Bài 23. Đại lượng tỉ lệ nghịch

Định hướng. Với quãng đường không đổi $180$ km, thời gian $t=\frac{180}{v}$, thay lần lượt từng giá trị $v$ đã cho.

Vậy bảng giá trị $t$ (h) tương ứng với $v=40;50;60;80$ là $4,5;3,6;3;2,25$.

Định hướng. Với hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tích hai giá trị tương ứng luôn bằng hệ số $180$ nên chỉ cần chia $180$ cho $v$ ở từng ô, không cần viết lại công thức tổng quát trước.

Vậy bảng giá trị $t$ vẫn là $4,5;3,6;3;2,25$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác cách trình bày, cùng dựa trên một phép chia duy nhất $t=180:v$.

Định hướng. Từ cột $v=40\Rightarrow t=4,5$ đã tính, dùng tính chất "vận tốc tăng bao nhiêu lần thì thời gian giảm bấy nhiêu lần" để suy nhanh ba cột còn lại.

Vậy kết quả trùng hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tiện khi chỉ nhớ một giá trị mốc mà không muốn tính lại hệ số $180$ mỗi lần.

Định hướng. Thay quãng đường không đổi $s=180$ vào công thức đã biết $t=\frac{s}{v}$.

Vậy công thức tính thời gian theo vận tốc là $t=\frac{180}{v}$.

Định hướng. Nhận thấy ở HĐ1 tích $v\cdot t$ luôn bằng $180$ với mọi cặp giá trị trong bảng, từ đó khái quát thành công thức chung.

Vậy công thức tính thời gian theo vận tốc là $t=\frac{180}{v}$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao hệ số $180$ chính là tích không đổi giữa $v$ và $t$.

Định hướng. Từ $t=\frac{180}{v}$, đối chiếu với định nghĩa $y=\frac{a}{x}$ để xét chiều $t$ theo $v$, rồi biến đổi để lộ ra chiều $v$ theo $t$.

Vậy cả hai câu trả lời đều là "có", cùng hệ số $180$.

Định hướng. Dùng ngay kết luận tổng quát ở phần Chú ý: nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số $a$ thì $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo CÙNG hệ số $a$ (khác tỉ lệ thuận là phải nghịch đảo), với $y=t$, $x=v$, $a=180$.

Vậy cả hai câu trả lời đều là "có", trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn vì tận dụng ngay kết luận tổng quát thay vì tự biến đổi công thức từ đầu.

Định hướng. Gọi $d,r$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng; từ công thức diện tích $S=d\cdot r=12$, rút $d$ theo $r$.

Vậy $d$ có dạng $y=\frac{a}{x}$ với $a=12\ne 0$ nên chiều dài và chiều rộng LÀ hai đại lượng tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ là $12$.

Định hướng. Liệt kê vài cặp chiều dài – chiều rộng thoả diện tích $12$ cm${}^2$, kiểm tra tích của chúng có luôn không đổi hay không.

Vậy tích $d\cdot r$ luôn bằng $12$ với mọi hình chữ nhật cùng diện tích, nên $d,r$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số $12$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm chứng bằng số cụ thể, trực quan hơn để thấy vì sao đây đúng là quan hệ tỉ lệ nghịch.

Định hướng. Dùng chính bản chất của tỉ lệ nghịch: khi giữ diện tích cố định, chiều rộng tăng lên bao nhiêu lần thì chiều dài phải giảm đi bấy nhiêu lần để tích không đổi.

Vậy chiều dài và chiều rộng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ $12$, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $m$ (kg) là khối lượng gạo mỗi túi, $n$ là số túi tương ứng; vì tổng khối lượng không đổi $300$ kg nên $m\cdot n=300$, suy ra $n=\frac{300}{m}$ và $m=\frac{300}{n}$.

Vậy a) bảng đầy đủ: lượng gạo mỗi túi $5;10;20;25$ (kg) ứng với số túi $60;30;15;12$; b) $m\cdot n=300$ không đổi nên đây LÀ hai đại lượng tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ $300$.

Định hướng. Sau khi có đủ bốn cặp giá trị, kiểm tra riêng câu b) bằng cách nhân từng cặp $m,n$ tương ứng để xác nhận tích luôn bằng nhau.

Vậy cả bốn tích đều bằng $300$, xác nhận số túi gạo và số kilôgam mỗi túi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số $300$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Đây là cách trả lời riêng cho câu b) chặt chẽ nhất vì kiểm tra đủ cả bốn cặp, không chỉ một cặp.

Định hướng. So sánh trực tiếp cột $2$ với cột $1$, và cột $3$ với cột $4$ nhờ tính chất "khối lượng mỗi túi gấp bao nhiêu lần thì số túi giảm bấy nhiêu lần".

Vậy kết quả trùng Cách 1: $m=5;10;20;25$ ứng $n=60;30;15;12$, và b) đây là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hệ số $300$.

Định hướng. Gọi $x$ là số công nhân cần thuê để hoàn thành trong $10$ tháng. Vì khối lượng công việc không đổi nên số công nhân và số tháng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có $12\cdot 280=10\cdot x$.

Vậy nhà thầu phải thuê $336$ công nhân để hoàn thành hợp đồng trong $10$ tháng.

Định hướng. Với hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: $\frac{x}{280}=\frac{12}{10}$.

Vậy cần $336$ công nhân, trùng Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là cách trình bày theo mẫu Ví dụ 3 của sách, dùng tỉ lệ thức thay cho việc viết tích ngay từ đầu.

Định hướng. Tính tổng khối lượng công việc theo đơn vị "người-tháng", sau đó chia cho số tháng mới để ra số người cần.

Vậy cần $336$ công nhân, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $x,y,z$ lần lượt là số quyển vở loại $12$ nghìn, $18$ nghìn, $20$ nghìn đồng; vì số tiền từng loại bằng nhau nên $12x=18y=20z$, đưa về dãy tỉ số bằng nhau rồi dùng tổng $x+y+z=34$.

Vậy An mua $15$ quyển loại $12$ nghìn, $10$ quyển loại $18$ nghìn và $9$ quyển loại $20$ nghìn đồng.

Định hướng. Gọi $T$ (nghìn đồng) là số tiền An dành cho MỖI loại vở (ba loại bằng nhau); khi đó số quyển từng loại là $\frac{T}{12},\frac{T}{18},\frac{T}{20}$, tổng lại bằng $34$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $15;10;9$ quyển, ứng với mỗi loại tiêu đúng $180$ nghìn đồng.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ ý nghĩa con số: mỗi loại vở An chi đúng $180$ nghìn đồng.

Định hướng. Theo phần Chú ý của sách, chia $12x,18y,20z$ cho BCNN$(12;18;20)=180$ để được ngay dãy tỉ số bằng nhau với các số nguyên nhỏ.

Vậy kết quả trùng hai cách trên.

Định hướng. Cặp $x=2,y=-6$ cho hệ số $a=xy$; từ đó dùng $y=\frac{a}{x}$ và $x=\frac{a}{y}$ để điền các ô còn lại.

Vậy bảng đầy đủ: $x=2;4;5;-4;-1,2;-24$ ứng với $y=-6;-3;-2,4;3;10;0,5$; công thức mô tả là $y=\frac{-12}{x}$.

Định hướng. Với mỗi ô còn thiếu, lập trực tiếp phương trình tích $x\cdot y=-12$ rồi giải ra ẩn số cần tìm, không cần viết công thức $y=\frac{a}{x}$ trung gian.

Vậy kết quả trùng Cách 1, công thức là $xy=-12$ hay $y=\frac{-12}{x}$.

Nhận xét. Cách 2 thao tác từng ô một, phù hợp khi chưa quen viết ngay công thức tổng quát.

Định hướng. Dùng tính chất $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$ của hai đại lượng tỉ lệ nghịch để suy các ô còn lại từ cặp gốc $x=2,y=-6$ mà không cần tính lại hệ số $a$ mỗi lần.

Vậy cách suy luận theo tỉ số vẫn cho đúng bảng và công thức như hai cách trên.

Định hướng. Nhân từng cặp giá trị tương ứng của $x$ và $y$ trong mỗi bảng; nếu tất cả các tích bằng nhau thì đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vậy a) cả bốn tích đều bằng $480$ nên $x,y$ LÀ hai đại lượng tỉ lệ nghịch; b) tích thứ ba bằng $650\ne 640$ nên $x,y$ KHÔNG phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Định hướng. Từ cặp đầu tiên suy ra hệ số $a$ giả định, sau đó thay $x$ của các cặp còn lại vào $y=\frac{a}{x}$ và so sánh với giá trị $y$ đã cho trong bảng.

Vậy a) đúng là tỉ lệ nghịch; b) không phải, vì $x=25$ dự đoán $y=25,6$ nhưng bảng cho $y=26$, trùng kết luận Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ ra RÕ giá trị đáng lẽ phải có, giúp thấy ngay chỗ sai lệch của bảng b).

Định hướng. Với hai đại lượng tỉ lệ nghịch thật sự, tỉ số $\frac{x_2}{x_1}$ phải bằng đúng nghịch đảo $\frac{y_1}{y_2}$ cho MỌI cặp chỉ số; kiểm tra riêng cặp gây nghi ngờ ở bảng b).

Vậy a) tỉ lệ nghịch; b) không, trùng hai cách trên.

Định hướng. Viết hai công thức tỉ lệ nghịch đã cho, rồi thay biểu thức của $x$ vào công thức của $y$ để xuất hiện quan hệ trực tiếp giữa $y$ và $z$.

Vậy $y=\frac{a}{b}\cdot z$ có dạng $y=kz$ với $k=\frac{a}{b}$, nên $y$ TỈ LỆ THUẬN với $z$, hệ số tỉ lệ là $\frac{a}{b}$.

Định hướng. Chọn $a=12,b=6$ cụ thể, tính vài bộ ba giá trị $x,y,z$ để quan sát quy luật giữa $y$ và $z$ trước khi khái quát bằng chữ.

Vậy $\frac{y}{z}$ không đổi nên $y$ tỉ lệ thuận với $z$, hệ số $\frac{a}{b}$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Thử số cụ thể giúp kiểm chứng trực quan kết quả tổng quát vừa suy luận bằng chữ.

Định hướng. Xét khi $z$ tăng $k$ lần thì $x$ giảm $k$ lần (vì $x$ tỉ lệ nghịch $z$); rồi khi $x$ giảm $k$ lần thì $y$ lại TĂNG $k$ lần (vì $y$ tỉ lệ nghịch $x$) — hai lần "nghịch đảo chiều biến thiên" triệt tiêu nhau.

Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số $\frac{a}{b}$, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $p$ (đồng) là giá một tập giấy loại I, khi đó giá loại II là $0,85p$; gọi $n$ là số tập loại II mua được với cùng số tiền $17p$, ta có $17p=0,85p\cdot n$.

Vậy với cùng số tiền có thể mua được $20$ tập giấy A4 loại II.

Định hướng. Giá tiền và số tập mua được (cùng số tiền) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên tỉ số $\frac{n}{17}$ bằng nghịch đảo tỉ số giá, tức $\frac{n}{17}=\frac{1}{0,85}$.

Vậy mua được $20$ tập giấy loại II, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ ra ngay lí do "giá giảm bao nhiêu lần thì số lượng tăng bấy nhiêu lần", không cần đặt ẩn $p$.

Định hướng. Đổi $85\%=\frac{17}{20}$ để tránh tính với số thập phân, rồi dùng quan hệ nghịch đảo giữa giá và số lượng.

Vậy kết quả vẫn là $20$ tập, trùng hai cách trên.

Định hướng. Gọi $n_1,n_2,n_3$ là số máy ba đội; vì cùng khối lượng công việc nên $4n_1=6n_2=8n_3$, đưa về dãy tỉ số bằng nhau rồi dùng hiệu $n_1-n_2=2$.

Vậy đội thứ nhất có $6$ máy, đội thứ hai có $4$ máy, đội thứ ba có $3$ máy.

Định hướng. Gọi $k$ (máy-ngày) là khối lượng công việc chung của mỗi cánh đồng; số máy mỗi đội bằng $k$ chia cho số ngày tương ứng, sau đó dùng hiệu $n_1-n_2=2$ để tìm $k$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $6;4;3$ máy, mỗi cánh đồng tương đương $24$ máy-ngày công việc.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ ý nghĩa con số $24$: đúng bằng khối lượng công việc của một cánh đồng tính theo máy-ngày.

Định hướng. Theo phần Chú ý, chia $4n_1,6n_2,8n_3$ cho BCNN$(4;6;8)=24$ để được ngay dãy tỉ số với số nguyên nhỏ, rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hiệu.

Vậy kết quả trùng hai cách trên.