Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28. Phép chia đa thức một biến

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.25★★Trang 34— Tìm số mũ để đơn thức chia hết cả ba hạng tử của một đa thức

Tìm số tự nhiên

n

sao cho đa thức

1, 2 x^{5} - 3 x^{4} + 3, 7 x^{2}

chia hết cho

x^{n}

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức $a x^{m}$ chia hết cho $x^{n}$ khi và chỉ khi $m \geq n$ ( $m, n \in N$ ).
Đa thức chia hết cho đơn thức $x^{n}$ khi và chỉ khi TẤT CẢ các hạng tử của đa thức đều chia hết cho $x^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu

x^{n}

chia hết được TẤT CẢ ba hạng tử của đa thức — dấu hiệu cần tìm điều kiện chung cho

n

dựa trên bậc THẤP NHẤT trong ba hạng tử (

5, 4, 2

). Hướng làm là xét từng hạng tử:

a x^{m}

chia hết cho

x^{n}

khi

m \geq n

, rồi lấy giao của ba điều kiện. Bẫy là chỉ xét hạng tử bậc cao nhất (

x^{5}

) mà quên hạng tử bậc thấp nhất (

x^{2}

) mới là điều kiện quyết định.

1Cách 1. Xét điều kiện

n

cho từng hạng tử rồi lấy giao

Định hướng. Xét riêng điều kiện của $n$ để mỗi hạng tử $1, 2 x^{5}$ , $- 3 x^{4}$ , $3, 7 x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$ , rồi tìm $n$ thoả mãn cả ba.

1, 2 x^{5}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 5

- 3 x^{4}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 4

3, 7 x^{2}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 2

Cả ba điều kiện đồng thời đúng khi

n \leq 2

Vậy $n \in {0; 1; 2}$ , tức $n \leq 2$ .

2Cách 2. Xét trực tiếp hạng tử có bậc thấp nhất

Định hướng. Vì $x^{n}$ phải chia hết cả ba hạng tử, hạng tử có bậc THẤP NHẤT ( $3, 7 x^{2}$ , bậc $2$ ) chính là điều kiện chặt nhất, quyết định giá trị lớn nhất có thể của $n$ .

Hạng tử bậc thấp nhất trong đa thức là

3, 7 x^{2}

(bậc

2

)
Muốn

x^{n}

chia hết hạng tử này thì

n \leq 2

Khi

n \leq 2

thì chắc chắn

n \leq 4

và

n \leq 5

cũng đúng, nên hai hạng tử còn lại tự động chia hết

Vậy kết quả trùng Cách 1: $n \leq 2$ (tức $n \in {0; 1; 2}$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhìn hạng tử có số mũ nhỏ nhất trong đa thức là ra ngay điều kiện, không cần xét đủ ba hạng tử như Cách 1.

Đáp số.

n \in {0; 1; 2}

(tức

n \leq 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: chỉ xét hạng tử bậc cao nhất

1, 2 x^{5}

rồi kết luận sai

n \leq 5

, quên rằng

x^{n}

phải chia hết CẢ BA hạng tử chứ không riêng hạng tử nào.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đa thức

A

chia hết cho

x^{n}

khi và chỉ khi

n

không vượt quá bậc nhỏ nhất trong các hạng tử khác

0

của

A

— đây cũng chính là ý bài 7.33 trong SGK.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.26★★Trang 34— Chia đa thức cho đơn thức, ba mức hệ số khác nhau

Thực hiện các phép chia sau:
a)

(- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}) : (- 2 x^{2})

;
b)

(0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x) : 0, 5 x

;
c)

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1) : \frac{1}{3} x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương.
Một đa thức chia cho đơn thức $b x^{n}$ chỉ cho kết quả là đa thức khi mọi hạng tử đều có bậc $\geq n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đều là đa thức chia cho đơn thức, áp dụng cách chia từng hạng tử. Câu a), b) mọi hạng tử đều có bậc

\geq

bậc đơn thức chia nên kết quả là đa thức trọn vẹn. Câu c) có hai hạng tử (

- 3 x

và

1

) bậc nhỏ hơn bậc

2

của

\frac{1}{3} x^{2}

— bẫy chính của bài là nhận ra kết quả câu c) KHÔNG PHẢI là một đa thức (giống ý bài 7.33 trong SGK).

1Cách 1. Chia từng hạng tử

Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia ở cả ba câu, theo dõi số mũ kết quả.

(- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}) : (- 2 x^{2})

= (- 4 x^{5} : (- 2 x^{2})) + (2 x^{3} : (- 2 x^{2})) + (- 2 x^{2} : (- 2 x^{2}))

= 2 x^{3} - x + 1

(0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x) : 0, 5 x

= (0, 5 x^{3} : 0, 5 x) + (- 1, 5 x^{2} : 0, 5 x) + (x : 0, 5 x)

= x^{2} - 3 x + 2

x^{3} : \frac{1}{3} x^{2} = 3 x

;

2 x^{2} : \frac{1}{3} x^{2} = 6

;

- 3 x : \frac{1}{3} x^{2} = - 9 x^{- 1}

;

1 : \frac{1}{3} x^{2} = 3 x^{- 2}

Vậy a) $= 2 x^{3} - x + 1$ ; b) $= x^{2} - 3 x + 2$ ; c) $= 3 x + 6 - \frac{9}{x} + \frac{3}{x ^{2}}$ — KHÔNG PHẢI là một đa thức, vì hai hạng tử cuối có số mũ âm.

2Cách 2. Đặt nhân tử chung (câu a, b) và so bậc trước khi chia (câu c)

Định hướng. Câu a), b) viết đa thức bị chia dưới dạng tích của đơn thức chia với một đa thức khác rồi rút gọn; câu c) so bậc từng hạng tử ( $3, 2, 1, 0$ ) với bậc $2$ của $\frac{1}{3} x^{2}$ trước khi tính.

- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2} = (- 2 x^{2}) (2 x^{3} - x + 1) \Rightarrow

thương

= 2 x^{3} - x + 1

0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x = 0, 5 x (x^{2} - 3 x + 2) \Rightarrow

thương

= x^{2} - 3 x + 2

c) bậc các hạng tử của

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1

là

3, 2, 1, 0

; so với bậc

2

của

\frac{1}{3} x^{2}

: hạng tử

x^{3}

(

3 \geq 2

) và

2 x^{2}

(

2 \geq 2

) chia hết, còn

- 3 x

(bậc

1

, nhỏ hơn

2

) và

1

(bậc

0

, nhỏ hơn

2

) thì KHÔNG

Vậy a), b) trùng kết quả Cách 1; c) dự đoán đúng: chỉ hai hạng tử đầu chia hết, xác nhận kết quả câu c) không phải đa thức.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược (câu a, b)

Định hướng. Nhân thương tìm được ở câu a), b) với đơn thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(2 x^{3} - x + 1) \cdot (- 2 x^{2}) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}

(đúng)
b)

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot 0, 5 x = 0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x

(đúng)

Vậy cả hai kết quả ở câu a), b) đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a), b) dùng Cách 1 (chia từng hạng tử trực tiếp); câu c) dùng Cách 2 (so bậc trước khi chia) để phát hiện ngay kết quả không phải đa thức mà không cần tính hết số liệu.

Đáp số. a)

2 x^{3} - x + 1

; b)

x^{2} - 3 x + 2

; c)

3 x + 6 - \frac{9}{x} + \frac{3}{x ^{2}}

— không phải một đa thức.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu c) vẫn cố ép kết quả về dạng đa thức, bỏ qua hoặc viết sai hai hạng tử có số mũ âm; câu b) quên đổi

1, 5 x^{2} : 0, 5 x

đúng dấu, nhầm thành

+ 3 x

thay vì

- 3 x

🚀 Mở rộng. Câu c) củng cố đúng nhận xét đã gặp ở bài 7.33 SGK: đa thức chỉ chia hết cho đơn thức

b x^{n}

(cho kết quả là đa thức) khi

n

không vượt quá bậc thấp nhất trong các hạng tử của đa thức bị chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.27★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Đặt tính và làm phép chia sau:
a)

(x^{3} - 4 x^{2} - x + 12) : (x - 3)

;
b)

(2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14) : (x^{2} - 2)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu yêu cầu ĐẶT TÍNH CHIA đa thức cho đa thức, câu a) chia cho nhị thức bậc nhất, câu b) chia cho tam thức bậc hai khuyết hạng tử bậc

1

(

x^{2} + 0 x - 2

). Hướng làm là lặp lại đúng quy trình 5 bước đã học ở mục 2 bài 28. Bẫy ở câu b) là quên viết cột hạng tử bậc

1

khuyết của

x^{2} - 2

, dẫn đến lệch cột khi trừ.

1Cách 1. Đặt tính chia theo đúng quy trình

Định hướng. Đặt tính chia cho cả hai câu, viết đủ hạng tử khuyết bằng hệ số $0$ ở câu b).

x^{3} : x = x^{2}

;

x^{2} (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}

(x^{3} - 4 x^{2} - x + 12) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - x^{2} - x + 12

(- x^{2}) : x = - x

;

- x (x - 3) = - x^{2} + 3 x

(- x^{2} - x + 12) - (- x^{2} + 3 x) = - 4 x + 12

(- 4 x) : x = - 4

;

- 4 (x - 3) = - 4 x + 12

(- 4 x + 12) - (- 4 x + 12) = 0

2 x^{4} : x^{2} = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (x^{2} - 2) = 2 x^{4} - 4 x^{2}

(2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14) - (2 x^{4} - 4 x^{2}) = - 3 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 14

(- 3 x^{3}) : x^{2} = - 3 x

;

- 3 x (x^{2} - 2) = - 3 x^{3} + 6 x

(- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 14) - (- 3 x^{3} + 6 x) = 7 x^{2} - 14

7 x^{2} : x^{2} = 7

;

7 (x^{2} - 2) = 7 x^{2} - 14

(7 x^{2} - 14) - (7 x^{2} - 14) = 0

Vậy a) thương $x^{2} - x - 4$ , dư $0$ ; b) thương $2 x^{2} - 3 x + 7$ , dư $0$ .

2Cách 2. Phân tích nhân tử chung trước khi chia

Định hướng. Nhóm hạng tử của đa thức bị chia để xuất hiện nhân tử chung với đa thức chia, rồi rút gọn trực tiếp.

x^{3} - 4 x^{2} - x + 12 = x^{2} (x - 3) - x (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - x - 4)

\Rightarrow (x^{3} - 4 x^{2} - x + 12) : (x - 3) = x^{2} - x - 4

2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14 = 2 x^{2} (x^{2} - 2) - 3 x (x^{2} - 2) + 7 (x^{2} - 2) = (x^{2} - 2) (2 x^{2} - 3 x + 7)

\Rightarrow (2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14) : (x^{2} - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 7

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai câu, dư đều bằng $0$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân thương tìm được với đa thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(x - 3) (x^{2} - x - 4) = x^{3} - x^{2} - 4 x - 3 x^{2} + 3 x + 12 = x^{3} - 4 x^{2} - x + 12

(đúng)
b)

(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 3 x + 7) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x^{2} + 6 x - 14 = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14

(đúng)

Vậy cả hai kết quả đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia) vì đề yêu cầu rõ 'đặt tính'; Cách 2 (nhóm nhân tử chung) rất hữu ích để thử lại nhanh khi còn thời gian.

Đáp số. a) thương

x^{2} - x - 4

, dư

0

; b) thương

2 x^{2} - 3 x + 7

, dư

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu b) quên viết hạng tử

0 x

khi đặt tính cho đa thức chia

x^{2} - 2

(thực chất là

x^{2} + 0 x - 2

), làm lệch cột khi trừ.

🚀 Mở rộng. Cả hai câu đều chia hết (dư

0

), tức đa thức chia là một nhân tử của đa thức bị chia — kĩ thuật nhóm hạng tử ở Cách 2 chính là bước đầu của phân tích đa thức thành nhân tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.28★★Trang 34— Kiểm tra tính hợp lệ của đa thức dư theo bậc, rồi tìm đúng thương và dư

Khi làm phép chia

(6 x^{3} - 7 x^{2} - x + 2) : (2 x + 1)

, bạn Quỳnh cho kết quả đa thức dư là

4 x + 2

.
a) Không làm phép chia, hãy cho biết bạn Quỳnh đúng hay sai, tại sao?
b) Tìm thương và dư trong phép chia đó.

Kiến thức cần nhớ

Khi chia đa thức $A$ cho $B$ : đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư thoả điều kiện trên.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) yêu cầu xét KHÔNG làm phép chia — dấu hiệu chỉ cần so bậc của dư mà Quỳnh đưa ra với bậc của đa thức chia, không cần tính toán. Đa thức chia

2 x + 1

có bậc

1

, còn dư Quỳnh cho là

4 x + 2

cũng có bậc

1

— vi phạm điều kiện 'dư phải có bậc nhỏ hơn đa thức chia'. Câu b) mới cần đặt tính chia thật để tìm đáp số đúng. Bẫy là bỏ qua câu a), đặt tính chia luôn mà không nhận ra đây là hai yêu cầu tách biệt.

1Cách 1. Câu a) so bậc trực tiếp; câu b) đặt tính chia

Định hướng. Câu a) so bậc của dư Quỳnh cho với bậc đa thức chia; câu b) đặt tính chia đầy đủ để tìm thương, dư đúng.

a) Bậc của dư

4 x + 2

là

1

; bậc của đa thức chia

2 x + 1

cũng là

1

;

1

không nhỏ hơn

1

6 x^{3} : 2 x = 3 x^{2}

;

3 x^{2} (2 x + 1) = 6 x^{3} + 3 x^{2}

(6 x^{3} - 7 x^{2} - x + 2) - (6 x^{3} + 3 x^{2}) = - 10 x^{2} - x + 2

(- 10 x^{2}) : 2 x = - 5 x

;

- 5 x (2 x + 1) = - 10 x^{2} - 5 x

(- 10 x^{2} - x + 2) - (- 10 x^{2} - 5 x) = 4 x + 2

4 x : 2 x = 2

;

2 (2 x + 1) = 4 x + 2

(4 x + 2) - (4 x + 2) = 0

Vậy a) bạn Quỳnh SAI, vì bậc của dư phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia (nhỏ hơn $1$ , tức dư phải là hằng số hoặc $0$ ), trong khi $4 x + 2$ có bậc $1$ bằng bậc đa thức chia; b) thương đúng là $3 x^{2} - 5 x + 2$ , dư đúng là $0$ .

2Cách 2. Câu a) chỉ ra phản ví dụ bằng đúng đẳng thức; câu b) nhóm nhân tử chung

Định hướng. Câu a) chỉ ra rằng nếu dư thật sự là $4 x + 2$ thì $4 x + 2$ còn chia tiếp được cho $2 x + 1$ , mâu thuẫn với việc dư đã 'dừng'; câu b) nhóm hạng tử để tìm nhân tử chung $2 x + 1$ .

a) Giả sử dư đúng là

4 x + 2

: ta thấy

4 x + 2 = 2 (2 x + 1)

, vẫn còn chia hết tiếp cho

2 x + 1

— nghĩa là phép chia CHƯA dừng đúng chỗ, mâu thuẫn với định nghĩa 'dư'
b)

6 x^{3} - 7 x^{2} - x + 2 = 3 x^{2} (2 x + 1) - 5 x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1) = (2 x + 1) (3 x^{2} - 5 x + 2)

Vậy a) khẳng định lại Quỳnh sai, vì $4 x + 2$ vẫn chia hết cho $2 x + 1$ nên không thể là dư cuối cùng; b) thương $3 x^{2} - 5 x + 2$ , dư $0$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược cho câu b)

Định hướng. Nhân thương $3 x^{2} - 5 x + 2$ với đa thức chia $2 x + 1$ , kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(2 x + 1) (3 x^{2} - 5 x + 2) = 6 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 3 x^{2} - 5 x + 2

= 6 x^{3} - 7 x^{2} - x + 2

Vậy kết quả đúng bằng đa thức bị chia, xác nhận thương $3 x^{2} - 5 x + 2$ , dư $0$ ở câu b) là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a) dùng Cách 1 (so bậc trực tiếp): nhanh và không cần tính toán gì; câu b) đặt tính chia đầy đủ như Cách 1, dùng Cách 3 để thử lại nếu còn thời gian.

Đáp số. a) Bạn Quỳnh sai, vì dư

4 x + 2

có bậc

1

không nhỏ hơn bậc

1

của đa thức chia

2 x + 1

.
b) Thương

3 x^{2} - 5 x + 2

, dư

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: bỏ qua yêu cầu 'không làm phép chia' ở câu a), đặt tính chia luôn rồi mới kết luận đúng/sai — làm đúng nhưng chưa đáp ứng đúng cách giải mà đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Bài này là cách kiểm tra nhanh một kết quả chia đa thức có hợp lệ hay không: chỉ cần so bậc của dư với bậc đa thức chia mà không cần chia lại từ đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.29★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức bậc bốn cho đa thức bậc hai, đa thức bị chia khuyết hạng tử

Cho hai đa thức

A = 3 x^{4} + x^{3} + 6 x - 5

và

B = x^{2} + 1

. Tìm thương

Q

và dư

R

trong phép chia

A

cho

B

rồi kiểm nghiệm lại rằng

A = B Q + R

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.
Nếu chia $A$ cho $B$ được thương $Q$ , dư $R$ thì luôn có $A = B Q + R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức

A = 3 x^{4} + x^{3} + 6 x - 5

khuyết hạng tử bậc

2

— dấu hiệu cần viết

A = 3 x^{4} + x^{3} + 0 x^{2} + 6 x - 5

khi đặt tính để không lệch cột. Đa thức chia

B = x^{2} + 1

cũng khuyết hạng tử bậc

1

. Hướng làm là đặt tính chia ba lượt (thương bậc

4 - 2 = 2

, gồm ba hạng tử) rồi kiểm nghiệm lại bằng phép nhân và cộng ngược như đề yêu cầu.

1Cách 1. Đặt tính chia đầy đủ

Định hướng. Viết $A = 3 x^{4} + x^{3} + 0 x^{2} + 6 x - 5$ và $B = x^{2} + 0 x + 1$ để không sót cột, rồi đặt tính chia theo ba lượt lặp.

3 x^{4} : x^{2} = 3 x^{2}

;

3 x^{2} (x^{2} + 1) = 3 x^{4} + 3 x^{2}

(3 x^{4} + x^{3} + 0 x^{2} + 6 x - 5) - (3 x^{4} + 3 x^{2}) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 5

x^{3} : x^{2} = x

;

x (x^{2} + 1) = x^{3} + x

(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 5) - (x^{3} + x) = - 3 x^{2} + 5 x - 5

(- 3 x^{2}) : x^{2} = - 3

;

- 3 (x^{2} + 1) = - 3 x^{2} - 3

(- 3 x^{2} + 5 x - 5) - (- 3 x^{2} - 3) = 5 x - 2

Vậy $Q = 3 x^{2} + x - 3$ , $R = 5 x - 2$ (bậc $1$ , nhỏ hơn bậc $2$ của $B$ nên dừng).

2Cách 2. Hệ số bất định

Định hướng. Đặt $Q = a x^{2} + b x + c$ , $R = d x + e$ (bậc $1$ ), khai triển $B Q + R$ rồi đồng nhất hệ số với $A$ .

B Q + R = (x^{2} + 1) (a x^{2} + b x + c) + d x + e

= a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + a x^{2} + b x + c + d x + e

= a x^{4} + b x^{3} + (c + a) x^{2} + (b + d) x + (c + e)

Đồng nhất với

A = 3 x^{4} + x^{3} + 0 x^{2} + 6 x - 5

a = 3

;

b = 1

;

c + a = 0 \Rightarrow c = - 3

;

b + d = 6 \Rightarrow d = 5

;

c + e = - 5 \Rightarrow e = - 2

Vậy $Q = 3 x^{2} + x - 3$ , $R = 5 x - 2$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Kiểm nghiệm lại

A = B Q + R

(theo đúng yêu cầu đề bài)

Định hướng. Nhân $B$ với $Q = 3 x^{2} + x - 3$ vừa tìm được, cộng thêm $R = 5 x - 2$ , đối chiếu với $A$ .

B Q = (x^{2} + 1) (3 x^{2} + x - 3)

= 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + x - 3

= 3 x^{4} + x^{3} + x - 3

B Q + R = (3 x^{4} + x^{3} + x - 3) + (5 x - 2)

= 3 x^{4} + x^{3} + 6 x - 5

Vậy $B Q + R = 3 x^{4} + x^{3} + 6 x - 5 = A$ đúng — kiểm nghiệm thành công, xác nhận $Q = 3 x^{2} + x - 3$ , $R = 5 x - 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia) để tìm

Q, R

, rồi bắt buộc trình bày thêm Cách 3 (kiểm nghiệm

A = B Q + R

) vì đề yêu cầu rõ phải kiểm nghiệm lại.

Đáp số.

Q = 3 x^{2} + x - 3

R = 5 x - 2

;

A = (x^{2} + 1) (3 x^{2} + x - 3) + (5 x - 2)

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên viết hạng tử

0 x^{2}

của

A

và hạng tử

0 x

của

B

khi đặt tính, dẫn đến cộng nhầm hạng tử giữa các bậc khác nhau.

🚀 Mở rộng. Bước 'kiểm nghiệm lại

A = B Q + R

' ở bài này nên trở thành thói quen bắt buộc sau MỌI phép chia đa thức có dư, giống hệt Vận dụng và Luyện tập 3 trong SGK.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.30★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức bậc bốn cho đa thức bậc hai, một câu chia hết và một câu có dư

Thực hiện các phép chia sau:
a)

(2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2) : (x^{2} - x + 1)

;
b)

(x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x) : (x^{2} - 2 x + 3)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu là đa thức bậc bốn chia cho đa thức bậc hai — áp dụng đặt tính chia hai lượt (thương bậc

4 - 2 = 2

). Câu b) đa thức bị chia khuyết hạng tử tự do (hệ số

0

), cần cẩn thận cột cuối cùng. Khác với câu a) (chia hết), câu b) sẽ cho dư khác

0

— bẫy là mặc định cả hai câu đều chia hết như nhau rồi dừng sớm ở câu b) khi thấy dư 'nhỏ'.

1Cách 1. Đặt tính chia theo đúng quy trình

Định hướng. Đặt tính chia cho cả hai câu, viết đủ hạng tử khuyết bằng hệ số $0$ ở câu b) (hạng tử tự do).

2 x^{4} : x^{2} = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (x^{2} - x + 1) = 2 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2}

(2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2) - (2 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2}) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 2

3 x^{3} : x^{2} = 3 x

;

3 x (x^{2} - x + 1) = 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

(3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 2) - (3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) = - 2 x^{2} + 2 x - 2

(- 2 x^{2}) : x^{2} = - 2

;

- 2 (x^{2} - x + 1) = - 2 x^{2} + 2 x - 2

(- 2 x^{2} + 2 x - 2) - (- 2 x^{2} + 2 x - 2) = 0

x^{4} : x^{2} = x^{2}

;

x^{2} (x^{2} - 2 x + 3) = x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}

(x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x + 0) - (x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x

x^{3} : x^{2} = x

;

x (x^{2} - 2 x + 3) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x

(x^{3} - 4 x^{2} + 3 x) - (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) = - 2 x^{2}

(- 2 x^{2}) : x^{2} = - 2

;

- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = - 2 x^{2} + 4 x - 6

(- 2 x^{2}) - (- 2 x^{2} + 4 x - 6) = - 4 x + 6

Vậy a) thương $2 x^{2} + 3 x - 2$ , dư $0$ ; b) thương $x^{2} + x - 2$ , dư $- 4 x + 6$ .

2Cách 2. Phân tích nhân tử chung (câu a) và hệ số bất định (câu b)

Định hướng. Câu a) nhóm hạng tử để tìm nhân tử chung $x^{2} - x + 1$ ; câu b) đặt $Q = a x^{2} + b x + c$ , $R = d x + e$ rồi đồng nhất hệ số.

2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 = 2 x^{2} (x^{2} - x + 1) + 3 x (x^{2} - x + 1) - 2 (x^{2} - x + 1) = (x^{2} - x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)

(x^{2} - 2 x + 3) (a x^{2} + b x + c) + d x + e = a x^{4} + (b - 2 a) x^{3} + (c - 2 b + 3 a) x^{2} + (- 2 c + 3 b + d) x + (3 c + e)

Đồng nhất với

x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x + 0

a = 1

;

b - 2 a = - 1 \Rightarrow b = 1

;

c - 2 b + 3 a = - 1 \Rightarrow c = - 2

;

- 2 c + 3 b + d = 3 \Rightarrow d = - 4

;

3 c + e = 0 \Rightarrow e = 6

Vậy a) thương $2 x^{2} + 3 x - 2$ , dư $0$ , trùng Cách 1; b) $Q = x^{2} + x - 2$ , $R = - 4 x + 6$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân và cộng ngược

Định hướng. Nhân thương với đa thức chia rồi cộng dư (nếu có), kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(x^{2} - x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 2) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 3 x - 2 = 2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2

(đúng)
b)

(x^{2} - 2 x + 3) (x^{2} + x - 2) + (- 4 x + 6)

= x^{4} - x^{3} - x^{2} + 7 x - 6 + (- 4 x + 6) = x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x

(đúng)

Vậy cả hai kết quả đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia) cho cả hai câu vì bám sát đúng quy trình chuẩn; Cách 3 nên dùng thêm để thử lại, đặc biệt với câu b) có dư khác

0

dễ sai.

Đáp số. a) thương

2 x^{2} + 3 x - 2

, dư

0

; b) thương

x^{2} + x - 2

, dư

- 4 x + 6

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu b) quên viết hạng tử tự do bằng

0

của

x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x

(thực chất là

x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x + 0

), làm lệch cột ở bước trừ cuối cùng nên tính sai dư.

🚀 Mở rộng. Câu a) và b) cho thấy hai đa thức bị chia rất giống nhau về dạng nhưng một câu chia hết, một câu có dư — luôn phải kiểm tra đến cùng bằng bậc của dư, không được đoán trước kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.31★★★Trang 34— Tìm đa thức thương từ một đẳng thức tích cho trước

Cho đa thức

A (x) = 3 x^{4} + 11 x^{3} - 5 x^{2} - 19 x + 10

. Tìm đa thức

H (x)

sao cho

A (x) = (3 x^{2} + 2 x - 5) \times H (x)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A (x) = B (x) \cdot H (x)$ thì $H (x)$ chính là thương của phép chia hết $A (x) : B (x)$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn

A (x)

bằng tích của

(3 x^{2} + 2 x - 5)

với

H (x)

chưa biết — dấu hiệu của bài toán tìm thương

H (x) = A (x) : (3 x^{2} + 2 x - 5)

, hoàn toàn tương tự bài Vận dụng của SGK. Vì

A (x)

bậc

4

và nhân tử đã biết bậc

2

nên

H (x)

chắc chắn bậc

2

. Bẫy là đa thức chia

3 x^{2} + 2 x - 5

có đủ ba hạng tử nên khi đặt tính dễ nhầm hệ số khi nhân ngược ở mỗi bước.

1Cách 1. Đặt tính chia

A (x)

cho

3 x^{2} + 2 x - 5

Định hướng. Đặt tính chia đầy đủ theo quy trình đã học, kì vọng dư cuối cùng bằng $0$ vì đề đã khẳng định có $H (x)$ thoả mãn.

3 x^{4} : 3 x^{2} = x^{2}

;

x^{2} (3 x^{2} + 2 x - 5) = 3 x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2}

(3 x^{4} + 11 x^{3} - 5 x^{2} - 19 x + 10) - (3 x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2}) = 9 x^{3} + 0 x^{2} - 19 x + 10

9 x^{3} : 3 x^{2} = 3 x

;

3 x (3 x^{2} + 2 x - 5) = 9 x^{3} + 6 x^{2} - 15 x

(9 x^{3} - 19 x + 10) - (9 x^{3} + 6 x^{2} - 15 x) = - 6 x^{2} - 4 x + 10

(- 6 x^{2}) : 3 x^{2} = - 2

;

- 2 (3 x^{2} + 2 x - 5) = - 6 x^{2} - 4 x + 10

(- 6 x^{2} - 4 x + 10) - (- 6 x^{2} - 4 x + 10) = 0

Vậy $H (x) = x^{2} + 3 x - 2$ (dư $0$ , đúng như đề khẳng định).

2Cách 2. Hệ số bất định

Định hướng. Vì $H (x)$ bậc $2$ , đặt $H (x) = a x^{2} + b x + c$ , khai triển $(3 x^{2} + 2 x - 5) H (x)$ rồi đồng nhất hệ số với $A (x)$ .

(3 x^{2} + 2 x - 5) (a x^{2} + b x + c)

= 3 a x^{4} + (3 b + 2 a) x^{3} + (3 c + 2 b - 5 a) x^{2} + (2 c - 5 b) x - 5 c

Đồng nhất với

A (x) = 3 x^{4} + 11 x^{3} - 5 x^{2} - 19 x + 10

3 a = 3 \Rightarrow a = 1

;

3 b + 2 a = 11 \Rightarrow b = 3

;

3 c + 2 b - 5 a = - 5 \Rightarrow c = - 2

; kiểm

2 c - 5 b = - 4 - 15 = - 19

(đúng);

- 5 c = 10

(đúng)

Vậy $H (x) = x^{2} + 3 x - 2$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân $(3 x^{2} + 2 x - 5)$ với $H (x) = x^{2} + 3 x - 2$ vừa tìm được, kết quả phải đúng bằng $A (x)$ .

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x^{2} + 3 x - 2)

= 3 x^{4} + 9 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 5 x^{2} - 15 x + 10

= 3 x^{4} + 11 x^{3} - 5 x^{2} - 19 x + 10

Vậy kết quả đúng bằng $A (x)$ , khẳng định $H (x) = x^{2} + 3 x - 2$ là đáp số đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia): chắc chắn cho ra kết quả đúng theo trình tự cố định; nên thử lại bằng Cách 3 vì đa thức chia có ba hạng tử, dễ sai hệ số khi nhân ngược.

Đáp số.

H (x) = x^{2} + 3 x - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: nhân ngược sai dấu ở bước có hệ số âm, ví dụ tính

- 2 (3 x^{2} + 2 x - 5)

thành

- 6 x^{2} - 4 x - 10

thay vì đúng

- 6 x^{2} - 4 x + 10

🚀 Mở rộng. Nguồn tham khảo (loigiaihay.com, tech12h.com) từng cho hai bản đề khác nhau ở hạng tử tự do của

A (x)

(

+ 10

hoặc

- 5

); đã kiểm chứng bằng sympy chỉ bản

+ 10

mới chia hết đúng cho

3 x^{2} + 2 x - 5

(dư

0

), nên đây là bản đề chuẩn — xem ghi chú nguồn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.32★★★Trang 34— Tìm hệ số tự do để một đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất

Tìm số

m

sao cho đa thức

P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + m

chia hết cho đa thức

x + 2

Kiến thức cần nhớ

$P (x)$ chia hết cho $x - a$ khi và chỉ khi $P (a) = 0$ (áp dụng với $x + 2 = x - (- 2)$ , tức $a = - 2$ ).
Đặt tính chia đa thức cho đa thức cũng có thể dùng để tìm $m$ qua điều kiện dư bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức chia

x + 2

có dạng

x - a

với

a = - 2

— dấu hiệu để dùng định lí về nghiệm:

P (x)

chia hết cho

x - a

khi và chỉ khi

P (a) = 0

. Hướng làm là thay

x = - 2

vào

P (x)

, cho biểu thức bằng

0

rồi giải tìm

m

. Bẫy là đặt tính chia với

m

còn là ẩn, dễ nhầm dấu khi cộng

m

vào từng bước trừ.

1Cách 1. Thay

x = - 2

vào

P (x)

(dùng định lí về nghiệm)

Định hướng. Vì $x + 2 = x - (- 2)$ , áp dụng $P (x)$ chia hết cho $x + 2$ khi và chỉ khi $P (- 2) = 0$ , thay số rồi giải phương trình ẩn $m$ .

P (- 2) = 2 \cdot (- 2)^{3} - 3 \cdot (- 2)^{2} + (- 2) + m

= 2 \cdot (- 8) - 3 \cdot 4 - 2 + m

= - 16 - 12 - 2 + m = - 30 + m

Cho

P (- 2) = 0

- 30 + m = 0

Vậy $m = 30$ .

2Cách 2. Đặt tính chia với

m

là ẩn, cho dư bằng

0

Định hướng. Đặt tính chia $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + m$ cho $x + 2$ , giữ $m$ như một hằng số chưa biết trong quá trình trừ, dư cuối cùng phải bằng $0$ .

2 x^{3} : x = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (x + 2) = 2 x^{3} + 4 x^{2}

(2 x^{3} - 3 x^{2} + x + m) - (2 x^{3} + 4 x^{2}) = - 7 x^{2} + x + m

(- 7 x^{2}) : x = - 7 x

;

- 7 x (x + 2) = - 7 x^{2} - 14 x

(- 7 x^{2} + x + m) - (- 7 x^{2} - 14 x) = 15 x + m

15 x : x = 15

;

15 (x + 2) = 15 x + 30

(15 x + m) - (15 x + 30) = m - 30

Dư

m - 30

phải bằng

0

Vậy $m = 30$ , trùng kết quả Cách 1 (thương khi đó là $2 x^{2} - 7 x + 15$ ).

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

m = 30

và chia thật

Định hướng. Thay $m = 30$ vào $P (x)$ rồi kiểm tra $P (- 2)$ có thực sự bằng $0$ hay không, xác nhận đáp số.

P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 30

P (- 2) = 2 \cdot (- 8) - 3 \cdot 4 + (- 2) + 30 = - 16 - 12 - 2 + 30 = 0

Vậy $P (- 2) = 0$ đúng, xác nhận $m = 30$ là đáp số duy nhất thoả mãn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (định lí về nghiệm): chỉ cần thay số và giải phương trình bậc nhất, nhanh hơn hẳn đặt tính chia với ẩn

m

như Cách 2.

Đáp số.

m = 30

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: thay

x = 2

thay vì

x = - 2

(nhầm dấu của nghiệm ứng với

x + 2

), dẫn đến phương trình và kết quả

m

hoàn toàn sai.

🚀 Mở rộng. Đây là ứng dụng của định lí Bézout (định lí về nghiệm của đa thức):

P (x)

chia hết cho

x - a

khi và chỉ khi

a

là nghiệm của

P (x)

, tức

P (a) = 0

— chính là nội dung được chứng minh ở bài 7.33 tiếp theo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.33★★★★Trang 34— Chứng minh định lí về nghiệm của đa thức (định lí Bézout, hai chiều thuận và đảo)

Cho đa thức

P (x)

. Chứng minh rằng:
a) Nếu

P (x)

chia hết cho

x - a

thì

a

là một nghiệm của đa thức

P (x)

;
b) Nếu

x = a

là một nghiệm của đa thức

P (x)

thì

P (x)

chia hết cho

x - a

Kiến thức cần nhớ

Nghiệm của đa thức $P (x)$ là số $a$ sao cho $P (a) = 0$ .
Với mọi đa thức $P (x)$ và mọi số $a$ , luôn chia được $P (x)$ cho $x - a$ (bậc $1$ ) để được thương $Q (x)$ và dư $R$ là một HẰNG SỐ (vì bậc dư phải nhỏ hơn bậc $1$ của $x - a$ , tức dư có bậc $0$ ): $P (x) = (x - a) Q (x) + R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh HAI CHIỀU của một mệnh đề tương đương — dấu hiệu phải làm rõ ràng từng chiều riêng biệt, không được gộp chung. Chiều a) xuất phát từ giả thiết chia hết, cần biểu diễn

P (x)

theo thương rồi thay

x = a

. Chiều b) xuất phát từ giả thiết

P (a) = 0

, cần dùng phép chia có dư (luôn thực hiện được) rồi chứng minh dư phải bằng

0

. Bẫy lớn nhất là chỉ chứng minh một chiều rồi ngộ nhận đã xong cả bài, hoặc lẫn lộn giả thiết của chiều này sang chiều kia.

1Cách 1. Chứng minh trực tiếp cả hai chiều bằng đẳng thức

P (x) = (x - a) Q (x) + R

Định hướng. Dùng chung một đẳng thức nền cho cả hai chiều: mọi phép chia $P (x)$ cho $x - a$ đều viết được dưới dạng $P (x) = (x - a) Q (x) + R$ với $R$ là hằng số, rồi xét riêng từng chiều.

Chiều a) (chia hết

\Rightarrow

a

là nghiệm): Giả sử

P (x)

chia hết cho

x - a

, tức

R = 0

, nên

P (x) = (x - a) Q (x)

Thay

x = a

P (a) = (a - a) Q (a) = 0 \cdot Q (a) = 0

Vậy

a

là nghiệm của

P (x)

Chiều b) (

a

là nghiệm

\Rightarrow

chia hết): Với mọi đa thức

P (x)

, luôn chia được

P (x)

cho

x - a

P (x) = (x - a) Q (x) + R

với

R

là một hằng số
Thay

x = a

P (a) = (a - a) Q (a) + R = 0 + R = R

Theo giả thiết

x = a

là nghiệm nên

P (a) = 0

, suy ra

R = 0

Khi đó

P (x) = (x - a) Q (x)

, tức

P (x)

chia hết cho

x - a

Vậy cả hai chiều đều đúng: $P (x)$ chia hết cho $x - a$ khi và chỉ khi $a$ là nghiệm của $P (x)$ .

2Cách 2. Minh hoạ hai chiều bằng một ví dụ cụ thể rồi khái quát hoá

Định hướng. Chọn một đa thức cụ thể có nghiệm biết trước, kiểm tra cả hai chiều trên ví dụ đó để thấy rõ cơ chế, trước khi phát biểu chứng minh tổng quát như Cách 1.

Xét

P (x) = x^{2} - 5 x + 6

, có

P (2) = 4 - 10 + 6 = 0

nên

x = 2

là nghiệm (minh hoạ chiều b))
Đặt tính chia:

(x^{2} - 5 x + 6) : (x - 2) = x - 3

, dư

0

— đúng là chia hết, khớp với kết luận chiều b)
Ngược lại nếu biết

P (x) = (x - 2) (x - 3)

chia hết cho

x - 2

(minh hoạ chiều a)) thì thay

x = 2

cho ngay

P (2) = 0 \cdot (2 - 3) = 0

, đúng là

2

một nghiệm

Vậy ví dụ cụ thể khớp đúng với chứng minh tổng quát ở Cách 1 cho cả hai chiều, củng cố thêm độ tin cậy của lập luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: chứng minh trực tiếp, tổng quát, dùng đúng một đẳng thức nền cho cả hai chiều — đây là cách trình bày chuẩn mực nhất cho một bài chứng minh.

Đáp số. Cả hai chiều đều được chứng minh đúng bằng đẳng thức

P (x) = (x - a) Q (x) + R

(xem chi tiết ở Cách 1); đây chính là định lí Bézout:

P (x)

chia hết cho

(x - a)

khi và chỉ khi

P (a) = 0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: chỉ chứng minh một chiều (thường là chiều a, dễ hơn) rồi kết luận đã xong cả bài; hoặc ở chiều b) quên nêu lí do vì sao dư

R

luôn là một HẰNG SỐ (vì bậc của

x - a

bằng

1

🚀 Mở rộng. Định lí này (định lí Bézout) chính là công cụ đã dùng ở bài 7.32: muốn tìm

m

để

P (x)

chia hết cho

x + 2

, chỉ cần cho

P (- 2) = 0

mà không cần đặt tính chia.

Mở bài này trong app ↗