Bài 22. Đại lượng tỉ lệ thuận

Định hướng. Với vận tốc không đổi $60$ km/h, quãng đường $s=60t$, thay lần lượt từng giá trị $t$ đã cho.

Vậy bảng giá trị $s$ (km) tương ứng với $t=1;1,5;2;3$ là $60;90;120;180$.

Định hướng. Với mỗi cặp giá trị tương ứng, tỉ số $\frac{s}{t}$ luôn bằng đúng vận tốc $60$ nên $s=60\cdot t$ cho từng ô mà không cần viết lại công thức tổng quát trước.

Vậy bảng giá trị $s$ vẫn là $60;90;120;180$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác cách trình bày, cùng dựa trên một phép nhân duy nhất $s=60t$.

Định hướng. Thay vận tốc không đổi $v=60$ vào công thức đã biết $s=vt$.

Vậy công thức tính quãng đường theo thời gian là $s=60t$.

Định hướng. Nhận thấy ở HĐ1 tỉ số $\frac{s}{t}$ luôn bằng $60$ với mọi cặp giá trị trong bảng, từ đó khái quát thành công thức chung.

Vậy công thức tính quãng đường theo thời gian là $s=60t$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ tại sao hệ số $60$ chính là tỉ số không đổi giữa $s$ và $t$.

Định hướng. Từ $s=60t$, đối chiếu với định nghĩa $y=ax$ để xét chiều $s$ theo $t$, rồi biến đổi để lộ ra chiều $t$ theo $s$.

Vậy cả hai câu trả lời đều là "có".

Định hướng. Dùng ngay kết luận tổng quát ở phần Chú ý: nếu $y$ tỉ lệ thuận $x$ theo hệ số $a$ thì $x$ tỉ lệ thuận $y$ theo hệ số $\frac{1}{a}$, với $y=s$, $x=t$, $a=60$.

Vậy cả hai câu trả lời đều là "có", trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn vì tận dụng ngay kết luận tổng quát thay vì tự biến đổi công thức từ đầu.

Định hướng. Đặt $P$ (g) là khối lượng protein, $m$ (g) là khối lượng đậu tương; tính tỉ số $\frac{P}{m}$ từ cặp số liệu $100$ g và $34$ g đã cho.

Vậy khối lượng protein $P$ tỉ lệ thuận với khối lượng đậu tương $m$ theo hệ số tỉ lệ $a=0,34$, tức $P=0,34m$.

Định hướng. Gọi $m$ (g) là khối lượng đậu tương bất kì; vì cứ $100$ g đậu tương luôn có đúng $34$ g protein nên tỉ lệ này giữ nguyên với mọi $m$.

Vậy $P$ tỉ lệ thuận với $m$ theo hệ số tỉ lệ $a=0,34$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giải thích rõ VÌ SAO tỉ số không đổi, không chỉ tính ra kết quả như Cách 1.

Định hướng. Gọi $m$ (kg) là khối lượng bột thu được từ khối lượng củ $n$ (kg); tìm hệ số tỉ lệ $a=\frac{m}{n}$ từ cặp số liệu $4,5$ kg và $1$ kg rồi thay $n=300$.

Vậy ông An thu được khoảng $\frac{200}{3}\approx 66,67$ kg bột sắn dây.

Định hướng. Gọi $x$ (kg) là khối lượng bột cần tìm, lập tỉ lệ thức giữa hai cặp khối lượng củ và bột tương ứng.

Vậy ông An thu được khoảng $\frac{200}{3}\approx 66,67$ kg bột sắn dây, trùng Cách 1.

Định hướng. Tìm khối lượng củ $300$ kg gấp bao nhiêu lần $4,5$ kg, rồi khối lượng bột cũng thu được gấp đúng bấy nhiêu lần $1$ kg.

Vậy ông An thu được khoảng $\frac{200}{3}\approx 66,67$ kg bột sắn dây, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một phép chia $300:4,5$, chỉ khác cách diễn giải ý nghĩa của phép chia đó.

Định hướng. Gọi $m_1,m_2$ (g) lần lượt là khối lượng thanh có thể tích $10$ cm${}^3$ và $15$ cm${}^3$ ($m_1,m_2$ dương); vì khối lượng tỉ lệ thuận thể tích nên $\frac{m_1}{10}=\frac{m_2}{15}$, ghép với hiệu $m_2-m_1=40$.

Vậy thanh $10$ cm${}^3$ nặng $80$ g, thanh $15$ cm${}^3$ nặng $120$ g.

Định hướng. Từ $\frac{m_1}{10}=\frac{m_2}{15}=k$, đặt $m_1=10k$, $m_2=15k$ rồi thay vào hiệu đã cho.

Vậy thanh $10$ cm${}^3$ nặng $80$ g, thanh $15$ cm${}^3$ nặng $120$ g.

Định hướng. Rút gọn tỉ số thể tích $10:15=2:3$ để coi khối lượng gồm số phần bằng nhau, hiệu số phần ứng đúng với hiệu khối lượng $40$ g.

Vậy thanh $10$ cm${}^3$ nặng $80$ g, thanh $15$ cm${}^3$ nặng $120$ g, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tránh làm việc với số lớn $10,15$ mà chỉ cần tỉ số rút gọn $2:3$.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ (kg) lần lượt là khối lượng ba phần gạo ($x,y,z$ dương), ghép tổng $1000$ kg vào dãy tỉ số $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$.

Vậy ba phần gạo có khối lượng lần lượt $200$ kg, $300$ kg, $500$ kg.

Định hướng. Cộng số phần của ba phần gạo, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần.

Vậy ba phần gạo có khối lượng lần lượt $200$ kg, $300$ kg, $500$ kg.

Định hướng. Mỗi phần nhận đúng phân số (số phần của mình trên tổng số phần) của $1000$ kg.

Vậy ba phần gạo có khối lượng lần lượt $200$ kg, $300$ kg, $500$ kg, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 thực chất là hai cách viết của cùng một phép tính, tránh phải lập tỉ lệ thức hình thức như Cách 1.

Định hướng. Tính hệ số $a$ từ cặp $x=2,y=-6$, rồi dùng $y=ax$ để tính $y$ từ $x$ và $x=\frac{y}{a}$ để tính $x$ từ $y$.

Vậy bảng đầy đủ là $x:2;4;5;-3;-6;-0,5$ và $y:-6;-12;-15;9;18;1,5$; công thức liên hệ là $y=-3x$.

Định hướng. Với mỗi ô còn thiếu, lập tỉ lệ thức so với cặp mẫu $x=2,y=-6$ mà không cần tính hệ số $a$ tường minh trước.

Vậy bảng đầy đủ trùng Cách 1; công thức liên hệ là $y=-3x$.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải phát biểu hệ số $a$ riêng, nhưng về bản chất vẫn dùng cùng tỉ số không đổi $-3$.

Định hướng. Tính lần lượt các tỉ số $\frac{y}{x}$ của bảng a) và bảng b) rồi so sánh xem có bằng nhau hết hay không.

Vậy bảng a) có tất cả tỉ số bằng $3$ nên $x,y$ tỉ lệ thuận; bảng b) có tỉ số $\frac{15}{8}\ne 2$ nên $x,y$ không tỉ lệ thuận.

Định hướng. Tính hệ số $a$ từ cặp giá trị đầu tiên của mỗi bảng, rồi kiểm tra công thức $y=ax$ có đúng với các cặp còn lại không.

Vậy bảng a) thoả mãn công thức $y=3x$ ở mọi cặp nên tỉ lệ thuận; bảng b) có cặp $(16,30)$ không thoả $y=2x$ nên không tỉ lệ thuận, trùng kết luận Cách 1.

Nhận xét. Chỉ cần MỘT cặp không thoả mãn là đủ để kết luận hai đại lượng không tỉ lệ thuận, không cần kiểm tra hết nếu đã tìm được phản ví dụ.

Định hướng. Thay $x=bz$ vào $y=ax$ để biểu diễn trực tiếp $y$ theo $z$.

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $ab$.

Định hướng. Thử trước với $a=2,b=3$ để dự đoán quy luật, sau đó viết lại phép chứng minh cho $a,b$ tổng quát như Cách 1.

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $ab$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Thử số cụ thể chỉ giúp DỰ ĐOÁN kết quả, phần chứng minh chặt chẽ vẫn phải làm với $a,b$ tổng quát như Cách 1.

Định hướng. Từ $y=ax$ suy ra $\frac{y}{x}=a$ (với $x\ne 0$); từ $x=bz$ suy ra $\frac{x}{z}=b$ (với $z\ne 0$); nhân hai tỉ số này với nhau.

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $ab$, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $h_1,h_2$ là chiều cao và $t_1,t_2$ là thời gian bơm đầy của bể 1, bể 2; vì $t$ tỉ lệ thuận $h$ (do dài, rộng không đổi) nên $\frac{t_1}{h_1}=\frac{t_2}{h_2}$.

Vậy phải mất $6$ giờ để bơm đầy nước vào bể thứ hai.

Định hướng. Từ $h_1=\frac{3}{4}{h}_2$ suy ra tỉ số chiều cao $h_1:h_2=3:4$; vì thời gian tỉ lệ thuận chiều cao nên thời gian cũng theo đúng tỉ số $3:4$.

Vậy phải mất $6$ giờ để bơm đầy nước vào bể thứ hai, trùng Cách 1.

Định hướng. Tìm chiều cao bể 2 gấp bao nhiêu lần chiều cao bể 1, rồi thời gian bơm bể 2 cũng gấp đúng bấy nhiêu lần thời gian bơm bể 1.

Vậy phải mất $6$ giờ để bơm đầy nước vào bể thứ hai, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng phép nhân $4,5\cdot \frac{4}{3}$, chỉ khác cách diễn giải ý nghĩa của hệ số $\frac{4}{3}$.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ (lít) lần lượt là thể tích hoá chất ở ba lọ ($x,y,z$ dương), ghép tổng $1,5$ lít vào dãy tỉ số $\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$.

Vậy ba lọ đựng lần lượt $0,4$ lít, $0,5$ lít, $0,6$ lít hoá chất.

Định hướng. Cộng số phần của ba lọ, tìm giá trị một phần, rồi nhân theo đúng số phần.

Vậy ba lọ đựng lần lượt $0,4$ lít, $0,5$ lít, $0,6$ lít hoá chất.

Định hướng. Mỗi lọ nhận đúng phân số (số phần của mình trên tổng số phần) của $1,5$ lít.

Vậy ba lọ đựng lần lượt $0,4$ lít, $0,5$ lít, $0,6$ lít hoá chất, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều dựa trên cùng giá trị một phần $0,1$ lít, chỉ khác cách trình bày phép nhân.