Bài 1 · Bài 8.1★★Trang 38— Phân loại biến cố qua tính chính phương và tính chia hết của một dãy số
Bài 8.1 (trang 38). Một túi đựng các quả cầu được đánh số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên? a) Biến cố A: "Quả cầu được lấy có ghi số chính phương". b) Biến cố B: "Quả cầu được lấy có ghi số chia hết cho 3". c) Biến cố C: "Quả cầu được lấy có ghi số chia hết cho 5".
Kiến thức cần nhớ
Số chính phương là bình phương đúng của một số tự nhiên: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; …
Bảy số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên đều chia hết cho 5.
🧠 Phân tích tư duy
Bảy số trên các quả cầu (5; 10; 15; 20; 30; 35; 40) đều là bội của 5 — đây là dấu hiệu để nhận ra ngay biến cố C phải là chắc chắn mà không cần thử từng số. Với A và B phải kiểm tra riêng từng số vì tính chính phương và tính chia hết cho 3 không có quy luật hiển nhiên như chia hết cho 5 trong dãy này.
1Cách 1. Kiểm tra từng số theo từng tính chất
Định hướng. Xét lần lượt bảy số, đối chiếu với tính chính phương, tính chia hết cho 3 và cho 5.
Số chính phương gần các giá trị này là 42=16, 52=25, 62=36, 72=49 — không số nào trùng với 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40, nên không quả cầu nào ghi số chính phương. Chia hết cho 3: 5,10,20,35,40 chia 3 dư khác 0, riêng 15=3×5 và 30=3×10 chia hết cho 3 — có quả thoả, có quả không thoả. Chia hết cho 5: cả bảy số đều tận cùng 0 hoặc 5 nên đều chia hết cho 5.
Vậy A là biến cố không thể, B là biến cố ngẫu nhiên, C là biến cố chắc chắn.
2Cách 2. Đưa các số về dạng bội số để kiểm chứng nhanh
Định hướng. Viết mỗi số dưới dạng 5×k để thấy ngay tính chia hết cho 5, đồng thời xét k có chia hết cho 3 hay không để suy ra số ban đầu có chia hết cho 3 hay không.
5=5×1,10=5×2,15=5×3,20=5×4,30=5×6,35=5×7,40=5×8 — mọi số đều có dạng 5×k nên đều chia hết cho 5, xác nhận biến cố C chắc chắn. Trong dãy k=1,2,3,4,6,7,8: chỉ k=3 và k=6 chia hết cho 3, tương ứng với số ban đầu 15 và 30 — có số chia hết cho 3, có số không, xác nhận biến cố B ngẫu nhiên.
Vậy kết luận cho B, C trùng khớp với Cách 1.
3Cách 3. Loại trừ bằng khoảng giá trị các số chính phương
Định hướng. Xác định các số chính phương nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dãy (5 và 40) rồi đối chiếu trực tiếp, không cần khai căn từng số trong dãy.
Các số chính phương trong khoảng từ 5 đến 40 là 9=32,16=42,25=52,36=62. So sánh bốn số này với dãy 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 thì không có số nào trùng nhau.
Vậy A là biến cố không thể, khớp Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: viết các số dưới dạng 5×k giúp thấy ngay biến cố C chắc chắn và xét nhanh biến cố B qua tính chia hết của k cho 3, không cần thử từng số riêng lẻ như Cách 1.
Đáp số.A là biến cố không thể; B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm 25 có mặt trong dãy số (vì gần với 20, 30) rồi kết luận sai biến cố A là ngẫu nhiên — cần đọc đúng đủ bảy số đề cho, không suy diễn thêm số không có trong đề.
🚀 Mở rộng.Nếu túi có thêm quả cầu ghi số 25 thì biến cố A sẽ trở thành ngẫu nhiên, vì 25=52 là số chính phương.
Bài 2 · Bài 8.2★Trang 38— Nhận biết loại biến cố trong các tình huống đời sống không có số liệu tính toán
Bài 8.2 (trang 38). Điền cụm từ thích hợp (ngẫu nhiên, chắc chắn, không thể) vào chỗ chấm trong các câu sau: a) Biến cố A: "An là một vận động viên điền kinh. Trong giải chạy sắp tới, An sẽ chạy 100 m không quá 30 giây" là biến cố … . b) Biến cố B: "Ngày mai, chất lượng không khí tại Hà Nội ở mức tốt" là biến cố … . c) Biến cố C: "Ông An năm nay 80 tuổi. Ông sẽ sống thọ đến 300 tuổi" là biến cố … .
Kiến thức cần nhớ
Biến cố liên quan tới các yếu tố tự nhiên hoặc phong độ con người thay đổi từng ngày thường là biến cố ngẫu nhiên.
Tuổi thọ con người trên thực tế không vượt quá khoảng 120–130 tuổi, nên mốc 300 tuổi là điều trái với quy luật sinh học.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba biến cố đều là tình huống thực tế, không có phép tính, nên phải dựa vào hiểu biết đời sống để đánh giá mức độ chắc chắn. Dấu hiệu phân biệt: A, B phụ thuộc nhiều yếu tố khách quan thay đổi hằng ngày (phong độ vận động viên, thời tiết, khí hậu) nên không ai khẳng định trước được; còn C nói tới một mốc tuổi thọ vượt xa giới hạn sinh học của con người nên có thể khẳng định chắc chắn không xảy ra.
1Cách 1. Đối chiếu từng biến cố với hiểu biết đời sống
Định hướng. Xét từng biến cố xem có phụ thuộc yếu tố chưa biết trước hay đã trái quy luật tự nhiên.
A: thành tích chạy 100 m của An phụ thuộc phong độ hôm thi đấu, sức khoẻ, thời tiết — không ai khẳng định trước chắc chắn được — biến cố ngẫu nhiên. B: chất lượng không khí phụ thuộc thời tiết, lượng khí thải trong ngày — thay đổi hằng ngày, không biết trước được — biến cố ngẫu nhiên. C: con người trên thực tế không sống thọ tới 300 tuổi (vượt xa kỷ lục tuổi thọ từng ghi nhận) — biến cố không thể.
Vậy A là biến cố ngẫu nhiên, B là biến cố ngẫu nhiên, C là biến cố không thể.
2Cách 2. Kiểm tra bằng phản ví dụ cho A, B và mốc giới hạn sinh học cho C
Định hướng. Với A, B thử hình dung một khả năng biến cố xảy ra và một khả năng không xảy ra; với C, so mốc 300 tuổi với giới hạn tuổi thọ tối đa từng ghi nhận ở người.
A: nếu An sung sức, có thể chạy dưới 30 giây (biến cố xảy ra); nếu An mệt hoặc gặp sự cố, có thể chạy trên 30 giây (biến cố không xảy ra) — tồn tại cả hai khả năng, ngẫu nhiên. B: nếu trời quang, ít phương tiện lưu thông thì không khí có thể tốt; nếu trời hanh khô, nhiều khói bụi thì không khí có thể không tốt — tồn tại cả hai khả năng, ngẫu nhiên. C: kỷ lục tuổi thọ con người từng ghi nhận trên thế giới chỉ khoảng hơn 120 tuổi, còn kém rất xa mốc 300 tuổi — không một trường hợp thực tế nào đạt tới mốc này.
Vậy kết luận trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đối chiếu thẳng với hiểu biết đời sống, không cần dựng thêm ví dụ minh hoạ như Cách 2, vẫn đủ thuyết phục cho dạng bài định tính này.
Đáp số.A là biến cố ngẫu nhiên; B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm C là biến cố ngẫu nhiên vì nghĩ "biết đâu y học tiến bộ" — đề đang xét trong điều kiện hiện tại, tuổi thọ 300 vượt xa mọi kỷ lục từng có nên vẫn phải kết luận không thể.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi C thành "Ông An sẽ sống thọ đến 90 tuổi" thì đây lại là biến cố ngẫu nhiên, vì mốc 90 tuổi hoàn toàn nằm trong khả năng tuổi thọ con người.
Bài 3 · Bài 8.3★★Trang 39— Phân loại biến cố qua phép thử gieo đồng thời ba con xúc xắc
Bài 8.3 (trang 39). An, Bình và Cường mỗi người gieo một con xúc xắc. Điền cụm từ thích hợp (ngẫu nhiên, chắc chắn, không thể) vào ô trống.
Biến cố
Loại biến cố
Số chấm xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều là 6
?
Số chấm xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều nhỏ hơn 7
?
Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 216
?
Kiến thức cần nhớ
Mỗi con xúc xắc có 6 mặt, ghi số chấm từ 1 đến 6.
Tích ba số chấm của ba con xúc xắc lớn nhất bằng 6×6×6=216, đạt được khi cả ba đều ra mặt 6 chấm.
🧠 Phân tích tư duy
Ba con xúc xắc của An, Bình, Cường tạo thành một phép thử gồm ba kết quả độc lập, mỗi kết quả nhận giá trị từ 1 đến 6. Dấu hiệu quan trọng của dòng thứ ba là nhận ra tích ba số chấm lớn nhất có thể đạt được chính là 6×6×6=216 — đúng bằng mốc đề cho — nên "lớn hơn 216" là điều không bao giờ xảy ra. Hai dòng đầu chỉ cần đối chiếu với định nghĩa tương tự các bài trước.
1Cách 1. Đối chiếu từng dòng với định nghĩa ba loại biến cố
Định hướng. Xét khả năng xảy ra của từng biến cố trong phép thử ba xúc xắc, đối chiếu với ba định nghĩa đã học.
Cả ba xúc xắc đều ra 6: có thể xảy ra (khi cả ba đều ra mặt 6 chấm), cũng có thể không xảy ra (khi ít nhất một con ra mặt khác) — biến cố ngẫu nhiên. Cả ba xúc xắc đều nhỏ hơn 7: mỗi mặt xúc xắc chỉ ghi số từ 1 đến 6, luôn nhỏ hơn 7 dù gieo ra mặt nào — biến cố chắc chắn. Tích ba số chấm lớn hơn 216: giá trị lớn nhất có thể của tích là 6×6×6=216, không thể vượt qua chính mốc lớn nhất của nó — biến cố không thể.
Vậy lần lượt: ngẫu nhiên; chắc chắn; không thể.
2Cách 2. Xét cận trên của tích ba số chấm bằng cách tách từng thừa số
Định hướng. Với dòng thứ ba, chứng minh tích không thể vượt quá 216 bằng cách xét từng thừa số không vượt quá 6, tránh nhầm lẫn khi ước lượng nhanh.
Gọi số chấm ba xúc xắc lần lượt là a,b,c với 1≤a,b,c≤6. Vì mỗi thừa số không vượt quá 6 nên tích a×b×c≤6×6×6=216. Dấu bằng chỉ xảy ra khi a=b=c=6; không có bộ ba số chấm nào cho tích vượt quá 216.
Vậy biến cố "tích lớn hơn 216" là biến cố không thể, khớp Cách 1.
3Cách 3. Liệt kê phản ví dụ cho hai dòng đầu để kiểm chứng độc lập
Định hướng. Với hai dòng đầu, chỉ ra cụ thể một kết quả làm biến cố xảy ra, một kết quả làm biến cố không xảy ra (nếu có) để xác nhận loại ngẫu nhiên hay chắc chắn.
Kết quả (6;6;6) làm biến cố "cả ba đều ra 6" xảy ra; kết quả (1;2;3) làm biến cố đó không xảy ra — tồn tại cả hai khả năng, ngẫu nhiên. Thử mọi kết quả có thể như (1;1;1), (6;6;6), (3;5;2): số chấm mỗi con luôn nằm trong 1 đến 6, luôn nhỏ hơn 7 — không tìm được phản ví dụ nào vi phạm, chắc chắn.
Vậy hai dòng đầu được xác nhận lại đúng như Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 cho dòng tích số (chặn từng thừa số bằng 6 là lập luận chặt chẽ, tránh nhầm khi ước lượng); Cách 1 đủ nhanh cho hai dòng đầu.
Đáp số.Số chấm cả ba xúc xắc đều là 6: biến cố ngẫu nhiên. Số chấm cả ba xúc xắc đều nhỏ hơn 7: biến cố chắc chắn. Tích ba số chấm lớn hơn 216: biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: tính nhầm tích lớn nhất của ba xúc xắc là 6+6+6=18 (cộng thay vì nhân) rồi kết luận sai — cần phân biệt rõ đề hỏi TÍCH chứ không phải TỔNG ba số chấm.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi mốc thành "tích các số chấm lớn hơn 200" thì biến cố này sẽ trở thành ngẫu nhiên, vì có bộ ba như (6;6;6) cho tích 216>200 nhưng cũng có bộ ba như (1;1;1) cho tích 1<200.
Bài 4 · Bài 8.4★Trang 39— Phân loại biến cố qua phép thử quay tấm bìa chia sáu phần bằng nhau
Bài 8.4 (trang 39). Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm sáu phần có diện tích bằng nhau và ghi các số La Mã I, II, III, IV, V, VI, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Hiền quay tấm bìa. Xác định loại biến cố cho: a) Biến cố A: "Mũi tên dừng ở hình quạt có ghi số VII". b) Biến cố B: "Mũi tên dừng ở hình quạt có ghi một trong các số I, II, III, IV, V, VI". c) Biến cố C: "Mũi tên dừng ở hình quạt có ghi số I".
Kiến thức cần nhớ
Tấm bìa có đúng 6 hình quạt bằng nhau, ghi số La Mã I, II, III, IV, V, VI — không có hình quạt nào ghi số khác.
Biến cố liệt kê đủ toàn bộ các kết quả có thể của phép thử là biến cố chắc chắn.
🧠 Phân tích tư duy
Tấm bìa chỉ có đúng 6 hình quạt, ghi số La Mã từ I đến VI, không có hình quạt nào ghi số VII — đây là dấu hiệu để nhận ra ngay biến cố A không thể xảy ra. Biến cố B liệt kê đủ cả sáu số ghi trên bìa nên bao trùm toàn bộ phép thử, còn biến cố C chỉ ứng với đúng một trong sáu hình quạt nên là biến cố ngẫu nhiên.
1Cách 1. Đối chiếu từng biến cố với sáu hình quạt trên tấm bìa
Định hướng. Liệt kê đúng sáu kết quả có thể của phép thử (sáu hình quạt I đến VI), rồi so từng biến cố với danh sách đó.
Tấm bìa chỉ có sáu hình quạt ghi I, II, III, IV, V, VI, không có hình quạt nào ghi số VII — mũi tên không bao giờ dừng ở hình quạt ghi VII. Biến cố B liệt kê đủ cả sáu số I, II, III, IV, V, VI — đúng bằng toàn bộ các hình quạt có trên tấm bìa, nên mũi tên dừng ở đâu cũng thoả. Biến cố C chỉ ứng với đúng hình quạt ghi số I, một trong sáu khả năng — có thể mũi tên dừng đúng ở đó, cũng có thể dừng ở một trong năm hình quạt còn lại.
Vậy A là biến cố không thể, B là biến cố chắc chắn, C là biến cố ngẫu nhiên.
2Cách 2. Đếm số hình quạt thuận lợi trên tổng số sáu hình quạt
Định hướng. Đếm số hình quạt thoả mỗi biến cố trong tổng sáu hình quạt; số thuận lợi bằng 0 ứng với không thể, bằng 6 ứng với chắc chắn, ở giữa ứng với ngẫu nhiên.
Số hình quạt ghi số VII trong sáu hình quạt: 0. Số hình quạt ghi một trong các số I đến VI: cả 6 hình quạt đều thoả, bằng đúng tổng số hình quạt. Số hình quạt ghi đúng số I: 1 trong 6 hình quạt.
Vậy A không thể (0 trên 6); B chắc chắn (6 trên 6); C ngẫu nhiên (1 trên 6, không phải 0 cũng không phải 6), khớp Cách 1.
3Cách 3. Nhận ra B là biến cố "chắc chắn hiển nhiên" vì trùng cả không gian mẫu
Định hướng. Nhận diện biến cố B chính là phép liệt kê lại đúng toàn bộ không gian mẫu của phép thử (quay tấm bìa sáu phần), nên không cần đếm mà vẫn khẳng định được ngay là chắc chắn; A ứng với một kết quả nằm ngoài không gian mẫu nên không thể.
Không gian mẫu của phép thử quay tấm bìa là tập sáu kết quả {I; II; III; IV; V; VI}. Biến cố B liệt kê đúng nguyên vẹn tập này — trùng khít với không gian mẫu nên chắc chắn xảy ra. Biến cố A nhắc tới số VII, một phần tử không thuộc không gian mẫu — không thể xảy ra.
Vậy A không thể, B chắc chắn, khớp hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 cho A, B (nhận ra ngay B trùng không gian mẫu, A nằm ngoài không gian mẫu, không cần đếm) và Cách 1 cho C.
Đáp số.A là biến cố không thể; B là biến cố chắc chắn; C là biến cố ngẫu nhiên.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm B là ngẫu nhiên vì thấy đề liệt kê nhiều số (I đến VI) nên nghĩ là chưa chắc chắn — cần nhận ra sáu số đó liệt kê ĐỦ toàn bộ tấm bìa, không thiếu hình quạt nào.
🚀 Mở rộng.Nếu tấm bìa được chia thành bảy phần và có thêm hình quạt ghi số VII thì biến cố A sẽ trở thành ngẫu nhiên, và biến cố B (chỉ liệt kê I đến VI) sẽ không còn là chắc chắn nữa.
