{20}{1 , 6} = \frac{30}{2 , 4} = \frac{40}{3 , 2} = \frac{50}{4 , 0} = \frac{80}{6 , 4} = \frac{100}{8 , 0} = 12, 5

Vậy quãng đường tỉ lệ thuận với lượng xăng, hệ số tỉ lệ

a = \frac{x}{y} = 12, 5

, tức

x = 12, 5 y

x = 150 \Rightarrow 150 = 12, 5 y \Rightarrow y = \frac{150}{12 , 5} = 12

Vậy quãng đường tỉ lệ thuận với lượng xăng, hệ số tỉ lệ là $12, 5$ ; khi chạy $150$ km, ô tô tiêu thụ $12$ lít xăng.

2Cách 2. Tính hệ số tỉ lệ theo chiều nghịch (xăng trên quãng đường)

Tính tỉ số $\frac{y}{x}$ (lượng xăng trên quãng đường) — đây chính là hệ số tỉ lệ khi coi $y$ là đại lượng tỉ lệ thuận với $x$ theo Chú ý đã học (hai chiều đều tỉ lệ thuận).

\frac{0 , 8}{10} = \frac{1 , 6}{20} = \dots = \frac{8 , 0}{100} = 0, 08

Vậy

y = 0, 08 x

(lượng xăng tỉ lệ thuận quãng đường theo hệ số

0, 08 = \frac{1}{12 , 5}

)

x = 150 \Rightarrow y = 0, 08 \cdot 150 = 12

Vậy khi chạy $150$ km, ô tô tiêu thụ $12$ lít xăng, trùng Cách 1.

3Cách 3. Lập tỉ lệ thức trực tiếp rồi nhân chéo

Không cần phát biểu hệ số tỉ lệ, lập ngay tỉ lệ thức giữa cặp số liệu mẫu $(10; 0, 8)$ và cặp cần tìm $(150; y)$ .

\frac{150}{10} = \frac{y}{0 , 8}

y = \frac{150 \cdot 0 , 8}{10} = \frac{120}{10} = 12

Vậy khi chạy $150$ km, ô tô tiêu thụ $12$ lít xăng, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác cách phát biểu hệ số, cùng dựa trên một tỉ số không đổi $12, 5$ (hoặc nghịch đảo $0, 08$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: lập tỉ lệ thức rồi nhân chéo, không cần phát biểu hệ số tỉ lệ theo đúng chiều nên tránh được bẫy nhầm chiều của Cách 1.

Đáp số. Quãng đường đi được tỉ lệ thuận với lượng xăng tiêu thụ, hệ số tỉ lệ là

12, 5

(hay lượng xăng tỉ lệ thuận quãng đường theo hệ số

0, 08

); khi ô tô chạy được

150

km thì tiêu thụ

12

lít xăng.

Sai lầm thường gặp. Nhầm hệ số tỉ lệ

12, 5

(quãng đường trên xăng) với

0, 08

(xăng trên quãng đường), dẫn tới tính nhầm

y = 150 \cdot 12, 5 = 1875

thay vì đúng

y = \frac{150}{12 , 5} = 12

🚀 Mở rộng. Hệ số

12, 5

chính là "số km đi được với

1

lít xăng" — đây là cách hiểu thực tế của hệ số tỉ lệ trong bài toán tiêu thụ nhiên liệu, tương tự bài Luyện tập 1 ở SGK (tỉ lệ protein trong đậu tương).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.21★★Trang 11— Tìm hai đại lượng tỉ lệ thuận biết hiệu, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Một công ty có chính sách khen thưởng cuối năm là thưởng theo năng suất lao động của công nhân. Hai công nhân có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với

3; 4

. Tính số tiền thưởng cuối năm của mỗi công nhân đó. Biết rằng số tiền thưởng của người thứ hai nhiều hơn số tiền thưởng của người thứ nhất là

2

triệu đồng.

Kiến thức cần nhớ

Số tiền thưởng tỉ lệ thuận với năng suất lao động (do cùng chính sách khen thưởng).
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ năng suất

3 : 4

và hiệu tiền thưởng

2

triệu đồng — dấu hiệu tiền thưởng tỉ lệ thuận với năng suất, ghép hiệu vào dãy tỉ số

\frac{x}{3} = \frac{y}{4}

. Bẫy: "người thứ hai nhiều hơn người thứ nhất" nghĩa là

y - x = 2

(không phải

x - y = 2

), phải giữ đúng chiều hiệu theo đúng thứ tự "thứ nhất, thứ hai" trong đề.

1Cách 1. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Gọi $x, y$ (triệu đồng) lần lượt là tiền thưởng người thứ nhất, người thứ hai ( $x, y$ dương); vì tiền thưởng tỉ lệ thuận năng suất nên $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ , ghép với hiệu $y - x = 2$ .

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{y - x}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

y = 4 \cdot 2 = 8

Vậy người thứ nhất được thưởng $6$ triệu đồng, người thứ hai được thưởng $8$ triệu đồng.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ k

Từ $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k$ , đặt $x = 3 k$ , $y = 4 k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

x = 3 k

;

y = 4 k

y - x = 4 k - 3 k = k = 2

x = 3 \cdot 2 = 6

;

y = 4 \cdot 2 = 8

Vậy người thứ nhất được thưởng $6$ triệu đồng, người thứ hai được thưởng $8$ triệu đồng.

3Cách 3. Tính theo phần

Coi $3$ và $4$ là số phần của người thứ nhất, người thứ hai; hiệu số phần ứng đúng với hiệu $2$ triệu đồng.

Hiệu số phần:

4 - 3 = 1

(phần)

Giá trị

1

phần:

2 : 1 = 2

(triệu đồng)

Người thứ nhất:

3 \cdot 2 = 6

; người thứ hai:

4 \cdot 2 = 8

(triệu đồng)

Vậy người thứ nhất được thưởng $6$ triệu đồng, người thứ hai được thưởng $8$ triệu đồng, trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép thẳng hiệu vào dãy tỉ số

\frac{x}{3} = \frac{y}{4}

, không cần đặt thêm ẩn phụ.

Đáp số. Người thứ nhất được thưởng

6

triệu đồng; người thứ hai được thưởng

8

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Đặt ngược hiệu thành

x - y = 2

(coi người thứ nhất nhận nhiều hơn), trong khi đề nói rõ người thứ hai (năng suất cao hơn, tỉ lệ

4

) mới là người nhận nhiều hơn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tỉ lệ năng suất thành

3 : 5

(giữ nguyên hiệu

2

triệu đồng) thì hiệu số phần đổi thành

5 - 3 = 2

, giá trị

1

phần chỉ còn

2 : 2 = 1

triệu đồng — kết quả hai người sẽ khác hẳn dù hiệu tiền thưởng không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.22★★Trang 11— Chia một tổng thành ba phần theo tỉ lệ cho trước (ứng dụng thực tế)

Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ

3 : 5 : 7

. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi, biết tổng số tiền lãi là

600

triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã góp?

Kiến thức cần nhớ

Nếu ba số tỉ lệ với $m, n, p$ thì có thể đặt ba số đó là $mk, nk, p k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ vốn góp ba đơn vị và tổng tiền lãi đã biết — dấu hiệu gọi ba ẩn theo đúng tỉ lệ rồi ghép vào dãy tỉ số bằng tổng

600

triệu đồng. Bẫy: phải cộng đúng ba số

3, 5, 7

ở mẫu trước khi chia, cộng sai tổng số phần sẽ làm sai toàn bộ kết quả.

1Cách 1. Gọi ẩn rồi dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Gọi $x, y, z$ (triệu đồng) lần lượt là tiền lãi ba đơn vị ( $x, y, z$ dương), ghép tổng $600$ triệu vào dãy tỉ số $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ .

x + y + z = 600

và

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = \frac{x + y + z}{3 + 5 + 7} = \frac{600}{15} = 40

x = 3 \cdot 40 = 120

;

y = 5 \cdot 40 = 200

;

z = 7 \cdot 40 = 280

Vậy ba đơn vị nhận lần lượt $120$ , $200$ và $280$ triệu đồng tiền lãi.

2Cách 2. Tính giá trị một phần rồi nhân lên

Cộng số phần vốn góp của ba đơn vị, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần.

Tổng số phần:

3 + 5 + 7 = 15

(phần)

Giá trị

1

phần:

600 : 15 = 40

(triệu đồng)

Đơn vị 1:

3 \cdot 40 = 120

; đơn vị 2:

5 \cdot 40 = 200

; đơn vị 3:

7 \cdot 40 = 280

(triệu đồng)

Vậy ba đơn vị nhận lần lượt $120$ , $200$ và $280$ triệu đồng tiền lãi.

3Cách 3. Tính theo phân số của tổng tiền lãi

Mỗi đơn vị nhận đúng phân số (số phần vốn của mình trên tổng số phần) của $600$ triệu đồng.

Đơn vị 1:

600 \cdot \frac{3}{15} = 120

Đơn vị 2:

600 \cdot \frac{5}{15} = 200

Đơn vị 3:

600 \cdot \frac{7}{15} = 280

Vậy ba đơn vị nhận lần lượt $120$ , $200$ và $280$ triệu đồng tiền lãi, trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính giá trị một phần trước rồi nhân lên, nhanh và ít nhầm lẫn nhất.

Đáp số. Đơn vị thứ nhất nhận

120

triệu đồng, đơn vị thứ hai nhận

200

triệu đồng, đơn vị thứ ba nhận

280

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Cộng sai tổng số phần

3 + 5 + 7 = 15

(nhầm thành

14

hoặc

16

) dẫn tới chia sai giá trị một phần.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại:

120 + 200 + 280 = 600

triệu đồng, đúng tổng tiền lãi đề cho — luôn cộng lại kết quả để tự kiểm tra dạng toán chia theo tỉ lệ này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.23★★★Trang 11— Tính bắc cầu của quan hệ tỉ lệ thuận và tính giá trị cụ thể

Cho biết

x

tỉ lệ thuận với

y

theo hệ số tỉ lệ

0, 4

và

y

tỉ lệ thuận với

z

theo hệ số tỉ lệ

6

.
a) Hỏi

x

tỉ lệ thuận với

z

theo hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?
b) Tìm giá trị của

x

khi

z = \frac{3}{4}

.
c) Tìm giá trị của

z

khi

x = 12

Kiến thức cần nhớ

$x$ tỉ lệ thuận $y$ theo hệ số $0, 4$ nghĩa là $x = 0, 4 y$ .
$y$ tỉ lệ thuận $z$ theo hệ số $6$ nghĩa là $y = 6 z$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai quan hệ tỉ lệ thuận nối tiếp nhau (

x

theo

y

y

theo

z

) — dấu hiệu phải thế công thức này vào công thức kia để tìm hệ số tỉ lệ trực tiếp giữa

x

và

z

trước khi tính các giá trị cụ thể ở phần b), c). Bẫy: dễ nhầm hệ số cuối là

0, 4 + 6 = 6, 4

(cộng hai hệ số) thay vì đúng là tích

0, 4 \cdot 6 = 2, 4

1Cách 1. Thế trực tiếp công thức này vào công thức kia

Thay $y = 6 z$ vào $x = 0, 4 y$ để biểu diễn trực tiếp $x$ theo $z$ , rồi thay số cho phần b), c).

x = 0, 4 y

và

y = 6 z \Rightarrow x = 0, 4 \cdot 6 z = 2, 4 z

z = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 2, 4 \cdot \frac{3}{4} = 1, 8

x = 12 \Rightarrow z = \frac{12}{2 , 4} = 5

Vậy a) $x$ tỉ lệ thuận $z$ theo hệ số $2, 4$ ; b) $x = 1, 8$ ; c) $z = 5$ .

2Cách 2. Dùng tỉ số không đổi

Từ $x = 0, 4 y$ suy ra $\frac{x}{y} = 0, 4$ ; từ $y = 6 z$ suy ra $\frac{y}{z} = 6$ ; nhân hai tỉ số này với nhau để ra tỉ số $\frac{x}{z}$ .

\frac{x}{y} = 0, 4

và

\frac{y}{z} = 6

\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} = 0, 4 \cdot 6 \Rightarrow \frac{x}{z} = 2, 4

z = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 2, 4 \cdot \frac{3}{4} = 1, 8

;

x = 12 \Rightarrow z = \frac{12}{2 , 4} = 5

Vậy a) hệ số tỉ lệ là $2, 4$ ; b) $x = 1, 8$ ; c) $z = 5$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Tính qua đại lượng trung gian y

Không rút gọn thành công thức tổng quát $x = 2, 4 z$ ngay từ đầu mà tính lần lượt qua $y$ ở mỗi phần.

a) Chọn

z = 1 \Rightarrow y = 6 \cdot 1 = 6 \Rightarrow x = 0, 4 \cdot 6 = 2, 4

, vậy hệ số tỉ lệ

x

theo

z

là

2, 4

z = \frac{3}{4} \Rightarrow y = 6 \cdot \frac{3}{4} = 4, 5 \Rightarrow x = 0, 4 \cdot 4, 5 = 1, 8

x = 12 \Rightarrow y = \frac{12}{0 , 4} = 30 \Rightarrow z = \frac{30}{6} = 5

Vậy a) hệ số tỉ lệ $2, 4$ ; b) $x = 1, 8$ ; c) $z = 5$ , trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế trực tiếp một công thức vào công thức kia để ra ngay

x = 2, 4 z

, rồi thay số cho mọi phần còn lại.

Đáp số. a) Hệ số tỉ lệ là

2, 4

. b)

x = 1, 8

. c)

z = 5

Sai lầm thường gặp. Đoán nhầm hệ số tỉ lệ cuối cùng là tổng

0, 4 + 6 = 6, 4

(do nhớ nhầm quy tắc cộng hệ số), trong khi phép thế đúng luôn cho ra TÍCH

0, 4 \cdot 6 = 2, 4

chứ không phải tổng.

🚀 Mở rộng. Tính chất bắc cầu này đúng với mọi dãy đại lượng tỉ lệ thuận nối tiếp: nếu thêm

z

tỉ lệ thuận

w

theo hệ số

c

thì

x

tỉ lệ thuận

w

theo hệ số

2, 4 c

(nhân dồn tất cả các hệ số trung gian).

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.24★★★Trang 11— Tính giá trị của đại lượng tỉ lệ thuận từ hai cặp giá trị tương ứng

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ thuận,

x_{1}, x_{2}

là hai giá trị khác nhau của

x

và

y_{1}, y_{2}

là hai giá trị tương ứng của

y

.
a) Tính giá trị của

x_{1}

, biết

x_{2} = 3

y_{1} = - 5

y_{2} = 9

.
b) Tính

x_{2}

và

y_{2}

, biết

y_{2} - x_{2} = - 68

x_{1} = 5

y_{1} = - 12

Kiến thức cần nhớ

Vì $x, y$ tỉ lệ thuận nên $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = a$ (hệ số tỉ lệ không đổi) với mọi cặp giá trị tương ứng.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{b - a}{n - m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vì

x, y

tỉ lệ thuận nên tỉ số

\frac{y}{x}

không đổi ở mọi cặp giá trị tương ứng — dấu hiệu để lập đẳng thức

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}

ở phần a). Bẫy ở phần b):

x_{2}, y_{2}

đều chưa biết nên không thể lập tỉ lệ thức trực tiếp như phần a), phải tính hệ số tỉ lệ

a

từ cặp ĐÃ ĐỦ

(x_{1}, y_{1}) = (5, - 12)

trước rồi mới kết hợp với hiệu

y_{2} - x_{2} = - 68

1Cách 1. Dùng hệ số tỉ lệ không đổi y/x

a) Từ $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$ , suy ra $x_{1}$ khi đã biết $x_{2}, y_{1}, y_{2}$ .
b) Tính hệ số $a = \frac{y _{1}}{x _{1}}$ từ cặp đã đủ $(5, - 12)$ , rồi dùng $y_{2} = a x_{2}$ kết hợp với hiệu đã cho để tìm $x_{2}$ .

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} \Rightarrow x_{1} = \frac{y _{1} \cdot x _{2}}{y _{2}} = \frac{- 5 \cdot 3}{9} = - \frac{5}{3}

a = \frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{- 12}{5}

, nên

y_{2} = \frac{- 12}{5} x_{2}

y_{2} - x_{2} = - 68 \Rightarrow \frac{- 12}{5} x_{2} - x_{2} = - 68 \Rightarrow \frac{- 17}{5} x_{2} = - 68 \Rightarrow x_{2} = 20

y_{2} = \frac{- 12}{5} \cdot 20 = - 48

Vậy a) $x_{1} = - \frac{5}{3}$ . b) $x_{2} = 20$ , $y_{2} = - 48$ .

2Cách 2. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trên tỉ số y2/y1 = x2/x1

Vì $x, y$ tỉ lệ thuận nên $y_{2} = a x_{2}$ , $y_{1} = a x_{1}$ , suy ra $\frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}$ ; ghép tỉ số này với dữ kiện của từng phần.

\frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{x _{1}} \Rightarrow \frac{9}{- 5} = \frac{3}{x _{1}} \Rightarrow x_{1} = \frac{3 \cdot ( - 5 )}{9} = - \frac{5}{3}

\frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2} - x _{2}}{y _{1} - x _{1}} = \frac{- 68}{- 12 - 5} = \frac{- 68}{- 17} = 4

x_{2} = 4 \cdot x_{1} = 4 \cdot 5 = 20

;

y_{2} = 4 \cdot y_{1} = 4 \cdot (- 12) = - 48

Vậy a) $x_{1} = - \frac{5}{3}$ . b) $x_{2} = 20$ , $y_{2} = - 48$ , trùng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ghép thẳng tỉ số

\frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}

với dãy tỉ số bằng nhau ở phần b), gọn hơn việc tính hệ số

a

là phân số ở Cách 1.

Đáp số. a)

x_{1} = - \frac{5}{3}

. b)

x_{2} = 20

y_{2} = - 48

Sai lầm thường gặp. Ở phần b), lập nhầm tỉ lệ thức trực tiếp

\frac{x _{2}}{5} = \frac{y _{2}}{- 12}

rồi cố ghép với hiệu

y_{2} - x_{2} = - 68

mà quên rằng

x_{2}, y_{2}

đều là ẩn chưa biết — phải tính hệ số

a

trước tiên từ cặp ĐÃ ĐỦ

(x_{1}, y_{1})

🚀 Mở rộng. Công thức

\frac{y _{2}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}

ở Cách 2 chính là hệ quả trực tiếp của định nghĩa tỉ lệ thuận, dùng được cho MỌI cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, không riêng bài này.

Mở bài này trong app ↗