Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28. Phép chia đa thức một biến

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang34 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.25★★Trang 34— Tìm số mũ để đơn thức chia hết cả ba hạng tử của một đa thức

Tìm số tự nhiên

n

sao cho đa thức

1, 2 x^{5} - 3 x^{4} + 3, 7 x^{2}

chia hết cho

x^{n}

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức $a x^{m}$ chia hết cho $x^{n}$ khi và chỉ khi $m \geq n$ ( $m, n \in N$ ).
Đa thức chia hết cho đơn thức $x^{n}$ khi và chỉ khi TẤT CẢ các hạng tử của đa thức đều chia hết cho $x^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu

x^{n}

chia hết được TẤT CẢ ba hạng tử của đa thức — dấu hiệu cần tìm điều kiện chung cho

n

dựa trên bậc THẤP NHẤT trong ba hạng tử (

5, 4, 2

). Hướng làm là xét từng hạng tử:

a x^{m}

chia hết cho

x^{n}

khi

m \geq n

, rồi lấy giao của ba điều kiện. Bẫy là chỉ xét hạng tử bậc cao nhất (

x^{5}

) mà quên hạng tử bậc thấp nhất (

x^{2}

) mới là điều kiện quyết định.

1Cách 1. Xét điều kiện

n

cho từng hạng tử rồi lấy giao

Định hướng. Xét riêng điều kiện của $n$ để mỗi hạng tử $1, 2 x^{5}$ , $- 3 x^{4}$ , $3, 7 x^{2}$ chia hết cho $x^{n}$ , rồi tìm $n$ thoả mãn cả ba.

1, 2 x^{5}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 5

- 3 x^{4}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 4

3, 7 x^{2}

chia hết cho

x^{n}

khi

n \leq 2

Cả ba điều kiện đồng thời đúng khi

n \leq 2

Vậy $n \in {0; 1; 2}$ , tức $n \leq 2$ .

2Cách 2. Xét trực tiếp hạng tử có bậc thấp nhất

Định hướng. Vì $x^{n}$ phải chia hết cả ba hạng tử, hạng tử có bậc THẤP NHẤT ( $3, 7 x^{2}$ , bậc $2$ ) chính là điều kiện chặt nhất, quyết định giá trị lớn nhất có thể của $n$ .

Hạng tử bậc thấp nhất trong đa thức là

3, 7 x^{2}

(bậc

2

)
Muốn

x^{n}

chia hết hạng tử này thì

n \leq 2

Khi

n \leq 2

thì chắc chắn

n \leq 4

và

n \leq 5

cũng đúng, nên hai hạng tử còn lại tự động chia hết

Vậy kết quả trùng Cách 1: $n \leq 2$ (tức $n \in {0; 1; 2}$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhìn hạng tử có số mũ nhỏ nhất trong đa thức là ra ngay điều kiện, không cần xét đủ ba hạng tử như Cách 1.

Đáp số.

n \in {0; 1; 2}

(tức

n \leq 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: chỉ xét hạng tử bậc cao nhất

1, 2 x^{5}

rồi kết luận sai

n \leq 5

, quên rằng

x^{n}

phải chia hết CẢ BA hạng tử chứ không riêng hạng tử nào.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đa thức

A

chia hết cho

x^{n}

khi và chỉ khi

n

không vượt quá bậc nhỏ nhất trong các hạng tử khác

0

của

A

— đây cũng chính là ý bài 7.33 trong SGK.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.26★★Trang 34— Chia đa thức cho đơn thức, ba mức hệ số khác nhau

Thực hiện các phép chia sau:
a)

(- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}) : (- 2 x^{2})

;
b)

(0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x) : 0, 5 x

;
c)

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1) : \frac{1}{3} x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương.
Một đa thức chia cho đơn thức $b x^{n}$ chỉ cho kết quả là đa thức khi mọi hạng tử đều có bậc $\geq n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đều là đa thức chia cho đơn thức, áp dụng cách chia từng hạng tử. Câu a), b) mọi hạng tử đều có bậc

\geq

bậc đơn thức chia nên kết quả là đa thức trọn vẹn. Câu c) có hai hạng tử (

- 3 x

và

1

) bậc nhỏ hơn bậc

2

của

\frac{1}{3} x^{2}

— bẫy chính của bài là nhận ra kết quả câu c) KHÔNG PHẢI là một đa thức (giống ý bài 7.33 trong SGK).

1Cách 1. Chia từng hạng tử

Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia ở cả ba câu, theo dõi số mũ kết quả.

(- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}) : (- 2 x^{2})

= (- 4 x^{5} : (- 2 x^{2})) + (2 x^{3} : (- 2 x^{2})) + (- 2 x^{2} : (- 2 x^{2}))

= 2 x^{3} - x + 1

(0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x) : 0, 5 x

= (0, 5 x^{3} : 0, 5 x) + (- 1, 5 x^{2} : 0, 5 x) + (x : 0, 5 x)

= x^{2} - 3 x + 2

x^{3} : \frac{1}{3} x^{2} = 3 x

;

2 x^{2} : \frac{1}{3} x^{2} = 6

;

- 3 x : \frac{1}{3} x^{2} = - 9 x^{- 1}

;

1 : \frac{1}{3} x^{2} = 3 x^{- 2}

Vậy a) $= 2 x^{3} - x + 1$ ; b) $= x^{2} - 3 x + 2$ ; c) $= 3 x + 6 - \frac{9}{x} + \frac{3}{x ^{2}}$ — KHÔNG PHẢI là một đa thức, vì hai hạng tử cuối có số mũ âm.

2Cách 2. Đặt nhân tử chung (câu a, b) và so bậc trước khi chia (câu c)

Định hướng. Câu a), b) viết đa thức bị chia dưới dạng tích của đơn thức chia với một đa thức khác rồi rút gọn; câu c) so bậc từng hạng tử ( $3, 2, 1, 0$ ) với bậc $2$ của $\frac{1}{3} x^{2}$ trước khi tính.

- 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2} = (- 2 x^{2}) (2 x^{3} - x + 1) \Rightarrow

thương

= 2 x^{3} - x + 1

0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x = 0, 5 x (x^{2} - 3 x + 2) \Rightarrow

thương

= x^{2} - 3 x + 2

c) bậc các hạng tử của

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1

là

3, 2, 1, 0

; so với bậc

2

của

\frac{1}{3} x^{2}

: hạng tử

x^{3}

(

3 \geq 2

) và

2 x^{2}

(

2 \geq 2

) chia hết, còn

- 3 x

(bậc

1

, nhỏ hơn

2

) và

1

(bậc

0

, nhỏ hơn

2

) thì KHÔNG

Vậy a), b) trùng kết quả Cách 1; c) dự đoán đúng: chỉ hai hạng tử đầu chia hết, xác nhận kết quả câu c) không phải đa thức.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược (câu a, b)

Định hướng. Nhân thương tìm được ở câu a), b) với đơn thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(2 x^{3} - x + 1) \cdot (- 2 x^{2}) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - 2 x^{2}

(đúng)
b)

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot 0, 5 x = 0, 5 x^{3} - 1, 5 x^{2} + x

(đúng)

Vậy cả hai kết quả ở câu a), b) đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a), b) dùng Cách 1 (chia từng hạng tử trực tiếp); câu c) dùng Cách 2 (so bậc trước khi chia) để phát hiện ngay kết quả không phải đa thức mà không cần tính hết số liệu.

Đáp số. a)

2 x^{3} - x + 1

; b)

x^{2} - 3 x + 2

; c)

3 x + 6 - \frac{9}{x} + \frac{3}{x ^{2}}

— không phải một đa thức.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu c) vẫn cố ép kết quả về dạng đa thức, bỏ qua hoặc viết sai hai hạng tử có số mũ âm; câu b) quên đổi

1, 5 x^{2} : 0, 5 x

đúng dấu, nhầm thành

+ 3 x

thay vì

- 3 x

🚀 Mở rộng. Câu c) củng cố đúng nhận xét đã gặp ở bài 7.33 SGK: đa thức chỉ chia hết cho đơn thức

b x^{n}

(cho kết quả là đa thức) khi

n

không vượt quá bậc thấp nhất trong các hạng tử của đa thức bị chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.27★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Đặt tính và làm phép chia sau:
a)

(x^{3} - 4 x^{2} - x + 12) : (x - 3)

;
b)

(2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14) : (x^{2} - 2)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.28★★Trang 34— Kiểm tra tính hợp lệ của đa thức dư theo bậc, rồi tìm đúng thương và dư

Khi làm phép chia

(6 x^{3} - 7 x^{2} - x + 2) : (2 x + 1)

, bạn Quỳnh cho kết quả đa thức dư là

4 x + 2

.
a) Không làm phép chia, hãy cho biết bạn Quỳnh đúng hay sai, tại sao?
b) Tìm thương và dư trong phép chia đó.

Kiến thức cần nhớ

Khi chia đa thức $A$ cho $B$ : đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư thoả điều kiện trên.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.29★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức bậc bốn cho đa thức bậc hai, đa thức bị chia khuyết hạng tử

Cho hai đa thức

A = 3 x^{4} + x^{3} + 6 x - 5

và

B = x^{2} + 1

. Tìm thương

Q

và dư

R

trong phép chia

A

cho

B

rồi kiểm nghiệm lại rằng

A = B Q + R

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.
Nếu chia $A$ cho $B$ được thương $Q$ , dư $R$ thì luôn có $A = B Q + R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.30★★Trang 34— Đặt tính chia đa thức bậc bốn cho đa thức bậc hai, một câu chia hết và một câu có dư

Thực hiện các phép chia sau:
a)

(2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2) : (x^{2} - x + 1)

;
b)

(x^{4} - x^{3} - x^{2} + 3 x) : (x^{2} - 2 x + 3)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.31★★★Trang 34— Tìm đa thức thương từ một đẳng thức tích cho trước

Cho đa thức

A (x) = 3 x^{4} + 11 x^{3} - 5 x^{2} - 19 x + 10

. Tìm đa thức

H (x)

sao cho

A (x) = (3 x^{2} + 2 x - 5) \times H (x)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A (x) = B (x) \cdot H (x)$ thì $H (x)$ chính là thương của phép chia hết $A (x) : B (x)$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.32★★★Trang 34— Tìm hệ số tự do để một đa thức chia hết cho nhị thức bậc nhất

Tìm số

m

sao cho đa thức

P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + m

chia hết cho đa thức

x + 2

Kiến thức cần nhớ

$P (x)$ chia hết cho $x - a$ khi và chỉ khi $P (a) = 0$ (áp dụng với $x + 2 = x - (- 2)$ , tức $a = - 2$ ).
Đặt tính chia đa thức cho đa thức cũng có thể dùng để tìm $m$ qua điều kiện dư bằng $0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.33★★★★Trang 34— Chứng minh định lí về nghiệm của đa thức (định lí Bézout, hai chiều thuận và đảo)

Cho đa thức

P (x)

. Chứng minh rằng:
a) Nếu

P (x)

chia hết cho

x - a

thì

a

là một nghiệm của đa thức

P (x)

;
b) Nếu

x = a

là một nghiệm của đa thức

P (x)

thì

P (x)

chia hết cho

x - a

Kiến thức cần nhớ

Nghiệm của đa thức $P (x)$ là số $a$ sao cho $P (a) = 0$ .
Với mọi đa thức $P (x)$ và mọi số $a$ , luôn chia được $P (x)$ cho $x - a$ (bậc $1$ ) để được thương $Q (x)$ và dư $R$ là một HẰNG SỐ (vì bậc dư phải nhỏ hơn bậc $1$ của $x - a$ , tức dư có bậc $0$ ): $P (x) = (x - a) Q (x) + R$ .