Bài 1 · 7.7★★Trang 24— Nhận biết đa thức một biến trong các biểu thức chứa căn thức
Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đa thức một biến?
a) ; b) ; c) ; d) .
a) ; b) ; c) ; d) .
Kiến thức cần nhớ
- Đơn thức một biến là tích của một số thực (hệ số, có thể là số vô tỉ) với một luỹ thừa của biến có số mũ nguyên không âm.
- Đa thức một biến là tổng của các đơn thức một biến; biểu thức có biến dưới căn hoặc biến ở mẫu không phải là đa thức.
🧠 Phân tích tư duy
Đề trộn lẫn những biểu thức trông giống đa thức nhưng thực chất không phải, dấu hiệu là phải kiểm tra đúng hai điều kiện: biến chỉ xuất hiện dưới dạng luỹ thừa với số mũ nguyên không âm, và hệ số phải là một số thực (kể cả số vô tỉ như , vẫn được). Bẫy: ý a) tuy có căn thức nhưng căn nằm ở HỆ SỐ chứ không phải ở biến, nên vẫn là đa thức; ngược lại ý b) căn thức nằm NGAY TRÊN biến nên không còn là đa thức.
1Cách 1. Viết lại mỗi biểu thức về dạng chuẩn rồi kiểm tra vị trí của biến
Định hướng. Chuẩn hoá từng biểu thức, xem biến có luôn đi kèm một luỹ thừa với số mũ nguyên không âm hay không; căn thức chỉ được phép nằm ở hệ số.
a) — hệ số và là số thực, biến có số mũ nguyên
b) — biến nằm dưới dấu căn, không phải luỹ thừa với số mũ nguyên
c) — hệ số là số thực, biến có số mũ nguyên
d) — số mũ của ở hạng tử thứ hai là , không nguyên không âm
b) — biến nằm dưới dấu căn, không phải luỹ thừa với số mũ nguyên
c) — hệ số là số thực, biến có số mũ nguyên
d) — số mũ của ở hạng tử thứ hai là , không nguyên không âm
Vậy đa thức một biến là các biểu thức a) và c); b) và d) không phải đa thức một biến.
2Cách 2. Đối chiếu với định nghĩa qua từng dấu hiệu loại trừ
Định hướng. Với mỗi ý, tìm một dấu hiệu VI PHẠM định nghĩa đa thức (nếu có) để loại; nếu không tìm được vi phạm nào thì kết luận là đa thức.
a) không có biến dưới căn, không có biến ở mẫu là đa thức
b) biến nằm dưới căn bậc hai không phải đa thức
c) không có biến dưới căn, không có biến ở mẫu là đa thức
d) có biến ở mẫu số không phải đa thức
b) biến nằm dưới căn bậc hai không phải đa thức
c) không có biến dưới căn, không có biến ở mẫu là đa thức
d) có biến ở mẫu số không phải đa thức
Vậy kết quả trùng Cách 1: a), c) là đa thức một biến; b), d) không phải.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần tìm nhanh dấu hiệu vi phạm (biến dưới căn hoặc biến ở mẫu) để loại, không cần viết lại toàn bộ biểu thức như Cách 1.
Đáp số. Đa thức một biến: ý a) và ý c). Không phải đa thức một biến: ý b) và ý d).
Sai lầm thường gặp. Thấy có dấu căn ở ý a) là vội kết luận \"không phải đa thức\" mà không để ý căn thức đó chỉ nằm ở HỆ SỐ (), còn biến vẫn ở dạng luỹ thừa bình thường.
🚀 Mở rộng. Tổng quát: một biểu thức có căn thức vẫn có thể là đa thức, miễn là biến không nằm bên trong dấu căn và không nằm ở mẫu — điều quyết định là VỊ TRÍ của biến, không phải sự xuất hiện của căn thức.
