Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 27. Phép nhân đa thức một biến

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang30 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.20★★Trang 30— Nhân hai đa thức một biến, ba mức độ phức tạp tăng dần

Tính:
a)

(x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 1) (4 x - 3)

;
b)

(- 2 x^{2} + 4 x + 6) (- \frac{1}{2} x + 1)

;
c)

(x^{4} + 2 x^{3} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Đa thức bậc $m$ nhân đa thức bậc $n$ cho tích có bậc cao nhất $m + n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đều đúng dạng nhân đa thức với đa thức vừa học ở Bài 27, độ phức tạp tăng dần theo số hạng tử và bậc của đa thức. Ý b) có hệ số phân số

- \frac{1}{2}

nên dễ sai khi nhân với các hệ số nguyên; ý c) có bậc cao nhất (bậc 6) nên cần nhóm cẩn thận theo đúng bậc để không bỏ sót hạng tử nào trong số tối đa 12 tích thành phần.

1Cách 1. Phân phối đầy đủ rồi nhóm theo bậc

Định hướng. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai, viết đủ các tích thành phần rồi nhóm theo bậc giảm dần.

(x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 1) (4 x - 3)

= 4 x^{4} - 3 x^{3} + 12 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x^{2} + 15 x - 4 x + 3

= 4 x^{4} + (- 3 x^{3} + 12 x^{3}) + (- 9 x^{2} - 20 x^{2}) + (15 x - 4 x) + 3

= 4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3

(- 2 x^{2} + 4 x + 6) (- \frac{1}{2} x + 1)

= x^{3} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 3 x + 6

= x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x^{2}) + (4 x - 3 x) + 6

= x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

(x^{4} + 2 x^{3} - 1) (x^{2} - 3 x + 2)

= x^{6} - 3 x^{5} + 2 x^{4} + 2 x^{5} - 6 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

= x^{6} + (- 3 x^{5} + 2 x^{5}) + (2 x^{4} - 6 x^{4}) + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

= x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Vậy a) $= 4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3$ ; b) $= x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ ; c) $= x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức bậc cao hơn ở dòng trên, nhân lần lượt với từng hạng tử ở dòng dưới (bậc thấp đến bậc cao) rồi cộng theo cột — trình bày cho ý c) là điển hình nhất.

x^{4} + 2 x^{3} - 1 \times x^{2} - 3 x + 2 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 - 3 x^{5} - 6 x^{4} + 3 x x^{6} + 2 x^{5} - x^{2} x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả ba ý (đặt tính tương tự cho ý a, b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (phân phối) cho ý a), b) vì đa thức ngắn; dùng Cách 2 (đặt tính cột) cho ý c) vì bậc cao, cột giúp không bỏ sót hạng tử.

Đáp số. a)

4 x^{4} + 9 x^{3} - 29 x^{2} + 11 x + 3

; b)

x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

; c)

x^{6} - x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} + 3 x - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở ý b): nhân hệ số phân số

- \frac{1}{2}

với các hệ số của đa thức kia mà quên đổi dấu đúng, ví dụ tính nhầm

4 x \cdot (- \frac{1}{2} x) = 2 x^{2}

thay vì đúng

- 2 x^{2}

🚀 Mở rộng. Kiểm tra nhanh bằng

x = 1

: ý a)

4 + 9 - 29 + 11 + 3 = - 2

, đúng bằng

(1 + 3 - 5 - 1) (4 - 3) = (- 2) (1) = - 2

; áp dụng tương tự cho ý b), c) để tự kiểm tra kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.21★★★Trang 30— Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách rút gọn về hằng số

Bằng cách rút gọn biểu thức, chứng minh rằng mỗi biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a)

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + (x + 7)

;
b)

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) - (x^{2} - 3 x) (x - 4) - 5 (x - 2)

Kiến thức cần nhớ

Một biểu thức chứa biến $x$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ khi và chỉ khi sau khi rút gọn, mọi hạng tử chứa $x$ đều triệt tiêu, chỉ còn một hằng số.
Nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu 'chứng minh giá trị không phụ thuộc vào biến' — dấu hiệu chắc chắn rằng sau khi khai triển và thu gọn, mọi hạng tử chứa

x

(kể cả

x^{2}

x^{3}

ở ý b) phải triệt tiêu hết, chỉ còn lại một số. Cả hai ý đều có phép nhân đa thức với đa thức, nên bẫy chính vẫn là dấu khi bỏ ngoặc, đặc biệt ý b) có tới ba cụm cộng trừ liên tiếp.

1Cách 1. Khai triển đầy đủ rồi rút gọn về hằng số

Định hướng. Bỏ ngoặc từng cụm bằng cách nhân đa thức với đa thức (hoặc đơn thức), rồi nhóm và triệt tiêu các hạng tử chứa $x$ .

(x - 5) (2 x + 3) - 2 x (x - 3) + (x + 7)

= 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15 - 2 x^{2} + 6 x + x + 7

= (2 x^{2} - 2 x^{2}) + (3 x - 10 x + 6 x + x) + (- 15 + 7)

= 0 \cdot x - 8 = - 8

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) - (x^{2} - 3 x) (x - 4) - 5 (x - 2)

= x^{3} - 2 x^{2} - 5 x^{2} + 10 x + 7 x - 14 - x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{2} - 12 x - 5 x + 10

= (x^{3} - x^{3}) + (- 2 x^{2} - 5 x^{2} + 4 x^{2} + 3 x^{2}) + (10 x + 7 x - 12 x - 5 x) + (- 14 + 10)

= 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x - 4 = - 4

Vậy a) luôn bằng $- 8$ , b) luôn bằng $- 4$ với mọi $x$ — cả hai biểu thức đều không phụ thuộc vào giá trị của biến.

2Cách 2. Nhận diện triệt tiêu hệ số bậc cao ngay khi vừa nhân

Định hướng. Tính riêng từng tích $(x - 5) (2 x + 3)$ và $2 x (x - 3)$ trước, quan sát ngay hệ số bậc cao của chúng bằng nhau để biết trước sẽ triệt tiêu, rồi mới cộng trừ phần còn lại.

(x - 5) (2 x + 3) = 2 x^{2} - 7 x - 15

;

2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x

(2 x^{2} - 7 x - 15) - (2 x^{2} - 6 x) + (x + 7) = (2 x^{2} - 2 x^{2}) + (- 7 x + 6 x + x) + (- 15 + 7) = - 8

(x^{2} - 5 x + 7) (x - 2) = x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 14

;

(x^{2} - 3 x) (x - 4) = x^{3} - 7 x^{2} + 12 x

(x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 14) - (x^{3} - 7 x^{2} + 12 x) - 5 (x - 2) = (17 x - 12 x) - 14 - 5 x + 10 = 5 x - 14 - 5 x + 10 = - 4

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) bằng $- 8$ ; b) bằng $- 4$ , không phụ thuộc $x$ .

3Cách 3. Thay hai giá trị

x

khác nhau để kiểm tra

Định hướng. Thay $x = 0$ và $x = 1$ vào từng biểu thức gốc; nếu cả hai lần đều ra cùng một số thì củng cố thêm cho kết luận "không phụ thuộc biến" ở Cách 1, Cách 2.

a) Với

x = 0

(0 - 5) (0 + 3) - 0 + (0 + 7) = - 15 + 7 = - 8

; với

x = 1

(1 - 5) (2 + 3) - 2 (1 - 3) + (1 + 7) = - 20 + 4 + 8 = - 8

b) Với

x = 0

(0 - 0 + 7) (0 - 2) - 0 - 5 (0 - 2) = - 14 + 10 = - 4

; với

x = 1

(1 - 5 + 7) (1 - 2) - (1 - 3) (1 - 4) - 5 (1 - 2) = 3 \cdot (- 1) - (- 2) (- 3) - 5 \cdot (- 1) = - 3 - 6 + 5 = - 4

Vậy cả bốn phép thử đều khớp với Cách 1 và Cách 2: a) luôn bằng $- 8$ , b) luôn bằng $- 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận diện ngay hệ số bậc cao của hai tích bằng nhau trước khi cộng trừ hết, giúp phát hiện sớm phần triệt tiêu mà không cần khai triển toàn bộ như Cách 1.

Đáp số. a) Biểu thức luôn bằng

- 8

; b) biểu thức luôn bằng

- 4

— cả hai không phụ thuộc vào

x

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở ý b): quên đổi dấu cả cụm

- (x^{2} - 3 x) (x - 4)

khi bỏ ngoặc, chỉ đổi dấu hạng tử đầu

x^{3}

mà quên đổi dấu

- 7 x^{2}

và

12 x

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hạng tử tự do

+ 7

ở ý a) thành

+ m

tuỳ ý thì biểu thức vẫn không phụ thuộc

x

, với giá trị không đổi là

m - 15

(khi

m = 7

đúng bằng

- 8

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.22★★★Trang 30— Giải phương trình đưa về từ đẳng thức chứa tích hai đa thức

Với giá trị nào của

x

thì

(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) = (x^{2} + x) (x - 5)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức để khai triển hai vế của một đẳng thức.
Giải phương trình bậc nhất một ẩn: chuyển hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.23★★★Trang 30— Rút gọn tích đa thức rồi tính giá trị tại một điểm cho trước

Rút gọn các biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được:
a)

(4 x^{4} - 6 x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3)

tại

x = 0, 5

;
b)

(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 12) (x^{2} + 2 x + 4) - x (7 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x + 32)

tại

x = - 2

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích.
Nên rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất trước khi thay số, tránh tính với biểu thức cồng kềnh.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.24★★★Trang 30— Chứng minh tính chia hết bằng cách lập đa thức và phân tích

Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm

1

thì luôn chia hết cho

4

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng $2 n - 1$ hoặc $2 n + 1$ với $n$ là số tự nhiên phù hợp.
$A$ chia hết cho $4$ khi và chỉ khi $A = 4 k$ với $k$ là số tự nhiên (hoặc số nguyên).