Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 27. Phép nhân đa thức một biến

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 36— Nhân hai đơn thức một biến

HĐ1 (trang 36). Hãy nhắc lại cách nhân hai đơn thức và tính

(12 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các luỹ thừa của biến với nhau (cộng số mũ).
Tích của hai số cùng dấu là số dương, tích của hai số khác dấu là số âm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu nhắc lại quy tắc nhân đơn thức rồi áp dụng ngay vào một phép tính cụ thể — dấu hiệu của bước khởi động trước khi học quy tắc nhân đơn thức với đa thức. Nhân hai đơn thức chỉ cần nhân hệ số với nhau và cộng số mũ của cùng biến

x

, không có gì phức tạp, nhưng dễ sai dấu khi hệ số âm nhân với hệ số âm.

1Cách 1. Nhân hệ số, cộng số mũ theo đúng quy tắc

Định hướng. Nhân hệ số $12$ với $- 5$ , cộng số mũ $3 + 2 = 5$ của $x$ .

(12 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2})

= [12 \cdot (- 5)] \cdot x^{3 + 2}

= - 60 x^{5}

Vậy $(12 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2}) = - 60 x^{5}$ .

2Cách 2. Tách riêng dấu rồi nhân phần số dương

Định hướng. Nhân riêng phần số dương $12 \cdot 5 = 60$ , xác định dấu bằng quy tắc nhân hai số trái dấu, rồi ghép lại với $x^{5}$ .

(12 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2})

= - (12 \cdot 5) \cdot x^{3 + 2}

= - 60 x^{5}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $(12 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2}) = - 60 x^{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm thẳng theo Cách 1: nhân hệ số và cộng số mũ trong một dòng, không cần tách bước xác định dấu riêng khi đã quen.

Đáp số.

- 60 x^{5}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: nhân hai số mũ thay vì cộng, viết nhầm

x^{3 \cdot 2} = x^{6}

thay vì đúng

x^{3 + 2} = x^{5}

; cũng có em quên đổi dấu, viết kết quả dương

60 x^{5}

🚀 Mở rộng. Quy tắc này áp dụng cho mọi tích hai đơn thức cùng biến:

(a x^{m}) \cdot (b x^{n}) = ab x^{m + n}

với

a, b

là các số thực bất kì.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 36— Nhân đơn thức với đa thức bằng tính chất phân phối

HĐ2 (trang 36). Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, hãy tìm tích

2 x \cdot (3 x^{2} - 8 x + 1)

bằng cách nhân

2 x

với từng hạng tử của đa thức

3 x^{2} - 8 x + 1

rồi cộng các tích tìm được.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $a (b + c + d) = ab + a c + a d$ , áp dụng được cả khi $b, c, d$ mang dấu âm.
Nhân đơn thức với đơn thức: nhân hệ số, cộng số mũ của biến.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định rõ cách làm: nhân đơn thức

2 x

với từng hạng tử rồi cộng lại — đây chính là nội dung mở đầu để rút ra quy tắc nhân đơn thức với đa thức ngay sau đó. Bẫy ở chỗ hạng tử

- 8 x

mang dấu âm, khi nhân với

2 x

(dương) phải giữ đúng dấu âm của tích.

1Cách 1. Phân phối trực tiếp theo đúng yêu cầu đề

Định hướng. Nhân $2 x$ lần lượt với $3 x^{2}$ , $- 8 x$ , $1$ rồi cộng ba tích.

2 x \cdot (3 x^{2} - 8 x + 1)

= 2 x \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot (- 8 x) + 2 x \cdot 1

= 6 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x

Vậy $2 x \cdot (3 x^{2} - 8 x + 1) = 6 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức $3 x^{2} - 8 x + 1$ ở dòng trên, nhân với $2 x$ ở dòng dưới, kết quả từng số hạng thẳng theo đúng bậc.

3 x^{2} - 8 x + 1 \times 2 x 6 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x

Vậy kết quả trùng Cách 1: $6 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết một mạch phân phối nhanh hơn kẻ bảng khi chỉ nhân với một đơn thức.

Đáp số.

6 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x

Sai lầm thường gặp. Nhiều em quên dấu âm của hạng tử

- 8 x

, tính nhầm

2 x \cdot (- 8 x) = 16 x^{2}

(bỏ dấu trừ) dẫn tới kết quả sai

6 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x

🚀 Mở rộng. Từ HĐ1 (nhân hai đơn thức) và HĐ2 (nhân đơn thức với đa thức bằng phân phối), ta suy ra ngay quy tắc tổng quát: muốn nhân đơn thức với đa thức có

n

hạng tử, ta thực hiện đúng

n

phép nhân đơn thức rồi cộng lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 36— Nhân đơn thức với đa thức không viết theo thứ tự luỹ thừa

Luyện tập 1 (trang 36). Tính

(- 2 x^{2}) \cdot (3 x - 4 x^{3} + 7 - x^{2})

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $a (b + c + d) = ab + a c + a d$ .
Nên sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến trước khi nhân hoặc khi viết kết quả để dễ kiểm tra.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng dạng nhân đơn thức với đa thức vừa học ở quy tắc. Tuy nhiên đa thức

3 x - 4 x^{3} + 7 - x^{2}

không viết theo thứ tự luỹ thừa giảm dần — dấu hiệu cần nhân cẩn thận theo đúng từng hạng tử rồi sắp xếp lại kết quả để tránh bỏ sót.

1Cách 1. Phân phối theo đúng thứ tự đề cho rồi sắp xếp kết quả

Định hướng. Nhân $- 2 x^{2}$ với từng hạng tử theo đúng thứ tự đề cho, rồi sắp xếp kết quả theo luỹ thừa giảm dần.

(- 2 x^{2}) \cdot (3 x - 4 x^{3} + 7 - x^{2})

= (- 2 x^{2}) \cdot 3 x + (- 2 x^{2}) \cdot (- 4 x^{3}) + (- 2 x^{2}) \cdot 7 + (- 2 x^{2}) \cdot (- x^{2})

= - 6 x^{3} + 8 x^{5} - 14 x^{2} + 2 x^{4}

= 8 x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} - 14 x^{2}

Vậy $(- 2 x^{2}) \cdot (3 x - 4 x^{3} + 7 - x^{2}) = 8 x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} - 14 x^{2}$ .

2Cách 2. Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần trước rồi đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết lại $3 x - 4 x^{3} + 7 - x^{2} = - 4 x^{3} - x^{2} + 3 x + 7$ rồi đặt tính nhân với $- 2 x^{2}$ .

- 4 x^{3} - x^{2} + 3 x + 7 \times - 2 x^{2} 8 x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} - 14 x^{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $8 x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} - 14 x^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần trước rồi mới nhân, tránh được lỗi bỏ sót hạng tử do đa thức đề cho không theo thứ tự.

Đáp số.

8 x^{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} - 14 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: giữ nguyên thứ tự đa thức đã cho khi viết kết quả (không sắp xếp lại theo luỹ thừa giảm dần), khiến bài làm khó kiểm tra và dễ cộng nhầm hạng tử cùng bậc nằm rải rác.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số

- 2 x^{2}

thành

k x^{2}

với

k

tuỳ ý, kết quả luôn có dạng

- 4 k x^{5} - k x^{4} + 3 k x^{3} + 7 k x^{2}

— mọi hệ số của tích đều tỉ lệ với

k

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng 1★★Trang 37— Rút gọn đa thức chứa nhiều tích đơn thức với đa thức rồi tính giá trị

Vận dụng 1 (trang 37).
a) Rút gọn biểu thức

P (x) = 7 x^{2} (x^{2} - 5 x + 2) - 5 x (x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)

.
b) Tính giá trị của biểu thức

P (x)

khi

x = - \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Muốn tính giá trị của đa thức tại một điểm, có thể thay số vào đa thức đã rút gọn (ít hạng tử hơn nên tính nhanh hơn) hoặc thay trực tiếp vào biểu thức ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là bài toán rút gọn quen thuộc: nhân từng đơn thức với đa thức tương ứng rồi cộng trừ các kết quả. Ý b) tiếp nối, gợi ý dùng ngay kết quả rút gọn ở ý a) để tính giá trị nhanh hơn thay vì thế trực tiếp vào biểu thức cồng kềnh ban đầu. Bẫy ở dấu trừ đứng trước cả cụm

5 x (x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)

: phải đổi dấu toàn bộ ba hạng tử bên trong khi bỏ ngoặc.

1Cách 1. Rút gọn bằng phân phối rồi thế giá trị vào đa thức đã rút gọn

Định hướng. Nhân $7 x^{2}$ với $(x^{2} - 5 x + 2)$ , nhân $- 5 x$ với $(x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)$ , cộng lại và thu gọn trước khi thay $x = - \frac{1}{2}$ .

P (x) = 7 x^{2} (x^{2} - 5 x + 2) - 5 x (x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)

= 7 x^{4} - 35 x^{3} + 14 x^{2} - 5 x^{4} + 35 x^{3} - 15 x^{2}

= (7 x^{4} - 5 x^{4}) + (- 35 x^{3} + 35 x^{3}) + (14 x^{2} - 15 x^{2})

= 2 x^{4} - x^{2}

P (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- \frac{1}{2})^{4} - (- \frac{1}{2})^{2}

= 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4}

= \frac{1}{8} - \frac{1}{4}

= \frac{1}{8} - \frac{2}{8}

= - \frac{1}{8}

Vậy $P (x) = 2 x^{4} - x^{2}$ và $P (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột để rút gọn, rồi thế giá trị

Định hướng. Đặt tính nhân $7 x^{2}$ với $(x^{2} - 5 x + 2)$ và $- 5 x$ với $(x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)$ theo cột, cộng hai kết quả rồi thay $x = - \frac{1}{2}$ .

7 x^{2} (x^{2} - 5 x + 2) : x^{2} - 5 x + 2 \times 7 x^{2} 7 x^{4} - 35 x^{3} + 14 x^{2}

- 5 x (x^{3} - 7 x^{2} + 3 x) : x^{3} - 7 x^{2} + 3 x \times - 5 x - 5 x^{4} + 35 x^{3} - 15 x^{2}

P (x) = (7 x^{4} - 35 x^{3} + 14 x^{2}) + (- 5 x^{4} + 35 x^{3} - 15 x^{2}) = 2 x^{4} - x^{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P (x) = 2 x^{4} - x^{2}$ ; thay $x = - \frac{1}{2}$ cũng được $P (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}$ .

3Cách 3. Thế trực tiếp

x = - \frac{1}{2}

vào biểu thức ban đầu (chưa rút gọn)

Định hướng. Không rút gọn $P (x)$ trước, thay ngay $x = - \frac{1}{2}$ vào từng đơn thức và đa thức trong biểu thức gốc để tính giá trị bằng số.

P (- \frac{1}{2}) = 7 (- \frac{1}{2})^{2} [(- \frac{1}{2})^{2} - 5 (- \frac{1}{2}) + 2] - 5 (- \frac{1}{2}) [(- \frac{1}{2})^{3} - 7 (- \frac{1}{2})^{2} + 3 (- \frac{1}{2})]

= \frac{7}{4} (\frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 2) + \frac{5}{2} (- \frac{1}{8} - \frac{7}{4} - \frac{3}{2})

= \frac{7}{4} \cdot \frac{19}{4} + \frac{5}{2} \cdot (- \frac{27}{8})

= \frac{133}{16} - \frac{135}{16}

= - \frac{1}{8}

Vậy $P (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}$ , đúng bằng kết quả tính từ đa thức đã rút gọn ở Cách 1, Cách 2 — nhưng cách này không cho biết dạng rút gọn của $P (x)$ nên vẫn phải làm ý a) riêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm ý a) theo Cách 1 (phân phối rồi rút gọn) để có

P (x) = 2 x^{4} - x^{2}

, sau đó dùng ngay đa thức này thế

x = - \frac{1}{2}

cho ý b) — nhanh và ít khả năng sai hơn hẳn Cách 3 (thế trực tiếp vào biểu thức cồng kềnh ban đầu).

Đáp số. a)

P (x) = 2 x^{4} - x^{2}

; b)

P (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất ở ý a): quên đổi dấu khi bỏ ngoặc cụm

- 5 x (x^{3} - 7 x^{2} + 3 x)

, viết nhầm thành

- 5 x^{4} + 35 x^{3} + 15 x^{2}

(sai dấu hạng tử cuối) thay vì đúng

- 5 x^{4} + 35 x^{3} - 15 x^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu tính

P (x)

tại

x = \frac{1}{2}

(đổi dấu) thì

P (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{8}

— bằng đúng

P (- \frac{1}{2})

, vì

P (x) = 2 x^{4} - x^{2}

chỉ chứa luỹ thừa chẵn của

x

nên là hàm chẵn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Thử thách nhỏ★★★Trang 37— Rút gọn biểu thức chứa tích đơn thức với đa thức, kết quả triệt tiêu hoàn toàn

Thử thách nhỏ (trang 37). Rút gọn biểu thức

x^{3} (x + 2) - x (x^{3} + 2^{3}) - 2 x (x^{2} - 2^{2})

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Phải tính giá trị các luỹ thừa số cụ thể ( $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ ) trước khi nhân, không giữ nguyên dạng luỹ thừa của số.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có ba cụm nhân đơn thức với đa thức cộng/trừ nhau — nhìn qua giống hệt dạng luyện tập, nhưng các số hạng như

2^{3} = 8

và

2^{2} = 4

là gợi ý cần tính giá trị số trước khi nhân, không được để nguyên dạng luỹ thừa. Bẫy lớn nhất là dự đoán sai: kết quả rút gọn triệt tiêu hoàn toàn về

0

, nên nếu ra một đa thức khác

0

thì chắc chắn có chỗ tính sai.

1Cách 1. Phân phối đầy đủ từng cụm rồi cộng trừ theo bậc

Định hướng. Tính $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ trước, nhân từng đơn thức với đa thức tương ứng, rồi nhóm các hạng tử cùng bậc.

x^{3} (x + 2) - x (x^{3} + 2^{3}) - 2 x (x^{2} - 2^{2})

= x^{3} (x + 2) - x (x^{3} + 8) - 2 x (x^{2} - 4)

= x^{4} + 2 x^{3} - x^{4} - 8 x - 2 x^{3} + 8 x

= (x^{4} - x^{4}) + (2 x^{3} - 2 x^{3}) + (- 8 x + 8 x)

= 0

Vậy biểu thức rút gọn bằng $0$ với mọi $x$ .

2Cách 2. Nhóm khéo theo từng cặp hạng tử ngay khi vừa nhân

Định hướng. Nhận xét $x^{3} (x + 2)$ và $- x (x^{3} + 8)$ đều chứa $x^{4}$ và $2 x^{3}$ ; nhóm ngay hai cụm này trước, rồi mới cộng cụm thứ ba, không cần viết hết cả sáu hạng tử rồi mới nhóm.

x^{3} (x + 2) - x (x^{3} + 8) = x^{4} + 2 x^{3} - x^{4} - 8 x = 2 x^{3} - 8 x

2 x^{3} - 8 x - 2 x (x^{2} - 4) = 2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3} + 8 x = 0

Vậy kết quả trùng Cách 1: biểu thức bằng $0$ .

3Cách 3. Thay hai giá trị

x

cụ thể để kiểm tra

Định hướng. Thay $x = 1$ và $x = 3$ vào biểu thức gốc; nếu cả hai lần đều ra $0$ thì củng cố thêm cho kết quả rút gọn ở Cách 1 và Cách 2.

Với

x = 1

1^{3} (1 + 2) - 1 (1^{3} + 8) - 2 \cdot 1 (1^{2} - 4) = 3 - 9 + 6 = 0

Với

x = 3

3^{3} (3 + 2) - 3 (3^{3} + 8) - 2 \cdot 3 (3^{2} - 4) = 135 - 105 - 30 = 0

Vậy cả hai giá trị thử đều cho kết quả $0$ , khớp với Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhóm khéo theo từng cặp ngay khi vừa nhân giúp phát hiện sớm sự triệt tiêu, không cần viết hết sáu hạng tử rồi mới rà soát.

Đáp số. Biểu thức rút gọn bằng

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên tính

2^{3} = 8

và

2^{2} = 4

trước, giữ nguyên

x (x^{3} + 2^{3})

rồi nhân nhầm

x \cdot 2^{3}

thành

2^{3} x

với số mũ sai, hoặc bỏ sót không nhân đơn thức với hạng tử là số.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: thay

2

bởi số

a

bất kì, biểu thức

x^{3} (x + a) - x (x^{3} + a^{3}) - a x (x^{2} - a^{2})

khai triển vẫn luôn triệt tiêu về

0

với mọi

x

— kết quả không phụ thuộc vào việc chọn

a = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 37— Nhân đa thức với đa thức bằng cách nhân từng hạng tử

HĐ3 (trang 37). Tính

(2 x - 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 1)

bằng cách thực hiện các bước sau:
Bước 1. Nhân

2 x

với đa thức

x^{2} - 5 x + 1

.
Bước 2. Nhân

- 3

với đa thức

x^{2} - 5 x + 1

.
Bước 3. Cộng các đa thức thu được ở hai bước trên và thu gọn.
Kết quả thu được là tích của đa thức

2 x - 3

với đa thức

x^{2} - 5 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Khi nhân với một số âm, phải đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định đúng ba bước cụ thể — dấu hiệu để làm theo quy tắc mở đầu của mục 'Nhân đa thức với đa thức': nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai rồi cộng lại. Bẫy nằm ở bước nhân với

- 3

: hạng tử này mang dấu âm, khi nhân với cả ba hạng tử của

x^{2} - 5 x + 1

phải đổi dấu cả ba tích.

1Cách 1. Thực hiện đúng ba bước đề nêu

Định hướng. Nhân riêng $2 x$ và $- 3$ với $x^{2} - 5 x + 1$ , rồi cộng hai kết quả và thu gọn.

2 x \cdot (x^{2} - 5 x + 1) = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 2 x

- 3 \cdot (x^{2} - 5 x + 1) = - 3 x^{2} + 15 x - 3

(2 x - 3) (x^{2} - 5 x + 1) = (2 x^{3} - 10 x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 15 x - 3)

= 2 x^{3} + (- 10 x^{2} - 3 x^{2}) + (2 x + 15 x) - 3

= 2 x^{3} - 13 x^{2} + 17 x - 3

Vậy $(2 x - 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 1) = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 17 x - 3$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết $x^{2} - 5 x + 1$ ở dòng trên, nhân lần lượt với $- 3$ rồi với $2 x$ (từ bậc thấp đến bậc cao), cộng theo cột.

x^{2} - 5 x + 1 \times 2 x - 3 - 3 x^{2} + 15 x - 3 2 x^{3} - 10 x^{2} + 2 x 2 x^{3} - 13 x^{2} + 17 x - 3

Vậy kết quả trùng Cách 1: $(2 x - 3) \cdot (x^{2} - 5 x + 1) = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 17 x - 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi mới làm quen quy tắc: tách rõ từng bước nhân với

2 x

và

- 3

giúp không bỏ sót hạng tử nào.

Đáp số.

2 x^{3} - 13 x^{2} + 17 x - 3

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất khi nhân

- 3

với

x^{2} - 5 x + 1

: quên đổi dấu khi nhân

- 3

với

- 5 x

, viết nhầm

- 3 \cdot (- 5 x) = - 15 x

thay vì đúng

+ 15 x

🚀 Mở rộng. Ba bước của HĐ3 chính là minh hoạ trực tiếp cho quy tắc tổng quát: nhân đa thức

2 x - 3

(hai hạng tử) với đa thức

x^{2} - 5 x + 1

(ba hạng tử) cho đúng

2 \times 3 = 6

tích thành phần trước khi cộng gộp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 38— Nhân đa thức với đa thức, trình bày theo hai cách

Luyện tập 2 (trang 38). Tính

(x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (3 x - 2)

. Trình bày lời giải theo hai cách.

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Đặt tính nhân: nhân lần lượt mỗi hạng tử ở dòng dưới với cả đa thức ở dòng trên, các hạng tử cùng bậc viết thẳng cột.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng 'hai cách' — bám sát Ví dụ 2 và phần Chú ý vừa học: nhân theo tính chất phân phối (viết một mạch) và đặt tính nhân theo cột. Đa thức

x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

có bốn hạng tử nhân với hai hạng tử của

3 x - 2

nên có tới tám tích thành phần, cần nhóm cẩn thận theo đúng bậc để không bỏ sót.

1Cách 1. Phân phối trực tiếp

Định hướng. Nhân từng hạng tử của $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ với $3 x$ rồi với $- 2$ , sau đó nhóm theo bậc.

(x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (3 x - 2)

= x^{3} \cdot 3 x + x^{3} \cdot (- 2) - 2 x^{2} \cdot 3 x - 2 x^{2} \cdot (- 2) + x \cdot 3 x + x \cdot (- 2) - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot (- 2)

= 3 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2

= 3 x^{4} + (- 2 x^{3} - 6 x^{3}) + (4 x^{2} + 3 x^{2}) + (- 2 x - 3 x) + 2

= 3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2

Vậy $(x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (3 x - 2) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ ở dòng trên, nhân lần lượt với $- 2$ rồi với $3 x$ , cộng theo cột.

x^{3} - 2 x^{2} + x - 1 \times 3 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 2 3 x^{4} - 6 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x 3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2

Vậy kết quả trùng Cách 1: $3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt tính) khi cả hai đa thức đều có từ ba hạng tử trở lên như bài này, vì cột thẳng hàng giúp cộng cuối cùng chính xác hơn, khó bỏ sót hạng tử.

Đáp số.

3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: nhân thiếu một trong tám tích thành phần (thường bỏ sót

- 1 \cdot 3 x = - 3 x

hoặc

- 1 \cdot (- 2) = 2

), hoặc cộng nhầm hai hạng tử bậc 3 là

- 2 x^{3}

và

- 6 x^{3}

thành

- 4 x^{3}

thay vì đúng

- 8 x^{3}

🚀 Mở rộng. Đổi thứ tự nhân thành

(3 x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)

(theo tính chất giao hoán) cho đúng cùng kết quả

3 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x + 2

, dùng để kiểm tra chéo nhanh bằng cách nhân theo chiều ngược lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng 2★★★Trang 38— Rút gọn biểu thức chứa nhân tử chung là một đa thức

Vận dụng 2 (trang 38). Rút gọn biểu thức

(x - 2) (2 x^{3} - x^{2} + 1) + (x - 2) x^{2} (1 - 2 x)

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ với $A$ là nhân tử chung.
Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số hạng của biểu thức đều chứa chung nhân tử

(x - 2)

— dấu hiệu để đặt nhân tử chung ra ngoài thay vì khai triển toàn bộ rồi mới rút gọn, giúp bài toán ngắn gọn hơn nhiều. Bẫy ở số hạng thứ hai: phải nhân

x^{2}

với cả hai hạng tử của

(1 - 2 x)

trước khi cộng vào trong ngoặc cùng

(2 x^{3} - x^{2} + 1)

1Cách 1. Khai triển toàn bộ hai số hạng rồi thu gọn

Định hướng. Nhân $(x - 2)$ với $(2 x^{3} - x^{2} + 1)$ , nhân $(x - 2) x^{2}$ với $(1 - 2 x)$ , rồi cộng và nhóm hạng tử cùng bậc.

(x - 2) (2 x^{3} - x^{2} + 1) = 2 x^{4} - x^{3} + x - 4 x^{3} + 2 x^{2} - 2 = 2 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2

(x - 2) x^{2} (1 - 2 x) = (x^{3} - 2 x^{2}) (1 - 2 x) = x^{3} - 2 x^{4} - 2 x^{2} + 4 x^{3} = - 2 x^{4} + 5 x^{3} - 2 x^{2}

(x - 2) (2 x^{3} - x^{2} + 1) + (x - 2) x^{2} (1 - 2 x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2) + (- 2 x^{4} + 5 x^{3} - 2 x^{2}) = x - 2

Vậy biểu thức rút gọn bằng $x - 2$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

(x - 2)

ra ngoài trước

Định hướng. Cả hai số hạng đều có nhân tử $(x - 2)$ , đặt ra ngoài rồi rút gọn phần bên trong ngoặc — tính toán ngắn hơn hẳn Cách 1.

(x - 2) (2 x^{3} - x^{2} + 1) + (x - 2) x^{2} (1 - 2 x)

= (x - 2) [(2 x^{3} - x^{2} + 1) + x^{2} (1 - 2 x)]

= (x - 2) [2 x^{3} - x^{2} + 1 + x^{2} - 2 x^{3}]

= (x - 2) \cdot 1

= x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1: biểu thức bằng $x - 2$ .

3Cách 3. Thay hai giá trị

x

cụ thể để kiểm tra

Định hướng. Thay $x = 0$ và $x = 1$ vào biểu thức gốc, so sánh với giá trị của $x - 2$ tại hai điểm đó.

Với

x = 0

(0 - 2) (0 - 0 + 1) + (0 - 2) \cdot 0 \cdot (1 - 0) = - 2 + 0 = - 2

, và

0 - 2 = - 2

— khớp.
Với

x = 1

(1 - 2) (2 - 1 + 1) + (1 - 2) \cdot 1 \cdot (1 - 2) = (- 1) (2) + (- 1) (- 1) = - 2 + 1 = - 1

, và

1 - 2 = - 1

— khớp.

Vậy cả hai giá trị thử đều khớp $x - 2$ , củng cố thêm cho Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt nhân tử chung

(x - 2)

ra ngoài trước rồi rút gọn phần bên trong chỉ còn một hạng tử, ngắn hơn hẳn và khó sai dấu hơn Cách 1.

Đáp số.

x - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: ở Cách 1, khi nhân

(x - 2) x^{2}

với

(1 - 2 x)

nhiều em chỉ nhân

x^{2}

với một trong hai hạng tử của

(1 - 2 x)

rồi quên hạng tử còn lại, dẫn tới thiếu số hạng khi cộng vào

(x - 2) (2 x^{3} - x^{2} + 1)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với mọi đa thức

B (x)

C (x)

và nhân tử chung

A (x)

, luôn có

A (x) B (x) + A (x) C (x) = A (x) [B (x) + C (x)]

— nhận ra nhân tử chung trước khi nhân giúp rút gọn nhanh hơn nhiều so với khai triển hết rồi mới nhóm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng 3★★Trang 38— Lập đa thức biểu thị các bước tính rồi rút gọn để suy ra công thức tìm x

Vận dụng 3 (trang 38). Trở lại bài toán đoán tuổi (trang 36): lấy tuổi cộng với

1

rồi bình phương lên được kết quả thứ nhất; lấy tuổi trừ đi

1

rồi bình phương lên được kết quả thứ hai; lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai được kết quả cuối cùng. Để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau:
• Gọi

x

là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến

x

) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai.
• Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng.
Từ đó hãy nêu cách tìm

x

Kiến thức cần nhớ

Bình phương một đa thức $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ chính là trường hợp riêng của nhân đa thức với đa thức khi hai đa thức bằng nhau.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề dẫn lại tình huống mở đầu bài học: lấy tuổi cộng

1

rồi bình phương, lấy tuổi trừ

1

rồi bình phương, rồi trừ hai kết quả — đây là bài toán ứng dụng phép nhân đa thức để giải thích một trò chơi đoán số. Dấu hiệu nhận dạng: cần lập đúng ba đa thức theo thứ tự đề nêu rồi rút gọn hiệu, từ đó suy ngược ra công thức tính

x

theo kết quả cuối cùng mà anh Pi nhận được.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp hai bình phương rồi trừ

Định hướng. Đặt kết quả thứ nhất là $(x + 1)^{2}$ , kết quả thứ hai là $(x - 1)^{2}$ , khai triển từng bình phương bằng nhân đa thức với chính nó rồi trừ.

Kết quả thứ nhất:

(x + 1)^{2} = (x + 1) (x + 1) = x^{2} + x + x + 1 = x^{2} + 2 x + 1

Kết quả thứ hai:

(x - 1)^{2} = (x - 1) (x - 1) = x^{2} - x - x + 1 = x^{2} - 2 x + 1

Kết quả cuối cùng:

(x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 = 4 x

Vậy đa thức biểu thị kết quả cuối cùng là $4 x$ ; từ đó $x =$ kết quả cuối cùng chia cho $4$ .

2Cách 2. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Đặt $a = x + 1$ , $b = x - 1$ thì kết quả cuối cùng là $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ; tính $a - b$ và $a + b$ trước rồi nhân, không cần khai triển riêng từng bình phương.

a - b = (x + 1) - (x - 1) = 2

a + b = (x + 1) + (x - 1) = 2 x

(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = 2 \cdot 2 x = 4 x

Vậy kết quả trùng Cách 1: đa thức biểu thị kết quả cuối cùng là $4 x$ , suy ra $x =$ kết quả cuối cùng chia cho $4$ .

3Cách 3. Thử với một tuổi cụ thể rồi khái quát hoá

Định hướng. Chọn thử $x = 10$ (tuổi cụ thể), tính hai kết quả rồi trừ, so sánh với công thức $4 x$ vừa tìm được.

Kết quả thứ nhất:

(10 + 1)^{2} = 1 1^{2} = 121

Kết quả thứ hai:

(10 - 1)^{2} = 9^{2} = 81

Kết quả cuối cùng:

121 - 81 = 40

, đúng bằng

4 \cdot 10 = 40

Vậy với $x = 10$ kết quả cuối cùng là $40 = 4 x$ , khớp công thức tổng quát ở Cách 1 và Cách 2 — anh Pi chỉ cần lấy kết quả cuối cùng chia cho $4$ là ra tuổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa về hằng đẳng thức

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

với

a - b = 2

luôn không đổi, tính nhanh hơn hẳn khai triển hai bình phương riêng lẻ ở Cách 1.

Đáp số. Đa thức biểu thị kết quả cuối cùng là

4 x

; muốn tìm tuổi

x

, lấy kết quả cuối cùng anh Pi nhận được chia cho

4

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: khai triển sai

(x - 1)^{2}

thành

x^{2} - 1

(quên hạng tử

- 2 x

ở giữa, nhầm với hằng đẳng thức

a^{2} - b^{2}

), dẫn tới kết quả cuối cùng sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi 'cộng với

1

' và 'trừ đi

1

' thành 'cộng với

k

' và 'trừ đi

k

' (

k

tuỳ ý) thì kết quả cuối cùng luôn là

(x + k)^{2} - (x - k)^{2} = 4 k x

— anh Pi chỉ cần chia kết quả cuối cùng cho

4 k

để đoán đúng tuổi trong mọi phiên bản trò chơi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 7.23★Trang 38— Nhân đơn thức với đa thức, hệ số nguyên và hệ số thập phân

Bài 7.23 (trang 38). Thực hiện các phép nhân sau:
a)

6 x^{2} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 4)

;
b)

(- 1, 2 x^{2}) \cdot (2, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1, 5)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Nhân hai số thập phân: nhân bình thường như số nguyên rồi đặt đúng dấu phẩy, dấu của tích theo quy tắc dấu.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều đúng dạng nhân đơn thức với đa thức vừa học. Ý b) có hệ số thập phân nên bẫy nằm ở phép nhân các số thập phân âm, đặc biệt dễ nhầm dấu khi nhân

- 1, 2

với các hệ số âm khác trong đa thức.

1Cách 1. Phân phối trực tiếp

Định hướng. Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích, đặc biệt chú ý dấu ở ý b).

6 x^{2} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 4)

= 6 x^{2} \cdot 2 x^{3} + 6 x^{2} \cdot (- 3 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 5 x + 6 x^{2} \cdot (- 4)

= 12 x^{5} - 18 x^{4} + 30 x^{3} - 24 x^{2}

(- 1, 2 x^{2}) \cdot (2, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1, 5)

= (- 1, 2 x^{2}) \cdot 2, 5 x^{4} + (- 1, 2 x^{2}) \cdot (- 2 x^{3}) + (- 1, 2 x^{2}) \cdot x^{2} + (- 1, 2 x^{2}) \cdot (- 1, 5)

= - 3 x^{6} + 2, 4 x^{5} - 1, 2 x^{4} + 1, 8 x^{2}

Vậy a) $6 x^{2} (2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 4) = 12 x^{5} - 18 x^{4} + 30 x^{3} - 24 x^{2}$ ; b) $(- 1, 2 x^{2}) (2, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1, 5) = - 3 x^{6} + 2, 4 x^{5} - 1, 2 x^{4} + 1, 8 x^{2}$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức ở dòng trên, đơn thức ở dòng dưới, nhân và giữ nguyên vị trí cột theo bậc.

2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 4 \times 6 x^{2} 12 x^{5} - 18 x^{4} + 30 x^{3} - 24 x^{2}

2, 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1, 5 \times - 1, 2 x^{2} - 3 x^{6} + 2, 4 x^{5} - 1, 2 x^{4} + 1, 8 x^{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với ý a) (hệ số nguyên, phân phối nhanh) và Cách 2 với ý b) (hệ số thập phân nhiều số hạng, đặt cột giúp không lệch dấu phẩy).

Đáp số. a)

12 x^{5} - 18 x^{4} + 30 x^{3} - 24 x^{2}

; b)

- 3 x^{6} + 2, 4 x^{5} - 1, 2 x^{4} + 1, 8 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), lỗi hay gặp là nhân

(- 1, 2) \cdot (- 2)

- 2, 4

(quên hai số âm nhân nhau ra số dương), làm hạng tử bậc 5 sai dấu.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số

6

ở ý a) thành

6 k

với

k

tuỳ ý, mọi hệ số của kết quả đều nhân thêm

k

12 k x^{5} - 18 k x^{4} + 30 k x^{3} - 24 k x^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 7.24★★Trang 38— Rút gọn biểu thức chứa nhiều tích đơn thức với đa thức

Bài 7.24 (trang 38). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

4 x^{2} (5 x^{2} + 3) - 6 x (3 x^{3} - 2 x + 1) - 5 x^{3} (2 x - 1)

;
b)

\frac{3}{2} x (x^{2} - \frac{2}{3} x + 2) - \frac{5}{3} x^{2} (x + \frac{6}{5})

Kiến thức cần nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích.
Cộng, trừ các phân số khi thu gọn hệ số của hạng tử cùng bậc.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý gồm nhiều cụm nhân đơn thức với đa thức cộng trừ nhau — dấu hiệu quen thuộc của dạng rút gọn đã gặp ở Thử thách nhỏ và Vận dụng 1, nhưng đề không gợi ý trước kết quả sẽ triệt tiêu hay không. Ý b) có hệ số phân số, bẫy ở việc cộng trừ đúng hệ số của các hạng tử cùng bậc chứ không phải ở phép nhân.

1Cách 1. Phân phối từng cụm rồi cộng trừ theo bậc

Định hướng. Nhân lần lượt từng đơn thức với đa thức tương ứng, giữ nguyên dấu trừ trước mỗi cụm, rồi nhóm các hạng tử cùng bậc.

4 x^{2} (5 x^{2} + 3) - 6 x (3 x^{3} - 2 x + 1) - 5 x^{3} (2 x - 1)

= 20 x^{4} + 12 x^{2} - 18 x^{4} + 12 x^{2} - 6 x - 10 x^{4} + 5 x^{3}

= (20 x^{4} - 18 x^{4} - 10 x^{4}) + 5 x^{3} + (12 x^{2} + 12 x^{2}) - 6 x

= - 8 x^{4} + 5 x^{3} + 24 x^{2} - 6 x

\frac{3}{2} x (x^{2} - \frac{2}{3} x + 2) - \frac{5}{3} x^{2} (x + \frac{6}{5})

= \frac{3}{2} x^{3} - x^{2} + 3 x - \frac{5}{3} x^{3} - 2 x^{2}

= (\frac{3}{2} x^{3} - \frac{5}{3} x^{3}) + (- x^{2} - 2 x^{2}) + 3 x

= - \frac{1}{6} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

Vậy a) $= - 8 x^{4} + 5 x^{3} + 24 x^{2} - 6 x$ ; b) $= - \frac{1}{6} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ .

2Cách 2. Nhân riêng từng cụm rồi đặt tính cộng/trừ theo cột

Định hướng. Nhân riêng từng cụm, rồi cộng các kết quả theo cột dựa trên đúng bậc.

4 x^{2} (5 x^{2} + 3) = 20 x^{4} + 12 x^{2}

;

6 x (3 x^{3} - 2 x + 1) = 18 x^{4} - 12 x^{2} + 6 x

;

5 x^{3} (2 x - 1) = 10 x^{4} - 5 x^{3}

20 x^{4} + 12 x^{2} - 18 x^{4} + 12 x^{2} - 6 x - 10 x^{4} + 5 x^{3} - 8 x^{4} + 5 x^{3} + 24 x^{2} - 6 x

\frac{3}{2} x (x^{2} - \frac{2}{3} x + 2) = \frac{3}{2} x^{3} - x^{2} + 3 x

;

\frac{5}{3} x^{2} (x + \frac{6}{5}) = \frac{5}{3} x^{3} + 2 x^{2}

\frac{3}{2} x^{3} - x^{2} + 3 x - \frac{5}{3} x^{3} + 2 x^{2} - \frac{1}{6} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân phối và nhóm trong một mạch liền nhanh hơn tách riêng từng cụm rồi đặt cột như Cách 2, nhất là khi chỉ có hai hoặc ba cụm.

Đáp số. a)

- 8 x^{4} + 5 x^{3} + 24 x^{2} - 6 x

; b)

- \frac{1}{6} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), lỗi hay gặp là quên dấu trừ đứng trước cả cụm

\frac{5}{3} x^{2} (x + \frac{6}{5})

, chỉ đổi dấu hạng tử đầu mà quên đổi dấu hạng tử

2 x^{2}

, dẫn tới kết quả sai thành

- \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} + 3 x

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra nhanh bằng cách thay

x = 1

: ý a) biểu thức gốc và đa thức rút gọn đều cho

15

; ý b) đều cho

- \frac{1}{6}

— nếu hai bên không khớp thì chắc chắn đã rút gọn sai ở đâu đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 7.25★★Trang 38— Nhân đa thức với đa thức, có ý chứa tích ba nhân tử

Bài 7.25 (trang 38). Thực hiện các phép nhân sau:
a)

(x^{2} - x) \cdot (2 x^{2} - x - 10)

;
b)

(0, 2 x^{2} - 3 x) \cdot 5 (x^{2} - 7 x + 3)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Tính chất kết hợp của phép nhân: $(A \cdot k) \cdot B = A \cdot (k \cdot B)$ , có thể nhân số với một trong hai đa thức trước.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là phép nhân hai đa thức thông thường. Ý b) có ba nhân tử liên tiếp

(0, 2 x^{2} - 3 x)

5

và

(x^{2} - 7 x + 3)

— dấu hiệu nên nhân

5

với một trong hai đa thức trước (làm gọn hệ số) rồi mới nhân đa thức với đa thức, thay vì nhân hai đa thức trước rồi mới nhân với

5

ở cuối.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo đúng thứ tự đề cho

Định hướng. Với ý a), nhân từng hạng tử của $(x^{2} - x)$ với $(2 x^{2} - x - 10)$ ; với ý b), nhân $5$ với $(x^{2} - 7 x + 3)$ trước để được $(5 x^{2} - 35 x + 15)$ rồi nhân với $(0, 2 x^{2} - 3 x)$ .

(x^{2} - x) (2 x^{2} - x - 10)

= x^{2} \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot (- x) + x^{2} \cdot (- 10) - x \cdot 2 x^{2} - x \cdot (- x) - x \cdot (- 10)

= 2 x^{4} - x^{3} - 10 x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} + 10 x

= 2 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 10 x

5 (x^{2} - 7 x + 3) = 5 x^{2} - 35 x + 15

(0, 2 x^{2} - 3 x) (5 x^{2} - 35 x + 15)

= 0, 2 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 0, 2 x^{2} \cdot (- 35 x) + 0, 2 x^{2} \cdot 15 - 3 x \cdot 5 x^{2} - 3 x \cdot (- 35 x) - 3 x \cdot 15

= x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} - 15 x^{3} + 105 x^{2} - 45 x

= x^{4} - 22 x^{3} + 108 x^{2} - 45 x

Vậy a) $= 2 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 10 x$ ; b) $= x^{4} - 22 x^{3} + 108 x^{2} - 45 x$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức ở dòng trên, nhân lần lượt với từng hạng tử ở dòng dưới, cộng theo cột (ý b) vẫn nhân $5$ vào một đa thức trước).

2 x^{2} - x - 10 \times x^{2} - x - 2 x^{3} + x^{2} + 10 x 2 x^{4} - x^{3} - 10 x^{2} 2 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 10 x

5 x^{2} - 35 x + 15 \times 0, 2 x^{2} - 3 x - 15 x^{3} + 105 x^{2} - 45 x x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} x^{4} - 22 x^{3} + 108 x^{2} - 45 x

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: với ý b) nhân số

5

vào một đa thức trước cho hệ số gọn rồi mới nhân hai đa thức, nhanh hơn nhân hai đa thức trước rồi mới nhân với

5

ở bước cuối.

Đáp số. a)

2 x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 10 x

; b)

x^{4} - 22 x^{3} + 108 x^{2} - 45 x

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), lỗi hay gặp là nhân

5

chỉ vào một hạng tử của

(x^{2} - 7 x + 3)

(ví dụ chỉ ra

5 x^{2} - 7 x + 3

) thay vì nhân vào cả ba hạng tử, làm sai toàn bộ các bước sau.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra nhanh bằng

x = 1

: ý a)

2 - 3 - 9 + 10 = 0

, đúng bằng

(1^{2} - 1) (2 - 1 - 10) = 0 \cdot (- 9) = 0

; ý b)

1 - 22 + 108 - 45 = 42

, đúng bằng

(0, 2 - 3) \cdot 5 \cdot (1 - 7 + 3) = (- 2, 8) \cdot 5 \cdot (- 3) = 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 7.26★★Trang 38— Nhân đa thức với đa thức rồi suy luận đổi dấu cho phép nhân tương tự

Bài 7.26 (trang 38).
a) Tính

(x^{2} - 2 x + 5) \cdot (x - 2)

.
b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân

(x^{2} - 2 x + 5) \cdot (2 - x)

. Giải thích cách làm.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $B = - A$ thì với mọi đa thức $C$ : $C \cdot B = C \cdot (- A) = - (C \cdot A)$ .
$2 - x = - (x - 2)$ : đổi dấu một biểu thức bằng cách đổi dấu từng hạng tử bên trong.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là phép nhân đa thức với đa thức bình thường. Ý b) yêu cầu 'suy ra' chứ không tính lại từ đầu — dấu hiệu để nhận ra

2 - x = - (x - 2)

, nên nhân đa thức đã cho với

2 - x

chỉ đơn giản là đổi dấu toàn bộ kết quả của ý a), không cần nhân lại.

1Cách 1. Tính a) bằng phân phối, suy ra b) bằng nhận xét đổi dấu

Định hướng. Nhân trực tiếp $(x^{2} - 2 x + 5)$ với $(x - 2)$ ở ý a); ở ý b), nhận xét $2 - x = - (x - 2)$ nên chỉ cần đổi dấu toàn bộ kết quả ý a).

(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2)

= x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot (- 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot (- 2) + 5 \cdot x + 5 \cdot (- 2)

= x^{3} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x + 5 x - 10

= x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10

b) Vì

2 - x = - (x - 2)

nên

(x^{2} - 2 x + 5) (2 - x) = (x^{2} - 2 x + 5) \cdot [- (x - 2)] = - [(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2)] = - (x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10) = - x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10

Vậy a) $(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10$ ; b) $(x^{2} - 2 x + 5) (2 - x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10$ .

2Cách 2. Tính a) bằng đặt tính cột, suy ra b) bằng cùng lí luận đổi dấu

Định hướng. Đặt tính nhân $(x^{2} - 2 x + 5)$ với $(x - 2)$ theo cột để đối chiếu ý a); ý b) vẫn dùng lí luận $2 - x = - (x - 2)$ như Cách 1.

x^{2} - 2 x + 5 \times x - 2 - 2 x^{2} + 4 x - 10 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10

Vậy kết quả ý a) trùng Cách 1: $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10$ ; suy ra ý b) cũng bằng $- x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10$ như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra ý b) bằng cách nhân trực tiếp, không dùng suy luận đổi dấu

Định hướng. Nhân trực tiếp đa thức $(x^{2} - 2 x + 5)$ với $(2 - x)$ theo đúng quy tắc, để kiểm chứng độc lập kết quả suy luận ở Cách 1 và Cách 2.

(x^{2} - 2 x + 5) (2 - x)

= x^{2} \cdot 2 + x^{2} \cdot (- x) - 2 x \cdot 2 - 2 x \cdot (- x) + 5 \cdot 2 + 5 \cdot (- x)

= 2 x^{2} - x^{3} - 4 x + 2 x^{2} + 10 - 5 x

= - x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10

Vậy kết quả trùng hai cách trên: $(x^{2} - 2 x + 5) (2 - x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10$ , xác nhận cách suy luận đổi dấu ở Cách 1 là đúng và nhanh hơn nhiều so với nhân lại từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm ý b) theo cách suy luận của Cách 1/Cách 2 (đổi dấu toàn bộ kết quả ý a) vì

2 - x = - (x - 2)

), không cần nhân lại từ đầu như Cách 3 — đúng tinh thần 'từ đó suy ra' mà đề yêu cầu.

Đáp số. a)

x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10

; b)

(x^{2} - 2 x + 5) (2 - x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 9 x + 10

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp ở ý b): quên đổi dấu, viết nhầm kết quả bằng đúng kết quả ý a) là

x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10

; cũng có em chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên mà không đổi dấu cả ba hạng tử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với mọi đa thức

A

B

A \cdot (- B) = - (A \cdot B)

— đây là quy tắc dùng suy ra ngay kết quả của phép nhân với đa thức đối mà không cần nhân lại, áp dụng được cho mọi cặp đa thức chứ không riêng bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 7.27★★Trang 38— Lập đa thức thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước

Bài 7.27 (trang 38). Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là

x

;

x + 1

;

x - 1

(cm) với

x > 1

. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm

^{3}

) của hình hộp chữ nhật đó.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước: $V = a \cdot b \cdot c$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba kích thước dưới dạng biểu thức chứa

x

, gợi nhớ công thức thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước — đây là bài toán thực tế áp dụng phép nhân đa thức với đa thức (và cả nhân đơn thức với đa thức ở bước cuối). Dấu hiệu đặc biệt: hai kích thước

x + 1

và

x - 1

là một cặp tổng — hiệu, gợi ý dùng hằng đẳng thức thay vì nhân trực tiếp.

1Cách 1. Nhân tuần tự theo đúng thứ tự ba kích thước đề cho

Định hướng. Nhân $x$ với $(x + 1)$ trước, rồi nhân kết quả với $(x - 1)$ .

V = x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)

x (x + 1) = x^{2} + x

V = (x^{2} + x) (x - 1) = x^{3} - x^{2} + x^{2} - x = x^{3} - x

Vậy $V = x^{3} - x$ (cm $^{3}$ ).

2Cách 2. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với cặp

(x + 1)

(x - 1)

Định hướng. Nhân $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ bằng hằng đẳng thức trước (nhanh hơn nhân trực tiếp), rồi mới nhân với $x$ .

(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1

V = x \cdot (x^{2} - 1) = x^{3} - x

Vậy kết quả trùng Cách 1: $V = x^{3} - x$ (cm $^{3}$ ).

3Cách 3. Thay một giá trị

x > 1

cụ thể để kiểm tra

Định hướng. Chọn $x = 2$ (thoả $x > 1$ ), tính thể tích trực tiếp bằng số rồi so sánh với công thức $V = x^{3} - x$ .

Ba kích thước khi

x = 2

2

3

1

(cm)

V = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6

(cm

^{3}

)
Theo công thức:

V = 2^{3} - 2 = 8 - 2 = 6

(cm

^{3}

)

Vậy hai cách tính đều cho $V = 6$ (cm $^{3}$ ) khi $x = 2$ , khớp với công thức $V = x^{3} - x$ ở Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân cặp

(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1

bằng hằng đẳng thức trước, ít bước tính hơn và khó sai dấu hơn nhân trực tiếp ở Cách 1.

Đáp số.

V = x^{3} - x

(cm

^{3}

), với

x > 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên điều kiện

x > 1

khi kết luận (nếu

x \leq 1

thì kích thước

x - 1 \leq 0

, không còn là hình hộp thật); cũng có em nhân sai

(x + 1) (x - 1)

thành

x^{2} + 1

thay vì đúng

x^{2} - 1

🚀 Mở rộng. Nếu đổi kích thước thứ ba thành

x - k

với

0 < k < x

bất kì, thể tích tổng quát là

V = x (x + 1) (x - k) = x^{3} + (1 - k) x^{2} - k x

— khi

k = 1

đúng bằng

x^{3} - x

như bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 7.28★★★Trang 38— Nhân hai đa thức bậc cao, kết quả nhiều hạng tử

Bài 7.28 (trang 38). Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:
a)

5 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 4

và

x^{3} + 3 x^{2} - 5

;
b)

- 2, 5 x^{4} + 0, 5 x^{2} + 1

và

4 x^{3} - 2 x + 6

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Đa thức bậc $m$ nhân đa thức bậc $n$ cho đa thức tích có bậc cao nhất là $m + n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều là tích hai đa thức có từ ba hạng tử trở lên, số hạng tử sau khi nhân đầy đủ (chưa rút gọn) lên tới 12 hoặc 9 — dấu hiệu của bài rèn kĩ năng làm việc cẩn thận, dễ sai sót nhất trong cả bài học. Cần nhóm đúng theo bậc từ cao xuống thấp và không được bỏ sót hạng tử nào khi nhân đủ mọi cặp hạng tử.

1Cách 1. Nhân phân phối đầy đủ rồi nhóm theo bậc

Định hướng. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai, viết đủ mọi tích thành phần rồi mới nhóm theo bậc giảm dần.

(5 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 4) (x^{3} + 3 x^{2} - 5)

= 5 x^{6} + 15 x^{5} - 25 x^{3} - 2 x^{5} - 6 x^{4} + 10 x^{2} + 4 x^{4} + 12 x^{3} - 20 x - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 20

= 5 x^{6} + (15 x^{5} - 2 x^{5}) + (- 6 x^{4} + 4 x^{4}) + (- 25 x^{3} + 12 x^{3} - 4 x^{3}) + (10 x^{2} - 12 x^{2}) - 20 x + 20

= 5 x^{6} + 13 x^{5} - 2 x^{4} - 17 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 20

(- 2, 5 x^{4} + 0, 5 x^{2} + 1) (4 x^{3} - 2 x + 6)

= - 10 x^{7} + 5 x^{5} - 15 x^{4} + 2 x^{5} - x^{3} + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x + 6

= - 10 x^{7} + (5 x^{5} + 2 x^{5}) - 15 x^{4} + (- x^{3} + 4 x^{3}) + 3 x^{2} - 2 x + 6

= - 10 x^{7} + 7 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6

Vậy a) $= 5 x^{6} + 13 x^{5} - 2 x^{4} - 17 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 20$ ; b) $= - 10 x^{7} + 7 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6$ .

2Cách 2. Đặt tính nhân theo cột

Định hướng. Viết đa thức bậc cao hơn ở dòng trên, nhân lần lượt từng hạng tử ở dòng dưới (từ bậc thấp đến bậc cao) rồi cộng theo cột.

5 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 4 \times x^{3} + 3 x^{2} - 5 - 25 x^{3} + 10 x^{2} - 20 x + 20 15 x^{5} - 6 x^{4} + 12 x^{3} - 12 x^{2} 5 x^{6} - 2 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{3} 5 x^{6} + 13 x^{5} - 2 x^{4} - 17 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 20

- 2, 5 x^{4} + 0, 5 x^{2} + 1 \times 4 x^{3} - 2 x + 6 - 15 x^{4} + 3 x^{2} + 6 5 x^{5} - x^{3} - 2 x - 10 x^{7} + 2 x^{5} + 4 x^{3} - 10 x^{7} + 7 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt tính cột) cho những tích đa thức nhiều hạng tử như bài này: mỗi dòng ứng với một hạng tử của đa thức dưới giúp không bỏ sót cặp nhân nào, dễ rà soát hơn viết một mạch nhiều số hạng như Cách 1.

Đáp số. a)

5 x^{6} + 13 x^{5} - 2 x^{4} - 17 x^{3} - 2 x^{2} - 20 x + 20

; b)

- 10 x^{7} + 7 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là bỏ sót một trong các tích thành phần khi có nhiều hạng tử (thường quên nhân hạng tử cuối của đa thức này với hạng tử cuối của đa thức kia), hoặc cộng nhầm hai hạng tử cùng bậc do viết không thẳng cột.

🚀 Mở rộng. Kiểm tra nhanh bằng

x = 1

: ý a) đa thức gốc và kết quả đều cho

(5 - 2 + 4 - 4) (1 + 3 - 5) = 3 \cdot (- 1) = - 3

, còn

5 + 13 - 2 - 17 - 2 - 20 + 20 = - 3

— khớp; kiểm tra tương tự với ý b) giúp phát hiện sớm nếu tính sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 7.29★★★Trang 38— Lập đa thức diện tích hình chữ nhật từ bài toán đếm cọc thực tế

Bài 7.29 (trang 38). Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau

0, 1

m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là

20

chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là

x

. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Kiến thức cần nhớ

Trên một đoạn có $n$ cọc cắm cách đều liên tiếp thì chỉ có $n - 1$ khoảng cách giữa các cọc.
Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho trực tiếp chiều dài, chiều rộng mà cho số cọc và khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp — dấu hiệu cần đổi từ 'số cọc' sang 'số khoảng cách' trước (ít hơn số cọc đúng

1

đơn vị vì cọc ở hai đầu), rồi mới nhân với

0, 1

m để ra chiều dài thật. Bẫy lớn nhất: chiều rộng có

x

cọc nhưng chỉ có

x - 1

khoảng cách

0, 1

m; chiều dài có

x + 20

cọc nên có

x + 19

khoảng cách.

1Cách 1. Lập biểu thức chiều dài, chiều rộng rồi nhân phân phối

Định hướng. Số khoảng cách chiều rộng là $x - 1$ nên chiều rộng $= 0, 1 (x - 1)$ m; số cọc chiều dài là $x + 20$ nên số khoảng cách là $x + 19$ , chiều dài $= 0, 1 (x + 19)$ m; nhân hai biểu thức này.

Chiều rộng:

0, 1 (x - 1)

(m); Chiều dài:

0, 1 (x + 19)

(m)

S = 0, 1 (x - 1) \cdot 0, 1 (x + 19)

= 0, 01 (x - 1) (x + 19)

= 0, 01 (x^{2} + 19 x - x - 19)

= 0, 01 (x^{2} + 18 x - 19)

= 0, 01 x^{2} + 0, 18 x - 0, 19

Vậy đa thức biểu thị diện tích là $S = 0, 01 x^{2} + 0, 18 x - 0, 19$ (m $^{2}$ ).

2Cách 2. Dùng công thức nhanh

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

Định hướng. Nhận ra $(x - 1) (x + 19)$ có dạng $(x + a) (x + b)$ với $a = - 1$ , $b = 19$ , dùng ngay công thức tổng — tích hệ số để viết kết quả trong một dòng, không cần phân phối từng bước.

(x - 1) (x + 19) = x^{2} + (- 1 + 19) x + (- 1) \cdot 19 = x^{2} + 18 x - 19

S = 0, 01 (x^{2} + 18 x - 19) = 0, 01 x^{2} + 0, 18 x - 0, 19

Vậy kết quả trùng Cách 1: $S = 0, 01 x^{2} + 0, 18 x - 0, 19$ (m $^{2}$ ).

3Cách 3. Thay một giá trị

x

cụ thể để kiểm tra bằng số đo thực tế

Định hướng. Chọn $x = 5$ (chiều rộng có $5$ cọc), tính diện tích trực tiếp bằng số rồi so sánh với công thức tổng quát.

Với

x = 5

: chiều rộng

= 0, 1 \cdot (5 - 1) = 0, 4

(m), số cọc chiều dài

= 5 + 20 = 25

nên chiều dài

= 0, 1 \cdot (25 - 1) = 2, 4

(m)

S = 0, 4 \cdot 2, 4 = 0, 96

^{2}

)
Theo công thức:

S = 0, 01 \cdot 5^{2} + 0, 18 \cdot 5 - 0, 19 = 0, 25 + 0, 9 - 0, 19 = 0, 96

^{2}

)

Vậy hai cách tính đều cho $S = 0, 96$ (m $^{2}$ ) khi $x = 5$ , khớp với công thức ở Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay dạng

(x + a) (x + b)

rồi áp công thức tổng — tích hệ số, nhanh hơn phân phối từng bước như Cách 1.

Đáp số.

S = 0, 01 x^{2} + 0, 18 x - 0, 19

^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất: nhầm số cọc với số khoảng cách, lấy luôn chiều rộng

= 0, 1 x

và chiều dài

= 0, 1 (x + 20)

(quên trừ

1

ở mỗi cạnh vì cọc ở hai đầu không tạo thêm khoảng cách), dẫn tới công thức diện tích sai.

🚀 Mở rộng. Nếu khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp là

d

mét (thay cho

0, 1

m) thì diện tích tổng quát là

S = d^{2} (x - 1) (x + 19) = d^{2} x^{2} + 18 d^{2} x - 19 d^{2}

— khi

d = 0, 1

đúng bằng công thức của bài này.

Mở bài này trong app ↗