Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Rút gọn từng phân số về dạng tối giản có mẫu dương, rồi phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố và so sánh với hai số $2,5$.

Chỉ có mẫu $9$ chứa ước nguyên tố khác $2,5$ nên $\frac{28}{-63}=-\frac{4}{9}$ viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn; ba phân số còn lại viết được thành số thập phân hữu hạn.

Chia liên tiếp mẫu số cho $2$ rồi cho $5$ đến khi không chia hết nữa; nếu về đúng $1$ thì hữu hạn, còn dư lại số khác $1$ thì vô hạn tuần hoàn.

Kết quả trùng khớp Cách 1: chỉ $\frac{28}{-63}=-\frac{4}{9}$ vô hạn tuần hoàn.

Chia trực tiếp tử cho mẫu, quan sát phép chia có dừng lại hay lặp lại vô hạn.

Chỉ phép chia $-4:9$ không dừng mà lặp lại, khớp hai cách trên.

Viết ngay số thập phân thành phân số có mẫu là $100$ (vì có hai chữ số thập phân), rồi tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu để rút gọn một lần cho triệt để.

Vậy $2,75=\frac{11}{4}$.

Tách riêng phần nguyên $2$ và phần thập phân $0,75$, đổi phần thập phân thành phân số rồi cộng lại với phần nguyên.

Tách phần nguyên cũng cho $2,75=\frac{11}{4}$, khớp Cách 1.

Đặt $x$ bằng số thập phân đã cho, nhân hai vế với $100$ để khử hẳn dấu phẩy — đây chính là kĩ thuật sẽ dùng lại cho số thập phân vô hạn tuần hoàn ở Bài 2.5, chỉ khác phần lặp ở đây là số $0$ nên chỉ cần một lần nhân.

Cách đặt ẩn cũng cho cùng kết quả $2,75=\frac{11}{4}$.

Chia trực tiếp tử cho mẫu của cả bốn phân số rồi đối chiếu với bốn phương án ở cột phải.

Vậy nối $1-b$, $2-c$, $3-d$, $4-a$.

Nhóm mẫu $8$ (gồm $\frac{3}{8},\frac{5}{8}$) chắc chắn ứng với hai số thập phân hữu hạn $0,375$ và $0,625$; nhóm mẫu $9$ (gồm $\frac{4}{9},\frac{7}{9}$) chắc chắn ứng với hai số tuần hoàn $0,(4)$ và $0,(7)$; sau đó so sánh giá trị trong từng nhóm để nối chính xác.

Phân nhóm trước cũng cho đúng kết quả $1-b,2-c,3-d,4-a$, khớp Cách 1.

Dùng ngay hai kết quả quen thuộc $\frac{1}{9}=0,(1)$ và $\frac{1}{8}=0,125$ rồi nhân với tử số để suy ra kết quả mà không cần đặt phép chia dài.

Kết quả trùng khớp hai cách trên: $1-b,2-c,3-d,4-a$.

Phân tích mẫu từng phân số ra thừa số nguyên tố để xếp vào $A$ hoặc $B$, sau đó so sánh giá trị các phân số trong từng tập hợp để sắp xếp tăng dần.

Vậy $A=\left\{-\frac{19}{50};\frac{7}{20};\frac{13}{4}\right\}$ và $B=\left\{-\frac{1}{18};\frac{13}{15};\frac{11}{6}\right\}$.

Chia tử cho mẫu để đổi cả sáu phân số ra số thập phân; số nào dừng lại thuộc $A$, số nào lặp lại thuộc $B$, đồng thời đọc luôn thứ tự tăng dần từ giá trị thập phân.

Các số thập phân dừng ($0,35;3,25;-0,38$) họp thành $A$, các số thập phân tuần hoàn còn lại họp thành $B$; sắp theo giá trị được đúng kết quả như Cách 1.

Sau khi đã phân loại xong, quy đồng mẫu số chung trong từng nhóm để so sánh tử số thay vì đổi ra số thập phân dài dòng.

Quy đồng cũng cho đúng thứ tự như hai cách trên.

Đặt $x$ bằng số thập phân đã cho, nhân hai vế với $10$ (vì chu kì có $1$ chữ số) để phần thập phân của $10x$ và $x$ trùng nhau, rồi trừ hai vế để khử hẳn phần vô hạn.

Vậy $3,(5)=\frac{32}{9}$.

Tách phần nguyên $3$ và phần thập phân tuần hoàn $0,(5)$, dùng ngay công thức $0,(b)=\frac{b}{9}$ rồi cộng lại với phần nguyên.

Dùng công thức trực tiếp cũng cho $3,(5)=\frac{32}{9}$, khớp Cách 1.

Chia ngược $32$ cho $9$ để kiểm tra kết quả vừa tìm có đúng bằng $3,(5)$ như đề bài hay không.

Kết quả khớp đúng số thập phân đề cho, khẳng định $3,(5)=\frac{32}{9}$ là chính xác.

Chia $1$ cho $7$ để tìm chu kì, sau đó lấy $105$ chia cho độ dài chu kì để tìm số dư, số dư đó chỉ đúng vị trí cần tìm trong chu kì.

Chữ số thứ $3$ trong chu kì $142857$ là $2$.

Viết liên tiếp các chu kì cho tới gần vị trí $105$ rồi đếm trực tiếp ba chữ số cuối cùng để kiểm chứng lại Cách 1.

Chữ số thứ $105$ là $2$, khớp đúng Cách 1.

Coi vị trí chữ số thứ $n$ ứng với số dư của $n$ khi chia cho độ dài chu kì $6$, quy ước số dư $0$ ứng với vị trí cuối chu kì.

Kết quả khớp hai cách trên: chữ số thứ $105$ là $2$.

Đổi $1,(3)$ về phân số bằng công thức chu kì một chữ số, rồi thực hiện phép chia bằng cách nhân với phân số nghịch đảo.

Vậy $1:1,(3)=0,75$, chọn phương án D.

Đổi lần lượt bốn phương án về phân số rồi so sánh với thương $\frac{3}{4}$ vừa tính được ở Cách 1.

Chỉ phương án D bằng đúng $\frac{3}{4}$, các phương án còn lại đều khác hẳn giá trị, khớp Cách 1.

Nhân từng phương án với $1,(3)=\frac{4}{3}$, phương án nào cho tích đúng bằng $1$ là phương án đúng.

Chỉ phương án D thoả mãn, khớp hai cách trên.

Làm tròn $a$ và $b$ theo đúng hai yêu cầu của câu a, so sánh với số gốc; sau đó đổi cả $a,b$ về phân số để tính tích chính xác và đối chiếu với $10,2(3)$.

Vì $9,643(6)\ne 10,2(3)$ nên kết luận $2,4798\times 3,(8)=10,2(3)$ là sai.

Không cần qua bước làm tròn, đổi thẳng $a,b$ về phân số rồi nhân để tìm tích chính xác, sau đó so sánh với số $10,2(3)$ mà đề đưa ra.

Vì $9,643(6)$ khác hẳn $10,2(3)$ (chênh nhau hơn $0,5$) nên kết luận trong đề là sai.

Dùng ngay bất đẳng thức $a<a^{\prime }$ và $b<b^{\prime }$ từ câu a để suy ra một cận trên của tích $a\times b$, rồi so sánh cận trên đó với $10,2(3)$ để bác bỏ nhanh mà không cần nhân phân số dài dòng.

Vì $a\times b<10<10,2(3)$ nên chắc chắn $a\times b\ne 10,2(3)$, kết luận trong đề là sai.

Nêu thẳng tính chất quen thuộc của $\sqrt{2}$ rồi áp dụng cho phần thập phân của $a$.

Vậy $a$ không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Giả sử điều ngược lại rồi chỉ ra mâu thuẫn với tính chất đã biết của $\sqrt{2}$.

Vậy điều giả sử là sai, tức $a$ không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Nếu $a$ tuần hoàn thì $a$ là số hữu tỉ; dùng tính chất hiệu hai số hữu tỉ vẫn hữu tỉ để suy ra mâu thuẫn với việc $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Mâu thuẫn này khẳng định $a$ không phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn, khớp hai cách trên.