Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 23. Đại lượng tỉ lệ nghịch

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang14–15 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.25★Trang 14— Xác định hệ số tỉ lệ nghịch từ một cặp giá trị rồi tính ngược các giá trị còn lại

Biết rằng

x

và

y

tỉ lệ nghịch với nhau và

x = 4

khi

y = 15

.
a) Viết công thức tính

y

theo

x

.
b) Tìm giá trị của

y

khi

x = 6

.
c) Tìm giá trị của

x

khi

y = 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $y = \frac{a}{x}$ , với $a = x \cdot y$ không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cặp giá trị đủ cả

x

lẫn

y

— dấu hiệu phải nhân chúng để tìm hệ số

a = x y

trước khi trả lời ba câu hỏi con. Bẫy: câu c) cho

y = 0, 5

là số thập phân, dễ tính sai phép chia

15 : 0, 5

nếu không đổi về phân số.

1Cách 1. Tính hệ số a rồi thay số trực tiếp

Từ cặp $x = 4, y = 15$ tính hệ số $a = x y$ , viết công thức rồi thay số cho từng câu.

a = 4 \cdot 15 = 60

;

y = \frac{60}{x}

x = 6 \Rightarrow y = \frac{60}{6} = 10

y = 0, 5 \Rightarrow x = \frac{60}{0 , 5} = 120

Vậy a) $y = \frac{60}{x}$ ; b) $y = 10$ ; c) $x = 120$ .

2Cách 2. Lập phương trình tích x·y = 60 cho từng câu

Không viết công thức trung gian, lập ngay phương trình tích bằng $60$ cho mỗi câu hỏi.

4 \cdot 15 = 60

(hệ số không đổi)

6 \cdot y = 60 \Rightarrow y = 10

x \cdot 0, 5 = 60 \Rightarrow x = 120

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $x y = 60$ hay $y = \frac{60}{x}$ ; b) $y = 10$ ; c) $x = 120$ .

3Cách 3. Đổi 0,5 về phân số để tính bằng số nguyên

Với câu c), đổi $y = 0, 5 = \frac{1}{2}$ trước khi chia để tránh sai sót khi chia cho số thập phân.

y = 0, 5 = \frac{1}{2}

x = \frac{60}{1/2} = 60 \cdot 2 = 120

Vậy $x = 120$ khi $y = 0, 5$ , trùng Cách 1 và Cách 2; câu a), b) giải như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = 60

một lần rồi dùng công thức

y = \frac{60}{x}

cho mọi câu hỏi con, nhanh và có hệ thống nhất.

Đáp số. a)

y = \frac{60}{x}

; b)

y = 10

; c)

x = 120

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), chia nhầm

60 : 0, 5

thành

30

(coi như chia đôi) thay vì đúng

120

(chia cho

0, 5

tức nhân đôi), do lẫn lộn phép chia cho số thập phân nhỏ hơn

1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành

x = 4

khi

y = - 15

thì hệ số

a = - 60

, công thức trở thành

y = \frac{- 60}{x}

và mọi kết quả câu b), c) đều đổi dấu tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.26★★Trang 14— Xác định hệ số tỉ lệ nghịch từ cặp giá trị đủ dữ kiện rồi điền bảng và viết công thức

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.

$x$	$1$	$2, 5$	?	?	$8$
$y$	?	$4$	$2, 5$	$2$	?

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng

x

và

y

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $y = \frac{a}{x}$ , với $a = x \cdot y$ không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng một cột đủ cả

x

lẫn

y

(

x = 2, 5; y = 4

) — dấu hiệu phải dùng cột này để tính hệ số

a = x y

trước, các cột còn lại chỉ có một trong hai giá trị nên phải tính ngược bằng

y = \frac{a}{x}

hoặc

x = \frac{a}{y}

. Bẫy: cột đầu (

x = 1

) và cột cuối (

y = ?

ứng

x = 8

) dễ nhầm chiều tính nếu không xác định rõ ô nào đã biết, ô nào cần tìm.

1Cách 1. Tính hệ số a từ cột đầy đủ rồi điền các ô còn lại

Cột $x = 2, 5, y = 4$ cho hệ số $a = x y$ ; dùng $y = \frac{a}{x}$ và $x = \frac{a}{y}$ để điền các ô thiếu.

a = 2, 5 \cdot 4 = 10

;

y = \frac{10}{x}

x = 1 \Rightarrow y = \frac{10}{1} = 10

y = 2, 5 \Rightarrow x = \frac{10}{2 , 5} = 4

y = 2 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5

x = 8 \Rightarrow y = \frac{10}{8} = 1, 25

Vậy bảng đầy đủ: $x = 1; 2, 5; 4; 5; 8$ ứng $y = 10; 4; 2, 5; 2; 1, 25$ ; công thức mô tả là $y = \frac{10}{x}$ .

2Cách 2. Lập phương trình tích x·y = 10 cho từng ô

Không viết công thức tổng quát trước, lập ngay phương trình tích bằng $10$ cho từng ô còn thiếu.

1 \cdot y = 10 \Rightarrow y = 10

x \cdot 2, 5 = 10 \Rightarrow x = 4

x \cdot 2 = 10 \Rightarrow x = 5

8 \cdot y = 10 \Rightarrow y = 1, 25

Vậy kết quả trùng Cách 1, công thức là $x y = 10$ hay $y = \frac{10}{x}$ .

3Cách 3. Dùng tỉ số so sánh với cột gốc đã biết

So sánh mỗi cột cần tìm với cột gốc $x = 2, 5, y = 4$ theo tỉ số, tận dụng "x gấp bao nhiêu lần thì y giảm bấy nhiêu lần" mà không cần tính lại hệ số mỗi lần.

x = 5 = 2, 5 \cdot 2 \Rightarrow y = \frac{4}{2} = 2

(khớp bảng)

x = 8 = 2, 5 \cdot 3, 2 \Rightarrow y = \frac{4}{3 , 2} = 1, 25

y = 10 = 4 \cdot 2, 5 \Rightarrow x = \frac{2 , 5}{2 , 5} = 1

Vậy kết quả trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = 10

một lần từ cột duy nhất đủ dữ kiện, sau đó áp dụng công thức

y = \frac{10}{x}

cho mọi ô còn lại.

Đáp số.

a = 10

; công thức

y = \frac{10}{x}

. Bảng đầy đủ:

x = 1; 2, 5; 4; 5; 8

ứng

y = 10; 4; 2, 5; 2; 1, 25

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn chiều tính ở cột cuối, lấy

y = 8 \cdot 10 = 80

(nhân thay vì chia) thay vì đúng

y = \frac{10}{8} = 1, 25

🚀 Mở rộng. Nếu bảng cho thêm cột

y = 0, 5

thì

x = \frac{10}{0 , 5} = 20

— hệ số

10

vẫn không đổi dù giá trị

x, y

lớn nhỏ khác nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.27★★Trang 14— Kiểm tra hai đại lượng tỉ lệ nghịch bằng cách xét tích các cặp giá trị tương ứng (có số âm)

Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng

x

và

y

có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
a)

$x$	$6$	$3$	$- 4$	$5$
$y$	$10$	$20$	$- 15$	$12$

$x$	$- 2$	$- 1$	$2$	$5$
$y$	$- 15$	$- 30$	$16$	$6$

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng $x, y$ tỉ lệ nghịch $\Leftrightarrow$ $x \cdot y$ không đổi ở MỌI cặp giá trị tương ứng, kể cả khi $x, y$ âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.28★★★Trang 14— Bài toán tỉ lệ nghịch giữa giá tiền và số lượng, kiểm chứng hai phương án suy luận trái ngược nhau

Đức cùng mẹ và chị Linh đi siêu thị và dự định mua

5

vỉ gồm

20

hộp sữa chua. Siêu thị đang trong đợt khuyến mại, sữa chua được giảm giá

20%

mỗi hộp. Chị Linh nói rằng với số tiền ban đầu dự định mua sữa chua thì bây giờ có thể mua được

6

vỉ gồm

24

hộp (tăng thêm

20%

số hộp so với ban đầu). Đức thì cho rằng với số tiền đó bây giờ sẽ mua được

25

hộp sữa chua (tăng thêm

25%

số hộp so với ban đầu). Hỏi ai đúng, ai sai?

Kiến thức cần nhớ

Với cùng số tiền, giá tiền một đơn vị hàng và số lượng mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Giảm giá $20%$ nghĩa là giá mới bằng $80%$ giá cũ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.29★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch giữa vận tốc và thời gian trên cùng một quãng đường

Một ô tô và một xe máy cùng đi từ

A

đến

B

. Biết rằng vận tốc của ô tô gấp rưỡi vận tốc của xe máy và xe máy đi hết

6

giờ. Hỏi ô tô đi hết bao nhiêu giờ?

Kiến thức cần nhớ

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $v_{1} t_{1} = v_{2} t_{2}$ .
"Gấp rưỡi" nghĩa là gấp $1, 5$ lần.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.30★★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch nhiều bước: quy đổi tổng số giờ làm việc rồi tìm số máy cần thiết

Ba máy cày cùng loại, mỗi máy làm việc

8

giờ một ngày thì trong

7

ngày cày xong một cánh đồng. Do thời tiết nắng nóng và sắp có mưa nên yêu cầu trong

4

ngày phải hoàn thành và mỗi ngày chỉ làm được trong

6

giờ. Hỏi cần bao nhiêu máy cày để có thể hoàn thành công việc đó?

Kiến thức cần nhớ

Số máy cày và tổng thời gian làm việc (giờ) để hoàn thành cùng một công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Tổng số giờ làm việc $=$ (số ngày) $\times$ (số giờ mỗi ngày).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.31★★★Trang 15— Bài toán ba đại lượng tỉ lệ nghịch với tổng cho trước, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ba tổ công nhân làm đường có tổng cộng

52

công nhân. Để hoàn thành cùng một công việc, tổ I cần

2

ngày, tổ II cần

3

ngày và tổ III cần

4

ngày. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân, biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là như nhau?

Kiến thức cần nhớ

Cùng khối lượng công việc, số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $2 x = 3 y = 4 z$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{x + y + z}{m + n + p}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.32★★★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch kết hợp tính chất dãy tỉ số bằng nhau qua biểu thức tổng/hiệu

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch,

x_{1}, x_{2}

là hai giá trị khác nhau của

x

và

y_{1}, y_{2}

là hai giá trị tương ứng của

y

.
a) Tính giá trị của

y_{1}

và

y_{2}

, biết

x_{1} = 3

x_{2} = 2

và

2 y_{1} + 3 y_{2} = - 26

.
b) Tính

x_{1}

và

y_{2}

, biết

3 x_{1} - 2 y_{2} = 32

;

x_{2} = - 4

;

y_{1} = - 10

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ , tức $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{y _{1}}$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma + n c}{mb + n d}$ .