Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 27. Phép nhân đa thức một biến

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.20★★Trang 30— Nhân hai đa thức một biến, ba mức độ phức tạp tăng dần

Tính:
a)

(x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 1) (4 x - 3)

;
b)

(- 2 x^{2} + 4 x + 6) (- \frac{1}{2} x + 1)

;
c)

(x^{4} + 2 x^{3} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Đa thức bậc $m$ nhân đa thức bậc $n$ cho tích có bậc cao nhất $m + n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đều đúng dạng nhân đa thức với đa thức vừa học ở Bài 27, độ phức tạp tăng dần theo số hạng tử và bậc của đa thức. Ý b) có hệ số phân số

- \frac{1}{2}

nên dễ sai khi nhân với các hệ số nguyên; ý c) có bậc cao nhất (bậc 6) nên cần nhóm cẩn thận theo đúng bậc để không bỏ sót hạng tử nào trong số tối đa 12 tích thành phần.

1Cách 1. Phân phối đầy đủ rồi nhóm theo bậc

Định hướng. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai, viết đủ các tích thành phần rồi nhóm theo bậc giảm dần.

(x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 1) (4 x - 3)

= 4 x^{4} - 3 x^{3} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x^{2} + 15 x - 4 x + 3

= 4 x^{4} + (- 3 x^{3} + 12 x^{3}) + (- 9 x^{2} - 20 x^{2}) + (15 x - 4 x) + 3

= 4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3

(- 2 x^{2} + 4 x + 6) (- \frac{1}{2} x + 1)

= x^{3} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 3 x + 6

= x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x^{2}) + (4 x - 3 x) + 6

= x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

(x^{4} + 2 x^{3} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)

= x^{6} - 3 x^{5} + 2 x^{4} + 2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

= x^{6} + (- 3 x^{5} + 2 x^{5}) + (2 x^{4} - 6 x^{4}) + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

= x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Vậy a) $= 4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3$ ; b) $= x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ ; c) $= x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức bậc cao hơn ở dòng trên, nhân lần lượt với từng hạng tử ở dòng dưới (bậc thấp đến bậc cao) rồi cộng theo cột — trình bày cho ý c) là điển hình nhất.

x^{4} + 2 x^{3} - 1 \times x^{2} - 3 x + 2 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 - 3 x^{5} - 6 x^{4} + 3 x x^{6} + 2 x^{5} - x^{2} x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả ba ý (đặt tính tương tự cho ý a, b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (phân phối) cho ý a), b) vì đa thức ngắn; dùng Cách 2 (đặt tính cột) cho ý c) vì bậc cao, cột giúp không bỏ sót hạng tử.

Đáp số. a)

4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3

; b)

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

; c)

x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở ý b): nhân hệ số phân số

- \frac{1}{2}

với các hệ số của đa thức kia mà quên đổi dấu đúng, ví dụ tính nhầm

4 x \cdot (- \frac{1}{2} x) = 2 x^{2}

thay vì đúng

- 2 x^{2}

🚀 Mở rộng. Kiểm tra nhanh bằng

x = 1

: ý a)

4 + 9 - 29 + 11 + 3 = - 2

, đúng bằng

(1 + 3 - 5 - 1) (4 - 3) = (- 2) (1) = - 2

; áp dụng tương tự cho ý b), c) để tự kiểm tra kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.21★★★Trang 30— Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách rút gọn về hằng số

Bằng cách rút gọn biểu thức, chứng minh rằng mỗi biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a)

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + (x + 7)

;
b)

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) - (x^{2} - 3 x) (x - 4) - 5 (x - 2)

Kiến thức cần nhớ

Một biểu thức chứa biến $x$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ khi và chỉ khi sau khi rút gọn, mọi hạng tử chứa $x$ đều triệt tiêu, chỉ còn một hằng số.
Nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu 'chứng minh giá trị không phụ thuộc vào biến' — dấu hiệu chắc chắn rằng sau khi khai triển và thu gọn, mọi hạng tử chứa

x

(kể cả

x^{2}

x^{3}

ở ý b) phải triệt tiêu hết, chỉ còn lại một số. Cả hai ý đều có phép nhân đa thức với đa thức, nên bẫy chính vẫn là dấu khi bỏ ngoặc, đặc biệt ý b) có tới ba cụm cộng trừ liên tiếp.

1Cách 1. Khai triển đầy đủ rồi rút gọn về hằng số

Định hướng. Bỏ ngoặc từng cụm bằng cách nhân đa thức với đa thức (hoặc đơn thức), rồi nhóm và triệt tiêu các hạng tử chứa $x$ .

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + (x + 7)

= 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15 - 2 x^{2} + 6 x + x + 7

= (2 x^{2} - 2 x^{2}) + (3 x - 10 x + 6 x + x) + (- 15 + 7)

= 0 \cdot x - 8 = - 8

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) - (x^{2} - 3 x) (x - 4) - 5 (x - 2)

= x^{3} - 2 x^{2} - 5 x^{2} + 10 x + 7 x - 14 - x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{2} - 12 x - 5 x + 10

= (x^{3} - x^{3}) + (- 2 x^{2} - 5 x^{2} + 4 x^{2} + 3 x^{2}) + (10 x + 7 x - 12 x - 5 x) + (- 14 + 10)

= 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x - 4 = - 4

Vậy a) luôn bằng $- 8$ , b) luôn bằng $- 4$ với mọi $x$ — cả hai biểu thức đều không phụ thuộc vào giá trị của biến.

2Cách 2. Nhận diện triệt tiêu hệ số bậc cao ngay khi vừa nhân

Định hướng. Tính riêng từng tích $(x - 5) (2 x + 3)$ và $2 x (x - 3)$ trước, quan sát ngay hệ số bậc cao của chúng bằng nhau để biết trước sẽ triệt tiêu, rồi mới cộng trừ phần còn lại.

(x - 5) (2 x + 3) = 2 x^{2} - 7 x - 15

;

2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x

(2 x^{2} - 7 x - 15) - (2 x^{2} - 6 x) + (x + 7) = (2 x^{2} - 2 x^{2}) + (- 7 x + 6 x + x) + (- 15 + 7) = - 8

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) = x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 14

;

(x^{2} - 3 x) (x - 4) = x^{3} - 7 x^{2} + 12 x

(x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 14) - (x^{3} - 7 x^{2} + 12 x) - 5 (x - 2) = (17 x - 12 x) - 14 - 5 x + 10 = 5 x - 14 - 5 x + 10 = - 4

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) bằng $- 8$ ; b) bằng $- 4$ , không phụ thuộc $x$ .

3Cách 3. Thay hai giá trị

x

khác nhau để kiểm tra

Định hướng. Thay $x = 0$ và $x = 1$ vào từng biểu thức gốc; nếu cả hai lần đều ra cùng một số thì củng cố thêm cho kết luận "không phụ thuộc biến" ở Cách 1, Cách 2.

a) Với

x = 0

(0 - 5) (0 + 3) - 0 + (0 + 7) = - 15 + 7 = - 8

; với

x = 1

(1 - 5) (2 + 3) - 2 (1 - 3) + (1 + 7) = - 20 + 4 + 8 = - 8

b) Với

x = 0

(0 - 0 + 7) (0 - 2) - 0 - 5 (0 - 2) = - 14 + 10 = - 4

; với

x = 1

(1 - 5 + 7) (1 - 2) - (1 - 3) (1 - 4) - 5 (1 - 2) = 3 \cdot (- 1) - (- 2) (- 3) - 5 \cdot (- 1) = - 3 - 6 + 5 = - 4

Vậy cả bốn phép thử đều khớp với Cách 1 và Cách 2: a) luôn bằng $- 8$ , b) luôn bằng $- 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận diện ngay hệ số bậc cao của hai tích bằng nhau trước khi cộng trừ hết, giúp phát hiện sớm phần triệt tiêu mà không cần khai triển toàn bộ như Cách 1.

Đáp số. a) Biểu thức luôn bằng

- 8

; b) biểu thức luôn bằng

- 4

— cả hai không phụ thuộc vào

x

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở ý b): quên đổi dấu cả cụm

- (x^{2} - 3 x) (x - 4)

khi bỏ ngoặc, chỉ đổi dấu hạng tử đầu

x^{3}

mà quên đổi dấu

- 7 x^{2}

và

12 x

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hạng tử tự do

+ 7

ở ý a) thành

+ m

tuỳ ý thì biểu thức vẫn không phụ thuộc

x

, với giá trị không đổi là

m - 15

(khi

m = 7

đúng bằng

- 8

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.22★★★Trang 30— Giải phương trình đưa về từ đẳng thức chứa tích hai đa thức

Với giá trị nào của

x

thì

(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) = (x^{2} + x) (x - 5)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức để khai triển hai vế của một đẳng thức.
Giải phương trình bậc nhất một ẩn: chuyển hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đẳng thức giữa hai tích đa thức và hỏi giá trị

x

thoả mãn — dấu hiệu của phương trình bậc nhất ẩn giấu sau phép nhân đa thức: khai triển cả hai vế, các hạng tử bậc cao (

x^{3}

x^{2}

) sẽ triệt tiêu khi chuyển vế, chỉ còn lại phương trình bậc nhất. Bẫy ở chỗ dễ quên đổi dấu khi chuyển tất cả các hạng tử của vế phải sang vế trái.

1Cách 1. Khai triển riêng từng vế rồi cho hai vế bằng nhau

Định hướng. Nhân đa thức với đa thức để khai triển vế trái và vế phải, rồi đặt hai kết quả bằng nhau và giải phương trình bậc nhất thu được.

Vế trái:

(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10

Vế phải:

(x^{2} + x) (x - 5) = x^{3} - 4 x^{2} - 5 x

x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10 = x^{3} - 4 x^{2} - 5 x

9 x - 10 = - 5 x

9 x + 5 x = 10

14 x = 10

x = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}

Vậy $x = \frac{5}{7}$ .

2Cách 2. Chuyển tất cả sang một vế, rút gọn về

0

Định hướng. Chuyển vế phải sang vế trái, đổi dấu toàn bộ, rồi khai triển và rút gọn cả biểu thức một lượt thay vì tính riêng hai vế.

(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) - (x^{2} + x) (x - 5) = 0

(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10) - (x^{3} - 4 x^{2} - 5 x) = 0

9 x - 10 + 5 x = 0

14 x - 10 = 0

14 x = 10

x = \frac{5}{7}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $x = \frac{5}{7}$ .

3Cách 3. Thay ngược

x = \frac{5}{7}

vào cả hai vế ban đầu để kiểm tra

Định hướng. Thế $x = \frac{5}{7}$ vào từng vế của đẳng thức gốc (chưa khai triển), tính riêng rồi so sánh hai kết quả.

Vế trái tại

x = \frac{5}{7}

(\frac{25}{49} - \frac{10}{7} + 5) (\frac{5}{7} - 2) = \frac{200}{49} \cdot (- \frac{9}{7}) = - \frac{1800}{343}

Vế phải tại

x = \frac{5}{7}

(\frac{25}{49} + \frac{5}{7}) (\frac{5}{7} - 5) = \frac{60}{49} \cdot (- \frac{30}{7}) = - \frac{1800}{343}

Vậy hai vế cùng bằng $- \frac{1800}{343}$ , xác nhận $x = \frac{5}{7}$ đúng là nghiệm — khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chuyển tất cả về một vế rồi rút gọn một lượt, ít bước hơn tính riêng hai vế như Cách 1 vì các hạng tử bậc cao triệt tiêu ngay khi trừ hai đa thức.

Đáp số.

x = \frac{5}{7}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: khi khai triển

(x^{2} + x) (x - 5)

quên hạng tử

x \cdot (- 5) = - 5 x

, tính nhầm vế phải thành

x^{3} - 4 x^{2}

(thiếu

- 5 x

), dẫn tới phương trình sai và ra nghiệm

x

khác

\frac{5}{7}

🚀 Mở rộng. Sở dĩ đẳng thức bậc ba ban đầu rút gọn được thành phương trình bậc nhất là vì cả hai vế sau khi khai triển đều có cùng hệ số

x^{3}

và

x^{2}

(đều là

1

và

- 4

) — đây không phải ngẫu nhiên mà do đề đã chọn sẵn các đa thức để bậc cao triệt tiêu; nếu đổi số hạng để hai vế không còn trùng hệ số bậc cao, phương trình thu được sẽ phức tạp hơn nhiều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.23★★★Trang 30— Rút gọn tích đa thức rồi tính giá trị tại một điểm cho trước

Rút gọn các biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được:
a)

(4 x^{4} - 6 x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3)

tại

x = 0, 5

;
b)

(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 12) (x^{2} + 2 x + 4) - x (7 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x + 32)

tại

x = - 2

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích.
Nên rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất trước khi thay số, tránh tính với biểu thức cồng kềnh.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) không phải hiệu hai bình phương như thoạt nhìn, cần nhân trực tiếp; đề cho

x = 0, 5

(không phải số nguyên) nên rút gọn trước rồi mới thay số sẽ nhẹ tính hơn thay số ngay từ đầu. Ý b) có hai cụm nhân đa thức và một cụm nhân đơn thức với đa thức cùng trừ nhau — bẫy ở việc cộng đúng các hạng tử bậc cao trước khi thay

x = - 2

1Cách 1. Rút gọn bằng phân phối rồi thế giá trị

Định hướng. Khai triển và thu gọn từng biểu thức trước, sau đó mới thay $x = 0, 5$ hoặc $x = - 2$ .

(4 x^{4} - 6 x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3)

= 8 x^{6} + 12 x^{4} - 12 x^{4} - 18 x^{2} + 18 x^{2} + 27

= 8 x^{6} + 27

Thay

x = 0, 5

8 \cdot (0, 5)^{6} + 27 = 8 \cdot \frac{1}{64} + 27 = \frac{1}{8} + 27 = 27, 125

(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 12) (x^{2} + 2 x + 4)

= x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 20 x^{2} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 48

= x^{5} + 7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 48

x (7 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x + 32) = 7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x

(x^{5} + 7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 48) - (7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x) = x^{5} + 48

Thay

x = - 2

(- 2)^{5} + 48 = - 32 + 48 = 16

Vậy a) $= 27, 125$ ; b) $= 16$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột để rút gọn, rồi thế giá trị

Định hướng. Đặt tính nhân từng cặp đa thức theo cột, rồi thế giá trị vào đa thức đã rút gọn.

4 x^{4} - 6 x^{2} + 9 \times 2 x^{2} + 3 12 x^{4} - 18 x^{2} + 27 8 x^{6} - 12 x^{4} + 18 x^{2} 8 x^{6} + 27

Thay

x = 0, 5

8 \cdot (0, 5)^{6} + 27 = 27, 125

x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 12 \times x^{2} + 2 x + 4 4 x^{3} + 20 x^{2} + 8 x + 48 2 x^{4} + 10 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x x^{5} + 5 x^{4} + 2 x^{3} + 12 x^{2} x^{5} + 7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 48

Trừ

x (7 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x + 32) = 7 x^{4} + 16 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x

được

x^{5} + 48

; thay

x = - 2

(- 2)^{5} + 48 = 16

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $= 27, 125$ ; b) $= 16$ .

3Cách 3. Thế giá trị trước vào biểu thức gốc (chưa rút gọn)

Định hướng. Thay $x = 0, 5$ (hoặc $x = - 2$ ) ngay vào biểu thức ban đầu, tính từng thừa số bằng số cụ thể rồi nhân/trừ trực tiếp, dùng để kiểm chứng độc lập kết quả rút gọn ở Cách 1, Cách 2.

a) Tại

x = 0, 5

4 x^{4} - 6 x^{2} + 9 = 4 \cdot 0, 0625 - 6 \cdot 0, 25 + 9 = 0, 25 - 1, 5 + 9 = 7, 75

;

2 x^{2} + 3 = 0, 5 + 3 = 3, 5

(4 x^{4} - 6 x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3) = 7, 75 \cdot 3, 5 = 27, 125

b) Tại

x = - 2

x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 12 = - 8 + 20 - 4 + 12 = 20

;

x^{2} + 2 x + 4 = 4 - 4 + 4 = 4

; tích

= 80

x (7 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x + 32) = - 2 \cdot (- 56 + 64 - 72 + 32) = - 2 \cdot (- 32) = 64

Hiệu

= 80 - 64 = 16

Vậy cả hai kết quả đều khớp Cách 1, Cách 2: a) $= 27, 125$ ; b) $= 16$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn bằng phân phối trước (được đa thức rất gọn

8 x^{6} + 27

và

x^{5} + 48

) rồi mới thay số, nhẹ tính hơn hẳn Cách 3 (thay số ngay từ đầu vào biểu thức cồng kềnh).

Đáp số. a)

27, 125

; b)

16

Sai lầm thường gặp. Ở ý a), lỗi hay gặp là tưởng

4 x^{4} - 6 x^{2} + 9

và

2 x^{2} + 3

là hai thừa số của cùng một hằng đẳng thức quen thuộc nên áp nhầm công thức, trong khi thực chất phải nhân trực tiếp mới ra đúng

8 x^{6} + 27

🚀 Mở rộng. Đa thức rút gọn

8 x^{6} + 27

ở ý a) chính là

(2 x^{2})^{3} + 3^{3}

— tổng hai lập phương, gợi ý một dạng hằng đẳng thức bậc ba sẽ học ở các lớp sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.24★★★Trang 30— Chứng minh tính chia hết bằng cách lập đa thức và phân tích

Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm

1

thì luôn chia hết cho

4

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng $2 n - 1$ hoặc $2 n + 1$ với $n$ là số tự nhiên phù hợp.
$A$ chia hết cho $4$ khi và chỉ khi $A = 4 k$ với $k$ là số tự nhiên (hoặc số nguyên).

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho số cụ thể mà yêu cầu chứng minh cho mọi cặp số tự nhiên lẻ liên tiếp — dấu hiệu phải đặt ẩn tổng quát cho số lẻ (dạng

2 n - 1

hoặc

2 n + 1

) rồi dùng phép nhân đa thức để biến đổi tích cộng

1

về dạng chia hết cho

4

một cách hiển nhiên (đưa về

4

nhân với một số tự nhiên). Bẫy là chọn cách đặt ẩn không khéo sẽ ra biểu thức khó nhận ra nhân tử

4

1Cách 1. Đặt số lẻ dạng

2 n - 1

, dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Gọi số lẻ thứ nhất là $2 n - 1$ thì số lẻ liên tiếp ngay sau là $2 n + 1$ ( $n$ là số tự nhiên, $n \geq 1$ ); nhân hai số này rồi cộng $1$ , dùng hằng đẳng thức $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ với $a = 2 n$ , $b = 1$ .

(2 n - 1) (2 n + 1) + 1 = [(2 n)^{2} - 1^{2}] + 1 = 4 n^{2} - 1 + 1 = 4 n^{2}

Vậy tích cộng thêm $1$ bằng $4 n^{2} = 4 \cdot n^{2}$ , luôn chia hết cho $4$ với mọi số tự nhiên $n$ .

2Cách 2. Đặt số lẻ dạng

2 k + 1

, khai triển trực tiếp bằng phân phối

Định hướng. Gọi số lẻ thứ nhất là $2 k + 1$ thì số liền sau là $2 k + 3$ ( $k$ là số tự nhiên); nhân trực tiếp hai đa thức này bằng phân phối rồi cộng $1$ và đặt nhân tử chung $4$ .

(2 k + 1) (2 k + 3) + 1 = 4 k^{2} + 6 k + 2 k + 3 + 1 = 4 k^{2} + 8 k + 4 = 4 (k^{2} + 2 k + 1)

Vậy kết quả trùng Cách 1 (chỉ khác cách đặt ẩn): tích cộng thêm $1$ bằng $4 (k^{2} + 2 k + 1)$ , chia hết cho $4$ vì có nhân tử $4$ .

3Cách 3. Thử vài cặp số lẻ liên tiếp cụ thể rồi khái quát hoá

Định hướng. Tính thử với ba cặp số lẻ liên tiếp nhỏ, quan sát quy luật kết quả luôn là bốn lần một số chính phương, rồi đối chiếu với công thức tổng quát ở Cách 1.

1 \cdot 3 + 1 = 4 = 4 \cdot 1^{2}

(ứng với

n = 1

)

3 \cdot 5 + 1 = 16 = 4 \cdot 2^{2}

(ứng với

n = 2

)

5 \cdot 7 + 1 = 36 = 4 \cdot 3^{2}

(ứng với

n = 3

)

Vậy cả ba phép thử đều có dạng $4 n^{2}$ , đúng như công thức tổng quát chứng minh ở Cách 1 và Cách 2 — xác nhận tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm $1$ luôn chia hết cho $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt số lẻ dạng

2 n - 1

và

2 n + 1

rồi dùng ngay hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ít bước tính hơn khai triển trực tiếp như Cách 2.

Đáp số. Với mọi số tự nhiên lẻ liên tiếp, tích của chúng cộng thêm

1

luôn có dạng

4 n^{2}

(hoặc

4 (k^{2} + 2 k + 1)

), chia hết cho

4

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: đặt hai số lẻ liên tiếp là

2 n - 1

và

2 n

(nhầm số chẵn với số lẻ liền sau), thay vì đúng phải là

2 n - 1

và

2 n + 1

(cách nhau đúng

2

đơn vị vì đều lẻ).

🚀 Mở rộng. Tổng quát hơn, tích của hai số tự nhiên lẻ cách nhau

2 m

đơn vị (không nhất thiết liên tiếp), tức

2 n - m

và

2 n + m

với

m

lẻ, cộng thêm

m^{2}

luôn cho

4 n^{2}

— bài này ứng với

m = 1

Mở bài này trong app ↗