Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 24. Biểu thức đại số

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 23— Nhận biết biểu thức số và biểu thức chứa chữ (biểu thức đại số)

HĐ1 (trang 23). Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số, biểu thức chứa chữ.
a)

23 + 8 \cdot 9

; b)

3 a + 7

;
c)

(3^{4} - 5) : 8

; d)

(\frac{3}{x} - y^{2}) + 2

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức không chứa chữ gọi là biểu thức số.
Biểu thức chỉ chứa số, hoặc chỉ chứa chữ, hoặc chứa cả số và chữ gọi chung là biểu thức đại số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn biểu thức, có biểu thức chỉ toàn số, có biểu thức xen chữ cái — dấu hiệu để phân loại chính là xem trong biểu thức có xuất hiện chữ cái (đại diện cho số chưa biết) hay không. Bẫy ở ý d): biểu thức có tới hai chữ khác nhau

x

y

và một chữ nằm ở mẫu, dễ nhầm là "phức tạp quá nên không phải biểu thức chứa chữ", nhưng bản chất phân loại vẫn chỉ dựa trên việc có chữ hay không.

1Cách 1. Quan sát trực tiếp từng biểu thức

Định hướng. Nhìn lần lượt từng biểu thức, chỉ cần thấy xuất hiện một chữ cái là kết luận ngay đó là biểu thức chứa chữ.

23 + 8 \cdot 9

: chỉ toàn số
b)

3 a + 7

: có chữ

a

(3^{4} - 5) : 8

: chỉ toàn số
d)

(\frac{3}{x} - y^{2}) + 2

: có chữ

x

y

Vậy biểu thức số là các biểu thức a) và c); biểu thức chứa chữ là các biểu thức b) và d).

2Cách 2. Kiểm tra bằng khả năng tính ra một số cụ thể

Định hướng. Một biểu thức số luôn tính được ngay ra một số cụ thể mà không cần biết thêm giá trị nào khác; biểu thức chứa chữ thì chưa tính được số cụ thể nếu chưa biết giá trị của chữ.

23 + 8 \cdot 9 = 23 + 72 = 95

— tính ngay ra một số
c)

(3^{4} - 5) : 8 = (81 - 5) : 8 = 76 : 8 = 9, 5

— tính ngay ra một số
b)

3 a + 7

— chưa biết

a

thì không tính ra số
d)

(\frac{3}{x} - y^{2}) + 2

— chưa biết

x, y

thì không tính ra số

Vậy a), c) là biểu thức số (tính ngay được); b), d) là biểu thức chứa chữ (phụ thuộc giá trị của chữ), trùng Cách 1.

3Cách 3. Đối chiếu định nghĩa cho từng ý

Định hướng. Áp trực tiếp định nghĩa "biểu thức không chứa chữ là biểu thức số, biểu thức có chứa chữ là biểu thức chứa chữ" cho lần lượt bốn ý.

23 + 8 \cdot 9

không chứa chữ

\Rightarrow

biểu thức số
b)

3 a + 7

chứa chữ

a

\Rightarrow

biểu thức chứa chữ
c)

(3^{4} - 5) : 8

không chứa chữ

\Rightarrow

biểu thức số
d)

(\frac{3}{x} - y^{2}) + 2

chứa chữ

x, y

\Rightarrow

biểu thức chứa chữ

Vậy kết quả trùng hai cách trên: a), c) là biểu thức số; b), d) là biểu thức chứa chữ.

Nhận xét. Biểu thức chứa chữ có thể có nhiều chữ khác nhau (ý d có cả $x$ và $y$ ) và chữ có thể nằm ở bất kì vị trí nào, kể cả dưới mẫu hay trong luỹ thừa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần lướt qua từng biểu thức tìm chữ cái, nhanh và không phải tính toán gì.

Đáp số. Biểu thức số: a) và c). Biểu thức chứa chữ: b) và d).

Sai lầm thường gặp. Nhầm ý d) không phải biểu thức chứa chữ vì mải chú ý vào phân số

\frac{3}{x}

mà quên rằng

x

vẫn là một chữ cái — chỉ cần có MỘT chữ xuất hiện ở bất kì đâu trong biểu thức là đủ để xếp vào biểu thức chứa chữ.

🚀 Mở rộng. Một biểu thức chứa chữ có thể có bao nhiêu chữ khác nhau cũng được, ví dụ

\frac{a + b}{c} - 2 d

có tới ba chữ

a, b, c, d

(bốn chữ) mà vẫn chỉ là một biểu thức đại số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 23— Lập biểu thức chu vi hình chữ nhật khi biết mối liên hệ giữa hai cạnh

HĐ2 (trang 23). Hãy viết biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật có chiều rộng là

x

(cm) và chiều dài hơn chiều rộng

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình chữ nhật: $C = 2 \cdot (d + r)$ , với $d$ là chiều dài, $r$ là chiều rộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chiều rộng bằng chữ

x

và chiều dài hơn chiều rộng một lượng cố định

3

— dấu hiệu phải biểu diễn chiều dài theo

x

trước rồi mới áp công thức chu vi. Bẫy: dễ quên cộng thêm

3

khi viết chiều dài, hoặc nhầm chu vi với diện tích.

1Cách 1. Biểu diễn chiều dài rồi áp công thức chu vi

Định hướng. Chiều dài hơn chiều rộng $3$ cm nên chiều dài là $x + 3$ ; thay vào công thức chu vi (dài cộng rộng, rồi nhân đôi).

Chiều rộng:

x

(cm)
Chiều dài:

x + 3

(cm)

C = 2 [(x + 3) + x]

C = 2 (2 x + 3)

C = 4 x + 6

Vậy biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật là $4 x + 6$ (cm).

2Cách 2. Cộng riêng hai lần dài với hai lần rộng

Định hướng. Chu vi bằng tổng của hai lần chiều dài và hai lần chiều rộng, tính riêng hai phần này rồi cộng lại.

Hai lần chiều dài:

2 (x + 3) = 2 x + 6

(cm)
Hai lần chiều rộng:

2 x

(cm)

C = (2 x + 6) + 2 x

C = 4 x + 6

Vậy chu vi hình chữ nhật là $4 x + 6$ (cm), trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử với số cụ thể rồi tổng quát hoá

Định hướng. Thử trước với chiều rộng $x = 5$ cm để hình dung phép tính, sau đó lặp lại đúng các bước đó nhưng giữ nguyên chữ $x$ .

Với

x = 5

: chiều dài

= 5 + 3 = 8

, chu vi

= 2 (8 + 5) = 26

(cm)
Với

x

bất kì: chiều dài

= x + 3

, chu vi

= 2 [(x + 3) + x] = 2 (2 x + 3) = 4 x + 6

(cm)

Vậy biểu thức chu vi là $4 x + 6$ (cm); khi $x = 5$ cho $26$ , khớp với cách tính số ở trên.

Nhận xét. Thử số cụ thể chỉ giúp kiểm tra công thức, biểu thức tổng quát vẫn phải giữ nguyên chữ $x$ như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biểu diễn chiều dài theo

x

rồi thay thẳng vào công thức chu vi, không phải tách hai bước như Cách 2.

Đáp số.

4 x + 6

(cm).

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm chiều dài là

3 x

hoặc

3 - x

thay vì

x + 3

, vì đọc vội cụm "dài hơn chiều rộng 3 cm" mà không dịch đúng thành phép cộng.

🚀 Mở rộng. Nếu chiều dài hơn chiều rộng

k

cm (thay vì

3

cm) thì chu vi tổng quát là

4 x + 2 k

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập★Trang 23— Nhận biết biến số trong biểu thức đại số

Luyện tập (trang 23). Hãy chỉ ra các biến của mỗi biểu thức đại số sau:
a)

3 x^{2} - 1

; b)

3 a + b

Kiến thức cần nhớ

Trong một biểu thức đại số, các chữ dùng để thay thế hay đại diện cho những số nào đó được gọi là các biến số (biến).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai biểu thức đại số, yêu cầu chỉ đích danh chữ nào là biến — dấu hiệu chỉ cần liệt kê những chữ cái xuất hiện trong biểu thức. Bẫy ở ý a): số mũ

2

trong

x^{2}

và hệ số

3

- 1

là các số, không phải biến, dễ nhầm

2

cũng là một biến vì nó đứng cạnh

x

1Cách 1. Quan sát trực tiếp chữ cái trong biểu thức

Định hướng. Nhìn từng biểu thức, chữ cái nào xuất hiện (không tính số mũ, hệ số) chính là biến của biểu thức đó.

3 x^{2} - 1

: chữ cái xuất hiện là

x

3 a + b

: chữ cái xuất hiện là

a

b

Vậy biến của biểu thức a) là $x$ ; biến của biểu thức b) là $a$ và $b$ .

2Cách 2. Đối chiếu định nghĩa biến

Định hướng. Biến là chữ đại diện cho một số chưa biết; kiểm tra từng kí hiệu trong biểu thức xem có phải chữ đại diện cho số hay không.

a) trong

3 x^{2} - 1

3

và

- 1

là số cố định, số mũ

2

là số cố định, chỉ

x

đại diện cho một số chưa biết
b) trong

3 a + b

3

là số cố định,

a

và

b

đại diện cho số chưa biết

Vậy biến của a) là $x$ ; biến của b) là $a, b$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Liệt kê mọi kí hiệu rồi loại bỏ số và phép toán

Định hướng. Liệt kê tất cả các kí hiệu có trong biểu thức, sau đó gạch bỏ các số và dấu phép toán, phần còn lại chính là các biến.

3 x^{2} - 1

gồm:

3

(số),

x

(chữ),

2

(số mũ),

-

(phép toán),

1

(số)

\Rightarrow

còn lại

x

3 a + b

gồm:

3

(số),

a

(chữ),

+

(phép toán),

b

(chữ)

\Rightarrow

còn lại

a, b

Vậy kết quả trùng hai cách trên: biến của a) là $x$ ; biến của b) là $a$ và $b$ .

Nhận xét. Số mũ (như $2$ trong $x^{2}$ ) không bao giờ được tính là biến, dù nó viết dính vào chữ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quan sát trực tiếp và gọi tên ngay các chữ xuất hiện, không cần liệt kê hết mọi kí hiệu như Cách 3.

Đáp số. a) Biến là

x

. b) Biến là

a

và

b

Sai lầm thường gặp. Nhầm số mũ

2

trong

x^{2}

cũng là một biến, trong khi số mũ chỉ là một số cố định cho biết luỹ thừa bậc mấy, không đại diện cho số chưa biết nào.

🚀 Mở rộng. Một biểu thức có thể có nhiều biến giống hoặc khác kiểu, ví dụ

2 x y - z^{3} + 1

có ba biến

x, y, z

dù

x

và

y

đứng cạnh nhau không dấu nhân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng★★Trang 24— Lập biểu thức tổng quãng đường của hai chặng và tính giá trị biểu thức đại số

Vận dụng (trang 24). Một người đi ô tô với vận tốc

40

km/h trong

x

giờ, sau đó tiếp tục đi bộ với vận tốc

5

km/h trong

y

giờ.
a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng quãng đường người đó đi được.
b) Tính giá trị của biểu thức trong câu a khi

x = 2, 5

(giờ) và

y = 0, 5

(giờ).

Kiến thức cần nhớ

Công thức tính quãng đường: $s = v \cdot t$ (v là vận tốc, t là thời gian).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai chặng di chuyển với vận tốc không đổi khác nhau, thời gian mỗi chặng là một chữ riêng — dấu hiệu phải tính quãng đường từng chặng theo công thức

s = v \cdot t

rồi cộng lại. Bẫy: hai vận tốc

40

và

5

khác nhau, không được gộp chung một biến thời gian cho cả quãng đường.

1Cách 1. Viết trực tiếp tổng hai quãng đường rồi thay số

Định hướng. Quãng đường ô tô là $40 x$ , quãng đường đi bộ là $5 y$ ; tổng quãng đường là tổng hai biểu thức này, sau đó thay $x = 2, 5$ và $y = 0, 5$ .

S = 40 x + 5 y

(km)
b)

S = 40 \cdot 2, 5 + 5 \cdot 0, 5

S = 100 + 2, 5

S = 102, 5

Vậy a) $S = 40 x + 5 y$ (km); b) khi $x = 2, 5$ và $y = 0, 5$ thì $S = 102, 5$ km.

2Cách 2. Tính riêng từng quãng đường bằng số rồi cộng

Định hướng. Tính quãng đường ô tô đi và quãng đường đi bộ bằng số ngay từ đầu với $x = 2, 5$ , $y = 0, 5$ đã cho, rồi mới cộng hai kết quả.

S = 40 x + 5 y

(km)
b) Quãng đường ô tô:

40 \cdot 2, 5 = 100

(km)
Quãng đường đi bộ:

5 \cdot 0, 5 = 2, 5

(km)

S = 100 + 2, 5 = 102, 5

Vậy $S = 102, 5$ km, trùng Cách 1.

3Cách 3. Đặt nhân tử chung 5 trước khi thay số

Định hướng. Cả hai hệ số $40$ và $5$ đều chia hết cho $5$ , đặt nhân tử chung $5$ để chỉ còn một phép nhân ở ngoài.

S = 40 x + 5 y = 5 (8 x + y)

(km)
b)

S = 5 (8 \cdot 2, 5 + 0, 5)

S = 5 (20 + 0, 5)

S = 5 \cdot 20, 5

S = 102, 5

Vậy $S = 102, 5$ km, trùng hai cách trên.

Nhận xét. Đặt nhân tử chung giúp phép tính ở câu b chỉ còn một phép nhân cuối cùng, đỡ nhầm dấu hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết thẳng biểu thức tổng rồi thay số một lần, không cần tách hay biến đổi thêm.

Đáp số. a)

S = 40 x + 5 y

(km). b)

S = 102, 5

km.

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm hai vận tốc

40 + 5 = 45

rồi nhân với một biến thời gian chung, trong khi

x

và

y

là hai khoảng thời gian khác nhau của hai chặng, không được gộp lại.

🚀 Mở rộng. Nếu người đó đi thêm chặng thứ ba với vận tốc

v_{3}

trong

z

giờ thì tổng quãng đường tổng quát là

S = 40 x + 5 y + v_{3} z

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.1★Trang 24— Dịch cụm từ tiếng Việt sang biểu thức đại số

Bài 7.1 (trang 24). Viết biểu thức đại số biểu thị:
a) Nửa tổng của

x

và

y

;
b) Tổng của

x

và

y

nhân với tích của

x

và

y

Kiến thức cần nhớ

Tổng của $x$ và $y$ là $x + y$ ; tích của $x$ và $y$ là $x y$ .
"Nửa" một đại lượng nghĩa là chia đại lượng đó cho $2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề dùng lời để mô tả một phép toán trên

x, y

— dấu hiệu là phải dịch đúng thứ tự các cụm từ "tổng", "nửa", "tích", "nhân với" sang đúng phép toán tương ứng. Bẫy ở ý b): dễ nhầm "tổng ... nhân với tích ..." thành phép cộng đơn thuần thay vì phải nhân hai biểu thức (tổng) và (tích) với nhau.

1Cách 1. Dịch trực tiếp từng cụm từ theo đúng thứ tự đề đọc

Định hướng. Đọc đề theo đúng thứ tự, gặp "tổng" thì viết $x + y$ , gặp "nửa" thì chia cho $2$ , gặp "tích" thì viết $x y$ , rồi ghép các cụm bằng đúng phép toán nối giữa chúng.

a) Tổng của

x

và

y

x + y

Nửa tổng đó:

\frac{x + y}{2}

b) Tổng của

x

và

y

x + y

Tích của

x

và

y

x y

Tổng nhân với tích:

(x + y) \cdot x y

Vậy a) biểu thức cần tìm là $\frac{x + y}{2}$ ; b) biểu thức cần tìm là $(x + y) x y$ .

2Cách 2. Đặt biểu thức trung gian rồi ghép lại

Định hướng. Gọi $S$ là tổng của $x, y$ và $P$ là tích của $x, y$ , viết yêu cầu của đề theo $S, P$ trước, sau đó thay lại biểu thức của $S, P$ .

Đặt

S = x + y

P = x y

a) Nửa tổng:

\frac{S}{2} = \frac{x + y}{2}

b) Tổng nhân tích:

S \cdot P = (x + y) \cdot x y

Vậy a) $\frac{x + y}{2}$ ; b) $(x + y) x y$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử với số cụ thể rồi tổng quát hoá

Định hướng. Thử trước với $x = 2, y = 3$ để hình dung đúng phép tính, sau đó lặp lại các bước đó nhưng giữ nguyên chữ $x, y$ .

Với

x = 2, y = 3

: tổng

= 5

, nửa tổng

= 2, 5 = \frac{5}{2}

; tích

= 6

, tổng nhân tích

= 5 \cdot 6 = 30

Với

x, y

bất kì: a)

\frac{x + y}{2}

; b)

(x + y) x y

Vậy a) $\frac{x + y}{2}$ ; b) $(x + y) x y$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Thử số chỉ giúp kiểm tra phép dịch đúng thứ tự, biểu thức cuối vẫn phải viết theo chữ $x, y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dịch thẳng từng cụm từ theo đúng thứ tự đọc đề, không cần đặt biến trung gian như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{x + y}{2}

. b)

(x + y) x y

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) viết nhầm thành

x + y + x y

(cộng thay vì nhân), do đọc lướt cụm từ "nhân với" và chỉ để ý hai cụm "tổng", "tích".

🚀 Mở rộng. Cùng cách dịch này, "hiệu của

x

và

y

chia cho tích của

x

và

y

" sẽ được viết là

\frac{x - y}{x y}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.2★Trang 24— Lập biểu thức diện tích hình thang theo hai đáy và chiều cao

Bài 7.2 (trang 24). Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích của hình thang có hai đáy là

a

và

b

, chiều cao là

h

(

a, b

và

h

có cùng đơn vị đo).

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình thang: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ , với $a, b$ là độ dài hai đáy, $h$ là chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba đại lượng

a, b, h

đại diện cho hai đáy và chiều cao của hình thang — dấu hiệu phải nhớ lại đúng công thức diện tích hình thang đã học. Bẫy: dễ quên chia cho

2

hoặc nhầm với công thức diện tích tam giác chỉ có một đáy.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức diện tích hình thang

Định hướng. Thay thẳng các chữ $a, b, h$ vào công thức diện tích hình thang đã học.

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

Vậy biểu thức cần tìm là $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ .

2Cách 2. Chia hình thang thành hai tam giác bằng một đường chéo

Định hướng. Vẽ đường chéo chia hình thang thành hai tam giác có chung chiều cao $h$ , đáy lần lượt là $a$ và $b$ ; diện tích hình thang bằng tổng diện tích hai tam giác đó.

Diện tích tam giác đáy

a

\frac{a \cdot h}{2}

Diện tích tam giác đáy

b

\frac{b \cdot h}{2}

S = \frac{a \cdot h}{2} + \frac{b \cdot h}{2}

S = \frac{( a + b ) h}{2}

Vậy $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Ghép hai hình thang bằng nhau thành hình bình hành

Định hướng. Ghép thêm một hình thang bằng chính nó, lật ngược lại, để tạo thành một hình bình hành có đáy $a + b$ và chiều cao $h$ ; diện tích hình thang bằng nửa diện tích hình bình hành đó.

Diện tích hình bình hành ghép được:

(a + b) \cdot h

Diện tích hình thang bằng nửa diện tích hình bình hành:

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

Vậy $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều dẫn về cùng một công thức — Cách 1 nhanh nhất vì đã thuộc sẵn, Cách 2 và Cách 3 giúp hiểu VÌ SAO công thức đó đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ và áp thẳng công thức, không cần chứng minh lại bằng hình học mỗi lần làm bài.

Đáp số.

S = \frac{( a + b ) h}{2}

Sai lầm thường gặp. Viết thiếu dấu ngoặc, nhầm

S = a + b \cdot h : 2

(chỉ nhân

b

với

h

rồi mới cộng

a

), trong khi phải cộng

a

với

b

trước rồi mới nhân với

h

và chia cho

2

🚀 Mở rộng. Khi

a = b

(hai đáy bằng nhau), hình thang trở thành hình bình hành và công thức

S = \frac{( a + b ) h}{2}

trở về đúng công thức diện tích hình bình hành

S = a \cdot h

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.3★★Trang 24— Tính giá trị biểu thức đại số khi biết giá trị của biến

Bài 7.3 (trang 24). Tính giá trị của biểu thức:
a)

4 x + 3

tại

x = 5, 8

; b)

y^{2} - 2 y + 1

tại

y = 2

;
c)

(2 m + n) (m - n)

tại

m = 5, 4

và

n = 3, 2

Kiến thức cần nhớ

Muốn tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.
Hằng đẳng thức bình phương một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn giá trị của biến, dấu hiệu chỉ cần thay số vào đúng vị trí của biến rồi tính theo đúng thứ tự thực hiện phép tính. Bẫy ở ý b):

y^{2} - 2 y + 1

là dạng khai triển của

(y - 1)^{2}

, dễ tính sai nếu không để ý thứ tự luỹ thừa trước, nhân sau, cộng trừ sau cùng.

1Cách 1. Thay số trực tiếp rồi tính theo thứ tự phép toán

Định hướng. Thay ngay giá trị đã cho vào biểu thức, tính luỹ thừa và nhân trước, cộng trừ sau.

4 x + 3 = 4 \cdot 5, 8 + 3 = 23, 2 + 3 = 26, 2

y^{2} - 2 y + 1 = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1

(2 m + n) (m - n) = (2 \cdot 5, 4 + 3, 2) (5, 4 - 3, 2) = (10, 8 + 3, 2) \cdot 2, 2 = 14 \cdot 2, 2 = 30, 8

Vậy a) giá trị biểu thức là $26, 2$ ; b) giá trị biểu thức là $1$ ; c) giá trị biểu thức là $30, 8$ .

2Cách 2. Biến đổi biểu thức bằng hằng đẳng thức trước khi thay số

Định hướng. Đưa biểu thức b) về dạng bình phương một hiệu, đưa biểu thức c) về dạng khai triển gọn hơn trước khi thay số, giúp phép tính ngắn lại.

4 x + 3 = 4 \cdot 5, 8 + 3 = 26, 2

(giữ nguyên vì đã tối giản)
b)

y^{2} - 2 y + 1 = (y - 1)^{2} = (2 - 1)^{2} = 1^{2} = 1

(2 m + n) (m - n) = 2 m^{2} - 2 mn + mn - n^{2} = 2 m^{2} - mn - n^{2}

= 2 \cdot 5, 4^{2} - 5, 4 \cdot 3, 2 - 3, 2^{2} = 58, 32 - 17, 28 - 10, 24 = 30, 8

Vậy a) $26, 2$ ; b) $1$ ; c) $30, 8$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Tính riêng từng thành phần rồi kết hợp

Định hướng. Tách mỗi biểu thức thành các phần nhỏ (từng nhân tử, từng hạng tử), tính giá trị từng phần trước rồi mới ghép lại theo đúng phép toán ngoài cùng.

4 x = 4 \cdot 5, 8 = 23, 2

rồi

23, 2 + 3 = 26, 2

y^{2} = 2^{2} = 4

2 y = 2 \cdot 2 = 4

rồi

4 - 4 + 1 = 1

2 m + n = 2 \cdot 5, 4 + 3, 2 = 14

;

m - n = 5, 4 - 3, 2 = 2, 2

rồi

14 \cdot 2, 2 = 30, 8

Vậy a) $26, 2$ ; b) $1$ ; c) $30, 8$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Với ý c), tính riêng hai nhân tử $(2 m + n)$ và $(m - n)$ rồi nhân lại (Cách 3) thường nhanh và ít sai dấu hơn khai triển hết (Cách 2).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý c) và Cách 1 cho ý a), b): tính riêng từng nhân tử/hạng tử trước khi ghép lại, tránh khai triển dài dòng.

Đáp số. a)

26, 2

. b)

1

. c)

30, 8

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), tính nhầm

y^{2} - 2 y + 1

thành

y^{2} - 2 (y + 1)

do đặt dấu ngoặc sai chỗ, dẫn tới thế

y = 2

ra kết quả sai.

🚀 Mở rộng. Ý b) chính là hằng đẳng thức

(y - 1)^{2}

; với mọi

y

ta luôn có

y^{2} - 2 y + 1 \geq 0

, dấu bằng xảy ra khi

y = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.4★★Trang 24— Lập biểu thức tổng sản lượng hai máy bơm và tính giá trị biểu thức

Bài 7.4 (trang 24). Một bác nông dân sử dụng hai chiếc máy bơm để tưới nước cho vườn cây. Máy bơm thứ nhất mỗi giờ bơm được

5

^{3}

nước. Máy bơm thứ hai mỗi giờ bơm được

3, 5

^{3}

nước.
a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước bơm được của hai máy, nếu máy bơm thứ nhất chạy trong

x

giờ và máy bơm thứ hai chạy trong

y

giờ.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính lượng nước bơm được của cả hai máy khi

x = 2

(giờ),

y = 3

(giờ).

Kiến thức cần nhớ

Lượng nước bơm được bằng năng suất (m³/giờ) nhân với thời gian bơm (giờ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai máy bơm với năng suất khác nhau, thời gian chạy mỗi máy là một chữ riêng — dấu hiệu là phải tính lượng nước từng máy theo công thức năng suất nhân thời gian rồi cộng lại. Bẫy: hai năng suất

5

và

3, 5

khác nhau, không được gộp chung thành một phép nhân duy nhất.

1Cách 1. Viết trực tiếp tổng lượng nước hai máy rồi thay số

Định hướng. Lượng nước máy thứ nhất là $5 x$ , lượng nước máy thứ hai là $3, 5 y$ ; tổng lượng nước là tổng hai biểu thức này, sau đó thay $x = 2, y = 3$ .

Q = 5 x + 3, 5 y

^{3}

)
b)

Q = 5 \cdot 2 + 3, 5 \cdot 3

Q = 10 + 10, 5

Q = 20, 5

Vậy a) $Q = 5 x + 3, 5 y$ (m $^{3}$ ); b) khi $x = 2, y = 3$ thì $Q = 20, 5$ m $^{3}$ .

2Cách 2. Tính riêng lượng nước từng máy bằng số rồi cộng

Định hướng. Tính lượng nước từng máy bằng số ngay với $x = 2, y = 3$ đã cho, rồi cộng hai kết quả.

Q = 5 x + 3, 5 y

^{3}

)
b) Máy thứ nhất:

5 \cdot 2 = 10

^{3}

)
Máy thứ hai:

3, 5 \cdot 3 = 10, 5

^{3}

)

Q = 10 + 10, 5 = 20, 5

Vậy $Q = 20, 5$ m $^{3}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Đặt nhân tử chung 0,5 trước khi thay số

Định hướng. Cả hai hệ số $5$ và $3, 5$ đều chia hết cho $0, 5$ , đặt nhân tử chung $0, 5$ để chỉ còn một phép nhân ở ngoài.

Q = 5 x + 3, 5 y = 0, 5 (10 x + 7 y)

^{3}

)
b)

Q = 0, 5 (10 \cdot 2 + 7 \cdot 3)

Q = 0, 5 (20 + 21)

Q = 0, 5 \cdot 41

Q = 20, 5

Vậy $Q = 20, 5$ m $^{3}$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Đặt nhân tử chung giúp thay số ở câu b chỉ còn số nguyên $10$ và $7$ , dễ tính nhẩm hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết thẳng biểu thức tổng theo năng suất từng máy rồi thay số một lần.

Đáp số. a)

Q = 5 x + 3, 5 y

^{3}

). b)

Q = 20, 5

^{3}

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm hai năng suất

5 + 3, 5 = 8, 5

rồi nhân với một biến thời gian chung, trong khi

x

và

y

là thời gian chạy riêng của từng máy, không được gộp lại.

🚀 Mở rộng. Nếu bác nông dân dùng thêm máy bơm thứ ba có năng suất

v_{3}

chạy trong

z

giờ thì tổng lượng nước tổng quát là

Q = 5 x + 3, 5 y + v_{3} z

Mở bài này trong app ↗