Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Định hướng. Bỏ ngoặc, nhóm theo từng bậc từ $4$ đến $0$; chú ý cặp hạng tử $5x$, $-5x$ đối nhau.

Vậy $A(x)+B(x)=2x^4-7x^3+2x^2-1$ và $A(x)-B(x)=-3x^3+10x+\frac{1}{3}$.

Định hướng. Đặt hai đa thức thẳng cột theo bậc rồi cộng, trừ lần lượt theo từng cột để kiểm tra chéo Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A(x)+B(x)=2x^4-7x^3+2x^2-1$, $A(x)-B(x)=-3x^3+10x+\frac{1}{3}$.

Định hướng. Viết $A(x)=D(x)+5x-\frac{1}{3}$ và $B(x)=D(x)-5x-\frac{2}{3}$ với phần chung $D(x)=x^4-2x^3+x^2$ và phần riêng chứa $-3x^3$ (hiệu hai hạng tử bậc 3) tách khỏi $D(x)$; từ đó suy ra tổng, hiệu mà không cần cộng trừ lại toàn bộ bốn số hạng.

Vậy kết quả trùng hai cách trên: $A(x)+B(x)=2x^4-7x^3+2x^2-1$, $A(x)-B(x)=-3x^3+10x+\frac{1}{3}$.

Định hướng. Chuyển mỗi đẳng thức về một phép trừ đa thức đã biết, rồi tính bằng cách bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc.

Vậy $P(x)=x^5-x^4+3x^3-2x^2+x+1$ và $Q(x)=x^4-x^3-x+1$.

Định hướng. Vẫn dùng $P(x)=(x^5-2x^2+2)-H(x)$ và $Q(x)=H(x)+2x^3$, nhưng trình bày bằng đặt tính theo cột để kiểm tra chéo Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P(x)=x^5-x^4+3x^3-2x^2+x+1$, $Q(x)=x^4-x^3-x+1$.

Định hướng. Đặt $P(x)=p_5{x}^5+p_4{x}^4+p_3{x}^3+p_2{x}^2+p_{1}x+p_0$, thay vào $H(x)+P(x)=x^5-2x^2+2$ rồi so sánh hệ số từng bậc; làm tương tự cho $Q(x)$ từ $H(x)-Q(x)=-2x^3$.

Vậy $P(x)=x^5-x^4+3x^3-2x^2+x+1$ và $Q(x)=x^4-x^3-x+1$, khớp hai cách trên.

Định hướng. Chọn $A(x)=2x^3-4x+5$ và $B(x)=-x^3+3x^2-2x+1$, tính $C(x)$ và $C^{\prime }(x)$ bằng cách bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc.

Vậy với ví dụ đã chọn, $C(x)=3x^3-3x^2-2x+4$ và $C^{\prime }(x)=-3x^3+3x^2+2x-4$.

Định hướng. Trình bày lại $C(x)$, $C^{\prime }(x)$ bằng đặt tính trừ theo cột với cùng $A(x)$, $B(x)$ ở Cách 1, để kiểm tra chéo.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $C(x)=3x^3-3x^2-2x+4$, $C^{\prime }(x)=-3x^3+3x^2+2x-4$ — mỗi hệ số của $C^{\prime }(x)$ đối dấu với hệ số cùng bậc của $C(x)$.

Định hướng. Thay vì chỉ kiểm tra trên một ví dụ, chứng minh trực tiếp bằng định nghĩa của phép trừ rằng $C^{\prime }(x)$ luôn là đa thức đối của $C(x)$ với mọi $A(x)$, $B(x)$.

Vậy với mọi cách chọn $A(x)$, $B(x)$ thì $C(x)$ và $C^{\prime }(x)$ luôn cùng bậc và mọi hệ số tương ứng luôn đối nhau, đúng như kết quả kiểm tra bằng số ở Cách 1, 2.

Định hướng. Tính $B(x)+C(x)$ một lần, dùng chung cho cả hai ý nhờ tính chất kết hợp $A+B+C=A+(B+C)$ và $A-B-C=A-(B+C)$.

Vậy a) $A(x)+B(x)+C(x)=4x^3-2x^2-x$; b) $A(x)-B(x)-C(x)=-2x^2+3x-8$.

Định hướng. Không gộp trước, bỏ ngoặc cả ba đa thức trong từng biểu thức rồi nhóm theo bậc.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $4x^3-2x^2-x$; b) $-2x^2+3x-8$.

Định hướng. Đặt cả ba đa thức thẳng cột theo bậc rồi cộng (ý a) hoặc trừ liên tiếp (ý b) theo từng cột, dùng để kiểm tra chéo hai cách trên.

Vậy kết quả trùng hai cách trên: a) $4x^3-2x^2-x$; b) $-2x^2+3x-8$.

Định hướng. Tính $S(a)$ theo $A(a)$ và $B(a)$, dùng giả thiết $A(a)=0$ rồi xét hai trường hợp của $B(a)$.

Vậy cả hai khẳng định a), b) đều đúng, vì luôn có $S(a)=B(a)$.

Định hướng. Ý a) chứng minh trực tiếp như Cách 1; riêng ý b) giả sử điều cần chứng minh là sai (tức $a$ vẫn là nghiệm của $S(x)$) rồi suy ra mâu thuẫn với giả thiết $a$ không là nghiệm của $B(x)$.

Vậy cả hai khẳng định a), b) đều được chứng minh, ý b) bằng phản chứng cho một cách nhìn khác Cách 1 (biến đổi trực tiếp).

Định hướng. Chọn $A(x)=x^2-4$ (có nghiệm $a=2$), rồi xét hai trường hợp của $B(x)$ để kiểm chứng lại kết luận tổng quát của Cách 1, 2 trên một ví dụ cụ thể.

Vậy ví dụ số khớp đúng kết luận tổng quát đã chứng minh ở Cách 1, 2: $a$ là nghiệm của $S(x)$ khi và chỉ khi $a$ là nghiệm của $B(x)$.