Bài 25. Đa thức một biến

Định hướng. Nhìn từng biểu thức, số đứng trước $x$ là hệ số, số mũ của $x$ là bậc; riêng biểu thức không có $x$ tường minh thì hiểu ngầm bậc bằng 0.

Vậy bốn đơn thức lần lượt có (hệ số; bậc) là $(2;6)$, $\left(-\frac{1}{5};2\right)$, $(-8;0)$, $(9;1)$.

Định hướng. Viết lại mọi biểu thức về đúng dạng tổng quát $a\cdot x^n$ trước, tránh bỏ sót những chỗ số mũ hoặc luỹ thừa $x^0$, $x^1$ không hiện rõ.

Vậy kết quả trùng Cách 1: hệ số lần lượt là $2$; $-\frac{1}{5}$; $-8$; $9$ và bậc lần lượt là $6$; $2$; $0$; $1$.

Định hướng. Nhân hai đơn thức thì luỹ thừa của biến nhân với nhau bằng cách cộng số mũ, nên bậc của tích bằng tổng hai bậc thành phần.

Vậy tích là một đơn thức bậc $3+2=5$.

Định hướng. Chọn hai đơn thức cụ thể đúng bậc 3 và bậc 2, nhân trực tiếp rồi quan sát số mũ của kết quả.

Vậy đơn thức bậc 3 nhân đơn thức bậc 2 luôn cho đơn thức bậc 5, đúng như Cách 1.

Định hướng. Với a), b) cộng/trừ hệ số và giữ nguyên $x^3$, $x^5$; với c) nhân hệ số rồi cộng số mũ.

Vậy a) $6x^3$; b) $x^5$; c) $-2x^5$.

Định hướng. Với ý c) có số thập phân $-0,25$, đổi về phân số $-\frac{1}{4}$ để nhân cho gọn, tránh sai dấu phẩy.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $6x^3$; b) $x^5$; c) $-2x^5$.

Định hướng. Thay $x=1$ vào cả vế trái và kết quả đã rút gọn, hai bên phải cho cùng một số thì phép rút gọn đúng.

Vậy kết quả kiểm tra khớp với Cách 1, 2: a) $6x^3$; b) $x^5$; c) $-2x^5$.

Nhận xét. Thay $x=1$ chỉ giúp kiểm tra hệ số, không kiểm tra được số mũ (vì $1^n=1$ với mọi $n$) — nên chỉ dùng để soát lại, không thay cho Cách 1.

Định hướng. Một số thực $a\ne 0$ luôn viết được dưới dạng $a\cdot x^0$, tức là một đơn thức; mà một đơn thức cũng chính là một đa thức (tổng có đúng một hạng tử).

Vậy mọi số thực $a\ne 0$ đều là một đa thức (cụ thể là đa thức bậc 0).

Định hướng. Trường hợp còn lại là số $0$, cần đối chiếu với quy ước riêng cho số 0 trong định nghĩa đa thức.

Vậy kể cả số $0$ cũng là một đa thức — vậy tổng quát, MỌI số thực đều là một đa thức: nếu khác 0 thì là đa thức bậc 0, nếu bằng 0 thì là đa thức không.

Định hướng. Đọc đa thức $B$ từ trái sang phải, mỗi lần gặp dấu $+$ hoặc $-$ (không nằm trong một đơn thức) là kết thúc một hạng tử, dấu đó mang theo hạng tử phía sau.

Vậy đa thức $B$ có bốn hạng tử là $2x^4$; $-3x^2$; $x$; $1$.

Định hướng. So sánh cấu trúc của $B$ với đa thức mẫu $2x^3-5x^2+7$ (ba hạng tử $2x^3$; $-5x^2$; $7$ ở Ví dụ 1) để xác định đúng quy tắc: mỗi đơn thức kèm dấu của nó là một hạng tử riêng.

Vậy tương tự, $B$ có bốn hạng tử: $2x^4$; $-3x^2$; $x$; $1$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Đổi chỗ để các hạng tử cùng bậc đứng cạnh nhau, nhóm chúng lại rồi cộng hệ số, đúng theo trình tự Ví dụ 2.

Vậy $P=6x^3-5x^2+5x+9$.

Định hướng. Trước tiên viết lại các hạng tử theo thứ tự luỹ thừa giảm dần của $x$ (chưa cộng gộp), sau đó mới cộng các hạng tử cùng bậc đứng liền nhau.

Vậy $P=6x^3-5x^2+5x+9$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Thay $x=1$ vào cả đa thức gốc và đa thức đã thu gọn; hai kết quả phải bằng nhau thì phép thu gọn đúng.

Vậy phép thu gọn $P=6x^3-5x^2+5x+9$ được xác nhận đúng qua phép thử $x=1$.

Nhận xét. Hai giá trị bằng nhau ($15=15$) nên kết quả thu gọn $P=6x^3-5x^2+5x+9$ ở Cách 1, 2 là đúng; cách thay số chỉ dùng để kiểm tra chứ không thay được việc nhóm hạng tử.

Định hướng. Với mỗi đa thức, gộp các hạng tử cùng bậc lại (nếu có), sau đó viết theo thứ tự số mũ giảm dần.

Vậy a) $A=-4x^4+x^3+3x$; b) $B=-4x^2+4x-5$; c) $C=-\frac{1}{2}{x}^3+6x^2+\frac{3}{4}x-2$.

Định hướng. Liệt kê hệ số của từng bậc từ cao xuống thấp thành một bảng, cộng dồn các hệ số cùng bậc, cuối cùng viết lại đa thức từ bảng đó.

Vậy kết quả trùng Cách 1 cho cả ba đa thức.

Định hướng. Thay $x=1$ vào đa thức gốc và đa thức đã thu gọn của từng ý, hai kết quả phải khớp nhau.

Vậy cả ba đa thức đã thu gọn ở Cách 1, 2 đều được xác nhận đúng qua phép thử $x=1$.

Nhận xét. Cả ba ý đều khớp giá trị tại $x=1$, xác nhận các bước nhóm và sắp xếp ở Cách 1, 2 không làm sai lệch đa thức.

Định hướng. Nhìn từng hạng tử của $P$, số mũ của $x$ chính là bậc của hạng tử đó; hạng tử không có $x$ có bậc 0.

Vậy các hạng tử của $P$ có bậc lần lượt là $4$; $2$; $1$; $0$.

Định hướng. Chuẩn hoá từng hạng tử thành đúng dạng $a\cdot x^n$ (kể cả những hạng tử không hiện rõ số mũ) rồi đọc $n$.

Vậy bậc của bốn hạng tử lần lượt là $4$; $2$; $1$; $0$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Từ bảng bậc đã có ở HĐ1 ($4$; $2$; $1$; $0$), so sánh trực tiếp để tìm số lớn nhất.

Vậy hạng tử có bậc cao nhất là $-3x^4$, với hệ số $-3$ và bậc $4$.

Định hướng. Vì $P$ đã viết theo đúng thứ tự luỹ thừa giảm dần của $x$, hạng tử đứng ĐẦU TIÊN chính là hạng tử có bậc cao nhất, không cần so sánh từng số.

Vậy hạng tử đầu tiên $-3x^4$ có bậc cao nhất, hệ số $-3$, bậc $4$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Từ bảng bậc từng hạng tử ($4$; $2$; $1$; $0$) đã có ở HĐ1, chọn ra hạng tử có bậc đúng bằng $0$.

Vậy hạng tử có bậc bằng $0$ là $1$.

Định hướng. Hạng tử bậc 0 chính là hạng tử không có $x$ xuất hiện (số hạng \"đứng một mình\"), nhận ra trực tiếp bằng mắt mà không cần tra bảng.

Vậy hạng tử bậc 0 là $1$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Một số thực khác 0, kí hiệu $a$, được coi là đơn thức $a\cdot x^0$ — hạng tử duy nhất này có bậc $0$.

Vậy đa thức chỉ gồm một số khác 0 có bậc bằng $0$.

Định hướng. SGK đã nêu ví dụ \"Số 2 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi rằng $2=2x^0$\" — áp dụng đúng lập luận đó cho MỌI số khác 0.

Vậy bậc của một số khác 0 (coi là đa thức) luôn bằng $0$ — trùng Cách 1.

Định hướng. Gộp các hạng tử cùng bậc (nếu có), sắp xếp giảm dần, sau đó đọc hạng tử đầu tiên để suy ra bậc và hệ số cao nhất, đọc hạng tử cuối để suy ra hệ số tự do.

Vậy a) bậc $4$, hệ số cao nhất $-3$, hệ số tự do $1$; b) bậc $4$, hệ số cao nhất $-3,4$, hệ số tự do $-1$.

Định hướng. Liệt kê hệ số của $x^4,x^3,x^2,x^1,x^0$ cho mỗi đa thức, cộng dồn hệ số cùng bậc, rồi đọc kết quả từ bảng.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) bậc $4$, hệ số cao nhất $-3$, hệ số tự do $1$; b) bậc $4$, hệ số cao nhất $-3,4$, hệ số tự do $-1$.

Định hướng. Thay $x=1$ vào đa thức gốc và đa thức đã sắp xếp của từng ý để kiểm tra phép thu gọn không làm sai giá trị.

Vậy kết quả bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do tìm được ở Cách 1, 2 là đáng tin cậy.

Nhận xét. Việc thử $x=1$ chỉ xác nhận tổng hệ số đúng, không thay được bước xác định TỪNG hệ số theo từng bậc riêng lẻ như Cách 1, 2.

Định hướng. Thay lần lượt $x=-2,-1,0,1,2$ vào biểu thức $G(x)=x^2-4$ rồi tính.

Vậy $G(-2)=0$; $G(-1)=-3$; $G(0)=-4$; $G(1)=-3$; $G(2)=0$.

Định hướng. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $x^2-4=(x-2)(x+2)$, tính giá trị qua tích hai thừa số thay vì tính $x^2$ rồi trừ.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $G(-2)=0$; $G(-1)=-3$; $G(0)=-4$; $G(1)=-3$; $G(2)=0$.

Định hướng. Kẻ bảng gồm ba dòng $x$, $x^2$, $G(x)=x^2-4$ để tính đồng loạt, giảm khả năng nhầm lẫn khi tính rời rạc từng giá trị.

Vậy bảng giá trị xác nhận đúng kết quả ở Cách 1, 2: $G(-2)=0$; $G(-1)=-3$; $G(0)=-4$; $G(1)=-3$; $G(2)=0$.

Nhận xét. Bảng cho thấy $G(-2)=G(2)$ và $G(-1)=G(1)$ — dấu hiệu $G(x)$ là hàm chẵn (chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn của $x$), giải thích vì sao giá trị đối xứng qua $x=0$.

Định hướng. Từ 5 giá trị đã tính ở HĐ4, chọn ra những giá trị $x$ làm $G(x)=0$.

Vậy trong 5 giá trị đã xét, $x=-2$ và $x=2$ làm $G(x)=0$.

Định hướng. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để đưa $G(x)=0$ về phương trình tích bằng 0, từ đó tìm MỌI giá trị $x$ thoả mãn (không giới hạn trong 5 số của HĐ4).

Vậy $G(x)=0$ khi và chỉ khi $x=2$ hoặc $x=-2$ — trùng Cách 1, và đây là TẤT CẢ các giá trị thoả mãn.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải để đưa về dạng $x^2=$ một số không âm, rồi lấy căn bậc hai (cả hai giá trị đối nhau).

Vậy $G(x)=0$ khi $x=2$ hoặc $x=-2$ — trùng Cách 1, 2.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng đáp số $x=\pm 2$; Cách 2, 3 khẳng định chắc chắn không còn nghiệm nào khác ngoài hai số này, trong khi Cách 1 chỉ đúng trong phạm vi 5 số đã cho ở HĐ4.

Định hướng. Ý 1: thay lần lượt $x=-1,0,1,2$ vào $F(x)$ rồi tìm giá trị nào cho $F(x)=0$. Ý 2: đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài để đưa $E(x)$ về dạng tích.

Vậy 1) $F(-1)=3$, $F(0)=-2$, $F(1)=-3$, $F(2)=0$, nên $x=2$ là một nghiệm của $F(x)$; 2) $E(x)$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=-1$.

Định hướng. Ý 1: kẻ bảng bốn giá trị để tính đồng loạt, tránh sót số. Ý 2: chuyển $x$ sang vế phải, đưa về $x^2=-x$, xét từng trường hợp $x=0$ và $x\ne 0$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: 1) $x=2$ là nghiệm của $F(x)$; 2) $E(x)$ có nghiệm $x=0$ và $x=-1$.

Định hướng. Sau khi tìm được nghiệm nghi ngờ ở hai cách trên, thế ngược lại vào đúng đa thức ban đầu để xác nhận kết quả bằng 0.

Vậy kết quả trùng Cách 1, 2: $x=2$ là nghiệm của $F(x)$; $E(x)$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=-1$.

Nhận xét. Việc thử lại xác nhận cả hai nghiệm của $E(x)$ đều đúng, và $x=2$ là nghiệm duy nhất trong bốn giá trị đã thử của $F(x)$ (không kết luận được $F(x)$ chỉ có một nghiệm duy nhất trên toàn tập số thực).

Định hướng. Đọc bậc, hệ số theo định nghĩa cho ý a); với ý b), c) thế trực tiếp $x=0,1,2,3$ vào $H(x)$ rồi tìm giá trị làm $H(x)=0$.

Vậy a) bậc $2$, hệ số cao nhất $-5$, hệ số tự do $0$; b) $x=0$ là nghiệm vì hệ số tự do bằng $0$, nghĩa là lúc bắt đầu ném vật ở độ cao $0$; c) $H(3)=0$ nên $x=3$ là nghiệm khác 0 — sau $3$ giây kể từ khi ném lên, vật rơi trở lại mặt đất.

Định hướng. Đặt nhân tử chung $-5x$ để đưa $H(x)$ về dạng tích, từ đó tìm HẾT nghiệm của $H(x)$ mà không cần thử từng giá trị.

Vậy kết quả trùng Cách 1: nghiệm khác 0 là $x=3$ — vật rơi trở lại mặt đất sau $3$ giây; ý a) như Cách 1.

Định hướng. Ý a) nhân hệ số $\frac{1}{2}$ với $-4$, cộng số mũ $3+2$; ý b) trừ hai hệ số $\frac{1}{2}-\frac{5}{2}$, giữ nguyên $x^3$.

Vậy a) $-2x^5$: hệ số $-2$, bậc $5$; b) $-2x^3$: hệ số $-2$, bậc $3$.

Định hướng. Viết mỗi đơn thức thành cặp (hệ số; luỹ thừa), tính riêng phần hệ số và phần luỹ thừa rồi ghép kết quả — cách trình bày khác giúp kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) hệ số $-2$, bậc $5$; b) hệ số $-2$, bậc $3$.

Định hướng. Thay $x=1$ vào cả vế trái và kết quả để đối chiếu hệ số (số mũ không kiểm tra được vì $1^n=1$).

Vậy hệ số $-2$ ở cả hai ý được xác nhận đúng qua phép thử $x=1$.

Nhận xét. Hai phép thử đều khớp, xác nhận hệ số $-2$ ở cả hai ý là đúng; bậc phải xác định riêng bằng quy tắc cộng/giữ nguyên số mũ như Cách 1, 2.

Định hướng. Gộp các hạng tử cùng bậc của từng đa thức, sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần, rồi đọc bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do.

Vậy a) $A(x)=-7x^4+x^3-4x^2+2x+9$; $B(x)=8x^4-8x^2+x-7$.

Định hướng. Liệt kê hệ số của $x^5,x^4,x^3,x^2,x,x^0$ cho mỗi đa thức, cộng dồn các hệ số cùng bậc rồi viết lại.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A(x)=-7x^4+x^3-4x^2+2x+9$; $B(x)=8x^4-8x^2+x-7$.

Định hướng. Thay $x=1$ vào cả đa thức gốc và đa thức đã thu gọn của từng đa thức để đối chiếu.