Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28. Phép chia đa thức một biến

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 40— Chia hai đơn thức một biến

HĐ1 (trang 40). Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
a)

12 x^{3} : 4 x

;
b)

(- 2 x^{4}) : x^{4}

;
c)

2 x^{5} : 5 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia hai đơn thức $a x^{m} : b x^{n}$ với $m \geq n$ : chia hệ số $a : b$ , chia luỹ thừa $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ , rồi nhân hai kết quả.
Quy ước $x^{0} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba phép chia đơn thức với đơn thức, mỗi đơn thức bị chia đều có số mũ của

x

lớn hơn hoặc bằng số mũ của đơn thức chia — dấu hiệu của phép chia hết giữa hai đơn thức. Hướng làm là tách riêng phần hệ số và phần luỹ thừa của biến rồi nhân lại, vì đây là quy tắc trực tiếp vừa được giới thiệu ở mục 1. Bẫy ở câu b) là hệ số

- 2

chia cho hệ số

1

(ẩn, ngầm định là hệ số của

x^{4}

), dễ quên dấu trừ khi viết kết quả.

1Cách 1. Chia hệ số rồi chia luỹ thừa theo đúng quy tắc

Định hướng. Tách mỗi phép chia thành chia hệ số và chia luỹ thừa của $x$ theo quy tắc $a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}$ .

12 x^{3} : 4 x = (12 : 4) \cdot x^{3 - 1} = 3 x^{2}

(- 2 x^{4}) : x^{4} = (- 2 : 1) \cdot x^{4 - 4} = - 2 x^{0} = - 2

2 x^{5} : 5 x^{2} = (2 : 5) \cdot x^{5 - 2} = \frac{2}{5} x^{3}

Vậy a) $12 x^{3} : 4 x = 3 x^{2}$ ; b) $(- 2 x^{4}) : x^{4} = - 2$ ; c) $2 x^{5} : 5 x^{2} = \frac{2}{5} x^{3}$ .

2Cách 2. Viết dưới dạng phân thức rồi rút gọn

Định hướng. Viết phép chia dưới dạng phân thức $\frac{a x ^{m}}{b x ^{n}}$ rồi rút gọn hệ số và luỹ thừa cùng lúc, cách trình bày mà SGK dùng khi giới thiệu $6 x^{4} : (- 2 x^{3}) = - 3 x$ .

12 x^{3} : 4 x = \frac{12 x ^{3}}{4 x} = \frac{12}{4} \cdot x^{3 - 1} = 3 x^{2}

(- 2 x^{4}) : x^{4} = \frac{- 2 x ^{4}}{x ^{4}} = - 2

2 x^{5} : 5 x^{2} = \frac{2 x ^{5}}{5 x ^{2}} = \frac{2}{5} x^{3}

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả ba câu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi làm thẳng theo Cách 1: chia hệ số và trừ số mũ trong một dòng, không cần viết dạng phân số trung gian.

Đáp số. a)

3 x^{2}

; b)

- 2

; c)

\frac{2}{5} x^{3}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên số mũ 0 ở câu b), viết sai

(- 2 x^{4}) : x^{4} = - 2 x^{0}

rồi không rút gọn tiếp thành

- 2

; câu c) nhiều em quên viết phân số

\frac{2}{5}

mà làm tròn hoặc bỏ qua hệ số.

🚀 Mở rộng. Quy tắc này mở rộng cho mọi đơn thức nhiều biến:

a x^{m} y^{p} : b x^{n} y^{q} = \frac{a}{b} x^{m - n} y^{p - q}

khi

m \geq n, p \geq q

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 40— Điều kiện chia hết của luỹ thừa cùng cơ số

HĐ2 (trang 40). Giả sử

x \neq = 0

. Hãy cho biết:
a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của

x

cũng là một luỹ thừa của

x

với số mũ nguyên dương?
b) Thương hai luỹ thừa của

x

cùng bậc bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Với $x \neq = 0$ : $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ khi $m \geq n$ ( $m, n \in N$ ).
Số mũ nguyên dương là số nguyên lớn hơn 0; quy ước $x^{0} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi tổng quát về điều kiện của số mũ chứ không cho số cụ thể — dấu hiệu của bài suy luận dựa trên quy tắc chia luỹ thừa cùng cơ số

x^{m} : x^{n} = x^{m - n}

đã học. Hướng làm là xét khi nào hiệu

m - n

là số nguyên dương, và xét riêng trường hợp

m = n

. Bẫy là nhầm 'số mũ nguyên dương' với 'số mũ không âm' — nếu

m = n

thì

x^{m - n} = x^{0} = 1

, đây KHÔNG phải luỹ thừa với số mũ nguyên dương (0 không phải số nguyên dương).

1Cách 1. Biện luận trực tiếp trên công thức

x^{m} : x^{n} = x^{m - n}

Định hướng. Xét dấu của hiệu $m - n$ dựa theo công thức chia luỹ thừa cùng cơ số đã biết.

x^{m} : x^{n} = x^{m - n}

x^{m - n}

là luỹ thừa với số mũ nguyên dương khi và chỉ khi

m - n > 0

, tức

m > n

b) Khi

m = n

x^{m} : x^{n} = x^{m - m} = x^{0} = 1

Vậy a) điều kiện là $m > n$ ; b) thương hai luỹ thừa cùng bậc luôn bằng $1$ .

2Cách 2. Thử với ví dụ số cụ thể rồi khái quát

Định hướng. Chọn vài cặp số mũ cụ thể, tính thương rồi rút ra quy luật chung.

Với

m = 5, n = 2

(

m > n

x^{5} : x^{2} = x^{3}

— luỹ thừa số mũ nguyên dương
Với

m = 3, n = 3

(

m = n

x^{3} : x^{3} = 1

— không phải luỹ thừa số mũ nguyên dương
Với

m = 2, n = 2

x^{2} : x^{2} = 1

— luôn bằng

1

dù chọn bậc nào

Vậy kết quả khái quát trùng Cách 1: cần $m > n$ ở câu a), và thương hai luỹ thừa cùng bậc luôn bằng $1$ ở câu b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biện luận thẳng trên công thức, không cần thử số nên nhanh và chắc chắn đúng với mọi

m, n

Đáp số. a)

m > n

; b) thương hai luỹ thừa cùng bậc luôn bằng

1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: cho rằng

m \geq n

cũng thoả mãn câu a), quên rằng khi

m = n

thì số mũ của thương bằng

0

chứ không phải số nguyên dương.

🚀 Mở rộng. Đây chính là điều kiện

m \geq n

trong công thức tổng quát

a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}

của phép chia hai đơn thức được phát biểu ngay sau hoạt động này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 40— Chia hai đơn thức, hệ số nguyên/phân số/thập phân

Luyện tập 1 (trang 40). Thực hiện các phép chia sau:
a)

3 x^{7} : \frac{1}{2} x^{4}

;
b)

(- 2 x) : x

;
c)

0, 25 x^{5} : (- 5 x^{2})

Kiến thức cần nhớ

$a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}$ với $m \geq n$ .
Chia cho một phân số bằng nhân với phân số nghịch đảo: $a : \frac{p}{q} = a \cdot \frac{q}{p}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đều là phép chia đơn thức cho đơn thức với số mũ của đơn thức bị chia luôn lớn hơn số mũ của đơn thức chia — áp dụng trực tiếp công thức

a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}

vừa được phát biểu. Điểm cần cẩn thận là hệ số ở ba dạng khác nhau: phân số ở câu a), số nguyên ở câu b), số thập phân ở câu c) — dễ sai khi chia phân số cho phân số hoặc đổi số thập phân sang phân số.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức

Định hướng. Áp dụng công thức $a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}$ cho từng câu, giữ nguyên dạng hệ số đề cho.

3 x^{7} : \frac{1}{2} x^{4} = (3 : \frac{1}{2}) x^{7 - 4} = 6 x^{3}

(- 2 x) : x = (- 2 : 1) x^{1 - 1} = - 2

0, 25 x^{5} : (- 5 x^{2}) = (0, 25 : (- 5)) x^{5 - 2} = - 0, 05 x^{3}

Vậy a) $= 6 x^{3}$ ; b) $= - 2$ ; c) $= - 0, 05 x^{3}$ .

2Cách 2. Đổi hệ số về phân số

Định hướng. Đổi hệ số thập phân $0, 25$ và $- 5$ về phân số $\frac{1}{4}$ , $- 5 = \frac{- 5}{1}$ rồi chia phân số cho phân số bằng cách nhân với nghịch đảo.

3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6 \Rightarrow 3 x^{7} : \frac{1}{2} x^{4} = 6 x^{3}

(- 2) : 1 = - 2 \Rightarrow (- 2 x) : x = - 2

0, 25 : (- 5) = \frac{1}{4} : (- 5) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{20} = - 0, 05 \Rightarrow 0, 25 x^{5} : (- 5 x^{2}) = - 0, 05 x^{3}

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả ba câu.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân thương tìm được với đơn thức chia, kết quả phải bằng đúng đơn thức bị chia — cách thử lại nhanh, không cần tính lại từ đầu.

6 x^{3} \cdot \frac{1}{2} x^{4} = 3 x^{7}

(đúng đơn thức bị chia)
b)

(- 2) \cdot x = - 2 x

(đúng)
c)

(- 0, 05 x^{3}) \cdot (- 5 x^{2}) = 0, 25 x^{5}

(đúng)

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1, Cách 2 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng công thức trực tiếp một dòng cho mỗi câu là nhanh nhất; Cách 3 (thử lại bằng phép nhân ngược) nên dùng thêm khi còn thời gian để chắc chắn không sai dấu hay sai hệ số.

Đáp số. a)

6 x^{3}

; b)

- 2

; c)

- 0, 05 x^{3}

(hay

- \frac{1}{20} x^{3}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu a) tính sai

3 : \frac{1}{2} = 1, 5

thay vì

6

(chia cho phân số bé hơn 1 phải cho kết quả lớn hơn); câu c) đổi

0, 25 : (- 5)

sai dấu, ghi nhầm thành

0, 05

dương.

🚀 Mở rộng. Nếu thay hệ số bằng chữ, ví dụ

a x^{7} : b x^{4}

với

a, b

là hai số hữu tỉ bất kì (

b \neq = 0

), cách làm hoàn toàn tương tự: thương là

\frac{a}{b} x^{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 41— Chia đa thức cho đơn thức và chia đa thức cho đa thức

Luyện tập 2 (trang 41). Thực hiện phép chia:
a)

(- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) : 0, 5 x^{2}

;
b)

(9 x^{2} - 4) : (3 x + 2)

Kiến thức cần nhớ

Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lấy hạng tử bậc cao nhất chia hạng tử bậc cao nhất, nhân ngược rồi trừ, lặp lại đến khi dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là đa thức chia cho đơn thức — dấu hiệu để chia từng hạng tử cho đơn thức rồi cộng lại, đúng như phần Chú ý vừa học, không cần đặt tính chia. Câu b) là đa thức chia cho đa thức có hai hạng tử — vì

9 x^{2} - 4

là hiệu hai bình phương

(3 x)^{2} - 2^{2}

nên có thể phân tích thành nhân tử để chia nhanh, hoặc đặt tính chia như mục 2 vừa học. Bẫy ở câu a) là quên chia hệ số

0, 5

(tức chia cho

\frac{1}{2}

, bằng nhân

2

) khiến kết quả sai gấp đôi hoặc giảm một nửa.

1Cách 1. Chia từng hạng tử (câu a) và đặt tính chia (câu b)

Định hướng. Câu a) chia riêng từng hạng tử của đa thức cho đơn thức $0, 5 x^{2}$ rồi cộng lại; câu b) đặt tính chia đa thức $9 x^{2} + 0 x - 4$ cho $3 x + 2$ theo đúng quy trình 5 bước vừa học.

(- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) : 0, 5 x^{2}

= (- x^{6} : 0, 5 x^{2}) + (5 x^{4} : 0, 5 x^{2}) + (- 2 x^{3} : 0, 5 x^{2})

= - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x

9 x^{2} : 3 x = 3 x

;

3 x \cdot (3 x + 2) = 9 x^{2} + 6 x

(9 x^{2} + 0 x - 4) - (9 x^{2} + 6 x) = - 6 x - 4

(- 6 x) : 3 x = - 2

;

(- 2) \cdot (3 x + 2) = - 6 x - 4

(- 6 x - 4) - (- 6 x - 4) = 0

Vậy a) $(- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) : 0, 5 x^{2} = - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x$ ; b) $(9 x^{2} - 4) : (3 x + 2) = 3 x - 2$ (dư $0$ ).

2Cách 2. Viết dạng phân số (câu a) và phân tích hằng đẳng thức (câu b)

Định hướng. Câu a) viết $0, 5 x^{2} = \frac{1}{2} x^{2}$ rồi chia bằng cách nhân với $2$ ; câu b) nhận ra $9 x^{2} - 4$ là hiệu hai bình phương nên phân tích nhân tử trước, rút gọn thẳng với $3 x + 2$ .

(- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) : \frac{1}{2} x^{2} = (- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot \frac{2}{x ^{2}}

= - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x

9 x^{2} - 4 = (3 x)^{2} - 2^{2} = (3 x - 2) (3 x + 2)

(9 x^{2} - 4) : (3 x + 2) = \frac{( 3 x - 2 ) ( 3 x + 2 )}{3 x + 2} = 3 x - 2

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai câu: a) $- 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x$ ; b) $3 x - 2$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân thương tìm được với đa thức/đơn thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(- 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x) \cdot 0, 5 x^{2} = - x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}

(đúng)
b)

(3 x - 2) (3 x + 2) = 9 x^{2} - 4

(đúng, dùng lại hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1, Cách 2 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a) dùng Cách 1 (chia trực tiếp từng hạng tử), câu b) dùng Cách 2 (phân tích hằng đẳng thức) vì nhìn thấy ngay

9 x^{2} - 4

là hiệu hai bình phương thì rút gọn chỉ một dòng, nhanh hơn hẳn đặt tính chia.

Đáp số. a)

- 2 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x

; b)

3 x - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu a) chia

0, 5 x^{2}

mà lại NHÂN với

0, 5

thay vì chia (tức chia đôi kết quả sai thay vì nhân đôi); câu b) đặt tính chia quên hạng tử bậc 1 của

9 x^{2} + 0 x - 4

, làm lệch hàng khi trừ.

🚀 Mở rộng. Câu b) là ví dụ điển hình cho công thức tổng quát: khi

A = (x - a) (x + a)

thì

A : (x + a) = x - a

với mọi

a

, không cần đặt tính chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★Trang 41— Tìm đa thức thương bằng cách đặt tính chia đa thức cho đa thức

Vận dụng (trang 41). Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu: Tìm đa thức

P

sao cho

A = B \cdot P

, trong đó

A = 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2

và

B = x^{2} - 2

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A = B \cdot Q$ với $Q$ là đa thức thì $Q$ chính là thương của phép chia hết $A : B$ .
Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lấy hạng tử bậc cao nhất chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, nhân ngược rồi trừ, lặp lại đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn

A = B \cdot P

với

A, B

là hai đa thức đã biết — dấu hiệu của bài toán tìm thương

P = A : B

bằng cách đặt tính chia đa thức cho đa thức vừa học ở mục 2. Vì đây là bài toán mở đầu, ta cần kiểm tra phép chia có hết hay không: nếu dư cuối cùng bằng

0

thì

P

chính là thương tìm được, và đẳng thức

A = B \cdot P

được xác nhận. Bẫy là đa thức

B = x^{2} - 2

khuyết hạng tử bậc

1

, phải để trống đúng cột khi đặt tính.

1Cách 1. Đặt tính chia đa thức

A

cho đa thức

B

Định hướng. Đặt tính chia $A = 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2$ cho $B = x^{2} - 2$ (viết $B = x^{2} + 0 x - 2$ để không sót cột bậc 1), lặp lại quy trình chia — nhân ngược — trừ cho đến khi dư bằng $0$ .

2 x^{4} : x^{2} = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (x^{2} - 2) = 2 x^{4} - 4 x^{2}

(2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2) - (2 x^{4} - 4 x^{2}) = - 3 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2

(- 3 x^{3}) : x^{2} = - 3 x

;

- 3 x (x^{2} - 2) = - 3 x^{3} + 6 x

(- 3 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2) - (- 3 x^{3} + 6 x) = x^{2} - 2

x^{2} : x^{2} = 1

;

1 \cdot (x^{2} - 2) = x^{2} - 2

(x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) = 0

Vậy $P = 2 x^{2} - 3 x + 1$ (dư $0$ , phép chia hết).

2Cách 2. Hệ số bất định (đồng nhất hai vế)

Định hướng. Vì $A$ bậc $4$ và $B$ bậc $2$ nên $P$ phải là đa thức bậc $2$ ; đặt $P = a x^{2} + b x + c$ , khai triển $B \cdot P$ rồi đồng nhất hệ số hai vế với $A$ .

B \cdot P = (x^{2} - 2) (a x^{2} + b x + c) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} - 2 a x^{2} - 2 b x - 2 c

= a x^{4} + b x^{3} + (c - 2 a) x^{2} - 2 b x - 2 c

Đồng nhất với

A = 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2

a = 2

;

b = - 3

;

c - 2 a = - 3 \Rightarrow c = 1

;

- 2 b = 6

(đúng);

- 2 c = - 2

(đúng)

Vậy $P = 2 x^{2} - 3 x + 1$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân

B \cdot P

Định hướng. Nhân trực tiếp $B$ với $P = 2 x^{2} - 3 x + 1$ vừa tìm được, kết quả phải đúng bằng $A$ .

B \cdot P = (x^{2} - 2) (2 x^{2} - 3 x + 1)

= 2 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 6 x - 2

= 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2

Vậy $B \cdot P = A$ đúng như đề cho, khẳng định $P = 2 x^{2} - 3 x + 1$ là đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia): đây là kĩ năng chính của bài học, luôn cho kết quả chắc chắn dù không đoán trước được bậc hay hệ số của

P

Đáp số.

P = 2 x^{2} - 3 x + 1

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên viết cột bậc

1

của

B = x^{2} - 2

(thực chất là

x^{2} + 0 x - 2

) nên khi trừ bị lệch cột, cộng nhầm hạng tử bậc

1

của

A

vào bậc

2

🚀 Mở rộng. Đây chính là lời giải cho bài toán mở đầu của cả bài học — mọi bài 'tìm đa thức

P

sao cho

A = B \cdot P

' đều quy về phép chia đa thức

A : B

khi

B \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 42— Mô tả quy trình đặt tính chia đa thức có dư

HĐ3 (trang 42). Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức

D = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7

cho đa thức

E = x^{2} + 1

Kiến thức cần nhớ

Quy trình đặt tính chia đa thức: (1) chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia (hoặc dư) cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia được một hạng tử của thương; (2) nhân hạng tử đó với đa thức chia; (3) lấy đa thức bị chia (hoặc dư) trừ đi tích vừa tìm được dư mới; lặp lại đến khi dư bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu mô tả LẠI các bước đã cho sẵn trong bốn dòng tính ở đầu mục 3, chứ không phải tính từ đầu — dấu hiệu của câu hỏi kiểm tra khả năng đọc hiểu quy trình đặt tính chia. Hướng làm là đối chiếu từng dòng phép tính đã cho với hai thao tác lặp lại: 'lấy hạng tử bậc cao nhất chia hạng tử bậc cao nhất' rồi 'nhân ngược lại và trừ'. Bẫy là dễ bỏ sót thao tác nhân trước khi trừ, tưởng nhầm là trừ trực tiếp đa thức chia.

1Cách 1. Mô tả tuần tự theo bốn bước đã thực hiện

Định hướng. Đối chiếu bốn dòng tính đã cho ở đầu mục 3 với hai thao tác lặp lại: chia hạng tử bậc cao nhất rồi nhân ngược, trừ.

Lấy hạng tử bậc cao nhất của

D

là

5 x^{3}

chia cho hạng tử bậc cao nhất của

E

là

x^{2}

, được

5 x^{3} : x^{2} = 5 x

— hạng tử đầu tiên của thương
Nhân

5 x

với

E = x^{2} + 1

được

5 x^{3} + 5 x

, lấy

D

trừ đi tích này được dư thứ nhất

- 3 x^{2} - 6 x + 7

Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất là

- 3 x^{2}

chia cho

x^{2}

, được

- 3

— hạng tử tiếp theo của thương
Nhân

- 3

với

E

được

- 3 x^{2} - 3

, lấy dư thứ nhất trừ đi tích này được dư thứ hai

- 6 x + 10

Vậy quy trình gồm hai lượt lặp lại thao tác 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ', cho thương từng phần $5 x - 3$ và dư thứ hai $- 6 x + 10$ .

2Cách 2. Đối chiếu với công thức tổng quát của phép chia có dư

Định hướng. So khớp bốn bước cụ thể với công thức tổng quát $A = B \cdot Q + R$ , xem mỗi bước tương ứng với phần nào của công thức.

Hạng tử

5 x

và

- 3

lần lượt là các số hạng của thương từng phần

Q_{1} = 5 x - 3

Mỗi lần 'nhân rồi trừ' tương đương với việc tách

D

thành tích của

E

với hạng tử thương, cộng dư mới
Sau hai lượt:

D = E \cdot (5 x - 3) + (- 6 x + 10)

, đúng dạng tổng quát

A = B \cdot Q + R

Vậy cách mô tả bằng công thức tổng quát cho cùng một nội dung như Cách 1, chỉ khác cách trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi mô tả theo Cách 1: bám sát đúng trình tự bốn bước đã làm, không cần quy về công thức tổng quát mất thời gian.

Đáp số. Quy trình gồm hai lượt lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ', cho thương từng phần

5 x - 3

và dư thứ hai

- 6 x + 10

(xem mô tả chi tiết ở Cách 1).

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: mô tả thiếu bước nhân, tưởng nhầm là lấy

D

trừ trực tiếp cho

E

mà không nhân với hạng tử thương trước.

🚀 Mở rộng. Quy trình hai bước 'chia — nhân ngược — trừ' lặp lại này chính là thuật toán chia đa thức tổng quát, giống hệt cách đặt tính chia hai số tự nhiên đã học ở tiểu học.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★Trang 42— Điều kiện dừng của phép chia đa thức có dư

HĐ4 (trang 42). Kí hiệu dư thứ hai là

G = - 6 x + 10

. Đa thức này có bậc bằng

1

. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$ : đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$ .
Phép chia dừng lại ngay khi dư đạt điều kiện trên.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bậc của dư thứ hai (

1

) và ngầm nhắc bậc của đa thức chia

E = x^{2} + 1

(bậc

2

) — dấu hiệu của câu hỏi về điều kiện dừng phép chia đã học ở khung kiến thức cuối mục 3. Hướng làm là so sánh trực tiếp hai bậc này: bậc dư nhỏ hơn bậc đa thức chia thì dừng. Bẫy là nhầm lẫn giữa 'không chia hết được nữa' với 'phép tính bị sai', trong khi đây là điều BÌNH THƯỜNG của phép chia có dư.

1Cách 1. So sánh bậc của dư với bậc của đa thức chia

Định hướng. Đối chiếu bậc của $G = - 6 x + 10$ với bậc của $E = x^{2} + 1$ theo đúng điều kiện dừng đã nêu trong khung kiến thức.

Bậc của

G = - 6 x + 10

là

1

Bậc của

E = x^{2} + 1

là

2

1 < 2

Vậy phép chia KHÔNG thể tiếp tục được nữa, vì bậc của dư ( $1$ ) đã nhỏ hơn bậc của đa thức chia ( $2$ ) — đúng điều kiện dừng của phép chia có dư.

2Cách 2. Thử chia tiếp để thấy kết quả không hợp lệ

Định hướng. Giả sử vẫn cố lấy hạng tử bậc cao nhất của $G$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của $E$ , xem kết quả có phải đơn thức hợp lệ hay không.

Hạng tử bậc cao nhất của

G

là

- 6 x

(bậc

1

)
Hạng tử bậc cao nhất của

E

là

x^{2}

(bậc

2

)

(- 6 x) : x^{2} = - 6 x^{- 1}

— số mũ âm, không phải đơn thức hợp lệ trong thương đa thức

Vậy việc cố chia tiếp cho ra một biểu thức không phải đơn thức (số mũ âm), xác nhận lại kết luận của Cách 1: phép chia phải dừng ở đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trả lời theo Cách 1: so bậc trực tiếp là đủ và nhanh nhất, không cần chứng minh bằng phản ví dụ.

Đáp số. Không, vì bậc của

G

(bằng

1

) đã nhỏ hơn bậc của

E

(bằng

2

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: nghĩ rằng còn hạng tử khác

0

trong dư thì phải chia tiếp cho bằng

0

mới thôi, quên mất điều kiện dừng chỉ phụ thuộc vào BẬC chứ không phải dư có bằng

0

hay không.

🚀 Mở rộng. Điều kiện 'dư bằng

0

hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia' hoàn toàn giống điều kiện dừng khi chia hai số tự nhiên (số dư luôn nhỏ hơn số chia).

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ5★Trang 42— Kiểm tra đẳng thức chia có dư bằng phép nhân và cộng ngược

HĐ5 (trang 42). Hãy kiểm tra lại đẳng thức:

D = E \cdot (5 x - 3) + G

Kiến thức cần nhớ

Khi chia đa thức $A$ cho $B$ được thương $Q$ và dư $R$ thì luôn có đẳng thức $A = B \cdot Q + R$ .
Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử rồi cộng các tích, thu gọn theo bậc giảm dần.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu kiểm tra lại một đẳng thức cụ thể — dấu hiệu của bài toán chỉ cần thực hiện phép nhân và cộng rồi so sánh với

D

đã cho ban đầu, không cần chia lại từ đầu. Hướng làm là khai triển

E \cdot (5 x - 3)

trước, cộng thêm

G

, rồi đối chiếu từng hạng tử với

D = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7

1Cách 1. Khai triển

E \cdot (5 x - 3)

rồi cộng

G

Định hướng. Nhân $E = x^{2} + 1$ với $5 x - 3$ , thu gọn, rồi cộng thêm $G = - 6 x + 10$ , so sánh kết quả với $D$ .

E \cdot (5 x - 3) = (x^{2} + 1) (5 x - 3)

= 5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3

E \cdot (5 x - 3) + G = (5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3) + (- 6 x + 10)

= 5 x^{3} - 3 x^{2} + (5 x - 6 x) + (- 3 + 10)

= 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7

Vậy $E \cdot (5 x - 3) + G = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7 = D$ , đẳng thức đúng.

2Cách 2. Phân phối riêng từng hạng tử của

E

Định hướng. Nhân riêng $x^{2} \cdot (5 x - 3)$ và $1 \cdot (5 x - 3)$ rồi cộng lại, cách làm tách bạch từng bước phân phối.

x^{2} \cdot (5 x - 3) = 5 x^{3} - 3 x^{2}

1 \cdot (5 x - 3) = 5 x - 3

E \cdot (5 x - 3) = (5 x^{3} - 3 x^{2}) + (5 x - 3) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3

Cộng

G

(5 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3) + (- 6 x + 10) = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7

Vậy kết quả trùng Cách 1: $E \cdot (5 x - 3) + G = D$ , đẳng thức được xác nhận đúng.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để kiểm tra nhanh

Định hướng. Thay $x = 1$ vào cả hai vế; nếu hai vế bằng nhau tại một giá trị thì đây là dấu hiệu tốt (không thay thế hoàn toàn cho khai triển, chỉ dùng kiểm tra nhanh).

Vế trái:

D (1) = 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 7 = 5 - 3 - 1 + 7 = 8

Vế phải:

E (1) \cdot (5 \cdot 1 - 3) + G (1) = (1^{2} + 1) (5 - 3) + (- 6 + 10) = 2 \cdot 2 + 4 = 8

Vậy hai vế cùng bằng $8$ tại $x = 1$ , phù hợp với kết quả khai triển đầy đủ ở Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển trực tiếp rồi cộng, đủ để khẳng định chắc chắn đẳng thức đúng với MỌI

x

; Cách 3 (thay số) chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh, không thay thế được khai triển đầy đủ.

Đáp số.

E \cdot (5 x - 3) + G = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7 = D

— đẳng thức đúng.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên cộng dư

G

vào sau khi nhân

E

với

(5 x - 3)

, chỉ kiểm tra

E \cdot (5 x - 3)

rồi kết luận sai là không bằng

D

🚀 Mở rộng. Đẳng thức

A = B \cdot Q + R

này chính là cách kiểm tra lại mọi phép chia đa thức có dư, tương tự phép thử lại Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư đã học với số tự nhiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★Trang 42— Đặt tính chia đa thức bậc bốn cho đa thức bậc hai, trường hợp có dư

Luyện tập 3 (trang 42). Tìm dư

R

và thương

Q

trong phép chia đa thức

A = 3 x^{4} - 6 x - 5

cho đa thức

B = x^{2} + 3 x - 1

rồi viết

A

dưới dạng

A = B \cdot Q + R

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.
Đa thức bị chia bậc $m$ chia đa thức chia bậc $n$ ( $m \geq n$ ) cho thương bậc $m - n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức bị chia

A = 3 x^{4} - 6 x - 5

khuyết hạng tử bậc

3

và bậc

2

— dấu hiệu cần viết đủ các hạng tử khuyết bằng hệ số

0

khi đặt tính, tránh lệch cột trong quá trình trừ. Hướng làm là đặt tính chia liên tiếp ba lần (vì

A

bậc

4

B

bậc

2

, thương sẽ có bậc

4 - 2 = 2

, gồm ba hạng tử) cho đến khi dư có bậc nhỏ hơn

2

. Bẫy là dừng sớm khi thấy dư còn hạng tử bậc

2

(nhầm là đã đủ nhỏ hơn bậc của

A

thay vì phải nhỏ hơn bậc của

B

1Cách 1. Đặt tính chia, viết đủ hạng tử khuyết bằng hệ số

0

Định hướng. Viết $A = 3 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} - 6 x - 5$ để không sót cột, rồi đặt tính chia cho $B = x^{2} + 3 x - 1$ theo ba lượt lặp.

3 x^{4} : x^{2} = 3 x^{2}

;

3 x^{2} (x^{2} + 3 x - 1) = 3 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2}

(3 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} - 6 x - 5) - (3 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2}) = - 9 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 5

(- 9 x^{3}) : x^{2} = - 9 x

;

- 9 x (x^{2} + 3 x - 1) = - 9 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x

(- 9 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 5) - (- 9 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x) = 30 x^{2} - 15 x - 5

30 x^{2} : x^{2} = 30

;

30 (x^{2} + 3 x - 1) = 30 x^{2} + 90 x - 30

(30 x^{2} - 15 x - 5) - (30 x^{2} + 90 x - 30) = - 105 x + 25

Vậy $Q = 3 x^{2} - 9 x + 30$ và $R = - 105 x + 25$ (bậc $1$ , nhỏ hơn bậc $2$ của $B$ nên dừng).

2Cách 2. Hệ số bất định cho thương rồi giải hệ số

Định hướng. Vì $Q$ bậc $2$ , đặt $Q = a x^{2} + b x + c$ và $R = d x + e$ (bậc $1$ ), khai triển $B \cdot Q + R$ rồi đồng nhất hệ số với $A$ .

B \cdot Q = (x^{2} + 3 x - 1) (a x^{2} + b x + c)

= a x^{4} + (b + 3 a) x^{3} + (c + 3 b - a) x^{2} + (3 c - b) x - c

Đồng nhất với

A = 3 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} - 6 x - 5

(cộng thêm

d x + e

vào hai hạng tử cuối):

a = 3

;

b + 3 a = 0 \Rightarrow b = - 9

;

c + 3 b - a = 0 \Rightarrow c = 30

;

(3 c - b) + d = - 6 \Rightarrow d = - 105

;

- c + e = - 5 \Rightarrow e = 25

Vậy $Q = 3 x^{2} - 9 x + 30$ , $R = - 105 x + 25$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân

B \cdot Q

rồi cộng

R

Định hướng. Nhân trực tiếp $B$ với $Q = 3 x^{2} - 9 x + 30$ vừa tìm được, cộng thêm $R = - 105 x + 25$ , kết quả phải đúng bằng $A$ .

B \cdot Q = (x^{2} + 3 x - 1) (3 x^{2} - 9 x + 30)

= 3 x^{4} - 9 x^{3} + 30 x^{2} + 9 x^{3} - 27 x^{2} + 90 x - 3 x^{2} + 9 x - 30

= 3 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 99 x - 30

B \cdot Q + R = (3 x^{4} + 99 x - 30) + (- 105 x + 25) = 3 x^{4} - 6 x - 5

Vậy $B \cdot Q + R = A$ đúng, khẳng định $Q = 3 x^{2} - 9 x + 30$ , $R = - 105 x + 25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia): quy trình cố định, ít khả năng sai hơn so với đặt hệ số bất định; nên dùng thêm Cách 3 để thử lại nếu còn thời gian.

Đáp số.

Q = 3 x^{2} - 9 x + 30

R = - 105 x + 25

;

A = (x^{2} + 3 x - 1) (3 x^{2} - 9 x + 30) + (- 105 x + 25)

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: quên viết hạng tử

0 x^{3}

và

0 x^{2}

khi đặt tính, dẫn đến cộng nhầm hạng tử bậc

3

của

A

(vốn bằng

0

) với hạng tử bậc

3

sinh ra trong quá trình nhân ngược.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đa thức chia thành đa thức bậc hai khác với hệ số khác, quy trình đặt tính hoàn toàn tương tự — chỉ số liệu ở mỗi bước thay đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Thử thách nhỏ★★★Trang 42— Nhận ra dư của phép chia bằng cách quan sát mà không cần đặt tính chia đầy đủ

Thử thách nhỏ (trang 42). Đố Vuông tìm được dư trong phép chia

x^{3} - 3 x^{2} + x - 1

cho

x^{2} - 3 x

. Vuông nói: "Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là

x - 1

." Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A - C \cdot B$ (với $C$ là một đơn thức) có bậc nhỏ hơn bậc của $B$ thì $C$ chính là thương và $A - C \cdot B$ chính là dư — không cần đặt tính chia nhiều bước.
Điều kiện dừng: dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức bị chia

x^{3} - 3 x^{2} + x - 1

có hai hạng tử đầu

x^{3} - 3 x^{2}

trùng khớp hoàn toàn với tích

x \cdot (x^{2} - 3 x)

— đây chính là dấu hiệu Vuông nhận ra ngay để khỏi phải đặt tính chia đầy đủ. Hướng làm là kiểm tra xem tích của

x

với đa thức chia có bằng đúng vài hạng tử đầu của đa thức bị chia hay không; nếu đúng thì phần còn lại chính là dư (khi bậc của nó đã nhỏ hơn bậc đa thức chia). Bẫy là vẫn máy móc đặt tính chia đầy đủ dù có thể nhìn ra ngay, mất thời gian không cần thiết.

1Cách 1. Đặt tính chia đầy đủ theo đúng quy trình

Định hướng. Đặt tính chia $x^{3} - 3 x^{2} + x - 1$ cho $x^{2} - 3 x$ theo quy trình đã học, xem kết quả có đúng như Vuông nói không.

x^{3} : x^{2} = x

;

x \cdot (x^{2} - 3 x) = x^{3} - 3 x^{2}

(x^{3} - 3 x^{2} + x - 1) - (x^{3} - 3 x^{2}) = x - 1

Bậc của

x - 1

là

1

, nhỏ hơn bậc

2

của

x^{2} - 3 x

nên dừng

Vậy thương là $x$ , dư là $x - 1$ — đúng như Vuông nói.

2Cách 2. Quan sát trực tiếp hai hạng tử đầu (cách của Vuông)

Định hướng. So sánh ngay hai hạng tử đầu $x^{3} - 3 x^{2}$ của đa thức bị chia với tích $x \cdot (x^{2} - 3 x)$ , không cần đặt tính chia.

x \cdot (x^{2} - 3 x) = x^{3} - 3 x^{2}

— trùng khớp CHÍNH XÁC với hai hạng tử đầu của

x^{3} - 3 x^{2} + x - 1

Phần còn lại của đa thức bị chia là

x - 1

Bậc của

x - 1

(bằng

1

) đã nhỏ hơn bậc của

x^{2} - 3 x

(bằng

2

) nên

x - 1

chính là dư ngay lập tức, không cần chia tiếp

Vậy Vuông làm nhanh vì nhận ra $x^{3} - 3 x^{2}$ vừa khớp đúng $x \cdot (x^{2} - 3 x)$ , nên phần dư $x - 1$ hiện ra ngay mà không cần đặt tính chia.

3Cách 3. Kiểm tra bằng đẳng thức

A = B \cdot Q + R

Định hướng. Giả sử thương là $x$ và dư là $x - 1$ như Vuông nói, nhân $B$ với thương rồi cộng dư, xem có bằng đúng $A$ hay không.

B \cdot Q + R = (x^{2} - 3 x) \cdot x + (x - 1)

= x^{3} - 3 x^{2} + x - 1

Vậy $B \cdot Q + R = x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 = A$ đúng, xác nhận dư $x - 1$ mà Vuông tìm ra là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nhận ra nhanh theo Cách 2 khi hạng tử bậc cao của đa thức chia CHỈ có một hạng tử khớp gọn với đa thức bị chia; nếu không chắc chắn thì vẫn nên đặt tính chia đầy đủ như Cách 1 để tránh nhầm.

Đáp số. Thương là

x

, dư là

x - 1

. Vuông làm nhanh vì

x \cdot (x^{2} - 3 x) = x^{3} - 3 x^{2}

trùng khớp ngay với hai hạng tử đầu của đa thức bị chia, phần còn lại

x - 1

đã có bậc nhỏ hơn đa thức chia nên chính là dư.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: thấy hai hạng tử đầu trùng khớp liền kết luận dư là toàn bộ phần còn lại mà quên kiểm tra bậc của phần còn lại có thực sự nhỏ hơn bậc đa thức chia hay không.

🚀 Mở rộng. Cách quan sát nhanh này chỉ dùng được khi thương chỉ có một hạng tử (đơn thức); nếu thương có nhiều hạng tử thì vẫn phải đặt tính chia đầy đủ như Luyện tập 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 7.30★Trang 43— Chia hai đơn thức, hệ số nguyên/phân số/thập phân, có luỹ thừa của

(- x)

Bài 7.30 (trang 43). Tính:
a)

8 x^{5} : 4 x^{3}

;
b)

120 x^{7} : (- 24 x^{5})

;
c)

\frac{3}{4} (- x)^{3} : \frac{1}{8} x

;
d)

- 3, 72 x^{4} : (- 4 x^{2})

Kiến thức cần nhớ

$a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}$ với $m \geq n$ .
Luỹ thừa bậc lẻ của số âm là số âm: $(- x)^{3} = - x^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu đều là chia đơn thức cho đơn thức áp dụng trực tiếp công thức

a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}

. Câu c) có thêm bước rút gọn

(- x)^{3} = - x^{3}

trước khi chia — bẫy hay gặp là quên đổi dấu luỹ thừa bậc lẻ của số âm.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức chia hai đơn thức

Định hướng. Rút gọn $(- x)^{3} = - x^{3}$ ở câu c) rồi áp dụng công thức chia hệ số, trừ số mũ cho cả bốn câu.

8 x^{5} : 4 x^{3} = (8 : 4) x^{5 - 3} = 2 x^{2}

120 x^{7} : (- 24 x^{5}) = (120 : (- 24)) x^{7 - 5} = - 5 x^{2}

\frac{3}{4} (- x)^{3} : \frac{1}{8} x = - \frac{3}{4} x^{3} : \frac{1}{8} x = (- \frac{3}{4} : \frac{1}{8}) x^{3 - 1} = - 6 x^{2}

- 3, 72 x^{4} : (- 4 x^{2}) = (- 3, 72 : (- 4)) x^{4 - 2} = 0, 93 x^{2}

Vậy a) $2 x^{2}$ ; b) $- 5 x^{2}$ ; c) $- 6 x^{2}$ ; d) $0, 93 x^{2}$ .

2Cách 2. Viết dạng phân số rồi rút gọn hệ số

Định hướng. Viết mỗi phép chia dưới dạng phân thức (hệ số bị chia trên hệ số chia) rồi rút gọn về phân số tối giản hoặc số thập phân.

\frac{8 x ^{5}}{4 x ^{3}} = \frac{8}{4} x^{2} = 2 x^{2}

\frac{120 x ^{7}}{- 24 x ^{5}} = - \frac{120}{24} x^{2} = - 5 x^{2}

\frac{- \frac{3}{4} x ^{3}}{\frac{1}{8} x} = - \frac{3}{4} \cdot 8 \cdot x^{2} = - 6 x^{2}

\frac{- 3 , 72 x ^{4}}{- 4 x ^{2}} = \frac{3 , 72}{4} x^{2} = 0, 93 x^{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả bốn câu.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân mỗi thương tìm được với đơn thức chia, kết quả phải đúng bằng đơn thức bị chia ban đầu.

2 x^{2} \cdot 4 x^{3} = 8 x^{5}

(đúng)
b)

(- 5 x^{2}) \cdot (- 24 x^{5}) = 120 x^{7}

(đúng)
c)

(- 6 x^{2}) \cdot \frac{1}{8} x = - \frac{3}{4} x^{3}

(đúng, bằng

\frac{3}{4} (- x)^{3}

)
d)

0, 93 x^{2} \cdot (- 4 x^{2}) = - 3, 72 x^{4}

(đúng)

Vậy cả bốn kết quả đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn luỹ thừa của số âm trước (nếu có) rồi áp dụng công thức chia trực tiếp, không cần viết phân thức trung gian.

Đáp số. a)

2 x^{2}

; b)

- 5 x^{2}

; c)

- 6 x^{2}

; d)

0, 93 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu c) quên đổi dấu khi tính

(- x)^{3} = - x^{3}

, tính nhầm thành

x^{3}

dẫn đến sai dấu cả kết quả; câu d) chia hai số âm nhưng lại giữ dấu âm ở kết quả.

🚀 Mở rộng. Bài này ôn lại đủ ba dạng hệ số (nguyên, phân số, thập phân) của quy tắc chia hai đơn thức vừa học ở đầu bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 7.31★Trang 43— Chia đa thức cho đơn thức

Bài 7.31 (trang 43). Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a)

(- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x) : (- 5 x)

;
b)

(- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2}) : 2 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương lại.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều là đa thức chia cho đơn thức — áp dụng cách chia từng hạng tử vừa học ở phần Chú ý, không cần đặt tính chia. Bẫy ở câu a) là hạng tử

18 x : (- 5 x)

cho kết quả là số thập phân âm chứ không phải số nguyên, dễ bị bỏ qua hoặc làm tròn sai.

1Cách 1. Chia từng hạng tử rồi cộng lại

Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia, giữ nguyên dấu của từng hạng tử.

(- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x) : (- 5 x)

= (- 5 x^{3} : (- 5 x)) + (15 x^{2} : (- 5 x)) + (18 x : (- 5 x))

= x^{2} - 3 x - 3, 6

(- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2}) : 2 x^{2}

= (- 2 x^{5} : 2 x^{2}) + (- 4 x^{3} : 2 x^{2}) + (3 x^{2} : 2 x^{2})

= - x^{3} - 2 x + 1, 5

Vậy a) $= x^{2} - 3 x - 3, 6$ ; b) $= - x^{3} - 2 x + 1, 5$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung rồi rút gọn

Định hướng. Viết đa thức bị chia dưới dạng tích của đơn thức chia với một đa thức khác (nếu có nhân tử chung), rồi rút gọn trực tiếp.

- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x = (- 5 x) \cdot x^{2} + (- 5 x) \cdot (- 3 x) + (- 5 x) \cdot (- 3, 6) = (- 5 x) (x^{2} - 3 x - 3, 6)

\Rightarrow (- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x) : (- 5 x) = x^{2} - 3 x - 3, 6

- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2} = 2 x^{2} \cdot (- x^{3}) + 2 x^{2} \cdot (- 2 x) + 2 x^{2} \cdot 1, 5 = 2 x^{2} (- x^{3} - 2 x + 1, 5)

\Rightarrow (- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2}) : 2 x^{2} = - x^{3} - 2 x + 1, 5

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai câu.

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân thương tìm được với đơn thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(x^{2} - 3 x - 3, 6) \cdot (- 5 x) = - 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x

(đúng)
b)

(- x^{3} - 2 x + 1, 5) \cdot 2 x^{2} = - 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2}

(đúng)

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1, Cách 2 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia từng hạng tử trực tiếp là nhanh nhất, không cần tìm nhân tử chung trước.

Đáp số. a)

x^{2} - 3 x - 3, 6

; b)

- x^{3} - 2 x + 1, 5

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu a) tính

18 x : (- 5 x)

ra số nguyên do làm tròn sai, quên rằng

18 : 5 = 3, 6

; câu b) quên đổi dấu khi chia

- 4 x^{3} : 2 x^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đơn thức chia có nhân tử chung với TẤT CẢ hạng tử của đa thức bị chia (như ở đây), có thể rút gọn nhanh bằng cách đặt nhân tử chung thay vì chia từng hạng tử — đây chính là nội dung Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 7.32★★Trang 43— Đặt tính chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Bài 7.32 (trang 43). Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:
a)

(6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3) : (3 x - 1)

;
b)

(4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9) : (2 x^{2} - 3)

Kiến thức cần nhớ

Đặt tính chia đa thức cho đa thức: lặp lại 'chia hạng tử bậc cao nhất — nhân ngược — trừ' cho đến khi dư bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều yêu cầu ĐẶT TÍNH CHIA (không được dùng cách nhẩm nhanh) — dấu hiệu ôn lại đúng quy trình 5 bước ở mục 2. Đa thức bị chia câu b) khuyết hạng tử bậc

2

(

4 x^{4} + 14 x^{3} + 0 x^{2} - 21 x - 9

), cần để trống đúng cột. Bẫy là dừng đặt tính quá sớm khi thấy dư có vẻ 'gọn' mà quên kiểm tra dư đã thực sự bằng

0

hay chưa.

1Cách 1. Đặt tính chia theo đúng 5 bước

Định hướng. Đặt tính chia cho từng câu, viết đủ hạng tử khuyết bằng hệ số $0$ ở câu b).

6 x^{3} : 3 x = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (3 x - 1) = 6 x^{3} - 2 x^{2}

(6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3) - (6 x^{3} - 2 x^{2}) = - 9 x + 3

(- 9 x) : 3 x = - 3

;

- 3 (3 x - 1) = - 9 x + 3

(- 9 x + 3) - (- 9 x + 3) = 0

4 x^{4} : 2 x^{2} = 2 x^{2}

;

2 x^{2} (2 x^{2} - 3) = 4 x^{4} - 6 x^{2}

(4 x^{4} + 14 x^{3} + 0 x^{2} - 21 x - 9) - (4 x^{4} - 6 x^{2}) = 14 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x - 9

14 x^{3} : 2 x^{2} = 7 x

;

7 x (2 x^{2} - 3) = 14 x^{3} - 21 x

(14 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x - 9) - (14 x^{3} - 21 x) = 6 x^{2} - 9

6 x^{2} : 2 x^{2} = 3

;

3 (2 x^{2} - 3) = 6 x^{2} - 9

(6 x^{2} - 9) - (6 x^{2} - 9) = 0

Vậy a) thương $2 x^{2} - 3$ , dư $0$ ; b) thương $2 x^{2} + 7 x + 3$ , dư $0$ .

2Cách 2. Nhóm hạng tử để tìm nhân tử chung trước

Định hướng. Nhóm các hạng tử của đa thức bị chia để xuất hiện nhân tử chung với đa thức chia, rồi rút gọn trực tiếp thay vì đặt tính đủ 5 bước.

6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3 = 2 x^{2} (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = (3 x - 1) (2 x^{2} - 3)

\Rightarrow (6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3) : (3 x - 1) = 2 x^{2} - 3

4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9 = 2 x^{2} (2 x^{2} - 3) + 7 x (2 x^{2} - 3) + 3 (2 x^{2} - 3) = (2 x^{2} - 3) (2 x^{2} + 7 x + 3)

\Rightarrow (4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9) : (2 x^{2} - 3) = 2 x^{2} + 7 x + 3

Vậy kết quả trùng Cách 1 ở cả hai câu, dư đều bằng $0$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân thương tìm được với đa thức chia, kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(3 x - 1) (2 x^{2} - 3) = 6 x^{3} - 9 x - 2 x^{2} + 3 = 6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3

(đúng)
b)

(2 x^{2} - 3) (2 x^{2} + 7 x + 3) = 4 x^{4} + 14 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 21 x - 9 = 4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9

(đúng)

Vậy cả hai kết quả đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đặt tính chia): đề đã yêu cầu rõ 'bằng cách đặt tính chia' nên phải trình bày đủ các bước; Cách 2 (nhóm nhân tử chung) dùng để thử lại kết quả nhanh.

Đáp số. a) thương

2 x^{2} - 3

, dư

0

; b) thương

2 x^{2} + 7 x + 3

, dư

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu b) quên viết hạng tử

0 x^{2}

khi đặt tính cho

4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9

, làm lệch cột khi trừ ở bước tiếp theo.

🚀 Mở rộng. Cả hai câu đều là phép chia hết (dư

0

), nghĩa là đa thức chia là một nhân tử của đa thức bị chia — kiến thức này sẽ được dùng lại khi phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 7.33★★★Trang 43— Chia đa thức cho đơn thức với số mũ thay đổi — điều kiện để kết quả là một đa thức

Bài 7.33 (trang 43). Thực hiện phép chia

0, 5 x^{5} + 3, 2 x^{3} - 2 x^{2}

cho

0, 25 x^{n}

trong mỗi trường hợp sau:
a)

n = 2

;
b)

n = 3

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức $a x^{m}$ chia hết cho đơn thức $b x^{n}$ (cho ra đơn thức, tức số mũ nguyên không âm) khi và chỉ khi $m \geq n$ .
Một đa thức chia cho một đơn thức chỉ cho kết quả là ĐA THỨC khi TẤT CẢ các hạng tử đều chia hết cho đơn thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề giữ nguyên đa thức bị chia và chỉ thay đổi số mũ

n

của đơn thức chia — dấu hiệu của bài toán kiểm tra hiểu biết về điều kiện

m \geq n

để MỖI hạng tử chia hết cho đơn thức. Với

n = 2

, mọi hạng tử (

x^{5}, x^{3}, x^{2}

) đều có số mũ

\geq 2

nên chia hết, kết quả là một đa thức. Với

n = 3

, hạng tử

- 2 x^{2}

có số mũ

2 < 3

, chia sẽ cho số mũ ÂM — bẫy chính của bài là nhận ra kết quả câu b) KHÔNG PHẢI là một đa thức.

1Cách 1. Chia từng hạng tử ứng với từng giá trị

n

Định hướng. Chia riêng ba hạng tử $0, 5 x^{5}$ , $3, 2 x^{3}$ , $- 2 x^{2}$ cho $0, 25 x^{n}$ ở mỗi trường hợp, theo dõi số mũ kết quả.

n = 2

0, 5 x^{5} : 0, 25 x^{2} = 2 x^{3}

;

3, 2 x^{3} : 0, 25 x^{2} = 12, 8 x

;

- 2 x^{2} : 0, 25 x^{2} = - 8

\Rightarrow (0, 5 x^{5} + 3, 2 x^{3} - 2 x^{2}) : 0, 25 x^{2} = 2 x^{3} + 12, 8 x - 8

n = 3

0, 5 x^{5} : 0, 25 x^{3} = 2 x^{2}

;

3, 2 x^{3} : 0, 25 x^{3} = 12, 8

;

- 2 x^{2} : 0, 25 x^{3} = - 8 x^{- 1}

Vậy a) kết quả là đa thức $2 x^{3} + 12, 8 x - 8$ ; b) hạng tử cuối cho số mũ âm ( $- 8 x^{- 1} = - \frac{8}{x}$ ) nên kết quả KHÔNG PHẢI là một đa thức.

2Cách 2. So sánh bậc từng hạng tử với bậc đơn thức chia trước khi chia

Định hướng. Đối chiếu số mũ của $x$ ở mỗi hạng tử ( $5, 3, 2$ ) với $n$ TRƯỚC khi tính, để dự đoán kết quả có phải đa thức hay không.

n = 2

: cả ba số mũ

5, 3, 2

đều

\geq 2

nên cả ba phép chia hạng tử đều hợp lệ, cho đơn thức
b)

n = 3

: số mũ

5 \geq 3

(hợp lệ),

3 \geq 3

(hợp lệ), nhưng

2 < 3

(KHÔNG hợp lệ với hạng tử

- 2 x^{2}

)

Vậy dự đoán khớp với Cách 1: $n = 2$ cho kết quả là đa thức, $n = 3$ thì không, vì hạng tử $- 2 x^{2}$ có bậc nhỏ hơn $n = 3$ .

3Cách 3. Thử lại kết quả câu a) bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân đa thức thương tìm được ở câu a) với đơn thức chia $0, 25 x^{2}$ , kết quả phải đúng bằng đa thức bị chia ban đầu.

(2 x^{3} + 12, 8 x - 8) \cdot 0, 25 x^{2}

= 0, 5 x^{5} + 3, 2 x^{3} - 2 x^{2}

Vậy kết quả câu a) được xác nhận đúng; câu b) không thể thử lại theo cách này vì kết quả không phải là một đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: so bậc trước khi chia giúp phát hiện NGAY câu b) không cho ra đa thức mà không cần tính toán số liệu, tiết kiệm thời gian.

Đáp số. a)

2 x^{3} + 12, 8 x - 8

(là một đa thức); b)

2 x^{2} + 12, 8 - \frac{8}{x}

— KHÔNG PHẢI là một đa thức vì có số mũ âm ở hạng tử cuối.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: ở câu b) vẫn cố viết kết quả là

2 x^{2} + 12, 8 - 8 x^{- 1}

rồi coi đó là đáp số 'đa thức' bình thường, không nhận ra số mũ âm nghĩa là biểu thức không còn là đa thức nữa.

🚀 Mở rộng. Bài này cho thấy: đa thức

A

chia hết cho đơn thức

b x^{n}

(kết quả là đa thức) khi và chỉ khi

n

không vượt quá bậc THẤP NHẤT trong các hạng tử khác

0

của

A

— ở đây bậc thấp nhất là

2

(của

- 2 x^{2}

), nên chỉ

n \leq 2

mới cho kết quả là đa thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 7.34★★Trang 43— Tìm thương và dư khi chia đa thức cho đơn thức (câu a) và cho đa thức bậc hai (câu b)

Bài 7.34 (trang 43). Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương

Q (x)

và dư

R (x)

trong phép chia

F (x)

cho

G (x)

rồi biểu diễn

F (x)

dưới dạng

F (x) = G (x) \cdot Q (x) + R (x)

:
a)

F (x) = 6 x^{4} - 3 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x - 1

;

G (x) = 3 x^{2}

;
b)

F (x) = 12 x^{4} + 10 x^{3} - x - 3

;

G (x) = 3 x^{2} + x + 1

Kiến thức cần nhớ

Nếu $G (x)$ là đơn thức bậc $n$ , hạng tử nào của $F (x)$ có bậc $\geq n$ thì chia được (góp vào thương), hạng tử nào có bậc nhỏ hơn $n$ thì thuộc về dư.
Đa thức dư $R (x)$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $G (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chia cho đơn thức

G (x) = 3 x^{2}

— hai hạng tử cuối

2 x

và

- 1

có bậc nhỏ hơn

2

nên KHÔNG chia hết cho

G (x)

, chúng chính là phần dư

R (x)

; đây là điểm khác biệt so với Luyện tập 2 khi mọi hạng tử đều chia hết. Câu b) chia cho đa thức bậc hai, áp dụng đặt tính chia bình thường. Bẫy ở câu a) là cố chia luôn cả hạng tử

2 x - 1

cho

3 x^{2}

ra số mũ âm, quên mất quy tắc dư phải có bậc nhỏ hơn bậc

G (x)

1Cách 1. Tách hạng tử theo bậc so với

G (x)

(câu a) và đặt tính chia (câu b)

Định hướng. Câu a) tách các hạng tử của $F (x)$ có bậc $\geq 2$ để chia cho $3 x^{2}$ , giữ nguyên các hạng tử bậc nhỏ hơn $2$ làm dư; câu b) đặt tính chia đầy đủ.

6 x^{4} : 3 x^{2} = 2 x^{2}

;

- 3 x^{3} : 3 x^{2} = - x

;

15 x^{2} : 3 x^{2} = 5

(ba hạng tử này chia hết)
Hai hạng tử còn lại

2 x - 1

có bậc nhỏ hơn

2

nên là dư

\Rightarrow Q (x) = 2 x^{2} - x + 5

R (x) = 2 x - 1

12 x^{4} : 3 x^{2} = 4 x^{2}

;

4 x^{2} (3 x^{2} + x + 1) = 12 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}

(12 x^{4} + 10 x^{3} + 0 x^{2} - x - 3) - (12 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2}) = 6 x^{3} - 4 x^{2} - x - 3

6 x^{3} : 3 x^{2} = 2 x

;

2 x (3 x^{2} + x + 1) = 6 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x

(6 x^{3} - 4 x^{2} - x - 3) - (6 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) = - 6 x^{2} - 3 x - 3

- 6 x^{2} : 3 x^{2} = - 2

;

- 2 (3 x^{2} + x + 1) = - 6 x^{2} - 2 x - 2

(- 6 x^{2} - 3 x - 3) - (- 6 x^{2} - 2 x - 2) = - x - 1

Vậy a) $Q (x) = 2 x^{2} - x + 5$ , $R (x) = 2 x - 1$ ; b) $Q (x) = 4 x^{2} + 2 x - 2$ , $R (x) = - x - 1$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân

G (x) \cdot Q (x)

rồi cộng

R (x)

Định hướng. Nhân $G (x)$ với thương vừa tìm được ở Cách 1, cộng thêm dư, kết quả phải đúng bằng $F (x)$ .

3 x^{2} \cdot (2 x^{2} - x + 5) + (2 x - 1) = 6 x^{4} - 3 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x - 1

(3 x^{2} + x + 1) (4 x^{2} + 2 x - 2) + (- x - 1)

= 12 x^{4} + 10 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 2 + (- x - 1)

= 12 x^{4} + 10 x^{3} - x - 3

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều đúng vì nhân ngược lại cho đúng $F (x)$ .

3Cách 3. Hệ số bất định cho câu b)

Định hướng. Vì $F (x)$ bậc $4$ , $G (x)$ bậc $2$ nên $Q (x)$ bậc $2$ ; đặt $Q (x) = a x^{2} + b x + c$ và $R (x) = d x + e$ , khai triển rồi đồng nhất hệ số với $F (x)$ .

G (x) Q (x) + R (x) = (3 x^{2} + x + 1) (a x^{2} + b x + c) + d x + e

= 3 a x^{4} + (3 b + a) x^{3} + (3 c + b + a) x^{2} + (c + b + d) x + (c + e)

Đồng nhất với

12 x^{4} + 10 x^{3} + 0 x^{2} - x - 3

3 a = 12 \Rightarrow a = 4

;

3 b + a = 10 \Rightarrow b = 2

;

3 c + b + a = 0 \Rightarrow c = - 2

;

c + b + d = - 1 \Rightarrow d = - 1

;

c + e = - 3 \Rightarrow e = - 1

Vậy $Q (x) = 4 x^{2} + 2 x - 2$ , $R (x) = - x - 1$ , trùng kết quả Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a) dùng Cách 1 (tách hạng tử theo bậc, không cần đặt tính chia vì chia cho đơn thức); câu b) dùng Cách 1 (đặt tính chia) vì đây là kĩ năng chính đang được luyện; Cách 2 (thử lại) nên làm thêm nếu còn thời gian.

Đáp số. a)

Q (x) = 2 x^{2} - x + 5

R (x) = 2 x - 1

;

F (x) = 3 x^{2} (2 x^{2} - x + 5) + (2 x - 1)

.
b)

Q (x) = 4 x^{2} + 2 x - 2

R (x) = - x - 1

;

F (x) = (3 x^{2} + x + 1) (4 x^{2} + 2 x - 2) + (- x - 1)

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: câu a) cố chia luôn hạng tử

2 x

cho

3 x^{2}

ra số mũ âm rồi coi đó là một phần của thương, quên rằng số mũ âm không hợp lệ nên

2 x - 1

phải là dư; câu b) quên viết hạng tử

0 x^{2}

khi đặt tính.

🚀 Mở rộng. Câu a) là ví dụ cho thấy: khi

G (x)

là đơn thức bậc

n

, dư

R (x)

luôn là TỔNG các hạng tử của

F (x)

có bậc nhỏ hơn

n

— không cần đặt tính chia mà vẫn xác định được dư ngay.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 7.35★★Trang 43— Xác định thương và dư khi bậc đa thức bị chia nhỏ hơn bậc đa thức chia

Bài 7.35 (trang 43). Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức

21 x - 4

cho

3 x^{2}

. Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Kiến thức cần nhớ

Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$ : nếu bậc của $A$ đã nhỏ hơn bậc của $B$ (hoặc $A = 0$ ) thì thương $Q = 0$ và dư $R = A$ .
Đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức bị chia

21 x - 4

có bậc

1

, đa thức chia

3 x^{2}

có bậc

2

— bậc của đa thức bị chia đã NHỎ HƠN bậc của đa thức chia ngay từ đầu, đây là dấu hiệu để nhận ra phép chia không cần thực hiện bước chia — trừ nào cả. Hướng làm là áp dụng thẳng điều kiện của phép chia có dư: nếu

A

đã có bậc nhỏ hơn

B

thì thương bằng

0

và dư chính là

A

. Bẫy khiến Tâm lúng túng là cố lấy

21 x : 3 x^{2}

ra số mũ âm rồi không biết xử lí tiếp thế nào.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp điều kiện so bậc

Định hướng. So sánh bậc của $21 x - 4$ (bằng $1$ ) với bậc của $3 x^{2}$ (bằng $2$ ), áp dụng ngay quy tắc khi đa thức bị chia đã có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

Bậc của

21 x - 4

là

1

Bậc của

3 x^{2}

là

2

1 < 2

, nên

21 x - 4

đã thoả điều kiện của một đa thức DƯ ngay từ đầu

Vậy thương $Q = 0$ , dư $R = 21 x - 4$ : Tâm không cần thực hiện phép chia nào cả, vì đa thức bị chia đã có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

2Cách 2. Thử chia hạng tử bậc cao nhất để thấy không hợp lệ

Định hướng. Thử lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia đem chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, xem có ra đơn thức hợp lệ hay không — đúng chỗ khiến Tâm lúng túng.

21 x : 3 x^{2} = 7 x^{- 1}

— số mũ âm, không phải đơn thức hợp lệ để làm hạng tử của thương
Vậy KHÔNG thể bắt đầu phép chia bằng bước 'chia hạng tử bậc cao nhất' như thông thường

Vậy đây chính là lí do Tâm lúng túng: phép chia không thể bắt đầu, nên phải dừng lại ngay và kết luận như Cách 1: $Q = 0$ , $R = 21 x - 4$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng đẳng thức

A = B \cdot Q + R

Định hướng. Thay $Q = 0$ , $R = 21 x - 4$ vào đẳng thức tổng quát $A = B \cdot Q + R$ , kiểm tra có cho lại đúng $A = 21 x - 4$ hay không.

B \cdot Q + R = 3 x^{2} \cdot 0 + (21 x - 4)

= 21 x - 4

Vậy $B \cdot Q + R = 21 x - 4 = A$ đúng, xác nhận $Q = 0$ và $R = 21 x - 4$ là đáp số hợp lệ duy nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so bậc trực tiếp rồi kết luận ngay

Q = 0

R = A

, không mất thời gian thử chia như Cách 2.

Đáp số. Thương

Q = 0

, dư

R = 21 x - 4

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: cố tìm cách chia

21 x

cho

3 x^{2}

bằng mọi giá, không nhận ra rằng khi bậc đa thức bị chia đã nhỏ hơn bậc đa thức chia thì phép chia dừng ngay từ đầu với thương bằng

0

🚀 Mở rộng. Trường hợp này giống hệt việc chia số tự nhiên nhỏ cho số tự nhiên lớn hơn, ví dụ

5 : 8

: thương bằng

0

và dư bằng chính

5

Mở bài này trong app ↗