Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Câu hỏi (trang 32)★Trang 32— Cộng hai đa thức một biến khuyết bậc bằng công thức cho sẵn

Câu hỏi (trang 32). Tìm tổng của hai đa thức:

x^{3} - 5 x + 2

và

x^{3} - x^{2} + 6 x - 4

Kiến thức cần nhớ

Tổng của hai đa thức một biến thu được bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
Có thể đặt tính cộng: các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau; hạng tử khuyết bậc nào thì để trống cột đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ngay hai đa thức cụ thể và yêu cầu tìm tổng — dấu hiệu của dạng cộng đa thức một biến vừa học. Đa thức thứ nhất

x^{3} - 5 x + 2

khuyết hạng tử bậc 2, nên khi nhóm theo cột hoặc theo bậc phải nhớ hạng tử đó có hệ số

0

, không được bỏ sót. Vì hai đa thức đã cho sẵn dạng khai triển, cách nhóm hạng tử cùng bậc là hướng tự nhiên nhất, còn đặt tính cột giúp nhìn ngay hạng tử nào bị khuyết.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc rồi gom các hạng tử có cùng số mũ của $x$ lại với nhau trước khi thu gọn.

(x^{3} - 5 x + 2) + (x^{3} - x^{2} + 6 x - 4)

= x^{3} - 5 x + 2 + x^{3} - x^{2} + 6 x - 4

= (x^{3} + x^{3}) - x^{2} + (- 5 x + 6 x) + (2 - 4)

= 2 x^{3} - x^{2} + x - 2

Vậy tổng của hai đa thức đã cho là $2 x^{3} - x^{2} + x - 2$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng theo cột

Định hướng. Viết đa thức thứ nhất để trống cột bậc 2 (vì khuyết $x^{2}$ ), đặt đa thức thứ hai thẳng cột theo bậc rồi cộng từng cột.

x^{3} - 5 x + 2 + x^{3} - x^{2} + 6 x - 4 2 x^{3} - x^{2} + x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1: tổng bằng $2 x^{3} - x^{2} + x - 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết một mạch, không cần kẻ bảng nên nhanh hơn khi chỉ có hai đa thức; chỉ cần chú ý hạng tử khuyết

x^{2}

ở đa thức thứ nhất.

Đáp số.

2 x^{3} - x^{2} + x - 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều em quên đa thức

x^{3} - 5 x + 2

khuyết hạng tử bậc 2 nên khi đặt tính cột lại viết lệch cột, cộng nhầm

- x^{2}

vào vị trí của

- 5 x

; kết quả sai thành

2 x^{3} + (- 5 x - x^{2}) + \dots

thay vì giữ đúng

- x^{2}

ở cột bậc 2.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đa thức thứ nhất thành

a x^{3} - 5 x + 2

với

a

tuỳ ý thì tổng luôn có dạng

(a + 1) x^{3} - x^{2} + x - 2

— hệ số bậc 3 phụ thuộc

a

, các hạng tử còn lại giữ nguyên vì không bị ảnh hưởng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 32— Cộng hai đa thức một biến có hệ số thập phân, khuyết bậc

Luyện tập 1 (trang 32). Cho hai đa thức

M = 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5

và

N = 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5

. Hãy tính tổng

M + N

(trình bày theo hai cách).

Kiến thức cần nhớ

Cộng đa thức: bỏ ngoặc, nhóm hạng tử cùng bậc và thu gọn, hoặc đặt tính cộng theo cột.
Hạng tử khuyết bậc nào thì coi hệ số của bậc đó bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng hai đa thức và tính tổng, lại còn ghi rõ "trình bày theo hai cách" — bám sát nội dung vừa học ở phần lý thuyết. Cả hai đa thức đều khuyết một số bậc (

M

khuyết

x^{2}

N

khuyết

x^{4}

và

x

), nên bẫy nằm ở chỗ dễ bỏ sót hạng tử của đa thức kia khi nhóm hoặc khi đặt tính cột.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Bỏ ngoặc rồi nhóm theo đúng bốn bậc $4, 3, 2, 1, 0$ xuất hiện trong hai đa thức, bậc nào chỉ có ở một đa thức thì giữ nguyên.

(0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5) + (2 x^{3} + x^{2} + 1, 5)

= 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5 + 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5

= 0, 5 x^{4} + (- 4 x^{3} + 2 x^{3}) + x^{2} + 2 x + (- 2, 5 + 1, 5)

= 0, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 1

Vậy $M + N = 0, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng theo cột

Định hướng. Sắp cả hai đa thức theo luỹ thừa giảm dần của $x$ , để trống cột ứng với hạng tử khuyết, rồi cộng theo từng cột.

0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5 + 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5 0, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $M + N = 0, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt tính cột) khi đa thức có nhiều hạng tử khuyết như bài này, vì cột trống hiện rõ ngay, khó bỏ sót hơn Cách 1.

Đáp số.

M + N = 0, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 1

Sai lầm thường gặp. Hay gặp lỗi cộng nhầm

- 2, 5 + 1, 5

thành

- 4

(nhầm dấu trừ hai số âm) thay vì

- 1

; cũng có em quên hạng tử

x^{2}

của

N

vì

M

không có bậc này nên tưởng cả tổng cũng khuyết

x^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu thay

N

bởi đa thức đối của nó,

- N = - 2 x^{3} - x^{2} - 1, 5

, thì

M + (- N)

chính là hiệu

M - N

ở Luyện tập 2 — cộng với đa thức đối luôn cho kết quả giống phép trừ trực tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng 1★★Trang 32— Cộng ba đa thức một biến bằng đặt tính, vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp

Vận dụng 1 (trang 32). Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:

A = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7

;

B = x^{2} - 2 x + 6

;

C = - x^{3} + 4 x^{2} - 1

Kiến thức cần nhớ

Tính chất kết hợp của phép cộng đa thức: $(A + B) + C = A + (B + C)$ , có thể cộng dần từng cặp.
Đặt tính cộng nhiều đa thức: các hạng tử cùng bậc của mọi đa thức phải thẳng cột.

🧠 Phân tích tư duy

Đề nêu rõ ba đa thức và yêu cầu "đặt tính cộng" — khác Luyện tập 1 ở chỗ có ba đa thức thay vì hai, nên cần dùng tính chất kết hợp

(A + B) + C = A + (B + C)

đã học ở phần Chú ý để gộp dần. Quan sát trước sẽ thấy hạng tử

x^{2}

của cả ba đa thức cộng lại triệt tiêu

(- 5 + 1 + 4 = 0)

, đây là điểm cần cẩn thận để không bỏ sót mà cũng không viết thừa hạng tử

0 \cdot x^{2}

1Cách 1. Đặt tính cộng cả ba đa thức cùng một lượt (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Xếp cả ba đa thức theo luỹ thừa giảm dần, để trống cột ứng với hạng tử khuyết, rồi cộng đồng thời theo từng cột.

2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7 x^{2} - 2 x + 6 + - x^{3} + 4 x^{2} - 1 x^{3} - x - 2

Vậy $A + B + C = x^{3} - x - 2$ (cột bậc 2 triệt tiêu vì $- 5 + 1 + 4 = 0$ ).

2Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc của cả ba đa thức

Định hướng. Viết tổng $A + B + C$ dưới dạng bỏ ngoặc một lượt rồi nhóm theo từng bậc, không đặt tính cột.

A + B + C = (2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7) + (x^{2} - 2 x + 6) + (- x^{3} + 4 x^{2} - 1)

= (2 x^{3} - x^{3}) + (- 5 x^{2} + x^{2} + 4 x^{2}) + (x - 2 x) + (- 7 + 6 - 1)

= x^{3} + 0 \cdot x^{2} - x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A + B + C = x^{3} - x - 2$ .

3Cách 3. Cộng dần theo tính chất kết hợp: tính

A + C

trước rồi cộng

B

Định hướng. Dùng tính chất kết hợp và giao hoán, gộp $A$ với $C$ trước bằng đặt tính (vì $A$ , $C$ đều có hạng tử bậc 3), sau đó cộng tiếp $B$ .

A + C : 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7 + - x^{3} + 4 x^{2} - 1 x^{3} - x^{2} + x - 8

(A + C) + B : x^{3} - x^{2} + x - 8 + x^{2} - 2 x + 6 x^{3} - x - 2

Vậy $(A + C) + B = x^{3} - x - 2$ , đúng bằng $A + B + C$ ở hai cách trên, minh hoạ tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt tính cộng cả ba đa thức một lượt tiết kiệm thời gian hơn cộng dần từng cặp, mà vẫn thấy rõ cột nào triệt tiêu.

Đáp số.

A + B + C = x^{3} - x - 2

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến là quên viết cột bậc 2 dù tổng ba hệ số bằng

0

— phải hiểu

- 5 + 1 + 4 = 0

nghĩa là hạng tử bậc 2 biến mất trong kết quả, không phải là "quên tính" nó.

🚀 Mở rộng. Với

n

đa thức bậc ba bất kì có tổng các hệ số bậc 2 bằng

0

, tổng của chúng luôn khuyết hạng tử bậc 2 — đây là cách kiểm tra nhanh kết quả cộng nhiều đa thức mà không cần tính lại từ đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ1★Trang 32— Trừ hai đa thức một biến bằng cách bỏ dấu ngoặc, chú ý đổi dấu

HĐ1 (trang 32). Cho hai đa thức

P = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x

và

Q = - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1

. Tìm hiệu

P - Q

bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Kiến thức cần nhớ

Hiệu của hai đa thức: bỏ dấu ngoặc, đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
$- (a - b) = - a + b$ : dấu $-$ trước ngoặc làm đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định đúng một kĩ thuật: bỏ dấu ngoặc rồi nhóm hạng tử cùng bậc. Dấu hiệu quan trọng nhất của phép trừ đa thức là khi bỏ ngoặc có dấu

-

đứng trước, mọi hạng tử bên trong ngoặc thứ hai đều phải đổi dấu — đây chính là bẫy dễ sai nhất so với phép cộng.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc, đổi dấu toàn bộ các hạng tử của $Q$ vì đứng sau dấu $-$ , rồi nhóm theo từng bậc.

P - Q = (x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) - (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1)

= x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x + x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1

= x^{4} + (3 x^{3} + x^{3}) + (- 5 x^{2} - 4 x^{2}) + (7 x + 2 x) - 1

= x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Vậy $P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1$ .

2Cách 2. Đặt tính trừ theo cột (đối chiếu với HĐ2)

Định hướng. Đặt $Q$ dưới $P$ theo đúng cột bậc rồi trừ từng cột, dùng để kiểm tra chéo kết quả của Cách 1.

x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi các đa thức đã ở dạng khai triển gọn: viết liền mạch, không cần kẻ bảng, ít tốn thời gian hơn khi chỉ trừ hai đa thức.

Đáp số.

P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất: chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên của

Q

(thành

x^{3}

) mà quên đổi dấu các hạng tử còn lại, viết nhầm thành

x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x + x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1

(thiếu đổi dấu

4 x^{2}

- 2 x

1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành tìm

Q - P

thì kết quả là đa thức đối của

P - Q

, tức

- x^{4} - 4 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x + 1

— không cần trừ lại từ đầu, chỉ cần đổi dấu mọi hạng tử của

P - Q

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★Trang 32— Trừ hai đa thức một biến bằng cách đặt tính trừ theo cột

HĐ2 (trang 32). Cho hai đa thức

P = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x

và

Q = - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1

. Tìm hiệu

P - Q

bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức

Q

dưới đa thức

P

sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính trừ đa thức: các hạng tử cùng bậc thẳng cột, hạng tử khuyết bậc nào để trống cột đó, rồi trừ theo từng cột (đổi dấu hạng tử của đa thức bị trừ trước khi cộng, hoặc trừ trực tiếp từng cột).
Kết quả đặt tính trừ phải trùng với kết quả bỏ ngoặc nhóm hạng tử — dùng để kiểm tra chéo.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định đúng kĩ thuật đặt tính trừ theo cột, giống thao tác trừ hai số nhiều chữ số nhưng theo bậc của

x

thay vì theo hàng đơn vị. Đa thức

P

khuyết hạng tử tự do (không có số hạng không chứa

x

), nên khi đặt cột phải để trống đúng vị trí đó chứ không được dịch cột.

1Cách 1. Đặt tính trừ theo cột (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Đặt $Q$ dưới $P$ với các hạng tử cùng bậc thẳng cột, cột bậc $0$ của $P$ để trống vì $P$ khuyết số hạng tự do, rồi trừ từng cột.

x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Vậy $P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1$ .

2Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc (đối chiếu với HĐ1)

Định hướng. Kiểm tra lại kết quả đặt tính bằng cách bỏ dấu ngoặc, đổi dấu $Q$ rồi nhóm hạng tử cùng bậc.

P - Q = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1)

= x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x + x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1

= x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính) khi đa thức có nhiều hạng tử và dễ khuyết bậc như bài này, vì cột trống hiện rõ, khó bỏ sót hơn khi bỏ ngoặc viết một dòng dài.

Đáp số.

P - Q = x^{4} + 4 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên đổi dấu khi "trừ theo cột" — nhiều em đặt tính nhưng vẫn cộng trực tiếp hệ số của

Q

thay vì trừ, ví dụ viết nhầm cột bậc 2 là

- 5 + 4 = - 1

thay vì

- 5 - 4 = - 9

🚀 Mở rộng. Đặt tính trừ chính là đặt tính cộng với đa thức đối

- Q = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1

; viết lại

P + (- Q)

theo cột sẽ cho cùng kết quả và giúp tránh nhầm dấu khi trừ trực tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★Trang 32— Trừ hai đa thức một biến có hệ số thập phân, khuyết bậc

Luyện tập 2 (trang 32). Cho hai đa thức:

M = 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5

và

N = 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5

.
Hãy tính hiệu

M - N

(trình bày theo hai cách).

Kiến thức cần nhớ

Trừ đa thức: bỏ ngoặc, đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, nhóm hạng tử cùng bậc; hoặc đặt tính trừ theo cột.
Hạng tử khuyết bậc nào thì coi hệ số của bậc đó bằng $0$ khi nhóm hoặc để trống cột khi đặt tính.

🧠 Phân tích tư duy

Vẫn là cặp đa thức

M

N

đã dùng ở Luyện tập 1, nay đổi phép tính từ cộng sang trừ — dấu hiệu để nhận ra cần đổi dấu toàn bộ

N

trước khi nhóm hoặc đặt tính, khác với Luyện tập 1 ở đúng bước đổi dấu này. Đề vẫn yêu cầu "trình bày theo hai cách" như phần lý thuyết.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Bỏ ngoặc, đổi dấu toàn bộ hạng tử của $N$ (vì $N$ đứng sau dấu $-$ ), rồi nhóm theo từng bậc.

M - N = (0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5) - (2 x^{3} + x^{2} + 1, 5)

= 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5 - 2 x^{3} - x^{2} - 1, 5

= 0, 5 x^{4} + (- 4 x^{3} - 2 x^{3}) - x^{2} + 2 x + (- 2, 5 - 1, 5)

= 0, 5 x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x - 4

Vậy $M - N = 0, 5 x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x - 4$ .

2Cách 2. Đặt tính trừ theo cột

Định hướng. Sắp $M$ , $N$ theo luỹ thừa giảm dần, để trống cột ứng với hạng tử khuyết, rồi trừ theo từng cột.

0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5 - 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5 0, 5 x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x - 4

Vậy kết quả trùng Cách 1: $M - N = 0, 5 x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x - 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt tính cột) vì cả hai đa thức đều khuyết nhiều bậc, cột trống hiện rõ giúp không bỏ sót hạng tử khi trừ.

Đáp số.

M - N = 0, 5 x^{4} - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x - 4

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên đổi dấu hạng tử

x^{2}

của

N

(vì

M

không có bậc này) nên viết nhầm kết quả còn

+ x^{2}

thay vì

- x^{2}

; cũng dễ tính sai

- 2, 5 - 1, 5 = - 1

thay vì

- 4

🚀 Mở rộng. So sánh với Luyện tập 1:

(M + N) - (M - N) = 2 N = 4 x^{3} + 2 x^{2} + 3

— một cách kiểm tra nhanh cả hai kết quả cộng và trừ cùng cặp đa thức mà không cần tính lại từng cái.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 2★★★Trang 33— Tìm đa thức ẩn thoả mãn một đẳng thức cộng hoặc trừ đã cho

Vận dụng 2 (trang 33). Cho đa thức

A = x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1

. Tìm các đa thức

B

và

C

sao cho:

A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2

;

A - C = x^{3}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $Q + R = P$ thì $R = P - Q$ (muốn tìm số hạng, lấy tổng trừ đi số hạng đã biết).
Nếu $R = P - Q$ thì $Q + R = P$ (dùng để thử lại kết quả bằng phép cộng).

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho trực tiếp

B

C

mà cho một đẳng thức chứa chúng — dấu hiệu của dạng "tìm số hạng chưa biết", giống bài toán tìm

x

nhưng ẩn là cả một đa thức. Dựa vào Chú ý vừa học (nếu

Q + R = P

thì

R = P - Q

; nếu

R = P - Q

thì

Q + R = P

), ta chuyển ngay về phép trừ đa thức đã biết cách làm:

B

bằng hiệu của vế phải trừ

A

, còn

C

bằng hiệu của

A

trừ vế phải. Bẫy ở chỗ dễ nhầm chiều trừ, đặc biệt với

C

vì

A

đứng trước dấu trừ trong đẳng thức gốc.

1Cách 1. Dùng quan hệ giữa tổng — hiệu, tính bằng bỏ ngoặc nhóm hạng tử

Định hướng. Từ $A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2$ suy ra $B = (2 x^{5} + 5 x^{3} - 2) - A$ ; từ $A - C = x^{3}$ suy ra $C = A - x^{3}$ . Tính hai hiệu này bằng cách bỏ ngoặc nhóm hạng tử.

B = (2 x^{5} + 5 x^{3} - 2) - (x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1)

= 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2 - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x - 1

= 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3

C = (x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1

Vậy $B = 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3$ và $C = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

2Cách 2. Đặt tính trừ theo cột

Định hướng. Vẫn dùng $B = (2 x^{5} + 5 x^{3} - 2) - A$ và $C = A - x^{3}$ , nhưng trình bày bằng đặt tính trừ theo cột để kiểm tra chéo Cách 1.

B : 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2 - x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3

C : x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1 - x^{3} x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $B = 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3$ , $C = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

3Cách 3. Phương pháp hệ số bất định

Định hướng. Đặt $B = b_{5} x^{5} + b_{4} x^{4} + b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}$ , thay vào $A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2$ rồi so sánh hệ số hai vế theo từng bậc để tìm các $b_{i}$ ; làm tương tự cho $C$ từ $A - C = x^{3}$ .

So sánh hệ số của

A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2

với

A = x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1

:
bậc 5:

b_{5} = 2

; bậc 4:

1 + b_{4} = 0 \Rightarrow b_{4} = - 1

; bậc 3:

b_{3} = 5

;
bậc 2:

- 3 + b_{2} = 0 \Rightarrow b_{2} = 3

; bậc 1:

- 2 + b_{1} = 0 \Rightarrow b_{1} = 2

; bậc 0:

1 + b_{0} = - 2 \Rightarrow b_{0} = - 3

So sánh hệ số của

A - C = x^{3}

với

A = x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1

, đặt

C = c_{4} x^{4} + c_{3} x^{3} + c_{2} x^{2} + c_{1} x + c_{0}

:
bậc 4:

1 - c_{4} = 0 \Rightarrow c_{4} = 1

; bậc 3:

- c_{3} = 1 \Rightarrow c_{3} = - 1

; bậc 2:

- 3 - c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = - 3

; bậc 1:

- 2 - c_{1} = 0 \Rightarrow c_{1} = - 2

; bậc 0:

1 - c_{0} = 0 \Rightarrow c_{0} = 1

Vậy $B = 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3$ và $C = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển thẳng về phép trừ đa thức quen thuộc, ít bước tính hơn Cách 3 và nhanh hơn kẻ bảng của Cách 2.

Đáp số.

B = 2 x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3

;

C = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất là tính

C = x^{3} - A

thay vì

C = A - x^{3}

(đổi ngược chiều trừ so với đẳng thức gốc

A - C = x^{3}

), dẫn đến kết quả bị đổi dấu toàn bộ so với đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

A + B = P

và

A - C = R

với

P

R

cho trước thì

B - (- C) = B + C = P - 2 A + R

— một hệ thức liên hệ nhanh giữa

B

và

C

mà không cần tính lại từ

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.12★Trang 33— Cộng hai đa thức một biến bằng cách nhóm hạng tử cùng bậc

Bài 7.12 (trang 33). Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

x^{2} - 3 x + 2

và

4 x^{3} - x^{2} + x - 1

Kiến thức cần nhớ

Cộng đa thức bằng cách bỏ ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
Đa thức khuyết bậc nào thì bậc đó có hệ số $0$ khi nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định rõ kĩ thuật "nhóm các hạng tử cùng bậc" — dấu hiệu để làm theo Cách 1 của bài học. Đa thức thứ nhất khuyết hạng tử bậc 3, cần chú ý giữ nguyên hạng tử

4 x^{3}

của đa thức thứ hai trong kết quả chứ không được bỏ sót.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Bỏ ngoặc rồi nhóm theo từng bậc từ cao xuống thấp.

(x^{2} - 3 x + 2) + (4 x^{3} - x^{2} + x - 1)

= x^{2} - 3 x + 2 + 4 x^{3} - x^{2} + x - 1

= 4 x^{3} + (x^{2} - x^{2}) + (- 3 x + x) + (2 - 1)

= 4 x^{3} - 2 x + 1

Vậy tổng của hai đa thức là $4 x^{3} - 2 x + 1$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng theo cột

Định hướng. Đặt hai đa thức thẳng cột theo bậc, để trống cột bậc 3 của đa thức thứ nhất vì khuyết hạng tử này, rồi cộng.

x^{2} - 3 x + 2 + 4 x^{3} - x^{2} + x - 1 4 x^{3} - 2 x + 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: tổng bằng $4 x^{3} - 2 x + 1$ (cột bậc 2 triệt tiêu vì $1 - 1 = 0$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm đúng theo Cách 1 vì đề đã yêu cầu cụ thể kĩ thuật nhóm hạng tử; không cần đặt tính vẫn ra kết quả nhanh với hai đa thức bậc thấp như bài này.

Đáp số.

4 x^{3} - 2 x + 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều em quên hạng tử

x^{2}

của cả hai đa thức triệt tiêu nhau (

x^{2} - x^{2} = 0

) nên viết thừa "

0 x^{2}

" hoặc ngược lại bỏ sót không nhóm, dẫn tới kết quả sai còn giữ lại một hạng tử bậc 2.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

4 x^{3}

thành

k x^{3}

với

k \neq = 0

tuỳ ý thì tổng luôn có dạng

k x^{3} - 2 x + 1

— hạng tử bậc 3 của tổng hoàn toàn quyết định bởi đa thức thứ hai vì đa thức thứ nhất khuyết bậc này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 7.13★Trang 33— Trừ hai đa thức một biến bằng cách đặt tính trừ theo cột

Bài 7.13 (trang 33). Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ:

(- x^{3} - 5 x + 2) - (3 x + 8)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính trừ: các hạng tử cùng bậc thẳng cột, bậc khuyết để trống, rồi trừ theo từng cột.
Trừ theo cột tương đương với đổi dấu đa thức trừ rồi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định rõ kĩ thuật "đặt tính trừ" — dấu hiệu để làm theo Cách 2 của bài học. Đa thức bị trừ

- x^{3} - 5 x + 2

khuyết bậc 2, còn đa thức trừ

3 x + 8

chỉ có bậc 1 và bậc 0, nên khi đặt cột phải để trống đúng hai bậc cao mà đa thức trừ không có.

1Cách 1. Đặt tính trừ theo cột (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Đặt $3 x + 8$ dưới $- x^{3} - 5 x + 2$ với các hạng tử cùng bậc thẳng cột, hai cột bậc 3 và bậc 2 của đa thức trừ để trống, rồi trừ từng cột.

- x^{3} - 5 x + 2 - 3 x + 8 - x^{3} - 8 x - 6

Vậy $(- x^{3} - 5 x + 2) - (3 x + 8) = - x^{3} - 8 x - 6$ .

2Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Kiểm tra lại kết quả đặt tính bằng cách bỏ ngoặc, đổi dấu đa thức trừ rồi nhóm hạng tử cùng bậc.

(- x^{3} - 5 x + 2) - (3 x + 8)

= - x^{3} - 5 x + 2 - 3 x - 8

= - x^{3} + (- 5 x - 3 x) + (2 - 8)

= - x^{3} - 8 x - 6

Vậy kết quả trùng Cách 1: hiệu bằng $- x^{3} - 8 x - 6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm đúng theo Cách 1 vì đề yêu cầu cụ thể; đặt cột giúp không bỏ sót việc để trống hai bậc mà đa thức trừ không có.

Đáp số.

- x^{3} - 8 x - 6

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên đổi dấu khi trừ theo cột nên viết nhầm cột bậc 1 là

- 5 x + 3 x = - 2 x

thay vì

- 5 x - 3 x = - 8 x

; cũng có em đặt sai cột vì quên đa thức trừ khuyết bậc 3 và bậc 2.

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra nhanh bằng phép cộng ngược:

(- x^{3} - 8 x - 6) + (3 x + 8) = - x^{3} - 5 x + 2

, đúng bằng đa thức bị trừ ban đầu — đây chính là tính chất "nếu

R = P - Q

thì

Q + R = P

" học ở Vận dụng 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 7.14★★Trang 33— Cộng và trừ hai đa thức một biến có hệ số phân số

Bài 7.14 (trang 33). Cho hai đa thức

A = 6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3}

và

B = - 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3}

.
Tính

A + B

và

A - B

Kiến thức cần nhớ

Cộng, trừ đa thức bằng cách bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc, hoặc đặt tính theo cột.
Đa thức đối của $B$ là $- B$ , thu được bằng cách đổi dấu mọi hạng tử của $B$ ; khi đó $A - B = A + (- B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tính cả tổng lẫn hiệu của cùng một cặp đa thức có hệ số phân số — dấu hiệu để tận dụng phép cộng đã tính nhằm rút gọn công việc khi tính hiệu (hoặc ngược lại). Hai đa thức đều đủ các bậc từ

4

đến

0

trừ

A

khuyết bậc 2, nên bẫy nằm ở việc quên hạng tử

- 5 x^{2}

của

B

khi cộng hoặc trừ.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

Định hướng. Tính riêng $A + B$ và $A - B$ bằng cách bỏ ngoặc rồi nhóm theo từng bậc; với $A - B$ phải đổi dấu toàn bộ $B$ .

A + B = (6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3}) + (- 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3})

= (6 - 3) x^{4} + (- 4 - 2) x^{3} - 5 x^{2} + (1 + 1) x + (- \frac{1}{3} + \frac{2}{3})

= 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}

A - B = (6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3}) - (- 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3})

= (6 + 3) x^{4} + (- 4 + 2) x^{3} + 5 x^{2} + (1 - 1) x + (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3})

= 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1

Vậy $A + B = 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}$ và $A - B = 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng và đặt tính trừ theo cột

Định hướng. Đặt $A$ , $B$ thẳng cột theo bậc, cột bậc 2 của $A$ để trống vì khuyết, rồi cộng và trừ theo từng cột.

A + B : 6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3} + - 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3} 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}

A - B : 6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3} - - 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3} 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A + B = 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}$ , $A - B = 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1$ .

3Cách 3. Đổi phép trừ thành phép cộng với đa thức đối

Định hướng. Tính $A + B$ như Cách 1, riêng $A - B$ thì trước hết lập đa thức đối $- B$ (đổi dấu mọi hạng tử của $B$ ) rồi cộng $A + (- B)$ , tránh phải nhớ quy tắc đổi dấu khi trừ.

- B = 3 x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - \frac{2}{3}

A + (- B) = (6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3}) + (3 x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} - x - \frac{2}{3})

= (6 + 3) x^{4} + (- 4 + 2) x^{3} + 5 x^{2} + (1 - 1) x + (- \frac{1}{3} - \frac{2}{3})

= 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1

Vậy $A - B = A + (- B) = 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1$ , đúng bằng kết quả hai cách trên; $A + B$ tính như Cách 1 được $3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bỏ ngoặc nhóm hạng tử cho cả hai phép tính trong cùng một lượt tính nhẩm hệ số theo bậc, nhanh hơn kẻ hai bảng đặt tính của Cách 2.

Đáp số.

A + B = 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3}

;

A - B = 9 x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên đa thức

A

khuyết bậc 2 nên khi trừ lại ghi nhầm dấu của

- 5 x^{2}

(đổi dấu thành

- 5 x^{2}

thay vì đúng

+ 5 x^{2}

); cũng hay tính sai

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}

do quên quy đồng mẫu.

🚀 Mở rộng. Nhận xét

(A + B) + (A - B) = 2 A = 12 x^{4} - 8 x^{3} + 2 x - \frac{2}{3}

— có thể dùng để kiểm tra nhanh cả hai kết quả cộng và trừ cùng một cặp đa thức mà không cần tính lại từ đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 7.15★★Trang 33— Cộng, trừ nhiều đa thức một biến, khai thác mối liên hệ giữa các kết quả

Bài 7.15 (trang 33). Cho các đa thức

A = 3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1

;

B = - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x

và

C = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5

.
Tính

A + B + C

;

A - B + C

và

A - B - C

Kiến thức cần nhớ

Cộng, trừ nhiều đa thức: bỏ ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc, hoặc đặt tính theo cột, hoặc gộp dần từng cặp nhờ tính chất kết hợp.
Nếu hai biểu thức chỉ khác nhau ở dấu của một đa thức $C$ thì hiệu của chúng bằng $2 C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba đa thức và yêu cầu tính liên tiếp ba biểu thức khác nhau chỉ đổi dấu trước

B

và

C

— dấu hiệu để nhận ra ba kết quả có liên hệ đại số với nhau, không cần tính độc lập từng cái. Cụ thể

(A - B + C)

và

(A - B - C)

chỉ khác nhau

2 C

, còn

(A + B + C)

và

(A - B + C)

khác nhau

2 B

; khai thác liên hệ này giúp kiểm tra chéo và rút ngắn tính toán.

1Cách 1. Tính trực tiếp từng biểu thức bằng nhóm hạng tử cùng bậc

Định hướng. Bỏ ngoặc và nhóm hạng tử cùng bậc riêng cho từng biểu thức $A + B + C$ , $A - B + C$ , $A - B - C$ .

A + B + C = (3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1) + (- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x) + (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5)

= (3 - 3) x^{4} + (- 2 - 2) x^{3} + (4 + 2) x^{2} + (- 1 + 5) x + (1 + 5)

= - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 6

A - B + C = (3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1) - (- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x) + (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5)

= (3 - 3) x^{4} + (- 2 + 2) x^{3} + (- 4 + 2) x^{2} + (- 1 - 5) x + (1 + 5)

= - 2 x^{2} - 6 x + 6

A - B - C = (3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1) - (- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x) - (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5)

= (3 + 3) x^{4} + (- 2 + 2) x^{3} + (- 4 - 2) x^{2} + (- 1 - 5) x + (1 - 5)

= 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4

Vậy $A + B + C = - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 6$ ; $A - B + C = - 2 x^{2} - 6 x + 6$ ; $A - B - C = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4$ .

2Cách 2. Đặt tính cộng, trừ theo cột cho từng biểu thức

Định hướng. Với mỗi biểu thức, đặt ba đa thức thẳng cột theo bậc rồi cộng, trừ lần lượt theo đúng dấu đề cho.

A + B + C : 3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5 - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 6

Làm tương tự (đổi dấu cột của

B

C

theo đúng yêu cầu) sẽ ra

A - B + C = - 2 x^{2} - 6 x + 6

và

A - B - C = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4

, trùng khớp Cách 1.

Vậy ba kết quả trùng Cách 1.

3Cách 3. Tận dụng liên hệ giữa các kết quả đã tính (không tính lại từ đầu)

Định hướng. Sau khi có $A + B + C$ và $A - B + C$ ở Cách 1, nhận xét $(A + B + C) - (A - B + C) = 2 B$ để kiểm tra, rồi suy ra $A - B - C = (A - B + C) - 2 C$ mà không cần cộng trừ lại toàn bộ ba đa thức.

(A + B + C) - (A - B + C) = (- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 6) - (- 2 x^{2} - 6 x + 6) = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x

2 B = 2 (- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x) = - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x

— khớp, xác nhận hai kết quả trên đúng

A - B - C = (A - B + C) - 2 C = (- 2 x^{2} - 6 x + 6) - 2 (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5) = (- 2 x^{2} - 6 x + 6) + 6 x^{4} - 4 x^{2} - 10 = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4

Vậy $A - B - C = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4$ , khớp hai cách trên và đã tự kiểm tra chéo bằng hệ thức $2 B$ , $2 C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để ra đáp số chắc chắn, rồi dùng mẹo của Cách 3 (

(A + B + C) - (A - B + C) = 2 B

) để kiểm tra nhanh trong 10 giây mà không cần tính lại toàn bộ.

Đáp số.

A + B + C = - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 6

;

A - B + C = - 2 x^{2} - 6 x + 6

;

A - B - C = 6 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x - 4

Sai lầm thường gặp. Sai phổ biến nhất là nhầm dấu khi chuyển từ

A + B + C

sang

A - B + C

: chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên của

B

mà quên đổi dấu

4 x^{2}

và

5 x

, khiến hạng tử bậc 2 hoặc bậc 1 bị sai dấu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với ba đa thức

A, B, C

bất kì:

(A + B + C) + (A - B - C) = 2 A

(A + B + C) - (A - B + C) = 2 B

(A - B + C) - (A - B - C) = 2 C

— ba hệ thức này cho phép suy ra

A

B

C

ngược lại nếu biết đủ ba tổng/hiệu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 7.16★★★Trang 33— Lập đa thức một biến biểu thị số tiền từ bài toán thực tế mua sắm

Bài 7.16 (trang 33). Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua

x

cuốn sách khoa học,

x + 8

cuốn sách tham khảo và

x + 5

cuốn truyện tranh.

Loại sách	Giá bán một cuốn (đồng)
Truyện tranh	$15000$
Sách tham khảo	$12500$
Sách khoa học	$21500$

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.
b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Kiến thức cần nhớ

Số tiền = số lượng $\times$ đơn giá; khi số lượng là một biểu thức chứa $x$ thì số tiền cũng là một đa thức theo $x$ .
Tổng số tiền của nhiều loại hàng bằng tổng các đa thức số tiền từng loại, cộng theo đúng quy tắc cộng đa thức một biến.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số lượng từng loại sách theo ẩn

x

và giá tiền cố định — dấu hiệu của dạng lập đa thức từ bài toán thực tế: số tiền mỗi loại bằng (số lượng)

\times

(đơn giá). Bẫy ở chỗ số lượng sách tham khảo và truyện tranh không phải

x

mà là

x + 8

và

x + 5

, nên khi khai triển phải nhân đơn giá với cả hai số hạng chứ không chỉ với

x

1Cách 1. Viết riêng từng đa thức số tiền rồi cộng lại

Định hướng. Lập từng đa thức số tiền theo đúng thứ tự loại sách trong đề, rồi cộng ba đa thức đó lại bằng cách nhóm hạng tử cùng bậc.

Số tiền mua truyện tranh:

15000 (x + 5) = 15000 x + 75000

(đồng)
Số tiền mua sách tham khảo:

12500 (x + 8) = 12500 x + 100000

(đồng)
Số tiền mua sách khoa học:

21500 x

(đồng)
Tổng số tiền:

T (x) = (15000 x + 75000) + (12500 x + 100000) + 21500 x

= (15000 + 12500 + 21500) x + (75000 + 100000)

= 49000 x + 175000

(đồng)

Vậy a) ba đa thức số tiền lần lượt là $15000 x + 75000$ ; $12500 x + 100000$ ; $21500 x$ (đồng); b) tổng số tiền là $T (x) = 49000 x + 175000$ (đồng).

2Cách 2. Gộp thành một biểu thức tổng quát rồi khai triển một lần

Định hướng. Viết ngay tổng số tiền dưới dạng một biểu thức chung, không tính riêng từng đa thức con, rồi khai triển và thu gọn một lượt.

T (x) = 21500 x + 12500 (x + 8) + 15000 (x + 5)

= 21500 x + 12500 x + 100000 + 15000 x + 75000

= (21500 + 12500 + 15000) x + (100000 + 75000)

= 49000 x + 175000

(đồng)

Vậy kết quả trùng Cách 1: $T (x) = 49000 x + 175000$ (đồng); mỗi đa thức con ở ý a) chính là từng số hạng trong khai triển này.

3Cách 3. Tách riêng phần theo

x

và phần hằng số của cả ba loại sách

Định hướng. Thay vì cộng lần lượt theo từng loại sách, gộp ngay tất cả các hệ số của $x$ (tức tổng ba đơn giá, vì mỗi loại đều có ít nhất $x$ cuốn) và gộp riêng phần hằng số phát sinh từ $8$ cuốn thêm và $5$ cuốn thêm.

Hệ số của

x

21500 + 12500 + 15000 = 49000

(đồng/cuốn, ứng với mỗi loại đều có

x

cuốn)
Phần hằng số:

12500 \times 8 + 15000 \times 5 = 100000 + 75000 = 175000

(đồng, ứng với

8

cuốn tham khảo và

5

cuốn truyện tranh thêm)

T (x) = 49000 x + 175000

(đồng)

Vậy kết quả trùng hai cách trên: $T (x) = 49000 x + 175000$ (đồng), cách tách này cho thấy rõ $49000$ đồng là chi phí ứng với mỗi cuốn tăng thêm ở cả ba loại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gộp thẳng thành một biểu thức rồi khai triển một lần, ít bước trung gian hơn viết riêng ba đa thức của Cách 1.

Đáp số. a) Truyện tranh:

15000 x + 75000

(đồng); sách tham khảo:

12500 x + 100000

(đồng); sách khoa học:

21500 x

(đồng). b)

T (x) = 49000 x + 175000

(đồng).

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên nhân đơn giá với cả hai số hạng của

x + 8

hoặc

x + 5

, chỉ nhân với

x

rồi cộng thẳng

8

hoặc

5

(không nhân với đơn giá), làm phần hằng số bị thiếu hẳn hệ số giá tiền.

🚀 Mở rộng. Nếu Nam mua thêm loại sách thứ tư với số lượng

x + k

cuốn, giá

p

đồng một cuốn thì tổng số tiền tăng thêm

p x + p k

— hệ số của

x

trong

T (x)

luôn bằng tổng mọi đơn giá, còn phần hằng số bằng tổng các tích (đơn giá)

\times

(số cuốn thêm) của từng loại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 7.17★★★Trang 33— Lập đa thức diện tích từ bài toán hình học thực tế, dùng cả phép cộng và phép trừ đa thức

Bài 7.17 (trang 33). Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài

65

m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là

x

mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến

x

):
a) Biểu thị diện tích của bể bơi.
b) Biểu thị diện tích mảnh đất.
c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
Diện tích phần đất xung quanh (hình vành ngoài) bằng diện tích hình lớn trừ diện tích hình nhỏ nằm bên trong.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chiều rộng bể là

x

, chiều dài bể gấp 3 lần nên bằng

3 x

— khớp với hình vẽ chia chiều dài bể thành ba đoạn bằng

x

. Chiều rộng mảnh đất không cho trực tiếp mà phải đọc từ hình:

4

m phía trên cộng

x

(chiều rộng bể) cộng

5

m phía dưới. Bẫy ở ý c): diện tích đất xung quanh không phải hiệu của hai số đo dài mà phải là hiệu của hai đa thức diện tích đã tính ở ý a), b).

1Cách 1. Viết trực tiếp công thức diện tích rồi dùng phép trừ đa thức cho ý c)

Định hướng. Từ hình vẽ, chiều dài bể là $3 x$ , chiều rộng mảnh đất là $4 + x + 5 = x + 9$ ; diện tích đất xung quanh bằng diện tích đất trừ diện tích bể. Đặt $S_{1}$ là diện tích bể bơi, $S_{2}$ là diện tích mảnh đất.

S_{1} = 3 x \cdot x = 3 x^{2}

^{2}

)
b)

S_{2} = 65 (x + 9) = 65 x + 585

^{2}

)
c)

S_{x q} = S_{2} - S_{1} = (65 x + 585) - 3 x^{2} = - 3 x^{2} + 65 x + 585

^{2}

)

Vậy a) $S_{1} = 3 x^{2}$ (m $^{2}$ ); b) $S_{2} = 65 x + 585$ (m $^{2}$ ); c) $S_{x q} = - 3 x^{2} + 65 x + 585$ (m $^{2}$ ).

2Cách 2 (cho ý c). Chia phần đất xung quanh thành các hình chữ nhật con rồi cộng diện tích

Định hướng. Không trừ nguyên khối, mà chia phần đất xung quanh bể thành dải trên (cao $4$ m), dải dưới (cao $5$ m) và hai dải bên (mỗi dải rộng theo phần đất còn lại ngoài bể theo chiều dài $65$ m), rồi cộng diện tích các dải.

Dải trên:

4 \cdot 65 = 260

^{2}

)
Dải dưới:

5 \cdot 65 = 325

^{2}

)
Hai dải bên (chạy dọc theo chiều rộng

x

của bể, tổng bề rộng còn lại của mảnh đất theo chiều dài là

65 - 3 x

x (65 - 3 x) = 65 x - 3 x^{2}

^{2}

)

S_{x q} = 260 + 325 + 65 x - 3 x^{2} = - 3 x^{2} + 65 x + 585

^{2}

)

Vậy kết quả trùng Cách 1: $S_{x q} = - 3 x^{2} + 65 x + 585$ (m $^{2}$ ), xác nhận bằng một cách chia hình hoàn toàn khác (cộng các mảnh thay vì trừ toàn khối).

3Cách 3 (cho ý c). Đặt tính trừ theo cột từ kết quả ý a), b)

Định hướng. Dùng lại hai đa thức đã có ở ý a), b), trình bày phép trừ $S_{2} - S_{1}$ bằng đặt tính cột thay vì bỏ ngoặc, nhất quán với kĩ thuật đặt tính trừ vừa học trong bài.

65 x + 585 - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 65 x + 585

Vậy $S_{x q} = - 3 x^{2} + 65 x + 585$ (m $^{2}$ ), khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho cả ba ý: viết công thức diện tích trực tiếp rồi trừ đa thức, ít bước hơn việc chia nhỏ hình như Cách 2; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi nghi ngờ kết quả.

Đáp số. a)

S_{1} = 3 x^{2}

^{2}

); b)

S_{2} = 65 x + 585

^{2}

); c)

S_{x q} = - 3 x^{2} + 65 x + 585

^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên chiều rộng mảnh đất phải cộng cả ba phần

4 + x + 5

, chỉ lấy chiều rộng mảnh đất bằng

x

(bỏ sót hai lề

4

m và

5

m), khiến

S_{2}

tính thiếu hẳn

9 \cdot 65 = 585

^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi chiều dài mảnh đất từ

65

m thành

a

m (giữ nguyên lề

4

5

m) thì

S_{x q} = a (x + 9) - 3 x^{2} = - 3 x^{2} + a x + 9 a

— hệ số tự do và hệ số của

x

trong đa thức diện tích xung quanh đều tỉ lệ thuận với

a

Mở bài này trong app ↗