Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang28 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.15★★Trang 28— Cộng và trừ hai đa thức một biến có hệ số phân số

Cho hai đa thức

A (x) = x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 5 x - \frac{1}{3}

và

B (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x - \frac{2}{3}

. Hãy tính

A (x) + B (x)

;

A (x) - B (x)

Kiến thức cần nhớ

Cộng, trừ đa thức: bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc và thu gọn, hoặc đặt tính theo cột.
Hai hạng tử đối nhau ở hai đa thức sẽ triệt tiêu khi cộng nhưng nhân đôi khi trừ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đa thức bậc 4 khá cồng kềnh nhưng có cấu trúc gần giống nhau (cùng hệ số bậc 4 và bậc 2), đây là dấu hiệu để nhận ra tổng và hiệu sẽ rút gọn được nhiều hạng tử. Bẫy nằm ở hạng tử

5 x

và

- 5 x

đối nhau: khi cộng chúng triệt tiêu, còn khi trừ thì lại nhân đôi thành

10 x

, rất dễ nhầm lẫn nếu không tính cẩn thận từng cột.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Bỏ ngoặc, nhóm theo từng bậc từ $4$ đến $0$ ; chú ý cặp hạng tử $5 x$ , $- 5 x$ đối nhau.

A (x) + B (x) = (x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 5 x - \frac{1}{3}) + (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x - \frac{2}{3})

= (1 + 1) x^{4} + (- 5 - 2) x^{3} + (1 + 1) x^{2} + (5 - 5) x + (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3})

= 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1

A (x) - B (x) = (x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 5 x - \frac{1}{3}) - (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x - \frac{2}{3})

= (1 - 1) x^{4} + (- 5 + 2) x^{3} + (1 - 1) x^{2} + (5 + 5) x + (- \frac{1}{3} + \frac{2}{3})

= - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}

Vậy $A (x) + B (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ và $A (x) - B (x) = - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng và đặt tính trừ theo cột

Định hướng. Đặt hai đa thức thẳng cột theo bậc rồi cộng, trừ lần lượt theo từng cột để kiểm tra chéo Cách 1.

A + B : x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 5 x - \frac{1}{3} + x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x - \frac{2}{3} 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1

A - B : x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 5 x - \frac{1}{3} - x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x - \frac{2}{3} - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A (x) + B (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ , $A (x) - B (x) = - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Tách thành đa thức chung và phần khác nhau rồi cộng, trừ riêng

Định hướng. Viết $A (x) = D (x) + 5 x - \frac{1}{3}$ và $B (x) = D (x) - 5 x - \frac{2}{3}$ với phần chung $D (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ và phần riêng chứa $- 3 x^{3}$ (hiệu hai hạng tử bậc 3) tách khỏi $D (x)$ ; từ đó suy ra tổng, hiệu mà không cần cộng trừ lại toàn bộ bốn số hạng.

Đặt

D (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}

(phần giống nhau ở cả hai đa thức) thì

A (x) = D (x) - 3 x^{3} + 5 x - \frac{1}{3}

B (x) = D (x) - 5 x - \frac{2}{3}

A (x) + B (x) = 2 D (x) - 3 x^{3} + (5 x - 5 x) + (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 2 (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) - 3 x^{3} - 1 = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1

A (x) - B (x) = (- 3 x^{3} + 5 x - \frac{1}{3}) - (- 5 x - \frac{2}{3}) = - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}

Vậy kết quả trùng hai cách trên: $A (x) + B (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ , $A (x) - B (x) = - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bỏ ngoặc nhóm hạng tử cho cả hai phép tính trong cùng một lượt, nhanh hơn kẻ hai bảng đặt tính của Cách 2.

Đáp số.

A (x) + B (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + 2 x^{2} - 1

;

A (x) - B (x) = - 3 x^{3} + 10 x + \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất: coi

5 x

và

- 5 x

luôn triệt tiêu ở cả phép cộng lẫn phép trừ; thực ra chúng chỉ triệt tiêu khi cộng (

5 x - 5 x = 0

), còn khi trừ thì

5 x - (- 5 x) = 10 x

chứ không phải

0

🚀 Mở rộng. Nhận xét

(A (x) + B (x)) + (A (x) - B (x)) = 2 A (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x - \frac{2}{3}

— dùng để kiểm tra nhanh cả hai kết quả cộng và trừ mà không cần tính lại từ đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.16★★★Trang 28— Tìm đa thức ẩn thoả mãn một đẳng thức cộng hoặc trừ cho trước

Cho đa thức

H (x) = x^{4} - 3 x^{3} - x + 1

. Tìm đa thức

P (x)

và

Q (x)

sao cho:
a)

H (x) + P (x) = x^{5} - 2 x^{2} + 2

;
b)

H (x) - Q (x) = - 2 x^{3}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H (x) + P (x) = M (x)$ thì $P (x) = M (x) - H (x)$ .
Nếu $H (x) - Q (x) = N (x)$ thì $Q (x) = H (x) - N (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống Vận dụng 2 trong SGK, đề cho một đẳng thức chứa đa thức ẩn thay vì cho trực tiếp — dấu hiệu để dùng quan hệ giữa tổng và hiệu: từ

Q + R = P

suy ra

R = P - Q

. Bẫy lớn nhất là đa thức

x^{5} - 2 x^{2} + 2

ở ý a) có hạng tử bậc 5 mà

H (x)

không có, và ý b) dễ nhầm chiều trừ vì

H (x)

đứng trước dấu trừ.

1Cách 1. Dùng quan hệ tổng — hiệu, tính bằng bỏ ngoặc nhóm hạng tử

Định hướng. Chuyển mỗi đẳng thức về một phép trừ đa thức đã biết, rồi tính bằng cách bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc.

P (x) = (x^{5} - 2 x^{2} + 2) - H (x) = (x^{5} - 2 x^{2} + 2) - (x^{4} - 3 x^{3} - x + 1)

= x^{5} - 2 x^{2} + 2 - x^{4} + 3 x^{3} + x - 1

= x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1

Q (x) = H (x) - (- 2 x^{3}) = (x^{4} - 3 x^{3} - x + 1) + 2 x^{3}

= x^{4} - x^{3} - x + 1

Vậy $P (x) = x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ và $Q (x) = x^{4} - x^{3} - x + 1$ .

2Cách 2. Đặt tính trừ theo cột

Định hướng. Vẫn dùng $P (x) = (x^{5} - 2 x^{2} + 2) - H (x)$ và $Q (x) = H (x) + 2 x^{3}$ , nhưng trình bày bằng đặt tính theo cột để kiểm tra chéo Cách 1.

P (x) : x^{5} - 2 x^{2} + 2 - x^{4} - 3 x^{3} - x + 1 x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1

Q (x) : x^{4} - 3 x^{3} - x + 1 + 2 x^{3} x^{4} - x^{3} - x + 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P (x) = x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ , $Q (x) = x^{4} - x^{3} - x + 1$ .

3Cách 3. Phương pháp hệ số bất định

Định hướng. Đặt $P (x) = p_{5} x^{5} + p_{4} x^{4} + p_{3} x^{3} + p_{2} x^{2} + p_{1} x + p_{0}$ , thay vào $H (x) + P (x) = x^{5} - 2 x^{2} + 2$ rồi so sánh hệ số từng bậc; làm tương tự cho $Q (x)$ từ $H (x) - Q (x) = - 2 x^{3}$ .

So sánh với

H (x) = x^{4} - 3 x^{3} - x + 1

(hệ số bậc 5 bằng

0

):
bậc 5:

p_{5} = 1

; bậc 4:

1 + p_{4} = 0 \Rightarrow p_{4} = - 1

; bậc 3:

- 3 + p_{3} = 0 \Rightarrow p_{3} = 3

;
bậc 2:

p_{2} = - 2

; bậc 1:

- 1 + p_{1} = 0 \Rightarrow p_{1} = 1

; bậc 0:

1 + p_{0} = 2 \Rightarrow p_{0} = 1

Đặt

Q (x) = q_{4} x^{4} + q_{3} x^{3} + q_{2} x^{2} + q_{1} x + q_{0}

, so sánh

H (x) - Q (x) = - 2 x^{3}

:
bậc 4:

1 - q_{4} = 0 \Rightarrow q_{4} = 1

; bậc 3:

- 3 - q_{3} = - 2 \Rightarrow q_{3} = - 1

; bậc 2:

q_{2} = 0

; bậc 1:

- 1 - q_{1} = 0 \Rightarrow q_{1} = - 1

; bậc 0:

1 - q_{0} = 0 \Rightarrow q_{0} = 1

Vậy $P (x) = x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ và $Q (x) = x^{4} - x^{3} - x + 1$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển thẳng về phép cộng/trừ đa thức quen thuộc, ít bước tính hơn Cách 3 (hệ số bất định) và nhanh hơn kẻ bảng của Cách 2.

Đáp số.

P (x) = x^{5} - x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1

;

Q (x) = x^{4} - x^{3} - x + 1

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất ở ý b) là tính

Q (x) = (- 2 x^{3}) - H (x)

thay vì

Q (x) = H (x) - (- 2 x^{3})

(đổi ngược chiều trừ so với đẳng thức gốc

H (x) - Q (x) = - 2 x^{3}

), khiến kết quả bị đổi dấu toàn bộ.

🚀 Mở rộng. Nhận xét

P (x) + Q (x) = (x^{5} - 2 x^{2} + 2) - 2 H (x) + (- 2 x^{3})

: nếu biết trước

P (x)

và muốn tìm

Q (x)

(hoặc ngược lại) mà không cần quay lại

H (x)

, có thể dùng hệ thức này để tính nhanh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.17★★Trang 28— Tự chọn đa thức, khảo sát quan hệ giữa hai hiệu đổi vai trò cho nhau

Em hãy viết hai đa thức tuỳ ý

A (x)

và

B (x)

. Sau đó tính

C (x) = A (x) - B (x)

và

C^{'} (x) = B (x) - A (x)

, rồi so sánh và nêu nhận xét về bậc, các hệ số của

C (x)

và

C^{'} (x)

Kiến thức cần nhớ

Đa thức đối của $M (x)$ là $- M (x)$ , thu được bằng đổi dấu mọi hạng tử của $M (x)$ .
$B (x) - A (x) = - (A (x) - B (x))$ , tức hai hiệu đổi vai trò luôn là hai đa thức đối nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.18★★Trang 28— Cộng, trừ ba đa thức một biến, vận dụng tính chất kết hợp để tính gọn

Cho các đa thức

A (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4

;

B (x) = 3 x^{3} - 2 x + 3

và

C (x) = - x^{3} + 1

. Hãy tính:
a)

A (x) + B (x) + C (x)

;
b)

A (x) - B (x) - C (x)

Kiến thức cần nhớ

Tính chất kết hợp của phép cộng đa thức: có thể gộp trước hai đa thức bất kì trong một tổng nhiều đa thức.
$A - B - C = A - (B + C)$ : trừ liên tiếp hai đa thức bằng trừ đi tổng của chúng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.19★★★Trang 28— Chứng minh tính chất của nghiệm đối với tổng hai đa thức

Gọi

S (x)

là tổng của hai đa thức

A (x)

và

B (x)

. Biết rằng

x = a

là một nghiệm của đa thức

A (x)

. Chứng minh rằng:
a) Nếu

x = a

là một nghiệm của

B (x)

thì

a

cũng là một nghiệm của

S (x)

.
b) Nếu

a

không là nghiệm của

B (x)

thì

a

cũng không là nghiệm của

S (x)

Kiến thức cần nhớ

$x = a$ là nghiệm của đa thức $F (x)$ khi và chỉ khi $F (a) = 0$ .
Giá trị của tổng hai đa thức tại $x = a$ bằng tổng các giá trị: $S (a) = A (a) + B (a)$ .