Chương I. Số hữu tỉ

Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang15–16 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.17★Trang 15— Viết số thập phân rất nhỏ dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ

Đơn vị đo thời gian nhỏ nhất là yoctosecond (viết tắt là ys), nó bằng

0, 000000000000000000000001

giây. Hãy viết số này dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ.

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân có duy nhất chữ số 1 khác 0 ở đúng vị trí thập phân thứ $m$ , còn lại là 0, thì bằng $\frac{1}{1 0 ^{m}}$ .
Luỹ thừa của một thương: $\frac{1}{a ^{n}} = (\frac{1}{a})^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số đã cho có rất nhiều chữ số 0 liên tiếp sau dấu phẩy trước khi gặp chữ số 1, đó là dấu hiệu của một phân số có mẫu là luỹ thừa của 10. Nên đếm đúng vị trí của chữ số 1 để xác định số mũ, vì đếm thiếu hay thừa một chữ số sẽ lệch hẳn kết quả. Bẫy dễ gặp là đếm luôn cả chữ số 1 vào nhóm số 0, hoặc quên rằng số mũ bằng đúng vị trí thập phân của chữ số khác 0 chứ không phải số chữ số 0.

1Cách 1. Đếm trực tiếp từng chữ số 0 để xác định số mũ

Đếm số vị trí sau dấu phẩy tính đến đúng chữ số $1$ để xác định số mũ của $10$ ở mẫu, rồi đổi luỹ thừa của $10$ thành luỹ thừa của $\frac{1}{10}$ .

Đếm từ sau dấu phẩy: chữ số

1

nằm đúng ở vị trí thập phân thứ

24

, các vị trí còn lại đều là

0

0, 23 00 \dots 0 1 = \frac{1}{1 0 ^{24}}

(nhóm

23

chữ số

0

)

\frac{1}{1 0 ^{24}} = (\frac{1}{10})^{24}

Vậy $1$ ys $= (\frac{1}{10})^{24}$ giây.

2Cách 2. Đếm theo từng nhóm bốn chữ số như cách đọc số lớn

Tách các chữ số 0 sau dấu phẩy thành từng nhóm $4$ chữ số như cách đọc số nhiều chữ số, đếm số nhóm rồi cộng phần dư, để tránh đếm nhầm khi dãy số 0 quá dài.

0, 000000000000000000000001

tách được

5

nhóm bốn chữ số

0

và dư

3

chữ số

0

trước chữ số

1

tổng số chữ số

0

là

5 \times 4 + 3 = 23

, nên chữ số

1

đứng ở vị trí thập phân thứ

23 + 1 = 24

0, \dots 01 = \frac{1}{1 0 ^{24}} = (\frac{1}{10})^{24}

Đếm theo nhóm cũng cho kết quả $(\frac{1}{10})^{24}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Viết dưới dạng khoa học rồi đổi cơ số

Viết số đã cho theo dạng khoa học $1 \times 1 0^{- m}$ trước, dựa vào việc chữ số có nghĩa duy nhất là $1$ đứng ở vị trí thập phân thứ $m$ , sau đó mới đổi luỹ thừa của $10$ sang luỹ thừa của $\frac{1}{10}$ .

Chữ số có nghĩa

1

đứng ở vị trí thập phân thứ

24

nên

0, \dots 01 = 1 \times 1 0^{- 24}

1 \times 1 0^{- 24} = 1 0^{- 24} = \frac{1}{1 0 ^{24}}

\frac{1}{1 0 ^{24}} = (\frac{1}{10})^{24}

Vậy $1$ ys $= (\frac{1}{10})^{24}$ giây, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về việc đếm đúng vị trí của chữ số $1$ sau dấu phẩy; cách nhóm bốn chữ số an toàn nhất khi dãy số $0$ dài như bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đếm theo nhóm bốn chữ số) vì dãy số 0 trong bài dài tới 23 chữ số, đếm từng chữ số một rất dễ lệch, trong khi đếm theo nhóm bốn giống cách đọc số lớn nên khó nhầm hơn.

Đáp số.

1

= (\frac{1}{10})^{24}

giây.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đếm luôn cả chữ số

1

vào số chữ số

0

hoặc đếm thiếu một chữ số ở đầu dãy, ra nhầm kết quả

(\frac{1}{10})^{23}

hoặc

(\frac{1}{10})^{25}

; cách chắc chắn nhất là đếm đúng vị trí thập phân của chữ số

1

🚀 Mở rộng. Tổng quát: một phân số thập phân có duy nhất chữ số khác 0 là chữ số

a

đứng ở vị trí thập phân thứ

m

thì bằng

a \times 1 0^{- m}

, chẳng hạn

0, 00007 = 7 \times 1 0^{- 5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.18★Trang 15— Viết tích hoặc thương hai luỹ thừa cùng số mũ thành luỹ thừa của một số hữu tỉ

Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ: a)

125 \cdot 27

; b)

243 : 32

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa của một tích: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$ .
Luỹ thừa của một thương: $a^{n} : b^{n} = (a : b)^{n}$ với $b \neq = 0$ .
Phân tích ra luỹ thừa của số nguyên tố: $125 = 5^{3}$ , $27 = 3^{3}$ , $243 = 3^{5}$ , $32 = 2^{5}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số ở mỗi câu đều là luỹ thừa của các số nguyên tố quen thuộc (

5^{3}

3^{3}

3^{5}

2^{5}

), đó là dấu hiệu phải đưa chúng về CÙNG một số mũ trước khi dùng công thức luỹ thừa của một tích hoặc một thương. Câu a hai số đã sẵn cùng số mũ

3

nên gộp cơ số ngay; bẫy của câu b là phải nhận ra

243

và

32

đều là luỹ thừa bậc

5

thì công thức mới áp dụng được.

1Cách 1. Phân tích ra luỹ thừa cùng số mũ rồi gộp cơ số

Phân tích từng số về luỹ thừa của một số nguyên tố sao cho hai luỹ thừa trong mỗi câu có CÙNG số mũ, rồi áp dụng công thức luỹ thừa của một tích hoặc một thương.

125 = 5^{3}

và

27 = 3^{3}

cùng số mũ

3

125 \cdot 27 = 5^{3} \cdot 3^{3} = (5 \cdot 3)^{3}

= 1 5^{3}

243 = 3^{5}

và

32 = 2^{5}

cùng số mũ

5

243 : 32 = 3^{5} : 2^{5} = (3 : 2)^{5}

= (\frac{3}{2})^{5}

Vậy $125 \cdot 27 = 1 5^{3}$ và $243 : 32 = (\frac{3}{2})^{5}$ .

2Cách 2. Tính giá trị số rồi phân tích ngược để đối chiếu

Tính thẳng giá trị số của mỗi biểu thức, sau đó phân tích kết quả đó ra luỹ thừa để đối chiếu với Cách 1.

125 \cdot 27 = 3375

; phân tích

3375 = 1 5^{3}

(vì

15 \cdot 15 \cdot 15 = 3375

)

243 : 32 = \frac{243}{32}

; vì

243 = 3^{5}

32 = 2^{5}

nên

\frac{243}{32} = (\frac{3}{2})^{5}

Vậy kết quả vẫn là $125 \cdot 27 = 1 5^{3}$ và $243 : 32 = (\frac{3}{2})^{5}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Nhận diện thẳng từ bảng luỹ thừa quen thuộc

Nhớ sẵn bảng luỹ thừa của $2, 3, 5$ để nhận diện ngay $125, 27, 243, 32$ là luỹ thừa bậc mấy, từ đó ghép cặp cùng số mũ nhanh hơn hẳn việc nhân hay chia số ra rồi mới phân tích ngược.

Bảng quen thuộc:

5^{3} = 125

;

3^{3} = 27

;

3^{5} = 243

;

2^{5} = 32

a) hai số cùng số mũ

3

nên gộp cơ số:

125 \cdot 27 = 5^{3} \cdot 3^{3} = 1 5^{3}

b) hai số cùng số mũ

5

nên gộp cơ số:

243 : 32 = 3^{5} : 2^{5} = (\frac{3}{2})^{5}

Nhận diện thẳng từ bảng luỹ thừa quen thuộc cũng cho $125 \cdot 27 = 1 5^{3}$ và $243 : 32 = (\frac{3}{2})^{5}$ .

Nhận xét. Thuộc sẵn các luỹ thừa của $2, 3, 5$ đến bậc $5$ giúp làm dạng bài này gần như không cần đặt tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ hai dòng là ra kết quả, không phải nhân số lớn như Cách 2; Cách 3 nhanh hơn nữa nếu đã thuộc bảng luỹ thừa.

Đáp số. a)

125 \cdot 27 = 1 5^{3}

; b)

243 : 32 = (\frac{3}{2})^{5}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu b viết nhầm thành

(\frac{2}{3})^{5}

(đảo ngược thứ tự tử mẫu); phép chia

243 : 32

nghĩa là

243

đứng trước nên phải là

(\frac{3}{2})^{5}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi số dạng

a^{n} \cdot b^{n}

hoặc

a^{n} : b^{n}

đều gộp được thành

(a \cdot b)^{n}

hoặc

(a : b)^{n}

, kể cả khi

a, b

là số hữu tỉ, chẳng hạn

(\frac{1}{2})^{4} \cdot 3^{4} = (\frac{3}{2})^{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.19★Trang 15— Tính giá trị luỹ thừa của thương rồi đổi ra số thập phân

Đường kính của một tế bào hồng cầu là khoảng

7, 4 \cdot (\frac{1}{10})^{4}

cm. Hãy viết số này dưới dạng số thập phân.

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa của một thương: $(\frac{1}{10})^{n} = \frac{1}{1 0 ^{n}}$ .
Chia một số cho $1 0^{n}$ tương đương dịch dấu phẩy của số đó sang trái $n$ hàng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.20★★Trang 15— Tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa của số hữu tỉ

Tính giá trị của biểu thức: a)

(\frac{1}{2})^{3} \cdot 4 + \frac{3}{4}

; b)

4^{3} : 2^{5} + 3^{5} : 9^{2}

Kiến thức cần nhớ

Thứ tự thực hiện phép tính: luỹ thừa, rồi nhân chia, rồi cộng trừ.
Luỹ thừa của luỹ thừa: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ .
Chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác $0$ : $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.21★★Trang 15— So sánh các số viết dưới dạng

a \times 1 0^{n}

có số mũ khác nhau

Bảng thống kê dưới đây ước lượng số dân của một số nước tại thời điểm năm 2020 (theo cacnuoc.vn).

Quốc gia	Số dân
Hàn Quốc	$51, 2 \cdot 1 0^{6}$
Trung Quốc	$143, 9 \cdot 1 0^{7}$
Hoa Kỳ	$331 \cdot 1 0^{6}$
Nhật Bản	$126, 6 \cdot 1 0^{6}$
Ấn Độ	$13, 8 \cdot 1 0^{8}$
Pháp	$65, 2 \cdot 1 0^{6}$
Việt Nam	$97, 3 \cdot 1 0^{6}$
Cu Ba	$11, 3 \cdot 1 0^{6}$
Brunei	$43, 7 \cdot 1 0^{4}$

Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự có số dân từ lớn đến bé.

Kiến thức cần nhớ

Muốn so sánh hai số dạng $a \times 1 0^{m}$ và $b \times 1 0^{n}$ với $m \neq = n$ , phải đưa về cùng một luỹ thừa của $10$ rồi mới so sánh hệ số.
Dạng chuẩn khoa học $a \times 1 0^{n}$ yêu cầu $1 \leq a < 10$ ; khi đó chỉ cần so sánh số mũ $n$ trước.
Tăng số mũ của $10$ lên $1$ đơn vị thì phải giảm hệ số đi $10$ lần để giá trị không đổi.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.22★★Trang 16— Tìm số mũ ẩn từ đẳng thức tích hoặc thương hai luỹ thừa cùng cơ số

Thay dấu "?" bằng số thích hợp: a)

(\frac{2}{3})^{5} \cdot (\frac{2}{3})^{?} = (\frac{2}{3})^{8}

; b)

(- \frac{3}{4})^{?} : (- \frac{3}{4})^{7} = (- \frac{3}{4})^{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
Chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác $0, \pm 1$ : $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
Hai luỹ thừa cùng cơ số khác $0, \pm 1$ bằng nhau khi và chỉ khi hai số mũ bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.23★★Trang 16— Tính luỹ thừa liền kề dựa vào một luỹ thừa đã biết, không dùng máy tính

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính: a)

(- 5)^{7}

, biết

(- 5)^{6} = 15625

; b)

2^{12}

, biết

2^{11} = 2048

Kiến thức cần nhớ

Tách luỹ thừa liền bậc: $a^{n + 1} = a^{n} \cdot a$ .
Luỹ thừa bậc lẻ của một số âm luôn mang dấu âm; luỹ thừa bậc chẵn luôn mang dấu dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.24★★★Trang 16— Điền luỹ thừa còn thiếu vào hình vuông có tích mỗi hàng, cột, đường chéo bằng nhau

Hình vuông dưới đây có tính chất: mỗi ô ghi một luỹ thừa của

2

, tích các số trong mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau. Hãy điền các luỹ thừa của

2

còn thiếu vào các ô trống (đặt tên các ô trống là

A

B

C

D

E

như trong hình).

Kiến thức cần nhớ

Nhân các luỹ thừa cùng cơ số: $2^{a} \cdot 2^{b} \cdot 2^{c} = 2^{a + b + c}$ .
Hai luỹ thừa cùng cơ số $2$ bằng nhau khi và chỉ khi số mũ bằng nhau.
Quy ước $2^{0} = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.25★★Trang 16— Tìm số mũ tự nhiên từ đẳng thức chứa luỹ thừa

Tìm số tự nhiên

n

, biết: a)

5^{n} \cdot (\frac{1}{5})^{3} = 125

; b)

4 \cdot 3^{n} = 324

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{1}{a})^{n} = \frac{1}{a ^{n}}$ nên $a^{m} \cdot (\frac{1}{a})^{n} = a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (với $m \geq n$ ).
Hai luỹ thừa cùng cơ số khác $0, \pm 1$ bằng nhau khi và chỉ khi số mũ bằng nhau.
Muốn tìm thừa số chưa biết trong một tích, lấy tích chia cho thừa số đã biết.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.26★★★Trang 16— Rút gọn phân thức chứa luỹ thừa lớn bằng cách đưa về cùng cơ số nguyên tố và đặt nhân tử chung

Tính

A = \frac{2 7 ^{10} + 9 ^{5}}{9 ^{13} + 2 7 ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Luỹ thừa của luỹ thừa: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ .
Đặt nhân tử chung: $a^{m} + a^{n} = a^{m i n (m, n)} (a^{∣ m - n ∣} + 1)$ khi $m \neq = n$ .
Chỉ được cộng số mũ khi NHÂN hai luỹ thừa cùng cơ số; phép cộng hai luỹ thừa không cộng số mũ.