Chương II. Số thực

Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang24–25 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★Trang 24— Nhận biết phân số viết được thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? Vì sao?

\frac{21}{60}; \frac{- 8}{125}; \frac{28}{- 63}; \frac{37}{800}

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản có mẫu dương mà mẫu chỉ chứa các ước nguyên tố $2$ và $5$ thì viết được thành số thập phân hữu hạn.
Phân số tối giản có mẫu dương mà mẫu chứa ước nguyên tố khác $2$ và $5$ thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phân số đều chưa ở dạng tối giản hoặc mẫu chưa dương, đó là dấu hiệu phải rút gọn và đổi dấu mẫu về dương trước khi xét, vì xét ước nguyên tố trên mẫu chưa tối giản dễ đưa ra kết luận sai. Sau khi rút gọn, chỉ cần phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố rồi so sánh với hai số

2

và

5

để phân loại ngay, không cần thực hiện phép chia dài dòng. Bẫy nằm ở phân số

\frac{28}{- 63}

: mẫu âm dễ khiến rút gọn nhầm dấu hoặc quên đưa về mẫu dương.

1Cách 1. Rút gọn về mẫu dương rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố

Rút gọn từng phân số về dạng tối giản có mẫu dương, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố và so sánh với hai số $2, 5$ .

\frac{21}{60} = \frac{7}{20}

, mẫu

20 = 2^{2} \cdot 5

chỉ có ước nguyên tố

2

và

5

\frac{- 8}{125}

đã tối giản, mẫu

125 = 5^{3}

chỉ có ước nguyên tố

5

\frac{28}{- 63} = \frac{- 28}{63} = \frac{- 4}{9}

, mẫu

9 = 3^{2}

có ước nguyên tố

3

\frac{37}{800}

đã tối giản, mẫu

800 = 2^{5} \cdot 5^{2}

chỉ có ước nguyên tố

2

và

5

Chỉ có mẫu $9$ chứa ước nguyên tố khác $2, 5$ nên $\frac{28}{- 63} = - \frac{4}{9}$ viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn; ba phân số còn lại viết được thành số thập phân hữu hạn.

2Cách 2. Khử liên tiếp các thừa số 2 và 5 ở mẫu để kiểm tra nhanh

Chia liên tiếp mẫu số cho $2$ rồi cho $5$ đến khi không chia hết nữa; nếu về đúng $1$ thì hữu hạn, còn dư lại số khác $1$ thì vô hạn tuần hoàn.

20 : 2 = 10, 10 : 2 = 5, 5 : 5 = 1

— về đúng

1

nên hữu hạn

125 : 5 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1

— về đúng

1

nên hữu hạn

9 : 2

không chia hết,

9 : 5

không chia hết, còn dư lại

9 \neq = 1

nên vô hạn tuần hoàn

800 : 2 = 400, \dots, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1

— về đúng

1

nên hữu hạn

Kết quả trùng khớp Cách 1: chỉ $\frac{28}{- 63} = - \frac{4}{9}$ vô hạn tuần hoàn.

3Cách 3. Thực hiện phép chia trực tiếp để quan sát

Chia trực tiếp tử cho mẫu, quan sát phép chia có dừng lại hay lặp lại vô hạn.

7 : 20 = 0, 35

(phép chia dừng)

- 8 : 125 = - 0, 064

(phép chia dừng)

- 4 : 9 = - 0, (4)

(chữ số

4

lặp lại mãi)

37 : 800 = 0, 04625

(phép chia dừng)

Chỉ phép chia $- 4 : 9$ không dừng mà lặp lại, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố là thao tác chuẩn, nhanh; Cách 2 hữu ích khi mẫu quá lớn khó phân tích ngay bằng mắt.

Đáp số. Chỉ có

\frac{28}{- 63} = - \frac{4}{9}

viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Sai lầm thường gặp. Quên rút gọn

\frac{28}{- 63}

trước khi xét mẫu, hoặc quên đổi mẫu âm về dương; ví dụ nếu gặp

\frac{63}{- 63} = - 1

mà xét mẫu chưa rút gọn

63 = 3^{2} \cdot 7

sẽ kết luận nhầm là vô hạn tuần hoàn, trong khi bản chất đây là số nguyên

- 1

, viết thành số thập phân hữu hạn

- 1, 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, không tồn tại số hữu tỉ nào có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★Trang 24— Viết số thập phân hữu hạn thành phân số tối giản

Viết số thập phân

2, 75

dưới dạng phân số tối giản.

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân hữu hạn có $n$ chữ số ở phần thập phân bằng phân số có tử là số nguyên bỏ dấu phẩy, mẫu là $1 0^{n}$ .
Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Số

2, 75

có đúng hai chữ số ở phần thập phân, đó là dấu hiệu viết ngay thành phân số có mẫu

100

rồi rút gọn, không cần tách phần nguyên riêng. Bẫy là rút gọn chưa triệt để, dừng lại ở một phân số trung gian như

\frac{55}{20}

mà tử và mẫu vẫn còn ước chung.

1Cách 1. Viết theo số chữ số thập phân rồi rút gọn bằng ước chung lớn nhất

Viết ngay số thập phân thành phân số có mẫu là $100$ (vì có hai chữ số thập phân), rồi tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu để rút gọn một lần cho triệt để.

2, 75 = \frac{275}{100}

275 = 5^{2} \cdot 11, 100 = 2^{2} \cdot 5^{2}

, ước chung lớn nhất là

25

2, 75 = \frac{275 : 25}{100 : 25} = \frac{11}{4}

Vậy $2, 75 = \frac{11}{4}$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên và phần thập phân rồi cộng lại

Tách riêng phần nguyên $2$ và phần thập phân $0, 75$ , đổi phần thập phân thành phân số rồi cộng lại với phần nguyên.

2, 75 = 2 + 0, 75

0, 75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}

2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}

Tách phần nguyên cũng cho $2, 75 = \frac{11}{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn và nhân với lũy thừa của 10 để khử dấu phẩy

Đặt $x$ bằng số thập phân đã cho, nhân hai vế với $100$ để khử hẳn dấu phẩy — đây chính là kĩ thuật sẽ dùng lại cho số thập phân vô hạn tuần hoàn ở Bài 2.5, chỉ khác phần lặp ở đây là số $0$ nên chỉ cần một lần nhân.

x = 2, 75

100 x = 275

x = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}

Cách đặt ẩn cũng cho cùng kết quả $2, 75 = \frac{11}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì viết thẳng theo số chữ số thập phân rồi rút gọn một lần bằng ước chung lớn nhất là nhanh và ít bước nhất.

Đáp số.

2, 75 = \frac{11}{4}

Sai lầm thường gặp. Rút gọn chưa triệt để, dừng ở

\frac{55}{20}

(chia tử mẫu

\frac{275}{100}

cho

5

một lần) rồi coi đó là kết quả cuối, trong khi

55

và

20

vẫn còn chia hết cho

5

, phải rút gọn tiếp mới ra

\frac{11}{4}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, một số thập phân hữu hạn

a, \overline{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}

bằng một phân số có tử là số nguyên bỏ dấu phẩy và mẫu là

1 0^{n}

, rồi rút gọn; áp dụng cho

0, 125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★Trang 24— Nối phân số với cách viết thập phân tương ứng

Nối mỗi phân số ở cột bên trái với cách viết thập phân của nó ở cột bên phải. Cột trái: 1)

\frac{3}{8}

; 2)

\frac{4}{9}

; 3)

\frac{5}{8}

; 4)

\frac{7}{9}

. Cột phải: a)

0, (7)

; b)

0, 375

; c)

0, (4)

; d)

0, 625

Kiến thức cần nhớ

Chia tử cho mẫu để tìm dạng thập phân của một phân số.
Mẫu chỉ có ước nguyên tố $2$ (như $8 = 2^{3}$ ) cho số thập phân hữu hạn; mẫu có ước nguyên tố khác $2, 5$ (như $9 = 3^{2}$ ) cho số thập phân vô hạn tuần hoàn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★Trang 24— Phân loại và sắp xếp các phân số theo dạng số thập phân

Trong các phân số

\frac{13}{15}; \frac{13}{4}; - \frac{1}{18}; \frac{11}{6}; \frac{7}{20}; - \frac{19}{50}

, gọi

A

là tập hợp các phân số được viết thành số thập phân hữu hạn và

B

là tập hợp các phân số viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy liệt kê các phần tử của

A

và

B

theo thứ tự từ bé đến lớn.

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản có mẫu dương mà mẫu chỉ chứa ước nguyên tố $2, 5$ thì hữu hạn, còn mẫu chứa ước nguyên tố khác thì vô hạn tuần hoàn.
So sánh hai số hữu tỉ khác mẫu bằng cách quy đồng hoặc đổi ra thập phân.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★Trang 24— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thành phân số

Viết số thập phân

3, (5)

dưới dạng phân số.

Kiến thức cần nhớ

Đặt $x$ bằng số thập phân tuần hoàn, nhân hai vế với lũy thừa của $10$ bằng đúng độ dài chu kì để hai vế có cùng phần thập phân, rồi trừ để khử phần vô hạn.
Số thập phân dạng $a, (b)$ với $b$ là một chữ số bằng $a + \frac{b}{9}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★Trang 25— Tìm chữ số ở vị trí xa trong số thập phân tuần hoàn

Chữ số thứ 105 sau dấu phẩy của phân số

\frac{1}{7}

(viết dưới dạng số thập phân) là chữ số nào?

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân tuần hoàn lặp lại đúng chu kì sau mỗi $k$ chữ số, với $k$ là độ dài chu kì.
Muốn tìm chữ số ở vị trí thứ $n$ , lấy $n$ chia cho độ dài chu kì $k$ : số dư (khác $0$ ) cho biết vị trí trong chu kì, số dư $0$ ứng với chữ số cuối chu kì.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★★Trang 25— Tính toán với số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng trắc nghiệm

Kết quả của phép tính

1 : 1, (3)

bằng: A.

0, (75)

0, 3

0, (3)

0, 75

. Hãy chọn phương án đúng.

Kiến thức cần nhớ

Đổi số thập phân tuần hoàn về phân số trước khi thực hiện phép chia.
$0, (1) = \frac{1}{9}$ , từ đó số dạng $a, (b)$ với $b$ là một chữ số đổi nhanh thành $\frac{9 a + b}{9}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.8★★★Trang 25— Làm tròn số và dùng kết quả làm tròn để phản biện một phép tính sai

Cho hai số

a = 2, 4798

;

b = 3, (8)

. a) Gọi

a^{'}

và

b^{'}

lần lượt là kết quả làm tròn số

a

đến hàng phần mười và làm tròn số

b

với độ chính xác

0, 5

. Tính

a^{'}

;

b^{'}

và so sánh

a^{'}

với

a

;

b^{'}

với

b

. b) Sử dụng kết quả câu a) để giải thích vì sao kết luận sau đây không đúng:

2, 4798 \times 3, (8) = 10, 2 (3)

Kiến thức cần nhớ

Làm tròn đến hàng phần mười: giữ một chữ số sau dấu phẩy, nhìn chữ số hàng phần trăm để quyết định làm tròn lên hay xuống.
Làm tròn với độ chính xác $d$ : chọn hàng làm tròn sao cho nửa đơn vị của hàng đó không vượt quá $d$ (độ chính xác $0, 5$ ứng với làm tròn đến hàng đơn vị).
Số đã làm tròn chỉ là giá trị gần đúng, không thể thay hẳn cho số ban đầu khi cần một kết quả chính xác tuyệt đối.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.9★★★Trang 25— Lập luận về tính tuần hoàn của một số thập phân liên quan căn bậc hai vô tỉ

Cho