Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 23. Đại lượng tỉ lệ nghịch

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.25★Trang 14— Xác định hệ số tỉ lệ nghịch từ một cặp giá trị rồi tính ngược các giá trị còn lại

Biết rằng

x

và

y

tỉ lệ nghịch với nhau và

x = 4

khi

y = 15

.
a) Viết công thức tính

y

theo

x

.
b) Tìm giá trị của

y

khi

x = 6

.
c) Tìm giá trị của

x

khi

y = 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $y = \frac{a}{x}$ , với $a = x \cdot y$ không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cặp giá trị đủ cả

x

lẫn

y

— dấu hiệu phải nhân chúng để tìm hệ số

a = x y

trước khi trả lời ba câu hỏi con. Bẫy: câu c) cho

y = 0, 5

là số thập phân, dễ tính sai phép chia

15 : 0, 5

nếu không đổi về phân số.

1Cách 1. Tính hệ số a rồi thay số trực tiếp

Từ cặp $x = 4, y = 15$ tính hệ số $a = x y$ , viết công thức rồi thay số cho từng câu.

a = 4 \cdot 15 = 60

;

y = \frac{60}{x}

x = 6 \Rightarrow y = \frac{60}{6} = 10

y = 0, 5 \Rightarrow x = \frac{60}{0 , 5} = 120

Vậy a) $y = \frac{60}{x}$ ; b) $y = 10$ ; c) $x = 120$ .

2Cách 2. Lập phương trình tích x·y = 60 cho từng câu

Không viết công thức trung gian, lập ngay phương trình tích bằng $60$ cho mỗi câu hỏi.

4 \cdot 15 = 60

(hệ số không đổi)

6 \cdot y = 60 \Rightarrow y = 10

x \cdot 0, 5 = 60 \Rightarrow x = 120

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $x y = 60$ hay $y = \frac{60}{x}$ ; b) $y = 10$ ; c) $x = 120$ .

3Cách 3. Đổi 0,5 về phân số để tính bằng số nguyên

Với câu c), đổi $y = 0, 5 = \frac{1}{2}$ trước khi chia để tránh sai sót khi chia cho số thập phân.

y = 0, 5 = \frac{1}{2}

x = \frac{60}{1/2} = 60 \cdot 2 = 120

Vậy $x = 120$ khi $y = 0, 5$ , trùng Cách 1 và Cách 2; câu a), b) giải như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = 60

một lần rồi dùng công thức

y = \frac{60}{x}

cho mọi câu hỏi con, nhanh và có hệ thống nhất.

Đáp số. a)

y = \frac{60}{x}

; b)

y = 10

; c)

x = 120

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), chia nhầm

60 : 0, 5

thành

30

(coi như chia đôi) thay vì đúng

120

(chia cho

0, 5

tức nhân đôi), do lẫn lộn phép chia cho số thập phân nhỏ hơn

1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành

x = 4

khi

y = - 15

thì hệ số

a = - 60

, công thức trở thành

y = \frac{- 60}{x}

và mọi kết quả câu b), c) đều đổi dấu tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.26★★Trang 14— Xác định hệ số tỉ lệ nghịch từ cặp giá trị đủ dữ kiện rồi điền bảng và viết công thức

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.

$x$	$1$	$2, 5$	?	?	$8$
$y$	?	$4$	$2, 5$	$2$	?

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng

x

và

y

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $y = \frac{a}{x}$ , với $a = x \cdot y$ không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng một cột đủ cả

x

lẫn

y

(

x = 2, 5; y = 4

) — dấu hiệu phải dùng cột này để tính hệ số

a = x y

trước, các cột còn lại chỉ có một trong hai giá trị nên phải tính ngược bằng

y = \frac{a}{x}

hoặc

x = \frac{a}{y}

. Bẫy: cột đầu (

x = 1

) và cột cuối (

y = ?

ứng

x = 8

) dễ nhầm chiều tính nếu không xác định rõ ô nào đã biết, ô nào cần tìm.

1Cách 1. Tính hệ số a từ cột đầy đủ rồi điền các ô còn lại

Cột $x = 2, 5, y = 4$ cho hệ số $a = x y$ ; dùng $y = \frac{a}{x}$ và $x = \frac{a}{y}$ để điền các ô thiếu.

a = 2, 5 \cdot 4 = 10

;

y = \frac{10}{x}

x = 1 \Rightarrow y = \frac{10}{1} = 10

y = 2, 5 \Rightarrow x = \frac{10}{2 , 5} = 4

y = 2 \Rightarrow x = \frac{10}{2} = 5

x = 8 \Rightarrow y = \frac{10}{8} = 1, 25

Vậy bảng đầy đủ: $x = 1; 2, 5; 4; 5; 8$ ứng $y = 10; 4; 2, 5; 2; 1, 25$ ; công thức mô tả là $y = \frac{10}{x}$ .

2Cách 2. Lập phương trình tích x·y = 10 cho từng ô

Không viết công thức tổng quát trước, lập ngay phương trình tích bằng $10$ cho từng ô còn thiếu.

1 \cdot y = 10 \Rightarrow y = 10

x \cdot 2, 5 = 10 \Rightarrow x = 4

x \cdot 2 = 10 \Rightarrow x = 5

8 \cdot y = 10 \Rightarrow y = 1, 25

Vậy kết quả trùng Cách 1, công thức là $x y = 10$ hay $y = \frac{10}{x}$ .

3Cách 3. Dùng tỉ số so sánh với cột gốc đã biết

So sánh mỗi cột cần tìm với cột gốc $x = 2, 5, y = 4$ theo tỉ số, tận dụng "x gấp bao nhiêu lần thì y giảm bấy nhiêu lần" mà không cần tính lại hệ số mỗi lần.

x = 5 = 2, 5 \cdot 2 \Rightarrow y = \frac{4}{2} = 2

(khớp bảng)

x = 8 = 2, 5 \cdot 3, 2 \Rightarrow y = \frac{4}{3 , 2} = 1, 25

y = 10 = 4 \cdot 2, 5 \Rightarrow x = \frac{2 , 5}{2 , 5} = 1

Vậy kết quả trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a = 10

một lần từ cột duy nhất đủ dữ kiện, sau đó áp dụng công thức

y = \frac{10}{x}

cho mọi ô còn lại.

Đáp số.

a = 10

; công thức

y = \frac{10}{x}

. Bảng đầy đủ:

x = 1; 2, 5; 4; 5; 8

ứng

y = 10; 4; 2, 5; 2; 1, 25

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn chiều tính ở cột cuối, lấy

y = 8 \cdot 10 = 80

(nhân thay vì chia) thay vì đúng

y = \frac{10}{8} = 1, 25

🚀 Mở rộng. Nếu bảng cho thêm cột

y = 0, 5

thì

x = \frac{10}{0 , 5} = 20

— hệ số

10

vẫn không đổi dù giá trị

x, y

lớn nhỏ khác nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.27★★Trang 14— Kiểm tra hai đại lượng tỉ lệ nghịch bằng cách xét tích các cặp giá trị tương ứng (có số âm)

Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng

x

và

y

có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
a)

$x$	$6$	$3$	$- 4$	$5$
$y$	$10$	$20$	$- 15$	$12$

$x$	$- 2$	$- 1$	$2$	$5$
$y$	$- 15$	$- 30$	$16$	$6$

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng $x, y$ tỉ lệ nghịch $\Leftrightarrow$ $x \cdot y$ không đổi ở MỌI cặp giá trị tương ứng, kể cả khi $x, y$ âm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho các giá trị âm lẫn dương ở cả hai bảng — dấu hiệu phải tính tích

x \cdot y

đủ cả bốn cặp và giữ đúng dấu (tích hai số âm là số dương). Bẫy: cặp thứ ba của bảng b) là

x = 2, y = 16

cho tích

32

, khác các tích còn lại (

30

), rất dễ bỏ sót nếu chỉ thử ba cặp đầu.

1Cách 1. Tính tích x·y ở từng cặp và so sánh

Nhân từng cặp giá trị tương ứng, chú ý dấu, rồi so sánh các tích trong mỗi bảng.

6 \cdot 10 = 60

;

3 \cdot 20 = 60

;

(- 4) \cdot (- 15) = 60

;

5 \cdot 12 = 60

(- 2) \cdot (- 15) = 30

;

(- 1) \cdot (- 30) = 30

;

2 \cdot 16 = 32

;

5 \cdot 6 = 30

Vậy a) cả bốn tích đều bằng $60$ nên $x, y$ LÀ hai đại lượng tỉ lệ nghịch; b) tích thứ ba bằng $32 \neq = 30$ nên $x, y$ KHÔNG phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

2Cách 2. Tính hệ số từ cặp đầu rồi kiểm tra công thức y = a/x cho các cặp còn lại

Từ cặp đầu tiên suy ra hệ số $a$ giả định, thay $x$ của các cặp còn lại vào $y = \frac{a}{x}$ rồi so sánh với bảng.

a = 6 \cdot 10 = 60 \Rightarrow y = \frac{60}{x}

x = 3 \Rightarrow y = 20

(đúng);

x = - 4 \Rightarrow y = - 15

(đúng);

x = 5 \Rightarrow y = 12

(đúng)

a = (- 2) \cdot (- 15) = 30 \Rightarrow y = \frac{30}{x}

x = - 1 \Rightarrow y = 30 \neq = - 30

? kiểm tra lại:

\frac{30}{- 1} = - 30

(đúng);

x = 2 \Rightarrow y = 15 \neq = 16

(sai);

x = 5 \Rightarrow y = 6

(đúng)

Vậy a) đúng là tỉ lệ nghịch; b) không phải, vì $x = 2$ dự đoán $y = 15$ nhưng bảng cho $y = 16$ , trùng kết luận Cách 1.

3Cách 3. Xét dấu và độ lớn riêng biệt trước khi tính tích

Trước khi nhân, kiểm tra quy luật dấu: tỉ lệ nghịch với hệ số dương đòi hỏi $x, y$ luôn CÙNG dấu; sau đó mới tính tích để xác nhận độ lớn.

a) mọi cặp

(6; 10), (3; 20), (- 4; - 15), (5; 12)

đều cùng dấu — hợp lệ về dấu, tính tích đều ra

60

b) mọi cặp

(- 2; - 15), (- 1; - 30), (2; 16), (5; 6)

đều cùng dấu — hợp lệ về dấu, nhưng tích

2 \cdot 16 = 32

lệch so với

30

của ba cặp còn lại

Vậy a) tỉ lệ nghịch; b) không, vì tuy đúng dấu nhưng sai độ lớn ở cặp thứ ba — trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân trực tiếp từng cặp

x \cdot y

kể cả khi có số âm — ít bước tính nhất và không bỏ sót cặp nào.

Đáp số. a) Có,

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (hệ số

60

); b) Không, vì

2 \cdot 16 = 32 \neq = 30

Sai lầm thường gặp. Tính sai dấu tích hai số âm, ví dụ cho

(- 4) \cdot (- 15) = - 60

thay vì đúng

60

(dương), khiến kết luận sai lệch ngay từ bảng a).

🚀 Mở rộng. Nếu sửa bảng b) thành

y = 15

thay vì

16

ở cột thứ ba thì cả bốn tích đều bằng

30

và bảng b) khi đó MỚI là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.28★★★Trang 14— Bài toán tỉ lệ nghịch giữa giá tiền và số lượng, kiểm chứng hai phương án suy luận trái ngược nhau

Đức cùng mẹ và chị Linh đi siêu thị và dự định mua

5

vỉ gồm

20

hộp sữa chua. Siêu thị đang trong đợt khuyến mại, sữa chua được giảm giá

20%

mỗi hộp. Chị Linh nói rằng với số tiền ban đầu dự định mua sữa chua thì bây giờ có thể mua được

6

vỉ gồm

24

hộp (tăng thêm

20%

số hộp so với ban đầu). Đức thì cho rằng với số tiền đó bây giờ sẽ mua được

25

hộp sữa chua (tăng thêm

25%

số hộp so với ban đầu). Hỏi ai đúng, ai sai?

Kiến thức cần nhớ

Với cùng số tiền, giá tiền một đơn vị hàng và số lượng mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Giảm giá $20%$ nghĩa là giá mới bằng $80%$ giá cũ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho giá GIẢM

20%

nhưng hỏi số lượng mua được TĂNG bao nhiêu phần trăm — dấu hiệu đây là quan hệ tỉ lệ NGHỊCH nên phần trăm tăng của số lượng KHÔNG BẰNG phần trăm giảm của giá (khác bản chất với tỉ lệ thuận). Bẫy: trực giác dễ nghĩ 'giảm giá

20%

thì mua thêm được

20%

số lượng' như chị Linh, nhưng phải tính đúng qua công thức tỉ lệ nghịch mới ra con số chính xác.

1Cách 1. Gọi giá tiền một hộp, lập tích số tiền không đổi

Gọi $x$ (đồng) là giá một hộp sữa chua trước khi giảm giá ( $x > 0$ ); giá sau khi giảm là $0, 8 x$ . Gọi $y$ là số hộp mua được sau khi giảm giá với cùng số tiền ban đầu $20 x$ .

20 x = 0, 8 x \cdot y

y = \frac{20 x}{0 , 8 x} = \frac{20}{0 , 8}

y = 25

Vậy với số tiền dự định ban đầu, sau khi giảm giá mua được $25$ hộp sữa chua — Đức nói đúng, chị Linh nói sai.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ nghịch trực tiếp giữa giá và số lượng

Giá và số lượng mua được (cùng số tiền) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên tỉ số $\frac{y}{20}$ bằng nghịch đảo tỉ số giá, tức $\frac{y}{20} = \frac{1}{0 , 8}$ .

\frac{y}{20} = \frac{1}{0 , 8}

y = \frac{20}{0 , 8} = 25

Vậy mua được $25$ hộp, tăng thêm $\frac{25 - 20}{20} = 25%$ so với ban đầu, đúng như Đức nói, trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử với giá cụ thể để kiểm chứng cả hai phương án

Chọn giá cụ thể mỗi hộp trước giảm là $10$ nghìn đồng để kiểm tra trực tiếp cả hai lời phát biểu của chị Linh và Đức.

Giá trước:

10

nghìn đồng/hộp; số tiền dự định:

20 \cdot 10 = 200

nghìn đồng

Giá sau khi giảm

20%

10 \cdot 0, 8 = 8

nghìn đồng/hộp

Số hộp mua được:

200 : 8 = 25

hộp (không phải

24

hộp như chị Linh nói)

Vậy đúng $25$ hộp, xác nhận Đức đúng, chị Linh sai — trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập tỉ lệ

\frac{y}{20} = \frac{1}{0 , 8}

trực tiếp từ quan hệ tỉ lệ nghịch, không cần đặt ẩn giá tiền

x

Đáp số. Mua được

25

hộp sữa chua (tăng

25%

so với ban đầu). Đức nói đúng, chị Linh nói sai.

Sai lầm thường gặp. Suy luận theo tỉ lệ thuận như chị Linh: giá giảm

20%

thì cho rằng số lượng cũng chỉ tăng đúng

20%

(

20 \to 24

), trong khi bản chất là tỉ lệ NGHỊCH nên phần trăm tăng của số lượng (

25%

) luôn lớn hơn phần trăm giảm của giá (

20%

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu giá giảm

p %

(

0 < p < 100

) thì số lượng mua được tăng đúng

\frac{p}{100 - p} \cdot 100%

; với

p = 20

ta có

\frac{20}{80} \cdot 100% = 25%

, khớp với bài toán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.29★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch giữa vận tốc và thời gian trên cùng một quãng đường

Một ô tô và một xe máy cùng đi từ

A

đến

B

. Biết rằng vận tốc của ô tô gấp rưỡi vận tốc của xe máy và xe máy đi hết

6

giờ. Hỏi ô tô đi hết bao nhiêu giờ?

Kiến thức cần nhớ

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $v_{1} t_{1} = v_{2} t_{2}$ .
"Gấp rưỡi" nghĩa là gấp $1, 5$ lần.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho "gấp rưỡi" tức gấp

1, 5

lần và cùng đi trên một quãng đường

A B

— dấu hiệu vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Bẫy: "gấp rưỡi" dễ hiểu nhầm thành "gấp

2

lần" hoặc "tăng thêm một nửa của vận tốc xe máy cộng dồn sai", cần hiểu đúng là

v_{1} = 1, 5 \cdot v_{2}

(ô tô

= v_{1}

, xe máy

= v_{2}

1Cách 1. Lập tích quãng đường không đổi

Gọi $v_{1}, t_{1}$ là vận tốc, thời gian của ô tô; $v_{2}, t_{2}$ của xe máy. Cùng quãng đường $A B$ nên $v_{1} t_{1} = v_{2} t_{2}$ , với $v_{1} = 1, 5 v_{2}$ và $t_{2} = 6$ .

v_{1} t_{1} = v_{2} t_{2}

1, 5 v_{2} \cdot t_{1} = v_{2} \cdot 6

1, 5 t_{1} = 6 \Rightarrow t_{1} = 4

Vậy ô tô đi hết $4$ giờ.

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức trực tiếp từ tính chất tỉ lệ nghịch

Với hai đại lượng tỉ lệ nghịch, $\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{t _{2}}{t _{1}}$ ; thay $v_{1} = 1, 5 v_{2}$ và $t_{2} = 6$ .

\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{t _{2}}{t _{1}}

1, 5 = \frac{6}{t _{1}}

t_{1} = \frac{6}{1 , 5} = 4

Vậy ô tô đi hết $4$ giờ, trùng Cách 1.

3Cách 3. Suy luận trực tiếp bằng tỉ lệ nghịch không đặt ẩn vận tốc

Vận tốc ô tô gấp $1, 5$ lần vận tốc xe máy nên thời gian ô tô đi phải BẰNG $\frac{1}{1 , 5}$ thời gian xe máy đi (đại lượng tỉ lệ nghịch: nhanh gấp mấy lần thì thời gian giảm đúng bấy nhiêu lần).

Thời gian ô tô

= \frac{1}{1 , 5} \times

thời gian xe máy

t_{1} = \frac{1}{1 , 5} \cdot 6 = \frac{6}{1 , 5}

t_{1} = 4

Vậy ô tô đi hết $4$ giờ, trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: suy luận trực tiếp "nhanh gấp

1, 5

lần thì thời gian giảm

1, 5

lần" mà không cần đặt ẩn vận tốc, tính nhẩm được ngay.

Đáp số.

4

giờ.

Sai lầm thường gặp. Hiểu "gấp rưỡi" thành "gấp đôi", tính nhầm

t_{1} = 6 : 2 = 3

giờ thay vì đúng

t_{1} = 6 : 1, 5 = 4

giờ.

🚀 Mở rộng. Nếu vận tốc ô tô gấp

2

lần (không phải gấp rưỡi) vận tốc xe máy thì ô tô chỉ cần

6 : 2 = 3

giờ — hệ số gấp càng lớn thì thời gian càng rút ngắn theo đúng tỉ lệ nghịch.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.30★★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch nhiều bước: quy đổi tổng số giờ làm việc rồi tìm số máy cần thiết

Ba máy cày cùng loại, mỗi máy làm việc

8

giờ một ngày thì trong

7

ngày cày xong một cánh đồng. Do thời tiết nắng nóng và sắp có mưa nên yêu cầu trong

4

ngày phải hoàn thành và mỗi ngày chỉ làm được trong

6

giờ. Hỏi cần bao nhiêu máy cày để có thể hoàn thành công việc đó?

Kiến thức cần nhớ

Số máy cày và tổng thời gian làm việc (giờ) để hoàn thành cùng một công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Tổng số giờ làm việc $=$ (số ngày) $\times$ (số giờ mỗi ngày).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai bộ dữ kiện đều gồm CẢ số ngày lẫn số giờ mỗi ngày — dấu hiệu phải quy đổi cả hai bộ về cùng đơn vị "tổng số giờ làm việc" trước khi so sánh, không thể so trực tiếp số máy với số ngày hay số giờ riêng lẻ. Bẫy: dễ chỉ dùng số ngày (

7

và

4

) mà quên nhân thêm số giờ mỗi ngày (

8

và

6

) khác nhau giữa hai tình huống.

1Cách 1. Quy đổi về tổng số giờ rồi lập tỉ lệ nghịch giữa máy và giờ

Gọi $x$ là số máy cần thiết. Tính tổng số giờ ba máy làm để cày xong cánh đồng, rồi tổng số giờ $x$ máy được phép làm; số máy tỉ lệ nghịch với tổng số giờ mỗi máy phải làm.

Số giờ

3

máy cày xong:

8 \cdot 7 = 56

(giờ)

Số giờ mỗi máy được làm trong đợt mới:

6 \cdot 4 = 24

(giờ)

\frac{56}{24} = \frac{x}{3} \Rightarrow x = \frac{56 \cdot 3}{24} = 7

Vậy cần $7$ máy cày để hoàn thành công việc trong $4$ ngày, mỗi ngày $6$ giờ.

2Cách 2. Tính khối lượng công việc theo máy-giờ rồi chia ngược

Tính tổng khối lượng công việc theo đơn vị "máy-giờ" từ tình huống ban đầu, sau đó chia cho số giờ khả dụng của đợt mới để ra số máy cần.

Khối lượng công việc:

3 \cdot 8 \cdot 7 = 168

(máy-giờ)

Số giờ khả dụng mỗi máy trong đợt mới:

6 \cdot 4 = 24

(giờ)

Số máy cần:

x = 168 : 24 = 7

Vậy cần $7$ máy, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp cả bước tính hệ số $56$ và lập tỉ lệ thành một phép tính duy nhất $168 : 24$ .

3Cách 3. Tách hai bước tỉ lệ nghịch liên tiếp (theo ngày, rồi theo giờ mỗi ngày)

Tách bài toán thành hai bước: trước tiên coi số giờ mỗi ngày CỐ ĐỊNH bằng $8$ để tìm số máy cần cho $4$ ngày, sau đó điều chỉnh tiếp cho số giờ mỗi ngày đổi thành $6$ .

Trước tiên (số máy tỉ lệ nghịch với số ngày, giữ nguyên

8

giờ/ngày):

3 \cdot 7 = y \cdot 4 \Rightarrow y = \frac{21}{4} = 5, 25

máy

Sau đó (số máy tỉ lệ nghịch với số giờ mỗi ngày, giữ nguyên

4

ngày):

y \cdot 8 = x \cdot 6 \Rightarrow x = \frac{5 , 25 \cdot 8}{6} = 7

Vậy cần $7$ máy, trùng hai cách trên dù tách thành hai bước trung gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gộp thẳng thành "máy-giờ" rồi chia một lần

168 : 24 = 7

, nhanh hơn hẳn so với tách hai bước như Cách 3.

Đáp số.

7

máy cày.

Sai lầm thường gặp. Chỉ lập tỉ lệ nghịch theo số ngày mà quên đổi số giờ mỗi ngày, tính nhầm

x = 3 \cdot 7 : 4 = 5, 25

máy — sai vì bỏ sót dữ kiện "mỗi ngày chỉ làm

6

giờ" (thay vì

8

giờ như ban đầu).

🚀 Mở rộng. Nếu đợt mới vẫn giữ nguyên

8

giờ/ngày nhưng chỉ có

4

ngày, số máy cần là

3 \cdot 7 : 4 = 5, 25

— không ra số nguyên, cho thấy chi tiết "mỗi ngày

6

giờ" trong đề gốc chính là điều làm bài toán có đáp số đẹp

7

máy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.31★★★Trang 15— Bài toán ba đại lượng tỉ lệ nghịch với tổng cho trước, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ba tổ công nhân làm đường có tổng cộng

52

công nhân. Để hoàn thành cùng một công việc, tổ I cần

2

ngày, tổ II cần

3

ngày và tổ III cần

4

ngày. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân, biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là như nhau?

Kiến thức cần nhớ

Cùng khối lượng công việc, số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $2 x = 3 y = 4 z$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{x + y + z}{m + n + p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba tổ cùng khối lượng công việc với số ngày khác nhau và tổng số công nhân — dấu hiệu số công nhân mỗi tổ tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành, đúng mẫu Ví dụ 4 của SGK. Bẫy: phải đổi

2 x = 3 y = 4 z

về dãy tỉ số bằng nhau đúng cách (chia cho BCNN) trước khi dùng tổng

52

, không được cộng trực tiếp

2 + 3 + 4

làm mẫu số.

1Cách 1. Lập dãy tỉ số bằng nhau qua BCNN rồi dùng tổng

Gọi $x, y, z$ là số công nhân ba tổ; vì cùng khối lượng công việc nên $2 x = 3 y = 4 z$ . Chia cho BCNN $(2; 3; 4) = 12$ để đưa về dãy tỉ số bằng nhau, rồi dùng tổng $x + y + z = 52$ .

2 x = 3 y = 4 z \Rightarrow \frac{2 x}{12} = \frac{3 y}{12} = \frac{4 z}{12}

\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{x + y + z}{6 + 4 + 3} = \frac{52}{13} = 4

x = 6 \cdot 4 = 24

;

y = 4 \cdot 4 = 16

;

z = 3 \cdot 4 = 12

Vậy tổ I có $24$ công nhân, tổ II có $16$ công nhân, tổ III có $12$ công nhân.

2Cách 2. Tính khối lượng công việc theo người-ngày rồi suy ngược

Gọi $k$ (người-ngày) là khối lượng công việc chung; số công nhân mỗi tổ bằng $k$ chia số ngày tương ứng, sau đó dùng tổng $52$ để tìm $k$ .

x = \frac{k}{2}

;

y = \frac{k}{3}

;

z = \frac{k}{4}

\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 52

k (\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12}) = 52 \Rightarrow k \cdot \frac{13}{12} = 52 \Rightarrow k = 48

x = \frac{48}{2} = 24

;

y = \frac{48}{3} = 16

;

z = \frac{48}{4} = 12

Vậy kết quả trùng Cách 1: $24; 16; 12$ công nhân, khối lượng công việc tương đương $48$ người-ngày.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ k từ dãy tỉ số rồi thay ngược

Đặt $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = k$ (từ dãy tỉ số đã rút gọn ở Cách 1), biểu diễn $x, y, z$ theo $k$ rồi thay vào tổng.

x = 6 k

;

y = 4 k

;

z = 3 k

x + y + z = 6 k + 4 k + 3 k = 13 k = 52

k = 4 \Rightarrow x = 24

;

y = 16

;

z = 12

Vậy kết quả trùng hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia

2 x = 3 y = 4 z

cho BCNN

(2; 3; 4) = 12

để ra ngay dãy tỉ số nguyên nhỏ rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đúng mẫu chuẩn của Ví dụ 4 trong sách.

Đáp số. Tổ I:

24

công nhân; tổ II:

16

công nhân; tổ III:

12

công nhân.

Sai lầm thường gặp. Cộng trực tiếp

2 + 3 + 4 = 9

làm mẫu số chung mà không quy đồng đúng cách, dẫn tới dãy tỉ số sai và ra đáp số không nguyên.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tổng số công nhân thành

65

(giữ nguyên số ngày

2; 3; 4

) thì

k = \frac{65}{13} = 5

, ra

x = 30, y = 20, z = 15

— cùng tỉ lệ nhưng số cụ thể thay đổi theo tổng mới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.32★★★★Trang 15— Bài toán tỉ lệ nghịch kết hợp tính chất dãy tỉ số bằng nhau qua biểu thức tổng/hiệu

Cho biết

x

và

y

là hai đại lượng tỉ lệ nghịch,

x_{1}, x_{2}

là hai giá trị khác nhau của

x

và

y_{1}, y_{2}

là hai giá trị tương ứng của

y

.
a) Tính giá trị của

y_{1}

và

y_{2}

, biết

x_{1} = 3

x_{2} = 2

và

2 y_{1} + 3 y_{2} = - 26

.
b) Tính

x_{1}

và

y_{2}

, biết

3 x_{1} - 2 y_{2} = 32

;

x_{2} = - 4

;

y_{1} = - 10

Kiến thức cần nhớ

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch: $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ , tức $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{y _{1}}$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{ma + n c}{mb + n d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một biểu thức tổ hợp (

2 y_{1} + 3 y_{2}

ở câu a,

3 x_{1} - 2 y_{2}

ở câu b) thay vì tổng hay hiệu trực tiếp — dấu hiệu phải dùng tính chất tỉ lệ nghịch

x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}

để đưa các tỉ số về CÙNG một cặp hệ số với biểu thức đã cho, rồi mới áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Bẫy: dễ áp dụng nhầm công thức tỉ lệ THUẬN (

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}

) trong khi

x, y

tỉ lệ NGHỊCH thì phải dùng

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{y _{1}}

(tỉ số nghịch đảo).

1Cách 1. Đưa về dãy tỉ số bằng nhau khớp đúng hệ số của biểu thức đề cho

Câu a: từ $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ suy ra $\frac{y _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{x _{1}}$ , nhân cả hai vế của từng tỉ số với $2$ và $3$ để khớp đúng hệ số trong biểu thức $2 y_{1} + 3 y_{2} = - 26$ đã cho.

x_{1} = 3, x_{2} = 2 \Rightarrow \frac{y _{1}}{2} = \frac{y _{2}}{3} \Rightarrow \frac{2 y _{1}}{4} = \frac{3 y _{2}}{9} = \frac{2 y _{1} + 3 y _{2}}{4 + 9} = \frac{- 26}{13} = - 2

y_{1} = - 2 \cdot 2 = - 4

;

y_{2} = - 2 \cdot 3 = - 6

x_{2} = - 4, y_{1} = - 10 \Rightarrow \frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} \Rightarrow \frac{3 x _{1}}{3 x _{2}} = \frac{2 y _{2}}{2 y _{1}} = \frac{3 x _{1} - 2 y _{2}}{3 x _{2} - 2 y _{1}} = \frac{32}{3 ( - 4 ) - 2 ( - 10 )} = \frac{32}{8} = 4

x_{1} = 4 \cdot x_{2} = 4 \cdot (- 4) = - 16

;

y_{2} = 4 \cdot y_{1} = 4 \cdot (- 10) = - 40

Vậy a) $y_{1} = - 4$ , $y_{2} = - 6$ ; b) $x_{1} = - 16$ , $y_{2} = - 40$ .

2Cách 2. Tính hệ số tỉ lệ a rồi giải hệ phương trình hai ẩn

Đặt hệ số tỉ lệ $a = x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ là ẩn phụ, biểu diễn $y_{1}, y_{2}$ theo $a$ rồi thay vào biểu thức đã cho để giải ra $a$ .

y_{1} = \frac{a}{3}

y_{2} = \frac{a}{2}

(vì

x_{1} = 3, x_{2} = 2

)

2 \cdot \frac{a}{3} + 3 \cdot \frac{a}{2} = - 26 \Rightarrow \frac{4 a + 9 a}{6} = - 26 \Rightarrow \frac{13 a}{6} = - 26 \Rightarrow a = - 12

y_{1} = \frac{- 12}{3} = - 4

;

y_{2} = \frac{- 12}{2} = - 6

a = x_{2} y_{2} = - 4 y_{2}

và

a = x_{1} y_{1} = - 10 x_{1}

; từ

3 x_{1} - 2 y_{2} = 32

và

x_{1} = \frac{a}{- 10}

y_{2} = \frac{a}{- 4}

3 \cdot \frac{a}{- 10} - 2 \cdot \frac{a}{- 4} = 32 \Rightarrow \frac{- 3 a}{10} + \frac{a}{2} = 32 \Rightarrow \frac{- 3 a + 5 a}{10} = 32 \Rightarrow \frac{2 a}{10} = 32 \Rightarrow a = 160

x_{1} = \frac{160}{- 10} = - 16

;

y_{2} = \frac{160}{- 4} = - 40

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $y_{1} = - 4, y_{2} = - 6$ ; b) $x_{1} = - 16, y_{2} = - 40$ .

3Cách 3. Thử lại bằng cách kiểm tra tích x·y không đổi

Sau khi có kết quả nghi ngờ từ hai cách trên, thử lại bằng định nghĩa gốc $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ để xác nhận tính nhất quán, đồng thời kiểm tra biểu thức đề cho có thoả mãn hay không.

x_{1} y_{1} = 3 \cdot (- 4) = - 12

;

x_{2} y_{2} = 2 \cdot (- 6) = - 12

(khớp);

2 y_{1} + 3 y_{2} = 2 (- 4) + 3 (- 6) = - 8 - 18 = - 26

(khớp đề)

x_{1} y_{1} = (- 16) \cdot (- 10) = 160

;

x_{2} y_{2} = (- 4) \cdot (- 40) = 160

(khớp);

3 x_{1} - 2 y_{2} = 3 (- 16) - 2 (- 40) = - 48 + 80 = 32

(khớp đề)

Vậy cả hai câu đều được xác nhận đúng bằng phép thử lại, kết quả trùng Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hệ số vào đúng hai vế của tỉ lệ thức nghịch đảo rồi áp dụng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau — không cần đặt thêm ẩn phụ

a

như Cách 2.

Đáp số. a)

y_{1} = - 4

y_{2} = - 6

; b)

x_{1} = - 16

y_{2} = - 40

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm tỉ lệ thức của tỉ lệ THUẬN (

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}}

) thay vì đúng dạng nghịch đảo của tỉ lệ NGHỊCH (

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{2}}{y _{1}}

), khiến toàn bộ phép ghép hệ số vào dãy tỉ số bị sai ngay từ bước đầu.

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật "nhân hệ số khớp với biểu thức đề cho rồi dùng dãy tỉ số bằng nhau" ở Cách 1 áp dụng được cho MỌI biểu thức tuyến tính dạng

m y_{1} + n y_{2} =

hằng số, không riêng bài này.

Mở bài này trong app ↗