Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 24. Biểu thức đại số

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang20–21 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.1★Trang 20— Dịch cụm từ "hiệu các bình phương", "tổng các lập phương" sang biểu thức đại số

Bài 7.1 (trang 20). Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Hiệu các bình phương của hai số

a

và

b

;
b) Tổng các lập phương của hai số

x

và

y

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một số $a$ là $a^{2}$ ; lập phương của một số $x$ là $x^{3}$ .
Hiệu của hai biểu thức $M, N$ là $M - N$ ; tổng của hai biểu thức $M, N$ là $M + N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề dùng lời để mô tả phép toán trên luỹ thừa của

a, b

(ý a) và của

x, y

(ý b) — dấu hiệu là phải bình phương hoặc lập phương từng số trước, rồi mới lấy hiệu hoặc tổng của hai kết quả đó. Bẫy: dễ nhầm "bình phương của hiệu" (nghĩa là

(a - b)^{2}

) với "hiệu các bình phương" (nghĩa là

a^{2} - b^{2}

) vì thứ tự từ gần giống nhau.

1Cách 1. Dịch trực tiếp từng cụm từ theo đúng thứ tự đề đọc

Định hướng. Tính bình phương (hoặc lập phương) của từng số trước, sau đó nối chúng bằng đúng phép toán "hiệu" hoặc "tổng" mà đề nêu.

a) Bình phương của

a

a^{2}

Bình phương của

b

b^{2}

Hiệu các bình phương:

a^{2} - b^{2}

b) Lập phương của

x

x^{3}

Lập phương của

y

y^{3}

Tổng các lập phương:

x^{3} + y^{3}

Vậy a) biểu thức cần tìm là $a^{2} - b^{2}$ ; b) biểu thức cần tìm là $x^{3} + y^{3}$ .

2Cách 2. Đặt biểu thức trung gian rồi ghép lại

Định hướng. Gọi $M$ là bình phương của $a$ , $N$ là bình phương của $b$ (tương tự cho lập phương ở ý b), viết yêu cầu theo $M, N$ rồi thay lại.

a) Đặt

M = a^{2}, N = b^{2} \Rightarrow

hiệu là

M - N = a^{2} - b^{2}

b) Đặt

P = x^{3}, Q = y^{3} \Rightarrow

tổng là

P + Q = x^{3} + y^{3}

Vậy a) $a^{2} - b^{2}$ ; b) $x^{3} + y^{3}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử với số cụ thể rồi tổng quát hoá

Định hướng. Thử trước với $a = 5, b = 2$ (ý a) và $x = 2, y = 3$ (ý b) để hình dung đúng phép tính, sau đó lặp lại các bước đó nhưng giữ nguyên chữ.

a) Với

a = 5, b = 2

5^{2} - 2^{2} = 25 - 4 = 21

; với

a, b

bất kì:

a^{2} - b^{2}

b) Với

x = 2, y = 3

2^{3} + 3^{3} = 8 + 27 = 35

; với

x, y

bất kì:

x^{3} + y^{3}

Vậy a) $a^{2} - b^{2}$ ; b) $x^{3} + y^{3}$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Thử số cụ thể chỉ giúp kiểm tra đúng phép toán, biểu thức cuối cùng vẫn phải giữ nguyên chữ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dịch thẳng từng cụm từ theo đúng thứ tự đọc đề, không cần đặt biến trung gian như Cách 2.

Đáp số. a)

a^{2} - b^{2}

. b)

x^{3} + y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm "hiệu các bình phương của

a

và

b

" thành "bình phương của hiệu

a

và

b

", tức viết sai

(a - b)^{2}

thay vì

a^{2} - b^{2}

— hai biểu thức này KHÔNG bằng nhau (ví dụ

a = 3, b = 1

a^{2} - b^{2} = 8

nhưng

(a - b)^{2} = 4

🚀 Mở rộng. Tương tự, "tổng các lập phương của

x

và

y

" khác với "lập phương của tổng

x

và

y

" là

(x + y)^{3}

— hai biểu thức này cũng không bằng nhau với mọi

x, y

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.2★★Trang 21— Lập biểu thức thể tích hình hộp chữ nhật và diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Bài 7.2 (trang 21). Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều dài

a

, chiều rộng

b

và chiều cao là

a + b

;
b) Diện tích của hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và độ dài của hai đường chéo đó là

p

và

q

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước: $V = d \times r \times c$ , với $d$ là chiều dài, $r$ là chiều rộng, $c$ là chiều cao.
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với độ dài $d_{1}, d_{2}$ : $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ (như công thức diện tích hình thoi).

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) cho cả ba kích thước của hình hộp chữ nhật, trong đó chiều cao lại được biểu diễn qua

a, b

— dấu hiệu phải thay chiều cao bằng

(a + b)

vào công thức thể tích. Ý b) cho hai đường chéo vuông góc — dấu hiệu của công thức diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc, giống công thức diện tích hình thoi. Bẫy ở ý a): dễ quên nhân thêm

(a + b)

mà chỉ nhân

a \cdot b

như hình chữ nhật phẳng.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức thể tích và công thức diện tích

Định hướng. Thay thẳng chiều dài, chiều rộng, chiều cao đã cho vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật (ý a); thay hai đường chéo vào công thức diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc (ý b).

V = a \cdot b \cdot (a + b)

S = \frac{p \cdot q}{2}

Vậy a) $V = ab (a + b)$ ; b) $S = \frac{pq}{2}$ .

2Cách 2. Dựng hình phụ để suy ra công thức trước khi thay chữ

Định hướng. Với ý a, coi hình hộp là chồng của một lớp đáy $a \times b$ lặp lại $(a + b)$ lần chiều cao. Với ý b, chia tứ giác thành bốn tam giác vuông bởi hai đường chéo vuông góc, cộng diện tích bốn tam giác đó lại.

a) Diện tích đáy:

a \cdot b

; thể tích

=

diện tích đáy

\times

chiều cao

= ab (a + b)

b) Gọi giao điểm hai đường chéo chia

p

thành

p_{1}, p_{2}

(

p_{1} + p_{2} = p

) và

q

thành

q_{1}, q_{2}

(

q_{1} + q_{2} = q

)

S = \frac{p _{1} q _{1}}{2} + \frac{p _{1} q _{2}}{2} + \frac{p _{2} q _{1}}{2} + \frac{p _{2} q _{2}}{2} = \frac{( p _{1} + p _{2} ) ( q _{1} + q _{2} )}{2} = \frac{pq}{2}

Vậy a) $V = ab (a + b)$ ; b) $S = \frac{pq}{2}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử với số cụ thể rồi tổng quát hoá

Định hướng. Thử trước với $a = 2, b = 3$ (ý a) và $p = 4, q = 5$ (ý b) để hình dung đúng phép tính, sau đó lặp lại các bước đó nhưng giữ nguyên chữ.

a) Với

a = 2, b = 3

V = 2 \cdot 3 \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5 = 30

; với

a, b

bất kì:

V = ab (a + b)

b) Với

p = 4, q = 5

S = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10

; với

p, q

bất kì:

S = \frac{pq}{2}

Vậy a) $V = ab (a + b)$ ; b) $S = \frac{pq}{2}$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Công thức diện tích tứ giác hai đường chéo vuông góc ở ý b) chính là công thức diện tích hình thoi mở rộng, không đòi hỏi bốn cạnh phải bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ và áp thẳng công thức thể tích/diện tích, không cần chứng minh lại bằng hình phụ như Cách 2.

Đáp số. a)

V = ab (a + b)

. b)

S = \frac{pq}{2}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) viết nhầm

V = ab + (a + b)

(cộng thay vì nhân chiều cao vào), quên rằng thể tích luôn là TÍCH của ba kích thước, không phải tổng.

🚀 Mở rộng. Khi

a = b

, ý a) trở thành

V = a^{2} (2 a) = 2 a^{3}

— thể tích của hình hộp có đáy vuông cạnh

a

và chiều cao gấp đôi cạnh đáy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.3★Trang 21— Nhận biết biến số trong các biểu thức đại số vừa lập được

Bài 7.3 (trang 21). Hãy chỉ ra các biến trong mỗi biểu thức đại số thu được ở các Bài 7.1 và Bài 7.2.

Kiến thức cần nhớ

Biến của một biểu thức đại số là các chữ cái khác nhau đại diện cho những số chưa biết trong biểu thức đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.4★★★Trang 21— Tính giá trị biểu thức đại số nhiều biến, có biến mang giá trị âm hoặc thập phân

Bài 7.4 (trang 21). Tính giá trị của biểu thức:
a)

2 a^{2} b + a b^{2} - 3 ab

tại

a = - 2

và

b = 4

;
b)

x y (x + y) - (x^{2} + y^{2})

tại

x = 0, 5

và

y = - 1, 5

Kiến thức cần nhớ

Khi thay giá trị âm vào biến có luỹ thừa, phải đặt trong ngoặc: $a^{2}$ tại $a = - 2$ nghĩa là $(- 2)^{2}$ , không phải $- 2^{2}$ .
Muốn tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của các biến, ta thay đồng thời tất cả giá trị đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.5★★★Trang 21— Xét tính đúng/sai của hai kết luận về sự bằng nhau của các biểu thức đại số

Bài 7.5 (trang 21). Trong hai kết luận sau, kết luận nào đúng?
a) Hai biểu thức

A (x) = (x + 1)^{2}

và

B (x) = x^{2} + 1

bằng nhau với mọi giá trị của

x

;
b) Hai biểu thức

C = a (b + c)

và

D = ab + a c

bằng nhau với mọi giá trị của

a, b, c

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức bình phương một tổng: $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ .
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a (b + c) = ab + a c$ đúng với mọi $a, b, c$ .
Một kết luận "đúng với mọi giá trị" chỉ cần MỘT phản ví dụ là đủ để bác bỏ.