Chương II. Số thực

Bài 6. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang28 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.10★Trang 28— Nhận biết số có căn bậc hai số học

Những số nào sau đây có căn bậc hai số học?

0, 9

;

- 4

;

11

;

- 100

;

\frac{4}{5}

;

π

Kiến thức cần nhớ

Số $a$ có căn bậc hai số học khi và chỉ khi $a \geq 0$ .
Căn bậc hai số học của $a \geq 0$ , kí hiệu $a$ , là số không âm $x$ sao cho $x^{2} = a$ .
Số âm không có căn bậc hai số học.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ hỏi số nào có căn bậc hai số học, đây là dấu hiệu của bài áp dụng thẳng định nghĩa chứ không cần tính toán gì thêm. Chỉ cần xét dấu của từng số, vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại với số không âm. Bẫy nằm ở việc nhầm

π

là một kí hiệu lạ nên bỏ sót, hoặc quên xét cả những số âm hiển nhiên như

- 4

- 100

1Cách 1. Kiểm tra dấu trực tiếp từng số theo định nghĩa

Định hướng. Theo định nghĩa, một số có căn bậc hai số học khi và chỉ khi số đó không âm, nên chỉ cần xét dấu của từng số trong dãy.

0, 9 \geq 0

nên

0, 9

có căn bậc hai số học.

- 4 < 0

nên

- 4

không có căn bậc hai số học.

11 \geq 0

nên

11

có căn bậc hai số học.

- 100 < 0

nên

- 100

không có căn bậc hai số học.

\frac{4}{5} \geq 0

nên

\frac{4}{5}

có căn bậc hai số học.

π \geq 0

nên

π

có căn bậc hai số học.

Vậy các số có căn bậc hai số học là $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ .

2Cách 2. Loại trừ các số âm trước

Định hướng. Thay vì xét từng số, gạch bỏ ngay các số âm vì chúng chắc chắn không có căn bậc hai số học, phần còn lại chính là đáp số.

Trong sáu số đã cho, hai số âm là

- 4

và

- 100

Bốn số còn lại là

0, 9

;

11

;

\frac{4}{5}

;

π

, tất cả đều không âm.

Vậy $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ là các số có căn bậc hai số học; $- 4$ và $- 100$ thì không.

3Cách 3. Biểu diễn trên trục số

Định hướng. Trên trục số, những số có căn bậc hai số học là những điểm nằm tại gốc $O$ hoặc về phía bên phải $O$ .

- 100

và

- 4

nằm bên trái điểm

O

nên không có căn bậc hai số học.

0, 9

;

\frac{4}{5}

;

11

;

π

đều nằm bên phải điểm

O

nên đều có căn bậc hai số học.

Vậy các số có căn bậc hai số học là $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ .

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở góc nhìn — tính trực tiếp, loại trừ, hay hình dung trên trục số — bản chất vẫn là kiểm tra dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần tìm hai số âm rồi loại, nhanh hơn xét dấu lần lượt cả sáu số trong dãy.

Đáp số. Các số có căn bậc hai số học:

0, 9

;

11

;

\frac{4}{5}

;

π

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng

π

là kí hiệu lạ nên bỏ sót, trong khi

π \approx 3, 14 > 0

nên vẫn có căn bậc hai số học; ngược lại có bạn nhầm

- 100

là số lớn nên xếp nhầm vào nhóm có căn bậc hai số học.

🚀 Mở rộng. Đổi thành xét dãy các số

- n

;

n

với

n

nguyên dương, ta luôn có đúng một nửa dãy (các số không âm) có căn bậc hai số học.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.11★Trang 28— Kiểm tra tính đúng sai của kết quả khai căn

Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng? A.

0, 1 = 0, 01

; B.

16 = - 4

; C.

- 0, 09 = 0, 3

; D.

0, 04 = 0, 2

Kiến thức cần nhớ

Căn bậc hai số học của $a \geq 0$ là số không âm $x$ thoả mãn $x^{2} = a$ .
Số âm không có căn bậc hai số học.
Muốn kiểm tra $a = b$ đúng hay sai, chỉ cần kiểm tra $b \geq 0$ và $b^{2} = a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn phương án đã tính sẵn kết quả, nên việc chính là kiểm chứng chứ không phải tự tính từ đầu. Dấu hiệu nhận ra ngay hai phương án sai:

16 = - 4

vi phạm việc căn bậc hai số học luôn không âm, còn

- 0, 09

vô nghĩa vì số dưới căn âm. Bẫy là phương án A, nhìn qua tưởng đúng nhưng

0, 1

không phải là số thập phân hữu hạn nên chắc chắn khác

0, 01

1Cách 1. Tính trực tiếp căn bậc hai của từng số dưới dấu căn

Định hướng. Tính hoặc ước lượng giá trị căn bậc hai ở từng phương án rồi so sánh với kết quả đề đã cho.

0, 1 \approx 0, 3162 \dots

, khác

0, 01

nên A sai.

16 = 4

(căn bậc hai số học không âm), khác

- 4

nên B sai.

- 0, 09 < 0

nên

- 0, 09

không tồn tại, C sai.

0, 04 = 0, 2

vì

0, 2 \geq 0

và

0, 2^{2} = 0, 04

, nên D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

2Cách 2. Bình phương ngược kết quả rồi so sánh với số dưới căn

Định hướng. Không cần khai căn, chỉ cần bình phương số ở vế phải rồi so với số dưới căn — cách này tránh phải nhớ giá trị gần đúng của căn thức.

0, 0 1^{2} = 0, 0001 \neq = 0, 1

nên A sai.

- 4 < 0

nên

- 4

không thể là căn bậc hai số học của bất kì số nào, B sai.

C: số dưới căn

- 0, 09 < 0

nên biểu thức không tồn tại, C sai.

0, 2 \geq 0

và

0, 2^{2} = 0, 04

đúng bằng số dưới căn, D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

3Cách 3. Loại phương án sai về hình thức trước, chỉ tính phương án còn lại

Định hướng. Hai phương án B và C sai ngay từ hình thức, không cần tính, nên loại trước để chỉ còn kiểm tra A và D bằng phép bình phương.

B cho kết quả

- 4 < 0

, trái với tính không âm của căn bậc hai số học nên loại ngay.

C có số dưới căn

- 0, 09 < 0

, không tồn tại căn bậc hai nên loại ngay.

Còn lại A và D:

0, 0 1^{2} = 0, 0001 \neq = 0, 1

nên A sai;

0, 2^{2} = 0, 04

đúng nên D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

Nhận xét. Loại nhanh B, C bằng hình thức giúp tiết kiệm thời gian khi làm bài trắc nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: loại ngay B, C bằng dấu hiệu hình thức (căn của số âm, kết quả âm), chỉ còn phải tính hai phương án, nhanh hơn kiểm tra đủ cả bốn.

Đáp số. Phương án đúng: D.

0, 04 = 0, 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn A vì nghĩ số mũ của phần thập phân cứ chia đôi là ra kết quả, nhầm quy tắc rút gọn phân số với quy tắc khai căn; cũng có bạn chọn B vì quên rằng căn bậc hai số học luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Đổi phương án D thành

0, 09 = 0, 3

, dùng đúng Cách 2 vẫn xử lí được ngay:

0, 3^{2} = 0, 09

nên vẫn đúng, cho thấy cách bình phương ngược áp dụng được cho mọi số thập phân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.12★★Trang 28— Tính giá trị biểu thức chứa căn của bình phương

Những biểu thức nào dưới đây có giá trị bằng

\frac{3}{7}

? a)

\frac{3 ^{2}}{7 ^{2}}

; b)

\frac{3 ^{2} + 3 9 ^{2}}{7 ^{2} + 9 1 ^{2}}

; c)

\frac{39}{91}

; d)

\frac{3 ^{2} - 3 9 ^{2}}{7 ^{2} - 9 1 ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ thì $a^{2} = a$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ (khi các mẫu khác $0$ ).
$39 = 3 \cdot 13$ và $91 = 7 \cdot 13$ nên $\frac{39}{91} = \frac{3}{7}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.13★★Trang 28— Nhận biết số vô tỉ trong một dãy số

Số nào trong các số:

- \frac{16}{3}

;

36

;

47

;

- 2 π

;

0, 01

;

2 + 7

là số vô tỉ?

Kiến thức cần nhớ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ ( $a, b$ nguyên, $b \neq = 0$ ), tương ứng với số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
$a$ với $a$ không phải số chính phương (và không phải bình phương của một số hữu tỉ) luôn là số vô tỉ.
$π$ là một số vô tỉ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.14★★Trang 28— Nhận biết số vô tỉ qua biểu thức căn và số thập phân

Số nào trong các số sau là số vô tỉ?

a = 0, 777 \dots

;

b = 0, 70700700070000 \dots

;

c = - \frac{1}{7}

;

d = (- 7)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ; số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ.
$a^{2} = ∣ a ∣$ với mọi số thực $a$ , luôn là số không âm.
Một dãy chữ số thập phân mà độ dài các nhóm chữ số thay đổi dần, không lặp lại đúng chu kì, là dấu hiệu của số vô tỉ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.15★Trang 28— Tìm căn bậc hai số học của một số

Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

81

;

8100

;

0, 81

;

8 1^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ : $a^{2} = a$ .
Tính chất căn của một tích: $a \cdot b = a \cdot b$ với $a, b \geq 0$ .
$9^{2} = 81$ ; $9 0^{2} = 8100$ ; $0, 9^{2} = 0, 81$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.16★★★Trang 28— So sánh hai biểu thức chứa tổng của căn bậc hai và phân số

Cho

a = 961 + \frac{1}{962}

và

b = 1024 + \frac{1}{1023} - 1

. So sánh

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

$3 1^{2} = 961$ , $3 2^{2} = 1024$ .
Với $0 < m < n$ thì $m < n$ , do đó $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$ .
Khi so sánh hai biểu thức, có thể tách phần giống nhau rồi chỉ so sánh phần còn khác nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.17★★Trang 28— Làm tròn số vô tỉ theo hàng và theo độ chính xác

Xét số

a = 1 + 2

. a) Làm tròn số

a

đến hàng phần trăm; b) Làm tròn số

a

đến chữ số thập phân thứ năm; c) Làm tròn số

a

với độ chính xác

0, 0005

Kiến thức cần nhớ

$2 = 1, 41421356237 \dots$ (số vô tỉ).
Quy tắc làm tròn: nếu chữ số ngay sau hàng cần giữ nhỏ hơn $5$ thì giữ nguyên, từ $5$ trở lên thì tăng thêm một đơn vị ở hàng đó.
Làm tròn số $a$ với độ chính xác $d$ nghĩa là tìm số làm tròn $b$ sao cho khoảng cách từ $a$ đến $b$ không vượt quá $d$ ; độ chính xác $0, 0005$ ứng với làm tròn đến hàng phần nghìn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.18★★Trang 28— Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn

Biểu thức

x + 8 - 7

có giá trị nhỏ nhất bằng: A.

8 - 7

; B.

- 7

; C.

0

; D.

- 8 - 7

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $t \geq 0$ thì $t \geq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $t \geq 0$ thì $t - k \geq - k$ với mọi hằng số $k$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới căn trước khi xét giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.19★★Trang 28— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn

Giá trị lớn nhất của biểu thức

3 - x - 6

bằng: A.

3 - 6

; B.

3 - - 6

; C.

3 + 6

; D.

3

Kiến thức cần nhớ

Với $t \geq 0$ có nghĩa thì $- t \leq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $- t \leq 0$ thì $k - t \leq k$ với mọi hằng số $k$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Giá trị lớn nhất của $k - t$ đạt được khi căn thức nhỏ nhất (bằng $0$ ), ngược chiều so với giá trị nhỏ nhất của $k + t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.20★★★Trang 28— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn ở mẫu

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\frac{4}{3 + 2 - x}

Kiến thức cần nhớ

Với tử số dương không đổi, phân số lớn nhất khi mẫu số dương nhỏ nhất.
$t \geq 0$ với $t \geq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $0 < m \leq M$ thì $\frac{1}{m} \geq \frac{1}{M}$ (nghịch biến theo mẫu).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.21★★★Trang 28— Tìm số tự nhiên thoả điều kiện để một biểu thức chứa căn là số nguyên

Tìm số tự nhiên

n

nhỏ hơn

45

sao cho

x = \frac{n - 1}{2}

là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

$x$ nguyên khi và chỉ khi $n$ là số nguyên và $n - 1$ chia hết cho $2$ .
$n$ là số nguyên khi và chỉ khi $n$ là số chính phương ( $n = k^{2}$ với $k$ tự nhiên).
$n - 1$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ là số lẻ.