Bài 1 · HĐ1★Trang 47— Nhận biết biến cố ngẫu nhiên trong các sự kiện, hiện tượng thực tế
HĐ1 (trang 47). Đọc các sự kiện, hiện tượng sau và thực hiện HĐ1, HĐ2. ① Mức nước lũ trên sông Hồng trong tháng Bảy sang năm trên mức báo động 3. ② Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía Tây. ③ Có sáu cơn bão đổ bộ vào nước ta trong năm tới. ④ Khi gieo hai con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc đều là 6. ⑤ Khi gieo một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 7. HĐ1. Tìm các sự kiện, hiện tượng không thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không xảy ra.
Kiến thức cần nhớ
Biến cố chắc chắn là biến cố biết trước được luôn xảy ra.
Biến cố không thể là biến cố biết trước được không bao giờ xảy ra.
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho năm sự kiện thuộc bốn nhóm khác nhau: thuỷ văn (①), thiên văn (②), khí tượng (③) và trò chơi xúc xắc (④⑤) — dấu hiệu của dạng phải xét TỪNG sự kiện độc lập rồi đối chiếu với đúng ba định nghĩa vừa học, không được gộp chung suy luận. Hướng an toàn nhất là loại bỏ dần: sự kiện nào biết trước chắc chắn luôn xảy ra hoặc chắc chắn không xảy ra thì gạch bỏ trước, phần còn lại chính là các sự kiện HĐ1 cần tìm. Bẫy nằm ở sự kiện ⑤: xúc xắc chỉ có 6 mặt (từ 1 đến 6) nên nhiều em tưởng nhầm là ngẫu nhiên trong khi mọi kết quả đều thoả mãn điều kiện ngay từ đầu.
1Cách 1. Đối chiếu từng sự kiện với ba định nghĩa
Định hướng. Với mỗi sự kiện, kiểm tra xem nó có luôn đúng, luôn sai hay chưa xác định được bằng hiểu biết thực tế, rồi gạch bỏ hai loại đầu.
① Mức nước lũ vượt báo động 3 phụ thuộc lượng mưa năm sau, chưa biết trước được — sự kiện ngẫu nhiên. ② Mặt Trời luôn mọc ở phía Đông theo quy luật tự nhiên, không bao giờ mọc ở phía Tây — biết trước chắc chắn không xảy ra. ③ Số cơn bão đổ bộ năm tới phụ thuộc thời tiết, chưa biết trước được — sự kiện ngẫu nhiên. ④ Gieo hai xúc xắc, mỗi con ra một số từ 1 đến 6 một cách ngẫu nhiên, không thể biết trước cả hai đều ra 6 hay không — sự kiện ngẫu nhiên. ⑤ Mặt xúc xắc chỉ ghi các số từ 1 đến 6, số chấm luôn bé hơn 7 dù gieo ra mặt nào — biết trước chắc chắn luôn xảy ra.
Vậy các sự kiện không thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không là ①, ③, ④.
2Cách 2. Liệt kê kết quả của phép thử xúc xắc để kiểm chứng riêng ④, ⑤
Định hướng. Với hai sự kiện liên quan xúc xắc, thay vì đoán, liệt kê không gian mẫu để thấy rõ có tồn tại cả kết quả thoả lẫn kết quả không thoả hay không; ①②③ vẫn xét theo kiến thức thực tế như Cách 1.
Gieo một xúc xắc: kết quả có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6. Cả 6 kết quả đều bé hơn 7 nên sự kiện ⑤ luôn đúng với mọi kết quả — không phải sự kiện ngẫu nhiên. Gieo hai xúc xắc: kết quả (6; 6) làm sự kiện ④ xảy ra, kết quả (1; 1) làm sự kiện ④ không xảy ra — tồn tại cả hai khả năng nên ④ là sự kiện ngẫu nhiên. ①, ③ không phải phép thử liệt kê được hữu hạn nên vẫn xét bằng kiến thức thực tế: cả hai đều chưa biết trước được.
Vậy tập hợp các sự kiện cần tìm vẫn là ①, ③, ④, khớp với Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đối chiếu thẳng với ba định nghĩa cho lời giải nhanh nhất, không cần liệt kê; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi còn phân vân ở sự kiện ④, ⑤.
Đáp số.Các sự kiện ①, ③, ④ là những sự kiện không thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp: cho rằng ⑤ là ngẫu nhiên chỉ vì "gieo xúc xắc thì kết quả là ngẫu nhiên" mà quên kiểm tra điều kiện "bé hơn 7" — thực chất mọi mặt xúc xắc (từ 1 đến 6) đều thoả mãn điều kiện này nên bản thân sự kiện lại chắc chắn xảy ra.
🚀 Mở rộng.Cùng cách lập luận, nếu đổi ⑤ thành "số chấm xuất hiện bé hơn 6" thì sự kiện đó trở thành ngẫu nhiên, vì mặt 6 chấm sẽ làm nó không xảy ra.
Bài 2 · HĐ2★Trang 47— Nhận biết biến cố chắc chắn và biến cố không thể trong các sự kiện, hiện tượng thực tế
HĐ2 (trang 47). Với năm sự kiện, hiện tượng đã nêu ở HĐ1 (① mức nước lũ trên sông Hồng tháng Bảy sang năm trên mức báo động 3; ② ngày mai Mặt Trời mọc ở phía Tây; ③ có sáu cơn bão đổ bộ vào nước ta trong năm tới; ④ gieo hai con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên cả hai con đều là 6; ⑤ gieo một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 7), tìm các sự kiện, hiện tượng có thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không xảy ra.
Kiến thức cần nhớ
Năm sự kiện chỉ chia làm hai nhóm không giao nhau: nhóm ngẫu nhiên và nhóm biết trước được (chắc chắn hoặc không thể).
Biến cố chắc chắn là biến cố biết trước được luôn xảy ra; biến cố không thể là biến cố biết trước được không bao giờ xảy ra.
🧠 Phân tích tư duy
HĐ2 hỏi đúng phần còn lại của HĐ1: những sự kiện CÓ THỂ khẳng định chắc chắn xảy ra hoặc chắc chắn không xảy ra. Vì HĐ1 đã chỉ ra ①③④ là các sự kiện không xác định trước được, nên chỉ còn phải xếp ②⑤ vào đúng một trong hai loại chắc chắn hoặc không thể. Hướng nhanh nhất là tận dụng ngay kết luận của HĐ1 thay vì lập luận lại toàn bộ từ đầu.
1Cách 1. Suy ra trực tiếp từ phần còn lại của HĐ1
Định hướng. Toàn bộ 5 sự kiện chỉ chia làm hai nhóm không giao nhau: nhóm không xác định trước (đã tìm ở HĐ1) và nhóm còn lại chính là nhóm HĐ2 cần tìm — không cần xét lại từ đầu.
HĐ1 đã xác định ①, ③, ④ là các sự kiện không thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không. Suy ra hai sự kiện còn lại ②, ⑤ phải là các sự kiện có thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không. Kiểm tra lại: ② "Mặt Trời mọc ở phía Tây" trái quy luật tự nhiên nên biết trước chắc chắn không xảy ra. ⑤ "số chấm bé hơn 7" đúng với mọi mặt xúc xắc từ 1 đến 6 nên biết trước chắc chắn luôn xảy ra.
Vậy các sự kiện có thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không là ②, ⑤.
2Cách 2. Xét độc lập từng sự kiện theo định nghĩa để đối chiếu chéo
Định hướng. Kiểm tra lại cả năm sự kiện từ đầu mà không dựa vào HĐ1, để đối chiếu ngược kết quả của Cách 1.
① phụ thuộc lượng mưa năm sau, chưa biết trước — không thuộc HĐ2. ② trái quy luật tự nhiên, biết trước chắc chắn không xảy ra — thuộc HĐ2. ③ phụ thuộc thời tiết năm tới, chưa biết trước — không thuộc HĐ2. ④ kết quả hai xúc xắc là ngẫu nhiên, chưa biết trước — không thuộc HĐ2. ⑤ mọi mặt xúc xắc (1 đến 6) đều bé hơn 7, biết trước chắc chắn luôn xảy ra — thuộc HĐ2.
Vậy chỉ có ②, ⑤ thuộc HĐ2, khớp với Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: HĐ2 chỉ là phần còn lại của HĐ1 nên suy ra trực tiếp, nhanh hơn hẳn so với xét lại cả năm sự kiện từ đầu.
Đáp số.Các sự kiện ②, ⑤ là những sự kiện có thể biết trước được chắc chắn có xảy ra hay không (② chắc chắn không xảy ra, ⑤ chắc chắn xảy ra).
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: chỉ nêu ⑤ mà quên ② vì hiểu nhầm "có thể biết trước" nghĩa là "chắc chắn xảy ra", bỏ sót loại "chắc chắn không xảy ra".
🚀 Mở rộng.Từ HĐ1 và HĐ2 rút ra quy tắc chung: mọi sự kiện, hiện tượng đang xét luôn thuộc đúng một trong ba loại — chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên — không có sự kiện nào thuộc đồng thời hai loại.
Bài 3 · Câu hỏi★Trang 48— Tổng hợp và phân loại đầy đủ ba loại biến cố cho một tập sự kiện cho trước
Câu hỏi (trang 48). Trong HĐ1 và HĐ2, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Kiến thức cần nhớ
Biến cố chắc chắn là biến cố biết trước được luôn xảy ra.
Biến cố không thể là biến cố biết trước được không bao giờ xảy ra.
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố không thể biết trước được có xảy ra hay không.
🧠 Phân tích tư duy
Đây là câu hỏi tổng kết, gộp lại toàn bộ kết luận đã lập luận riêng lẻ ở HĐ1 và HĐ2 thành một bảng phân loại đầy đủ ba nhóm. Không có dữ kiện mới nào được thêm vào, nên hướng làm nhanh nhất là ghép hai kết luận cũ lại đúng vị trí thay vì lập luận lại từng sự kiện.
1Cách 1. Ghép trực tiếp kết luận của HĐ1 và HĐ2
Định hướng. HĐ1 đã tìm nhóm ngẫu nhiên, HĐ2 đã tìm nhóm biết trước được (chắc chắn và không thể); chỉ cần tách nhóm biết trước được của HĐ2 thành hai loại nhỏ hơn.
Theo HĐ1: các sự kiện ngẫu nhiên là ①, ③, ④. Theo HĐ2: các sự kiện biết trước được là ②, ⑤, trong đó ② biết trước chắc chắn không xảy ra, ⑤ biết trước chắc chắn luôn xảy ra.
Vậy biến cố chắc chắn là ⑤; biến cố không thể là ②; biến cố ngẫu nhiên là ①, ③, ④.
2Cách 2. Lập bảng phân loại ba cột cho cả năm sự kiện
Định hướng. Xét lại một lượt cả năm sự kiện, xếp mỗi sự kiện vào đúng một trong ba cột chắc chắn/không thể/ngẫu nhiên, để kiểm tra chéo với Cách 1.
① mức nước lũ vượt báo động: chưa biết trước, cột ngẫu nhiên. ② Mặt Trời mọc phía Tây: trái quy luật, cột không thể. ③ sáu cơn bão đổ bộ: chưa biết trước, cột ngẫu nhiên. ④ hai xúc xắc cùng ra 6: chưa biết trước, cột ngẫu nhiên. ⑤ số chấm bé hơn 7: luôn đúng, cột chắc chắn.
Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: chắc chắn — ⑤; không thể — ②; ngẫu nhiên — ①, ③, ④.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tận dụng luôn hai kết luận đã có ở HĐ1, HĐ2, không mất công xét lại từng sự kiện như Cách 2.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: liệt kê thiếu một sự kiện trong nhóm ngẫu nhiên (hay bỏ sót ③ vì nhầm với ① do cùng chủ đề thời tiết) — cần rà đủ cả năm sự kiện, không rút gọn theo chủ đề.
🚀 Mở rộng.Bảng ba cột này chính là mô hình cho toàn bộ chương: mọi biến cố gặp trong bài học sau (kể cả Bài 30) đều được xếp vào một trong ba loại này trước khi tính xác suất.
Bài 4 · Ví dụ 1★Trang 48— Phân loại biến cố qua hiện tượng vật lí, lịch dương và phép thử gieo hai xúc xắc
Ví dụ 1 (trang 48). Trong các biến cố sau, em hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên. A: "Trong điều kiện thường, nước đun đến 100°C sẽ sôi". B: "Tháng Hai năm sau có 31 ngày". C: "Khi gieo hai con xúc xắc thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 8".
Kiến thức cần nhớ
Ở điều kiện áp suất thường (1 atm), nước nguyên chất luôn sôi ở đúng 100°C.
Theo lịch dương, tháng Hai có tối đa 29 ngày (năm nhuận), thường có 28 ngày, không bao giờ có 31 ngày.
Khi gieo hai con xúc xắc, tổng số chấm nhận giá trị từ 2 đến 12.
🧠 Phân tích tư duy
Ba biến cố A, B, C thuộc ba lĩnh vực khác nhau (vật lí, lịch dương, trò chơi xúc xắc) nên phải xét độc lập, không thể suy luận biến cố này từ biến cố kia. Với A, B cần kiến thức nền (nhiệt độ sôi của nước ở áp suất thường, số ngày tối đa của tháng Hai); với C phải xét phép thử có nhiều kết quả nên không được kết luận vội theo cảm tính — cần kiểm tra có tồn tại cả kết quả tổng bằng 8 lẫn kết quả tổng khác 8 hay không.
1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với kiến thức đã biết
Định hướng. Với A, B là các hiện tượng có quy luật cố định (vật lí, lịch), chỉ cần đối chiếu với kiến thức nền đã học để kết luận ngay.
A: ở điều kiện thường, nước nguyên chất luôn sôi ở đúng 100°C — biến cố A biết trước chắc chắn luôn xảy ra. B: tháng Hai dương lịch tối đa chỉ có 29 ngày, không bao giờ có 31 ngày — biến cố B biết trước chắc chắn không bao giờ xảy ra.
Vậy A là biến cố chắc chắn, B là biến cố không thể.
2Cách 2. Kiểm tra bằng phản ví dụ cho biến cố C
Định hướng. Với C, tìm một kết quả làm biến cố xảy ra và một kết quả làm biến cố không xảy ra; nếu tìm được cả hai thì C là biến cố ngẫu nhiên.
Nếu số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là (2; 6) thì tổng bằng 2+6=8, biến cố C xảy ra. Nếu số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là (5; 5) thì tổng bằng 5+5=10, khác 8, biến cố C không xảy ra. Tồn tại cả kết quả làm C xảy ra lẫn kết quả làm C không xảy ra.
Vậy C là biến cố ngẫu nhiên.
3Cách 3. Liệt kê đầy đủ các cặp có tổng bằng 8 để kiểm chứng chắc chắn cho C
Định hướng. Liệt kê hết các cặp số chấm có tổng bằng 8 trong phạm vi 1 đến 6, đối chiếu với tổng số cặp có thể có của phép thử để thấy rõ không phải mọi kết quả đều cho tổng 8.
Các cặp có tổng bằng 8: (2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2). Trong khi đó phép thử còn có các cặp như (1; 1) với tổng 1+1=2, không bằng 8. Có cặp thoả C, có cặp không thoả C.
Vậy C là biến cố ngẫu nhiên, khớp với Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho A, B (đối chiếu kiến thức nền, không cần tính toán) và Cách 2 cho C (chỉ cần đúng một cặp phản ví dụ là kết luận được ngay, nhanh hơn liệt kê hết như Cách 3).
Đáp số.A là biến cố chắc chắn; B là biến cố không thể; C là biến cố ngẫu nhiên.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp: cho rằng B là biến cố ngẫu nhiên vì nghĩ "có năm tháng Hai nhiều ngày hơn năm khác" — thực tế theo lịch dương, tháng Hai chỉ dao động giữa 28 và 29 ngày (tuỳ năm nhuận), không bao giờ đạt tới 31 ngày, nên B vẫn là biến cố không thể chứ không phải ngẫu nhiên.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi C thành "tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 13" thì đây lại là biến cố không thể, vì tổng lớn nhất có thể có chỉ là 6+6=12.
Bài 5 · Luyện tập 1★★Trang 49— Điền loại biến cố dựa trên tổng hai xúc xắc và tính chia hết của một dãy số
Luyện tập 1 (trang 49). Chọn từ thích hợp (ngẫu nhiên, chắc chắn, không thể) thay vào dấu "?" để được câu đúng. 1) Vuông và Tròn mỗi người gieo một con xúc xắc. Biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lớn hơn 1" là biến cố ?. Biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7" là biến cố ?. 2) Một túi đựng các quả cầu được ghi số 3; 6; 9; 12; 15; 18; 24. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Biến cố "Lấy được quả cầu có ghi số chia hết cho 3" là biến cố ?. Biến cố "Lấy được quả cầu có ghi số chia hết cho 7" là biến cố ?.
Kiến thức cần nhớ
Khi gieo hai con xúc xắc, tổng số chấm nhận giá trị từ 2 đến 12.
Dãy số 3; 6; 9; 12; 15; 18; 24 là các bội của 3 (không đều là cấp số cộng công sai 3 vì thiếu số 21, nhưng mọi số hạng vẫn chia hết cho 3).
🧠 Phân tích tư duy
Ý 1 xoay quanh phép thử gieo hai xúc xắc — dấu hiệu nhận ra ngay là phải so mốc đề cho (1 và 7) với khoảng giá trị có thể của tổng hai xúc xắc (từ 2 đến 12). Ý 2 xoay quanh dãy số cụ thể 3; 6; 9; 12; 15; 18; 24 — đây là cấp số cộng công sai 3 nên MỌI số hạng đều chia hết cho 3, còn việc chia hết cho 7 phải kiểm tra từng số vì dãy không liên quan gì đến bội của 7. Bẫy là nhầm "tổng lớn hơn 1" với "tổng bằng 7": một cái luôn đúng, một cái chỉ đôi khi đúng.
1Cách 1. Xét cận nhỏ nhất — lớn nhất và tính chia hết trực tiếp
Định hướng. Với ý 1, so sánh mốc đề cho với giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tổng hai xúc xắc; với ý 2, kiểm tra từng số trong túi có chia hết cho 3, cho 7 hay không.
Tổng số chấm hai xúc xắc nhỏ nhất là 1+1=2, lớn nhất là 6+6=12; vì 2 đã lớn hơn 1 nên MỌI tổng đều lớn hơn 1 — biến cố "tổng lớn hơn 1" là chắc chắn. Tổng bằng 7 chỉ xảy ra ở một số kết quả như 1+6, 2+5, còn kết quả như 1+1=2 thì không — biến cố "tổng bằng 7" là ngẫu nhiên. Xét dãy 3; 6; 9; 12; 15; 18; 24: mỗi số đều bằng 3 nhân một số tự nhiên (3=3×1; 6=3×2; …; 24=3×8) nên MỌI số đều chia hết cho 3 — biến cố "chia hết cho 3" là chắc chắn. Kiểm tra chia hết cho 7: 3;6;9;12;15;18;24 chia cho 7 lần lượt dư 3;6;2;5;1;4;3, không số nào chia hết cho 7 — biến cố "chia hết cho 7" là không thể.
Định hướng. Với mỗi biến cố, thử tìm một kết quả cụ thể thoả mãn và một kết quả không thoả mãn; nếu chỉ tìm được một loại thì biến cố là chắc chắn hoặc không thể, tìm được cả hai thì là ngẫu nhiên.
Thử (1;1): tổng =2, đã lớn hơn 1; thử (6;6): tổng =12, cũng lớn hơn 1 — không tìm được cặp nào có tổng không lớn hơn 1, nên biến cố chắc chắn. Thử (1;6): tổng =7, thoả; thử (1;1): tổng =2, không thoả — tồn tại cả hai loại kết quả, nên biến cố ngẫu nhiên. Thử lần lượt cả 7 quả cầu: quả nào cũng chia hết cho 3, không tìm được quả nào không chia hết — biến cố chắc chắn. Thử lần lượt cả 7 quả cầu với phép chia cho 7: không quả nào chia hết — biến cố không thể.
Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.
3Cách 3. Dùng tính chất đại số của dãy số thay cho liệt kê tay
Định hướng. Nhận ra dãy 3; 6; 9; …; 24 gồm toàn bội của 3 nhờ đưa mỗi số về dạng 3k, và dùng nhận xét về tổng hai số nguyên dương từ 1 đến 6 thay vì thử từng cặp.
Viết lại dãy: 3=3×1,6=3×2,9=3×3,12=3×4,15=3×5,18=3×6,24=3×8 — mỗi số đều có dạng 3k với k nguyên dương, nên tất cả đều chia hết cho 3. Không có số hạng nào trong dãy là bội của 7 (bội của 7 gần nhất là 21 và 28, đều không xuất hiện trong túi). Vì mỗi mặt xúc xắc nhận giá trị nguyên từ 1 đến 6 nên tổng hai mặt nhận giá trị nguyên từ 1+1=2 đến 6+6=12; do 2≥2>1 nên tổng luôn lớn hơn 1, còn giá trị 7 chỉ là MỘT trong các giá trị có thể của khoảng [2;12] nên không chắc chắn đạt được.
Vậy kết quả vẫn là: ý 1 chắc chắn — ngẫu nhiên; ý 2 chắc chắn — không thể, khớp cả hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: so cận nhỏ nhất — lớn nhất và xét chia hết trực tiếp là nhanh nhất, không cần liệt kê hết các cặp như Cách 2.
Đáp số.1) "Tổng lớn hơn 1" là biến cố chắc chắn; "tổng bằng 7" là biến cố ngẫu nhiên. 2) "Chia hết cho 3" là biến cố chắc chắn; "chia hết cho 7" là biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm "chia hết cho 3" là ngẫu nhiên vì không để ý cả 7 số trong túi đều là bội của 3 — cần thử đủ cả 7 số thay vì chỉ thử một vài số rồi vội kết luận.
🚀 Mở rộng.Nếu túi đổi thành các số 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21 thì biến cố "chia hết cho 7" sẽ trở thành ngẫu nhiên, vì lúc đó có thêm số 21 chia hết cho 7.
Bài 6 · Ví dụ 2★★Trang 49— Phân loại biến cố qua tính nguyên tố và so sánh với mốc cho trước
Ví dụ 2 (trang 49). Trong một chiếc hộp có bốn tấm thẻ được ghi số 1; 2; 3; 6. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Xét ba biến cố sau: A: "Rút được thẻ ghi số là số nguyên tố". B: "Rút được thẻ ghi số nhỏ hơn 7". C: "Rút được thẻ ghi số lớn hơn 10". Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Kiến thức cần nhớ
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó (2; 3; 5; 7; …); số 1 không phải số nguyên tố.
Giá trị lớn nhất trong tập {1; 2; 3; 6} là 6.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn thẻ 1; 2; 3; 6 là một tập hữu hạn nhỏ nên có thể kiểm tra trực tiếp từng phần tử với cả ba biến cố. Dấu hiệu quan trọng: B và C chỉ đơn thuần so sánh với một mốc cố định (7 và 10) nên chỉ cần xét giá trị lớn nhất trong bốn thẻ là số 6; còn A đòi hỏi kiến thức về số nguyên tố, dễ sai nếu quên rằng 1 không phải số nguyên tố.
1Cách 1. Kiểm tra từng thẻ theo định nghĩa số nguyên tố
Định hướng. Xét lần lượt bốn số 1; 2; 3; 6 xem số nào là số nguyên tố để trả lời cho A.
1 không phải số nguyên tố (theo quy ước). 2 là số nguyên tố (chỉ có ước 1 và 2). 3 là số nguyên tố (chỉ có ước 1 và 3). 6 không phải số nguyên tố (có ước 1, 2, 3, 6). Vậy trong 4 thẻ, có thẻ ghi số nguyên tố (2 hoặc 3), cũng có thẻ ghi số không nguyên tố (1 hoặc 6).
Vậy A là biến cố ngẫu nhiên.
2Cách 2. Liệt kê tập con thoả mãn rồi so sánh với tập bốn thẻ
Định hướng. Với B, C: liệt kê tập các số thoả điều kiện rồi so với tập {1; 2; 3; 6} xem trùng hoàn toàn, rỗng, hay chỉ trùng một phần.
Tập các số nhỏ hơn 7 trong phạm vi đang xét chứa cả 1; 2; 3; 6, tức là trùng đúng bằng tập bốn thẻ. Vì mọi thẻ đều nhỏ hơn 7 nên bất kể rút thẻ nào, kết quả cũng thoả — biến cố B luôn xảy ra. Tập các số lớn hơn 10 không chứa số nào trong 1; 2; 3; 6, tức là giao với tập bốn thẻ là tập rỗng — không có thẻ nào thoả, biến cố C không bao giờ xảy ra.
Vậy B là biến cố chắc chắn, C là biến cố không thể.
3Cách 3. So sánh với giá trị lớn nhất của tập số ghi trên thẻ
Định hướng. Thay vì liệt kê từng số, chỉ cần so mốc đề cho với số lớn nhất trong bốn thẻ là 6 — cách này gọn hơn khi tập số ghi trên thẻ lớn.
Số lớn nhất trong bốn thẻ là 6; vì 6<7 nên MỌI số ghi trên thẻ đều nhỏ hơn 7 — biến cố B chắc chắn. Vì 6<10 nên KHÔNG có số nào trên thẻ lớn hơn 10 — biến cố C không thể.
Vậy kết quả cho B, C trùng khớp với Cách 2, xác nhận thêm bằng lập luận cận trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 cho B, C (chỉ so với số lớn nhất 6, không cần liệt kê) và Cách 1 cho A (bắt buộc kiểm tra từng số vì tính nguyên tố không suy ra được từ cận trên).
Đáp số.A là biến cố ngẫu nhiên; B là biến cố chắc chắn; C là biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm rất hay gặp: coi 1 là số nguyên tố, dẫn tới đếm sai số thẻ thuận lợi cho A (nghĩ rằng cả 1, 2, 3 đều nguyên tố) — cần nhớ đúng quy ước số nguyên tố phải lớn hơn 1.
🚀 Mở rộng.Nếu hộp có thêm thẻ ghi số 11 thì biến cố C sẽ trở thành ngẫu nhiên, vì khi đó vừa có thẻ lớn hơn 10 (số 11) vừa có thẻ không lớn hơn 10 (1; 2; 3; 6).
Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 49— Phân loại biến cố qua bảng số liệu trên vòng quay nhiều ô
Luyện tập 2 (trang 49). Lan tham gia trò chơi Vòng quay may mắn như Hình 8.1. Xét ba biến cố sau: A: "Lan quay vào ô có số điểm lớn hơn 500 điểm". B: "Lan quay vào ô có số điểm nhỏ hơn 100 điểm". C: "Lan quay vào ô có số điểm là số tròn trăm". Biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên?
Kiến thức cần nhớ
Số tròn trăm là số chia hết cho 100.
Giá trị nhỏ nhất trên vòng quay là 100, giá trị lớn nhất là 2000.
🧠 Phân tích tư duy
Vòng quay có 12 ô ghi điểm nhưng đề chỉ hỏi ba mốc so sánh (500, 100 và "tròn trăm"), nên không cần quan tâm vị trí từng ô mà chỉ cần đọc đúng tập giá trị điểm xuất hiện trên vòng quay: 100; 200; 300; 400; 500; 1000; 2000. Dấu hiệu nhận dạng: đây vẫn là bài toán so mốc với cận nhỏ nhất — lớn nhất giống Luyện tập 1, chỉ khác là dữ liệu lấy từ hình vẽ thay vì đề cho sẵn bằng chữ, nên bước đầu tiên bắt buộc là đọc chính xác toàn bộ số trên vòng quay.
1Cách 1. Liệt kê đầy đủ số điểm trên vòng quay rồi so từng điều kiện
Định hướng. Đọc hết các số ghi trên 12 ô của vòng quay, sau đó so từng số với ba điều kiện của đề.
Các số điểm xuất hiện trên vòng quay: 100; 200; 300; 400; 500; 1000; 2000. So với "lớn hơn 500": có số 1000, 2000 thoả; có số 100, 200 không thoả — tồn tại cả hai loại. So với "nhỏ hơn 100": không có số nào trong danh sách nhỏ hơn 100. So với "số tròn trăm": cả bảy số 100; 200; 300; 400; 500; 1000; 2000 đều chia hết cho 100.
Vậy A ngẫu nhiên, B không thể, C chắc chắn.
2Cách 2. Xét cận nhỏ nhất — lớn nhất để trả lời nhanh A, B
Định hướng. Với các biến cố dạng so sánh, chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên vòng quay thay vì liệt kê hết.
Giá trị nhỏ nhất trên vòng quay là 100. Vì 100≥100, không có ô nào nhỏ hơn 100 — biến cố B không thể. Giá trị lớn nhất là 2000, lớn hơn 500, trong khi vẫn có ô 100 không lớn hơn 500 — tồn tại cả ô thoả và ô không thoả điều kiện "lớn hơn 500" nên biến cố A là ngẫu nhiên.
Vậy A ngẫu nhiên, B không thể, khớp Cách 1.
3Cách 3. Xét tính chất chung của toàn bộ 12 ô để trả lời nhanh C
Định hướng. Thay vì so từng số với 100, nhận xét rằng người thiết kế trò chơi đã chọn toàn bộ số điểm là bội của 100 ngay từ đầu.
Mọi số điểm trên vòng quay đều có dạng 100×k với k∈{1;2;3;4;5;10;20} (100 = 100×1; 200 = 100×2; …; 2000 = 100×20). Vì tất cả 12 ô đều được viết dưới dạng bội của 100 nên dù kim quay dừng ở ô nào, số điểm đọc được cũng luôn là số tròn trăm.
Vậy C là biến cố chắc chắn, khớp Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 và Cách 3 kết hợp: chỉ cần tìm cận nhỏ nhất — lớn nhất cho A, B và nhận xét "mọi ô đều là bội của 100" cho C, không cần liệt kê hết 12 ô như Cách 1.
Đáp số.A là biến cố ngẫu nhiên; B là biến cố không thể; C là biến cố chắc chắn.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: đọc nhầm có ô ghi điểm dưới 100 (ví dụ nhầm ô "100" thành "10") do không phóng to hình quan sát kỹ — cần đối chiếu đúng bảy giá trị 100; 200; 300; 400; 500; 1000; 2000 trước khi kết luận.
🚀 Mở rộng.Nếu vòng quay có thêm một ô ghi 2 400 (không tròn trăm mà là số lẻ, ví dụ 2 450) thì biến cố C sẽ trở thành ngẫu nhiên vì không còn đúng cho mọi ô.
Bài 8 · Thử thách nhỏ★★★Trang 50— Suy luận ngược: xác định thành phần túi bi để biến cố đạt đúng loại cho trước
Thử thách nhỏ (trang 50). Cho hai chiếc túi kín I, II đựng một số viên bi có cùng kích thước, trong đó tất cả các viên bi ở túi I có màu đen. Người chơi lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi và sẽ thắng cuộc nếu trong hai viên bi lấy ra có viên bi màu đỏ. Trong túi II cần có những viên bi màu gì để biến cố "Người chơi thắng" là: a) Biến cố chắc chắn; b) Biến cố không thể; c) Biến cố ngẫu nhiên?
Kiến thức cần nhớ
Vì túi I toàn bi đen, không có bi đỏ, nên biến cố "trong hai viên lấy ra có viên đỏ" xảy ra khi và chỉ khi viên lấy từ túi II có màu đỏ.
Biến cố chắc chắn ứng với trường hợp mọi khả năng đều cho kết quả thoả mãn; biến cố không thể ứng với không khả năng nào thoả mãn; biến cố ngẫu nhiên ứng với có cả khả năng thoả mãn và không thoả mãn.
🧠 Phân tích tư duy
Đây là bài toán NGƯỢC so với các bài trước: thay vì cho sẵn thành phần rồi hỏi loại biến cố, đề cho loại biến cố rồi hỏi ngược lại thành phần túi II. Dấu hiệu quan trọng: túi I toàn bi đen (không có bi đỏ), nên viên bi đỏ trong hai viên lấy ra — nếu có — chỉ có thể đến từ túi II; bài toán thắng/thua của cả trò chơi vì vậy được quy hết về màu của một viên bi duy nhất lấy từ túi II. Bẫy hay gặp là quên rằng túi II "có bi đỏ" chưa chắc đã đủ để chắc chắn thắng, còn phải xét túi II có lẫn màu khác hay không.
1Cách 1. Quy về màu viên bi lấy từ túi II rồi lập luận trực tiếp
Định hướng. Vì túi I chắc chắn không góp bi đỏ, biến cố "người chơi thắng" hoàn toàn phụ thuộc vào viên bi rút từ túi II; xét ba trường hợp thành phần của túi II tương ứng với ba loại biến cố.
a) Muốn "người chơi thắng" là biến cố chắc chắn thì DÙ rút viên nào từ túi II cũng phải là bi đỏ — túi II phải toàn bi đỏ (mọi viên đều đỏ). b) Muốn "người chơi thắng" là biến cố không thể thì KHÔNG viên nào rút từ túi II được là bi đỏ — túi II không được có viên bi đỏ nào (toàn các màu khác đỏ). c) Muốn "người chơi thắng" là biến cố ngẫu nhiên thì phải có LÚC rút được bi đỏ, LÚC không — túi II phải có cả viên bi đỏ lẫn viên bi không đỏ.
Vậy a) túi II toàn bi đỏ; b) túi II không có bi đỏ; c) túi II có cả bi đỏ và bi không đỏ.
2Cách 2. Xét biến cố đối lập "người chơi không thắng"
Định hướng. Thay vì xét trực tiếp biến cố thắng, xét biến cố đối lập (không có viên nào đỏ, tức thua) — hai biến cố đối lập luôn cho kết luận nhất quán và giúp kiểm tra chéo Cách 1.
"Người chơi không thắng" xảy ra khi cả hai viên lấy ra đều không đỏ, tức là viên từ túi II cũng không đỏ (vì túi I luôn không đỏ). a) "Người chơi thắng" chắc chắn tương đương "người chơi không thắng" không thể — tức là túi II không được có viên bi nào khác màu đỏ, nói cách khác túi II toàn bi đỏ. b) "Người chơi thắng" không thể tương đương "người chơi không thắng" chắc chắn — túi II phải toàn các viên không đỏ. c) "Người chơi thắng" ngẫu nhiên tương đương "người chơi không thắng" cũng ngẫu nhiên — túi II phải có cả bi đỏ và bi không đỏ, vì nếu chỉ có một loại thì cả hai biến cố đối lập không thể cùng ngẫu nhiên.
Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: lập luận trực tiếp trên biến cố "thắng" là tự nhiên và ít bước hơn so với vòng qua biến cố đối lập ở Cách 2.
Đáp số.a) Túi II toàn bi đỏ (mọi viên đều đỏ). b) Túi II không có viên bi đỏ nào (toàn các màu khác đỏ). c) Túi II có cả viên bi đỏ lẫn viên bi không đỏ.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nghĩ rằng chỉ cần túi II "có bi đỏ" là đủ để chắc chắn thắng — thực ra nếu túi II còn lẫn viên không đỏ thì vẫn có khả năng rút trúng viên không đỏ, khi đó biến cố thắng chỉ là ngẫu nhiên chứ không phải chắc chắn.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi luật thắng thành "cả hai viên lấy ra đều đỏ" thì vì túi I toàn bi đen nên biến cố này luôn là biến cố không thể, bất kể túi II có màu gì.
Bài 9 · Bài 8.1★Trang 50— Phân loại biến cố qua phép thử lấy bi hai màu
Bài 8.1 (trang 50). Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong một túi đựng 5 viên bi trắng và 5 viên bi đen có cùng kích thước. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên? A: "Minh lấy được viên bi màu trắng". B: "Minh lấy được viên bi màu đen". C: "Minh lấy được viên bi màu trắng hoặc màu đen". D: "Minh lấy được viên bi màu đỏ".
Kiến thức cần nhớ
Túi có tổng cộng 5+5=10 viên bi, chỉ gồm hai màu trắng và đen.
Biến cố bao trùm toàn bộ các kết quả có thể của phép thử là biến cố chắc chắn; biến cố không trùng với kết quả nào là biến cố không thể.
🧠 Phân tích tư duy
Túi chỉ có hai màu bi (trắng, đen), không có màu nào khác — đây là dấu hiệu để nhận ra ngay biến cố C (trắng HOẶC đen) phải là biến cố chắc chắn vì nó bao trùm mọi khả năng của phép thử, còn D (màu đỏ) chắc chắn không xảy ra vì màu đỏ không tồn tại trong túi. A, B chỉ ngẫu nhiên vì túi có cả hai màu nên kết quả không đoán trước được.
1Cách 1. Đối chiếu từng biến cố với thành phần túi bi
Định hướng. Túi chỉ có hai màu trắng, đen; xét từng biến cố xem có khớp, có thể khớp một phần, hay không khớp với thành phần đó.
A "lấy được bi trắng": túi có cả bi trắng lẫn bi đen nên có lúc lấy được trắng, có lúc không — biến cố ngẫu nhiên. B "lấy được bi đen": tương tự, có lúc được, có lúc không — biến cố ngẫu nhiên. C "lấy được bi trắng hoặc đen": mọi viên trong túi đều trắng hoặc đen nên viên nào lấy ra cũng thoả — biến cố chắc chắn. D "lấy được bi đỏ": trong túi không có viên bi đỏ nào — biến cố không thể.
Vậy A, B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn; D là biến cố không thể.
2Cách 2. Đếm số viên thuận lợi trên tổng số viên trong túi
Định hướng. Đếm số viên bi thoả từng biến cố trong tổng 10 viên; số thuận lợi bằng 0 ứng với không thể, bằng 10 ứng với chắc chắn, ở giữa ứng với ngẫu nhiên.
Số viên thoả A (trắng): 5 trong 10 viên — không phải 0 cũng không phải 10. Số viên thoả B (đen): 5 trong 10 viên — không phải 0 cũng không phải 10. Số viên thoả C (trắng hoặc đen): 5+5=10 trong 10 viên — bằng đúng tổng số viên. Số viên thoả D (đỏ): 0 trong 10 viên.
Vậy A, B ngẫu nhiên (số thuận lợi ở giữa 0 và 10); C chắc chắn (bằng 10); D không thể (bằng 0), khớp Cách 1.
3Cách 3. Xét biến cố C là biến cố hợp của A và B, biến cố D là biến cố đối lập với thành phần túi
Định hướng. Nhận ra C chính là biến cố "A hoặc B", còn D nói về một màu hoàn toàn vắng mặt trong túi — dùng quan hệ giữa các biến cố thay vì đếm lại từ đầu.
Biến cố C "trắng hoặc đen" gộp đúng hai trường hợp của A và B; vì mọi viên bi trong túi chỉ mang một trong hai màu này nên hợp của A và B trùng với toàn bộ phép thử — C là biến cố chắc chắn. Biến cố D nhắc tới màu đỏ, một màu không xuất hiện trong danh sách "5 trắng, 5 đen" của đề — D là biến cố không thể.
Vậy kết luận cho C, D trùng khớp với hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đối chiếu trực tiếp với thành phần túi bi cho lời giải ngắn nhất, không cần đếm số liệu như Cách 2.
Đáp số.A, B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn; D là biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm C là ngẫu nhiên vì thấy đề có chữ "hoặc" nên nghĩ là chưa chắc chắn — thực ra "trắng hoặc đen" đã bao trùm toàn bộ các màu có trong túi nên luôn đúng, khác với A hoặc B xét riêng lẻ.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi túi thành 5 bi trắng, 5 bi đen và thêm 1 bi đỏ thì biến cố D sẽ trở thành ngẫu nhiên, còn biến cố C "trắng hoặc đen" sẽ không còn là chắc chắn nữa vì có thể lấy phải viên đỏ.
Bài 10 · Bài 8.2★★Trang 50— Điền loại biến cố qua tổng và hiệu của hai số rút từ hai hộp thẻ 1 đến 6
Bài 8.2 (trang 50). Có hai chiếc hộp, mỗi hộp đựng 6 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi hộp. Thay dấu "?" bằng các từ thích hợp trong các từ sau: chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên.
Biến cố
Loại biến cố
Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai tấm thẻ bé hơn 3
?
Tổng các số ghi trên hai tấm thẻ bằng 7
?
Tổng các số ghi trên hai tấm thẻ lớn hơn 1
?
Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai tấm thẻ bằng 6
?
Kiến thức cần nhớ
Với hai số nguyên từ 1 đến 6, tổng nhận giá trị từ 1+1=2 đến 6+6=12.
Với hai số nguyên từ 1 đến 6, độ chênh lệch (giá trị tuyệt đối của hiệu) nhận giá trị từ 0 (hai số bằng nhau) đến 6−1=5 (một số là 1, số kia là 6).
🧠 Phân tích tư duy
Bài có hai đại lượng cần xét: tổng hai số (chạy từ 2 đến 12) và độ chênh lệch, tức trị tuyệt đối của hiệu hai số (chạy từ 0 đến 5, vì số lớn nhất trừ số nhỏ nhất trong {1,…,6} là 6−1=5). Dấu hiệu để làm nhanh là xác định đúng khoảng giá trị của từng đại lượng trước, rồi so bốn mốc trong bảng (3, 7, 1, 6) với hai khoảng đó — mốc nào vượt ngoài khoảng thì kết luận ngay không thể hoặc chắc chắn, mốc nào nằm giữa khoảng thì đó là biến cố ngẫu nhiên. Bẫy nằm ở dòng cuối: chênh lệch lớn nhất chỉ là 5 nên "bằng 6" không bao giờ đạt được.
1Cách 1. Liệt kê một số cặp cụ thể làm phản ví dụ cho từng dòng
Định hướng. Với mỗi biến cố, thử một cặp số làm nó xảy ra và một cặp làm nó không xảy ra (nếu có) để kết luận đúng loại.
Chênh lệch bé hơn 3: cặp (3;4) có chênh lệch ∣3−4∣=1<3, thoả; cặp (1;6) có chênh lệch ∣1−6∣=5, không nhỏ hơn 3, không thoả — tồn tại cả hai loại. Tổng bằng 7: cặp (1;6) có tổng 1+6=7, thoả; cặp (1;1) có tổng 1+1=2, không thoả — tồn tại cả hai loại. Tổng lớn hơn 1: cặp nhỏ nhất (1;1) có tổng 1+1=2>1, đã thoả; không cặp nào có tổng nhỏ hơn 2 vì mỗi thẻ tối thiểu là 1 — mọi cặp đều thoả. Chênh lệch bằng 6: cặp có chênh lệch lớn nhất là (1;6) với ∣1−6∣=5=6 — không cặp nào đạt chênh lệch 6.
Vậy lần lượt: ngẫu nhiên; ngẫu nhiên; chắc chắn; không thể.
2Cách 2. Xác định khoảng giá trị của tổng và của chênh lệch rồi so mốc
Định hướng. Tìm khoảng giá trị nhỏ nhất — lớn nhất của tổng và của chênh lệch một lần, rồi so cả bốn mốc trong bảng cùng lúc, không cần dò từng cặp riêng lẻ.
Chênh lệch ∣a−b∣ với a,b∈{1,…,6} chạy trong khoảng từ 0 đến 5. Tổng a+b chạy trong khoảng từ 2 đến 12. Mốc "bé hơn 3": vì khoảng chênh lệch [0;5] có phần nhỏ hơn 3 (như 0, 1, 2) và phần không nhỏ hơn 3 (như 3, 4, 5) — ngẫu nhiên. Mốc "bằng 7": vì 7 nằm giữa khoảng tổng [2;12], có cặp đạt 7 (như 1+6) và có cặp không đạt (như 1+1=2) — ngẫu nhiên. Mốc "lớn hơn 1": vì cận dưới của khoảng tổng là 2, đã lớn hơn 1 — mọi giá trị trong [2;12] đều lớn hơn 1 — chắc chắn. Mốc "bằng 6": vì cận trên của khoảng chênh lệch chỉ là 5, nhỏ hơn 6 — không giá trị nào trong [0;5] bằng 6 — không thể.
Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 1: ngẫu nhiên; ngẫu nhiên; chắc chắn; không thể.
3Cách 3. Lập bảng liệt kê đầy đủ 36 cặp kết quả để kiểm chứng toàn diện
Định hướng. Với phép thử hai hộp thẻ, không gian mẫu chỉ có 6×6=36 cặp — đủ ít để liệt kê hết vào bảng tổng và bảng chênh lệch rồi đếm trực tiếp số cặp thoả mỗi dòng.
Bảng tổng a+b với a,b chạy từ 1 đến 6 có giá trị nhỏ nhất ở góc (1;1) bằng 2 và lớn nhất ở góc (6;6) bằng 12; đếm được 6 cặp có tổng bằng 7 (là 1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1) trong khi 30 cặp còn lại có tổng khác 7 — vừa có vừa không, ngẫu nhiên; toàn bộ 36 cặp đều có tổng từ 2 trở lên nên đều lớn hơn 1 — chắc chắn. Bảng chênh lệch ∣a−b∣ có 6 cặp trên đường chéo cho chênh lệch 0, các cặp còn lại cho chênh lệch từ 1 đến 5; đếm được nhiều cặp có chênh lệch bé hơn 3 (chênh lệch 0, 1, 2) và cũng có cặp chênh lệch từ 3 đến 5 — vừa có vừa không, ngẫu nhiên; không ô nào trong bảng đạt chênh lệch 6 vì giá trị lớn nhất chỉ là 5 — không thể.
Vậy cả 36 cặp đều xác nhận đúng bốn kết luận ở Cách 1, Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần xác định một lần khoảng giá trị của tổng [2;12] và của chênh lệch [0;5], rồi so cả bốn mốc cùng lúc — nhanh hơn hẳn liệt kê 36 cặp như Cách 3.
Đáp số.Chênh lệch bé hơn 3: biến cố ngẫu nhiên. Tổng bằng 7: biến cố ngẫu nhiên. Tổng lớn hơn 1: biến cố chắc chắn. Chênh lệch bằng 6: biến cố không thể.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: cho rằng chênh lệch lớn nhất có thể là 6 (lấy 6−0) do quên các thẻ chỉ đánh số từ 1 đến 6 chứ không có số 0 — chênh lệch lớn nhất đúng ra chỉ là 6−1=5.
🚀 Mở rộng.Nếu hai hộp đổi thành thẻ đánh số 0 đến 6 thì chênh lệch lớn nhất sẽ là 6−0=6, khi đó biến cố "chênh lệch bằng 6" sẽ trở thành ngẫu nhiên thay vì không thể.
Bài 11 · Bài 8.3★★Trang 50— Phân loại biến cố qua tính nguyên tố, chính phương, tính chẵn lẻ và so sánh với mốc cho trước
Bài 8.3 (trang 50). Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp {2; 3; 5; 6; 7; 8; 10}. Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố không thể hay biến cố ngẫu nhiên? A: "Số được chọn là số nguyên tố". B: "Số được chọn là số bé hơn 11". C: "Số được chọn là số chính phương". D: "Số được chọn là số chẵn". E: "Số được chọn là số lớn hơn 1".
Kiến thức cần nhớ
Số nguyên tố trong phạm vi đến 10 là 2; 3; 5; 7.
Số chính phương là bình phương đúng của một số tự nhiên: 1; 4; 9; 16; …
Tập hợp {2; 3; 5; 6; 7; 8; 10} có giá trị nhỏ nhất là 2, giá trị lớn nhất là 10.
🧠 Phân tích tư duy
Tập {2; 3; 5; 6; 7; 8; 10} có 7 phần tử, đủ ít để kiểm tra trực tiếp từng tính chất. Bốn biến cố A, C, D đòi hỏi kiểm tra tính chất số học của từng phần tử (nguyên tố, chính phương, chẵn), trong khi B, E chỉ cần so với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tập hợp (2 và 10). Bẫy nằm ở C: học sinh dễ vội cho rằng có số chính phương trong tập vì thấy 6, 8, 10 khá gần các số chính phương 4, 9, nhưng thực chất không có phần tử nào là chính phương.
1Cách 1. Kiểm tra từng phần tử theo từng tính chất
Định hướng. Xét lần lượt bảy số trong tập hợp, đối chiếu với từng tính chất nguyên tố, chính phương, chẵn lẻ.
Số nguyên tố trong tập: 2; 3; 5; 7 (bốn số); số không nguyên tố: 6; 8; 10 (ba số) — có cả hai loại. Số chính phương trong tập: kiểm tra 12=1,22=4,32=9,42=16, không có giá trị nào trong 4, 9, 16 trùng với 2; 3; 5; 6; 7; 8; 10 — không phần tử nào là chính phương. Số chẵn trong tập: 2; 6; 8; 10 (bốn số); số lẻ: 3; 5; 7 (ba số) — có cả hai loại. Mọi phần tử của tập đều nhỏ hơn 11 (lớn nhất là 10). Mọi phần tử của tập đều lớn hơn 1 (nhỏ nhất là 2).
Vậy A ngẫu nhiên; B chắc chắn; C không thể; D ngẫu nhiên; E chắc chắn.
2Cách 2. Xét cận nhỏ nhất — lớn nhất để trả lời nhanh B, E
Định hướng. Với B, E chỉ cần so mốc đề cho (11 và 1) với giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tập hợp, không cần xét hết bảy phần tử.
Giá trị lớn nhất của tập là 10; vì 10<11 nên MỌI phần tử đều bé hơn 11 — biến cố B chắc chắn. Giá trị nhỏ nhất của tập là 2; vì 2>1 nên MỌI phần tử đều lớn hơn 1 — biến cố E chắc chắn.
Vậy B, E đều là biến cố chắc chắn, khớp Cách 1.
3Cách 3. Dùng sàng nguyên tố và bảng bình phương thay cho kiểm tra tay
Định hướng. Với A, C, dùng công cụ có sẵn (sàng số nguyên tố nhỏ hơn 10, bảng các số chính phương nhỏ hơn 10) để tra thay vì kiểm tra thủ công từng số, tránh bỏ sót.
Sàng nguyên tố trong phạm vi từ 2 đến 10: {2; 3; 5; 7}; đối chiếu với tập đề cho thấy 2, 3, 5, 7 đều có mặt, còn 6, 8, 10 thì không — biến cố A vừa có phần tử thoả vừa có phần tử không thoả, ngẫu nhiên. Bảng số chính phương nhỏ hơn 10: {1; 4; 9}; không số nào trong ba số này trùng với 2; 3; 5; 6; 7; 8; 10 — biến cố C không thể. Với D, tách tập theo tính chẵn lẻ: chẵn {2; 6; 8; 10}, lẻ {3; 5; 7} — cả hai tập con đều khác rỗng nên D ngẫu nhiên.
Vậy A, D ngẫu nhiên; C không thể, khớp hoàn toàn Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 cho B, E (chỉ so cận, không cần xét hết bảy số) và Cách 3 cho A, C, D (tra sàng nguyên tố, bảng chính phương để không bỏ sót số nào).
Đáp số.A là biến cố ngẫu nhiên; B là biến cố chắc chắn; C là biến cố không thể; D là biến cố ngẫu nhiên; E là biến cố chắc chắn.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm: nhầm 6, 8 hoặc 10 là số chính phương vì "trông gần giống" 4 hoặc 9 — cần kiểm tra đúng bằng cách khai căn hoặc bình phương lần lượt 1, 2, 3 rồi so sánh, không đoán theo cảm tính.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi tập hợp thành {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} (thêm 4 và 9) thì biến cố C sẽ trở thành ngẫu nhiên, vì lúc đó có 4, 9 là số chính phương và cũng có số không phải chính phương.
