Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Đếm số vị trí sau dấu phẩy tính đến đúng chữ số $1$ để xác định số mũ của $10$ ở mẫu, rồi đổi luỹ thừa của $10$ thành luỹ thừa của $\frac{1}{10}$.

Vậy $1$ ys $={\left(\frac{1}{10}\right)}^{24}$ giây.

Tách các chữ số 0 sau dấu phẩy thành từng nhóm $4$ chữ số như cách đọc số nhiều chữ số, đếm số nhóm rồi cộng phần dư, để tránh đếm nhầm khi dãy số 0 quá dài.

Đếm theo nhóm cũng cho kết quả ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{24}$, khớp với Cách 1.

Viết số đã cho theo dạng khoa học $1\times 10^{-m}$ trước, dựa vào việc chữ số có nghĩa duy nhất là $1$ đứng ở vị trí thập phân thứ $m$, sau đó mới đổi luỹ thừa của $10$ sang luỹ thừa của $\frac{1}{10}$.

Vậy $1$ ys $={\left(\frac{1}{10}\right)}^{24}$ giây, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về việc đếm đúng vị trí của chữ số $1$ sau dấu phẩy; cách nhóm bốn chữ số an toàn nhất khi dãy số $0$ dài như bài này.

Phân tích từng số về luỹ thừa của một số nguyên tố sao cho hai luỹ thừa trong mỗi câu có CÙNG số mũ, rồi áp dụng công thức luỹ thừa của một tích hoặc một thương.

Vậy $125\cdot 27=15^3$ và $243:32={\left(\frac{3}{2}\right)}^5$.

Tính thẳng giá trị số của mỗi biểu thức, sau đó phân tích kết quả đó ra luỹ thừa để đối chiếu với Cách 1.

Vậy kết quả vẫn là $125\cdot 27=15^3$ và $243:32={\left(\frac{3}{2}\right)}^5$, khớp Cách 1.

Nhớ sẵn bảng luỹ thừa của $2,3,5$ để nhận diện ngay $125,27,243,32$ là luỹ thừa bậc mấy, từ đó ghép cặp cùng số mũ nhanh hơn hẳn việc nhân hay chia số ra rồi mới phân tích ngược.

Nhận diện thẳng từ bảng luỹ thừa quen thuộc cũng cho $125\cdot 27=15^3$ và $243:32={\left(\frac{3}{2}\right)}^5$.

Nhận xét. Thuộc sẵn các luỹ thừa của $2,3,5$ đến bậc $5$ giúp làm dạng bài này gần như không cần đặt tính.

Đổi ${\left(\frac{1}{10}\right)}^4$ thành $\frac{1}{10^4}$, đưa phép nhân về phép chia cho $10^4$ rồi tính.

Vậy đường kính tế bào hồng cầu khoảng $0,00074$ cm.

Chia cho $10^4$ chính là dịch dấu phẩy của $7,4$ sang trái đúng $4$ hàng, không cần quy đổi qua phân số.

Dịch dấu phẩy $4$ lần cũng cho $0,00074$, khớp Cách 1.

Giữ nguyên $7,4$ dưới dạng khoa học $7,4\times 10^{-4}$ (vì nhân với ${\left(\frac{1}{10}\right)}^4$ tức là nhân với $10^{-4}$), rồi đổi số mũ âm sang số thập phân.

Viết theo dạng khoa học cũng cho kết quả $0,00074$ cm.

Nhận xét. Cách viết dạng khoa học rất tiện khi so sánh nhiều số cùng nhân với luỹ thừa của $10$ khác số mũ, như bài dân số ở câu sau.

Tính câu a theo đúng thứ tự luỹ thừa trước; ở câu b đưa $4=2^2$ và $9=3^2$ để mọi luỹ thừa cùng cơ số $2$ hoặc cơ số $3$ trước khi trừ số mũ.

Vậy a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot 4+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$; b) $4^3:2^5+3^5:9^2=5$.

Tính hẳn giá trị số của từng luỹ thừa rồi mới chia và cộng, không cần đưa về cùng cơ số.

Tính thẳng ra số cũng cho $\frac{5}{4}$ và $5$, khớp Cách 1.

Bấm trực tiếp từng biểu thức trên máy tính cầm tay để kiểm tra lại hai kết quả vừa tính bằng tay.

Kết quả bấm máy khớp đúng $\frac{5}{4}$ và $5$, xác nhận hai cách tính tay ở trên đều đúng.

Nhận xét. Bấm máy chỉ nên dùng để kiểm tra lại, vì bài học cần thể hiện đúng cách biến đổi luỹ thừa khi trình bày.

Tính hẳn ra số nguyên đầy đủ của từng nước rồi so sánh như so sánh hai số tự nhiên: số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn, cùng số chữ số thì so từ trái sang phải.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé: Trung Quốc, Ấn Độ, Hoa Kỳ, Nhật Bản, Việt Nam, Pháp, Hàn Quốc, Cu Ba, Brunei.

Đưa ba số có số mũ khác $10^6$ (Trung Quốc, Ấn Độ, Brunei) về đúng dạng $a\times 10^6$ như sáu số còn lại, rồi so sánh trực tiếp phần hệ số.

Vậy thứ tự số dân từ lớn đến bé là Trung Quốc, Ấn Độ, Hoa Kỳ, Nhật Bản, Việt Nam, Pháp, Hàn Quốc, Cu Ba, Brunei, khớp Cách 1.

Đưa mọi số về đúng dạng chuẩn khoa học $a\times 10^n$ với $1\le a<10$, khi đó so sánh số mũ $n$ trước; số mũ bằng nhau mới so tiếp hệ số $a$.

Chuẩn hoá dạng khoa học cũng cho đúng thứ tự: Trung Quốc, Ấn Độ, Hoa Kỳ, Nhật Bản, Việt Nam, Pháp, Hàn Quốc, Cu Ba, Brunei.

Nhận xét. Chuẩn hoá đúng dạng khoa học giúp phát hiện ngay trường hợp dễ nhầm như Trung Quốc và Ấn Độ, vì lúc đó số mũ đã phản ánh đúng độ lớn.

Áp dụng công thức cộng số mũ khi nhân và trừ số mũ khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, đưa mỗi đẳng thức luỹ thừa về một đẳng thức số mũ đơn giản.

Vậy a) $?=3$; b) $?=9$.

Thử thay các giá trị số mũ nghi vấn vào ô trống và tính lại vế trái để đối chiếu đúng với vế phải đã cho.

Thử trực tiếp cũng xác nhận $?=3$ ở câu a và $?=9$ ở câu b, khớp Cách 1.

Coi số mũ cần tìm như một ẩn số trong phép cộng hoặc phép trừ đơn giản của các số mũ, dùng đúng quy tắc tìm số hạng hoặc số bị trừ chưa biết đã học.

Coi số mũ là ẩn trong phép cộng, phép trừ quen thuộc cũng cho $?=3$ và $?=9$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về đúng một đẳng thức số mũ; khác nhau ở chỗ Cách 1 và Cách 3 tính trực tiếp còn Cách 2 phải thử rồi kiểm tra lại.

Tách $(-5{)}^7=(-5{)}^6\cdot (-5)$ và $2^{12}=2^{11}\cdot 2$, thay số đã cho vào rồi nhân thêm đúng một lần cơ số.

Vậy $(-5{)}^7=-78125$ và $2^{12}=4096$.

Nhân trực tiếp cơ số theo từng bậc nhỏ để dựng lại đúng $(-5{)}^6$ và $2^{11}$ trước, xác nhận số liệu đề cho rồi nhân thêm một lần cơ số như Cách 1.

Dựng lại từ luỹ thừa nhỏ cũng xác nhận $(-5{)}^7=-78125$ và $2^{12}=4096$, khớp Cách 1.

Xác định dấu của kết quả trước bằng tính chẵn lẻ của số mũ, rồi chỉ cần nhân các giá trị tuyệt đối mà không lo nhầm dấu giữa chừng.

Xét dấu trước rồi nhân trị tuyệt đối cũng cho $(-5{)}^7=-78125$ và $2^{12}=4096$.

Nhận xét. Với cơ số âm, nên chốt dấu của kết quả trước khi nhân, tránh việc nhân xong quên đổi dấu ở bước cuối.

Đường chéo chính đã biết đủ cả ba ô nên cộng ngay ba số mũ để ra tổng chung, sau đó dùng tổng đó trừ đi hai ô đã biết của mỗi hàng để tìm ô còn thiếu trong hàng đó.

Vậy $A=2^9$, $B=2^3$, $C=2^7$, $D=2^1$.

Đường chéo phụ cũng đã biết đủ cả ba ô nên tính lại tích chung để đối chiếu, sau đó tìm các ô còn thiếu theo cột và theo hàng còn lại.

Đối chiếu bằng đường chéo phụ cũng cho đúng $A=2^9$, $B=2^3$, $C=2^7$, $D=2^1$ như Cách 1.

Gọi số mũ của $A,B,C,D$ lần lượt là $a,b,c,d$, lập các đẳng thức tổng số mũ bằng $15$ cho từng hàng, cột rồi giải, không cần nhận ra đường chéo nào đã biết đủ trước.

Giải hệ số mũ cũng cho $A=2^9$, $B=2^3$, $C=2^7$, $D=2^1$, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Lập hệ số mũ tổng quát dùng được cho mọi hình vuông luỹ thừa dù đường chéo có sẵn đủ dữ liệu hay không, còn Cách 1 và Cách 2 chỉ nhanh khi may mắn có sẵn một đường chéo đầy đủ.

Đưa vế trái câu a về đúng một luỹ thừa của $5$ bằng cách cộng số mũ, so với vế phải để tìm $n$; câu b cô lập luỹ thừa $3^n$ trước khi phân tích số ra luỹ thừa của $3$.

Vậy a) $n=6$; b) $n=4$.

Thử thay lần lượt số tự nhiên dự đoán vào từng đẳng thức để kiểm tra, không cần dùng số mũ âm.

Thử trực tiếp cũng xác nhận $n=6$ và $n=4$, khớp Cách 1.

Ở câu a viết ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$ dưới dạng phân số $\frac{1}{5^3}$ rồi rút gọn theo quy tắc chia luỹ thừa cùng cơ số, không cần dùng số mũ âm; câu b đặt $x=3^n$ để đưa về phương trình bậc nhất quen thuộc rồi mới đổi lại thành luỹ thừa.

Rút gọn phân số và đặt ẩn phụ cũng cho $n=6$ và $n=4$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách đặt ẩn phụ $x=3^n$ ở câu b giúp nhìn bài toán như một phép tìm thừa số quen thuộc, đỡ e ngại luỹ thừa hơn khi mới học dạng này.

Đưa cả bốn luỹ thừa $27^{10},9^5,9^{13},27^2$ về cùng cơ số $3$, rồi đặt nhân tử chung ở tử và ở mẫu để rút gọn phân thức.

Vậy $A=81$.

Đặt $t=3^6$ để viết lại cả tử và mẫu theo $t$, tránh phải viết những số mũ quá lớn trong lúc rút gọn.

Đặt ẩn phụ $t=3^6$ cũng dẫn về kết quả $A=81$, khớp Cách 1.

Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa nhỏ nhất xuất hiện trong toàn phân thức là $3^6$ ngay từ đầu, đưa các số mũ về nhỏ hơn trước khi cộng, thay vì cộng xong mới đặt nhân tử chung như Cách 1.

Chia trước cho luỹ thừa nhỏ nhất cũng cho $A=81$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác thời điểm đặt nhân tử chung hay chia bớt cho luỹ thừa nhỏ nhất, bản chất đều dựa vào việc $3^{20}+1$ xuất hiện lại giống hệt nhau ở cả tử và mẫu sau khi quy về cơ số $3$.