Bài 24. Biểu thức đại số

Định hướng. Tính bình phương (hoặc lập phương) của từng số trước, sau đó nối chúng bằng đúng phép toán "hiệu" hoặc "tổng" mà đề nêu.

Vậy a) biểu thức cần tìm là $a^2-b^2$; b) biểu thức cần tìm là $x^3+y^3$.

Định hướng. Gọi $M$ là bình phương của $a$, $N$ là bình phương của $b$ (tương tự cho lập phương ở ý b), viết yêu cầu theo $M,N$ rồi thay lại.

Vậy a) $a^2-b^2$; b) $x^3+y^3$, trùng Cách 1.

Định hướng. Thử trước với $a=5,b=2$ (ý a) và $x=2,y=3$ (ý b) để hình dung đúng phép tính, sau đó lặp lại các bước đó nhưng giữ nguyên chữ.

Vậy a) $a^2-b^2$; b) $x^3+y^3$, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Thử số cụ thể chỉ giúp kiểm tra đúng phép toán, biểu thức cuối cùng vẫn phải giữ nguyên chữ.

Định hướng. Thay thẳng chiều dài, chiều rộng, chiều cao đã cho vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật (ý a); thay hai đường chéo vào công thức diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc (ý b).

Vậy a) $V=ab(a+b)$; b) $S=\frac{pq}{2}$.

Định hướng. Với ý a, coi hình hộp là chồng của một lớp đáy $a\times b$ lặp lại $(a+b)$ lần chiều cao. Với ý b, chia tứ giác thành bốn tam giác vuông bởi hai đường chéo vuông góc, cộng diện tích bốn tam giác đó lại.

Vậy a) $V=ab(a+b)$; b) $S=\frac{pq}{2}$, trùng Cách 1.

Định hướng. Thử trước với $a=2,b=3$ (ý a) và $p=4,q=5$ (ý b) để hình dung đúng phép tính, sau đó lặp lại các bước đó nhưng giữ nguyên chữ.

Vậy a) $V=ab(a+b)$; b) $S=\frac{pq}{2}$, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Công thức diện tích tứ giác hai đường chéo vuông góc ở ý b) chính là công thức diện tích hình thoi mở rộng, không đòi hỏi bốn cạnh phải bằng nhau.

Định hướng. Nhìn lại bốn biểu thức đã lập, liệt kê các chữ cái khác nhau xuất hiện trong mỗi biểu thức.

Vậy biến của $a^2-b^2$ và của $ab(a+b)$ là $a,b$; biến của $x^3+y^3$ là $x,y$; biến của $\frac{pq}{2}$ là $p,q$.

Định hướng. Kiểm tra từng kí hiệu trong mỗi biểu thức xem có phải chữ đại diện cho một số chưa biết hay không, số mũ và hệ số không tính là biến.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $(a,b)$, $(x,y)$, $(a,b)$, $(p,q)$ theo đúng thứ tự bốn biểu thức.

Định hướng. Với mỗi biểu thức, liệt kê tất cả kí hiệu xuất hiện rồi gạch bỏ số và dấu phép toán, phần còn lại (không tính trùng) chính là các biến.

Vậy kết quả trùng hai cách trên: các biến lần lượt là $a,b$; $x,y$; $a,b$; $p,q$.

Nhận xét. Một chữ lặp lại nhiều lần trong biểu thức (như $a,b$ trong $ab(a+b)$) chỉ được tính là MỘT biến, không tính theo số lần xuất hiện.

Định hướng. Thay ngay giá trị đã cho vào biểu thức, đặt các giá trị âm trong ngoặc, tính luỹ thừa và nhân trước, cộng trừ sau.

Vậy a) giá trị biểu thức là $24$; b) giá trị biểu thức là $-1,75$.

Định hướng. Ba hạng tử của biểu thức a) đều có nhân tử chung $ab$, đặt ra ngoài để phép tính gọn hơn; với ý b) khai triển $xy(x+y)$ trước khi trừ.

Vậy a) $24$; b) $-1,75$, trùng Cách 1.

Định hướng. Tính giá trị từng hạng tử của mỗi biểu thức một cách độc lập, rồi cộng trừ các kết quả theo đúng dấu ở đề.

Vậy a) $24$; b) $-1,75$, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Tính riêng từng hạng tử/nhân tử (Cách 3) giúp kiểm soát dấu tốt hơn khi biểu thức có nhiều số âm như bài này.

Định hướng. Với kết luận a), thử một giá trị $x$ để so sánh trực tiếp $A(x)$ và $B(x)$; với kết luận b), thử vài bộ số $a,b,c$ để kiểm tra $C$ và $D$ có luôn khớp nhau không.

Vậy kết luận a) sai (có phản ví dụ $x=1$); kết luận b) đúng.

Định hướng. Khai triển $(x+1{)}^2$ bằng hằng đẳng thức rồi so sánh với $x^2+1$ với mọi $x$; khai triển $a(b+c)$ bằng tính chất phân phối để so với $ab+ac$.

Vậy kết luận a) sai vì $A(x)-B(x)=2x$ chỉ bằng $0$ khi $x=0$, không phải với mọi $x$; kết luận b) đúng vì $C=D$ là chính tính chất phân phối, trùng Cách 1.

Định hướng. Coi $(x+1{)}^2$ là diện tích hình vuông cạnh $x+1$, so với diện tích hình vuông cạnh $x$ cộng thêm $1$ (chính là $x^2+1$); coi $a(b+c)$ là diện tích hình chữ nhật cạnh $a$ và $(b+c)$, so với việc cắt thành hai hình chữ nhật nhỏ $ab$ và $ac$.

Vậy kết luận a) sai, kết luận b) đúng, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Kết luận b) chính là tính chất phân phối — một tính chất luôn đúng nên không cần và không thể tìm phản ví dụ; kết luận a) chỉ cần một phản ví dụ như $x=1$ là đủ bác bỏ.

Định hướng. Chọn $x$ là số tiền ban đầu, $y$ là số tiền đã chi tiêu — hiệu $x-y$ chính là số tiền còn lại.

Vậy một tình huống hợp lí là: số tiền còn lại $=x-y$, với $x$ là tiền ban đầu, $y$ là tiền đã chi.

Định hướng. Chọn $x$ là quãng đường dự định đi, $y$ là quãng đường đã đi được — hiệu $x-y$ chính là quãng đường còn lại phải đi.

Vậy một tình huống khác là: quãng đường còn lại $=x-y$, với $x$ là tổng quãng đường, $y$ là quãng đường đã đi, trùng bản chất "lấy tổng trừ phần đã dùng" như Cách 1 nhưng khác đại lượng thực tế (quãng đường thay vì tiền).

Định hướng. Chọn $x$ là tuổi của người lớn hơn, $y$ là tuổi của người nhỏ hơn — hiệu $x-y$ chính là số tuổi hai người chênh lệch nhau.

Vậy một tình huống khác nữa là: số tuổi chênh lệch $=x-y$, với $x,y$ lần lượt là tuổi của hai người.

Nhận xét. Ba tình huống (tiền, quãng đường, tuổi) đều cùng một dạng toán "lấy đại lượng lớn trừ đại lượng nhỏ cùng loại", khác nhau ở NGỮ CẢNH thực tế minh hoạ cho phép trừ $x-y$.