Bài 25. Đa thức một biến

Định hướng. Chuẩn hoá từng biểu thức, xem biến $x$ có luôn đi kèm một luỹ thừa với số mũ nguyên không âm hay không; căn thức chỉ được phép nằm ở hệ số.

Vậy đa thức một biến là các biểu thức a) và c); b) và d) không phải đa thức một biến.

Định hướng. Với mỗi ý, tìm một dấu hiệu VI PHẠM định nghĩa đa thức (nếu có) để loại; nếu không tìm được vi phạm nào thì kết luận là đa thức.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a), c) là đa thức một biến; b), d) không phải.

Định hướng. Gộp các hạng tử cùng bậc của từng đa thức, sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần, rồi đọc bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do.

Vậy $F(x)=-2x^3+3x+1$: bậc $3$, hệ số cao nhất $-2$, hệ số tự do $1$. $G(x)=-x^3+x^2+3x+1$: bậc $3$, hệ số cao nhất $-1$, hệ số tự do $1$.

Định hướng. Liệt kê hệ số của $x^5,x^4,x^3,x^2,x,x^0$ cho mỗi đa thức, cộng dồn các hệ số cùng bậc rồi đọc kết quả.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $F(x)=-2x^3+3x+1$ (bậc $3$, hệ số cao nhất $-2$, hệ số tự do $1$); $G(x)=-x^3+x^2+3x+1$ (bậc $3$, hệ số cao nhất $-1$, hệ số tự do $1$).

Định hướng. Thay $x=1$ vào đa thức gốc và đa thức đã thu gọn của mỗi ý để đối chiếu.

Vậy cả hai kết quả thu gọn ở Cách 1, 2 đều được xác nhận đúng qua phép thử $x=1$.

Nhận xét. Riêng ý a), việc hai hạng tử bậc 5 triệt tiêu hoàn toàn là điểm mấu chốt khiến bậc thật của $F(x)$ tụt xuống còn $3$ — đây là bẫy phổ biến khi chỉ nhìn lướt bậc cao nhất XUẤT HIỆN trong đề mà chưa thu gọn.

Định hướng. Thay lần lượt $x=-2,-1,0,1,2$ vào $F(x)=x^3+2x^2+x$ rồi tính, chọn ra giá trị cho kết quả bằng 0.

Vậy $F(-1)=0$ và $F(0)=0$, nên hai nghiệm của $F(x)$ trong tập đã cho là $x=-1$ và $x=0$.

Định hướng. Đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài để đưa $F(x)$ về dạng tích, từ đó tìm nghiệm mà không cần thử hết cả năm giá trị.

Vậy $F(x)$ có nghiệm $x=0$ và $x=-1$ — trùng Cách 1, và đây thực ra là TOÀN BỘ nghiệm của $F(x)$ (không chỉ giới hạn trong 5 số đã cho).

Định hướng. Gọi $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, gán ba hệ số đã biết trực tiếp từ đề, rồi thay $x=\frac{1}{2}$ vào để lập phương trình tìm $c$.

Vậy $P(x)=4x^3-x$.

Định hướng. Từ $P(x)=4x^3+cx$, đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài trước, sau đó mới thay $x=\frac{1}{2}$ để tránh nhân phân số nhiều lần.

Vậy $P(x)=4x^3-x$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Thay $x=\frac{1}{2}$ vào $P(x)=4x^3-x$ để kiểm tra kết quả có đúng bằng 0 như đề yêu cầu hay không.

Vậy $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$ đúng như đề yêu cầu, xác nhận $P(x)=4x^3-x$ ở Cách 1, 2 là đúng.

Nhận xét. Đồng thời $P(x)=4x^3-x=x(2x-1)(2x+1)$ còn cho thấy $x=0$ và $x=-\frac{1}{2}$ cũng là nghiệm của $P(x)$, không chỉ riêng $x=\frac{1}{2}$.

Định hướng. Ý a) thay $x=0$ vào cả hai đa thức. Ý b) đánh giá $B(x)=x^4+\sqrt{2}$ dựa vào $x^4\ge 0$ để chỉ ra $B(x)$ luôn dương.

Vậy a) $A(0)=0$ nên $x=0$ là nghiệm của $A(x)$; $B(0)=\sqrt{2}\ne 0$ nên $x=0$ KHÔNG là nghiệm của $B(x)$. b) $B(x)\ge \sqrt{2}>0$ với mọi $x$, nên $B(x)$ không thể bằng 0 — $B(x)$ không có nghiệm.

Định hướng. Ý a) quan sát ngay cấu trúc của $A(x)$: mọi hạng tử đều có nhân tử chung $x$, nên $A(0)=0$ mà không cần tính từng luỹ thừa. Ý b) giả sử phản chứng có nghiệm rồi chỉ ra vô lí.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $x=0$ là nghiệm của $A(x)$, không là nghiệm của $B(x)$; b) giả thiết phản chứng dẫn tới mâu thuẫn nên $B(x)$ không có nghiệm.

Định hướng. Phân tích $G(x)$ và $H(x)$ thành tích hai nhân tử bậc nhất, đọc ra nghiệm của từng đa thức, rồi tìm số chung trong hai tập nghiệm.

Vậy $G(x)$ có nghiệm $\{1;2\}$, $H(x)$ có nghiệm $\{2;-3\}$; số chung của hai tập nghiệm là $x=2$ — đó chính là nghiệm chung cần tìm.

Định hướng. Nếu $a$ là nghiệm chung thì $G(a)=0$ và $H(a)=0$, suy ra $G(a)-H(a)=0$; phép trừ hai đa thức bậc hai này triệt tiêu luôn hạng tử bậc hai, đưa về phương trình bậc nhất dễ giải hơn.

Vậy nghiệm chung là $x=2$, trùng Cách 1; đồng thời khẳng định chắc chắn đây là nghiệm chung DUY NHẤT có thể có (vì phương trình $-4x+8=0$ chỉ có một nghiệm).

Định hướng. Đổi các kích thước về cùng đơn vị mét, tính thể tích bức tường theo $x$, nhân với $542$ để ra tổng số gạch cần, trừ $450$ viên đã có; với ý b), cho đa thức ở ý a) bằng 0 để tìm $x$.

Vậy a) $Q(x)=650,4x-450$ (viên); bậc $1$, hệ số tự do $-450$. b) $x\approx 0,69$, làm tròn đến $0,1\text{ m}$ được bức tường cao khoảng $0,7\text{ m}$.

Định hướng. Tính riêng số gạch cần để xây $1$ mét chiều cao tường, sau đó nhân với $x$; với ý b), lập tỉ lệ trực tiếp giữa số gạch sẵn có và số gạch cần cho mỗi mét chiều cao.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $Q(x)=650,4x-450$ (viên), bậc $1$, hệ số tự do $-450$. b) xây được bức tường cao khoảng $0,7\text{ m}$.

Định hướng. Thay $x=a$ vào $F(x)$ để có $F(a)=a^2+pa+q$, khai triển $(a+2{)}^2$ theo hằng đẳng thức, rồi so sánh hệ số của từng luỹ thừa của $a$ ở hai vế.

Vậy $p=4$ và $q=4$, tức $F(x)=x^2+4x+4$.

Định hướng. Vì đẳng thức đúng với MỌI $a$, chọn hai giá trị $a$ cụ thể (chẳng hạn $a=0$ và $a=1$) để lập hai phương trình chứa $p,q$ rồi giải.

Vậy $p=4$ và $q=4$ — trùng Cách 1, tức $F(x)=x^2+4x+4$.

Định hướng. Thay một giá trị $a$ khác (chưa dùng ở Cách 2, ví dụ $a=-1$) vào cả $F(a)$ đã tìm được và $(a+2{)}^2$ để xác nhận hai bên luôn bằng nhau.

Vậy hai giá trị đều bằng $1$, xác nhận $p=4$, $q=4$ ở Cách 1, 2 là đúng với thêm một giá trị $a$ khác.

Nhận xét. Thực chất $F(x)=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ — đa thức $F(x)$ chính là bình phương của $(x+2)$, giải thích vì sao $F(a)=(a+2{)}^2$ đúng với MỌI $a$ chứ không chỉ vài giá trị đã thử.