Chương II. Số thực

Bài 6. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.10★Trang 28— Nhận biết số có căn bậc hai số học

Những số nào sau đây có căn bậc hai số học?

0, 9

;

- 4

;

11

;

- 100

;

\frac{4}{5}

;

π

Kiến thức cần nhớ

Số $a$ có căn bậc hai số học khi và chỉ khi $a \geq 0$ .
Căn bậc hai số học của $a \geq 0$ , kí hiệu $a$ , là số không âm $x$ sao cho $x^{2} = a$ .
Số âm không có căn bậc hai số học.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ hỏi số nào có căn bậc hai số học, đây là dấu hiệu của bài áp dụng thẳng định nghĩa chứ không cần tính toán gì thêm. Chỉ cần xét dấu của từng số, vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại với số không âm. Bẫy nằm ở việc nhầm

π

là một kí hiệu lạ nên bỏ sót, hoặc quên xét cả những số âm hiển nhiên như

- 4

- 100

1Cách 1. Kiểm tra dấu trực tiếp từng số theo định nghĩa

Định hướng. Theo định nghĩa, một số có căn bậc hai số học khi và chỉ khi số đó không âm, nên chỉ cần xét dấu của từng số trong dãy.

0, 9 \geq 0

nên

0, 9

có căn bậc hai số học.

- 4 < 0

nên

- 4

không có căn bậc hai số học.

11 \geq 0

nên

11

có căn bậc hai số học.

- 100 < 0

nên

- 100

không có căn bậc hai số học.

\frac{4}{5} \geq 0

nên

\frac{4}{5}

có căn bậc hai số học.

π \geq 0

nên

π

có căn bậc hai số học.

Vậy các số có căn bậc hai số học là $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ .

2Cách 2. Loại trừ các số âm trước

Định hướng. Thay vì xét từng số, gạch bỏ ngay các số âm vì chúng chắc chắn không có căn bậc hai số học, phần còn lại chính là đáp số.

Trong sáu số đã cho, hai số âm là

- 4

và

- 100

Bốn số còn lại là

0, 9

;

11

;

\frac{4}{5}

;

π

, tất cả đều không âm.

Vậy $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ là các số có căn bậc hai số học; $- 4$ và $- 100$ thì không.

3Cách 3. Biểu diễn trên trục số

Định hướng. Trên trục số, những số có căn bậc hai số học là những điểm nằm tại gốc $O$ hoặc về phía bên phải $O$ .

- 100

và

- 4

nằm bên trái điểm

O

nên không có căn bậc hai số học.

0, 9

;

\frac{4}{5}

;

11

;

π

đều nằm bên phải điểm

O

nên đều có căn bậc hai số học.

Vậy các số có căn bậc hai số học là $0, 9$ ; $11$ ; $\frac{4}{5}$ ; $π$ .

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở góc nhìn — tính trực tiếp, loại trừ, hay hình dung trên trục số — bản chất vẫn là kiểm tra dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần tìm hai số âm rồi loại, nhanh hơn xét dấu lần lượt cả sáu số trong dãy.

Đáp số. Các số có căn bậc hai số học:

0, 9

;

11

;

\frac{4}{5}

;

π

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng

π

là kí hiệu lạ nên bỏ sót, trong khi

π \approx 3, 14 > 0

nên vẫn có căn bậc hai số học; ngược lại có bạn nhầm

- 100

là số lớn nên xếp nhầm vào nhóm có căn bậc hai số học.

🚀 Mở rộng. Đổi thành xét dãy các số

- n

;

n

với

n

nguyên dương, ta luôn có đúng một nửa dãy (các số không âm) có căn bậc hai số học.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.11★Trang 28— Kiểm tra tính đúng sai của kết quả khai căn

Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng? A.

0, 1 = 0, 01

; B.

16 = - 4

; C.

- 0, 09 = 0, 3

; D.

0, 04 = 0, 2

Kiến thức cần nhớ

Căn bậc hai số học của $a \geq 0$ là số không âm $x$ thoả mãn $x^{2} = a$ .
Số âm không có căn bậc hai số học.
Muốn kiểm tra $a = b$ đúng hay sai, chỉ cần kiểm tra $b \geq 0$ và $b^{2} = a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn phương án đã tính sẵn kết quả, nên việc chính là kiểm chứng chứ không phải tự tính từ đầu. Dấu hiệu nhận ra ngay hai phương án sai:

16 = - 4

vi phạm việc căn bậc hai số học luôn không âm, còn

- 0, 09

vô nghĩa vì số dưới căn âm. Bẫy là phương án A, nhìn qua tưởng đúng nhưng

0, 1

không phải là số thập phân hữu hạn nên chắc chắn khác

0, 01

1Cách 1. Tính trực tiếp căn bậc hai của từng số dưới dấu căn

Định hướng. Tính hoặc ước lượng giá trị căn bậc hai ở từng phương án rồi so sánh với kết quả đề đã cho.

0, 1 \approx 0, 3162 \dots

, khác

0, 01

nên A sai.

16 = 4

(căn bậc hai số học không âm), khác

- 4

nên B sai.

- 0, 09 < 0

nên

- 0, 09

không tồn tại, C sai.

0, 04 = 0, 2

vì

0, 2 \geq 0

và

0, 2^{2} = 0, 04

, nên D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

2Cách 2. Bình phương ngược kết quả rồi so sánh với số dưới căn

Định hướng. Không cần khai căn, chỉ cần bình phương số ở vế phải rồi so với số dưới căn — cách này tránh phải nhớ giá trị gần đúng của căn thức.

0, 0 1^{2} = 0, 0001 \neq = 0, 1

nên A sai.

- 4 < 0

nên

- 4

không thể là căn bậc hai số học của bất kì số nào, B sai.

C: số dưới căn

- 0, 09 < 0

nên biểu thức không tồn tại, C sai.

0, 2 \geq 0

và

0, 2^{2} = 0, 04

đúng bằng số dưới căn, D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

3Cách 3. Loại phương án sai về hình thức trước, chỉ tính phương án còn lại

Định hướng. Hai phương án B và C sai ngay từ hình thức, không cần tính, nên loại trước để chỉ còn kiểm tra A và D bằng phép bình phương.

B cho kết quả

- 4 < 0

, trái với tính không âm của căn bậc hai số học nên loại ngay.

C có số dưới căn

- 0, 09 < 0

, không tồn tại căn bậc hai nên loại ngay.

Còn lại A và D:

0, 0 1^{2} = 0, 0001 \neq = 0, 1

nên A sai;

0, 2^{2} = 0, 04

đúng nên D đúng.

Vậy phương án đúng là D.

Nhận xét. Loại nhanh B, C bằng hình thức giúp tiết kiệm thời gian khi làm bài trắc nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: loại ngay B, C bằng dấu hiệu hình thức (căn của số âm, kết quả âm), chỉ còn phải tính hai phương án, nhanh hơn kiểm tra đủ cả bốn.

Đáp số. Phương án đúng: D.

0, 04 = 0, 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn A vì nghĩ số mũ của phần thập phân cứ chia đôi là ra kết quả, nhầm quy tắc rút gọn phân số với quy tắc khai căn; cũng có bạn chọn B vì quên rằng căn bậc hai số học luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Đổi phương án D thành

0, 09 = 0, 3

, dùng đúng Cách 2 vẫn xử lí được ngay:

0, 3^{2} = 0, 09

nên vẫn đúng, cho thấy cách bình phương ngược áp dụng được cho mọi số thập phân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.12★★Trang 28— Tính giá trị biểu thức chứa căn của bình phương

Những biểu thức nào dưới đây có giá trị bằng

\frac{3}{7}

? a)

\frac{3 ^{2}}{7 ^{2}}

; b)

\frac{3 ^{2} + 3 9 ^{2}}{7 ^{2} + 9 1 ^{2}}

; c)

\frac{39}{91}

; d)

\frac{3 ^{2} - 3 9 ^{2}}{7 ^{2} - 9 1 ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ thì $a^{2} = a$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ (khi các mẫu khác $0$ ).
$39 = 3 \cdot 13$ và $91 = 7 \cdot 13$ nên $\frac{39}{91} = \frac{3}{7}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn biểu thức đều ẩn dưới hai lớp: bên trong là bình phương của

3

39

7

91

, còn

39

và

91

đều là bội của

13

giống hệt

3

và

7

(vì

39 = 3 \cdot 13

91 = 7 \cdot 13

). Đó là dấu hiệu để không cần bấm máy tính từng bước mà dùng ngay tính chất

a^{2} = a

cùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Bẫy là thấy dấu căn rồi vội cộng hai căn thức với nhau thành một căn duy nhất, sai quy tắc.

1Cách 1. Tính trực tiếp giá trị từng biểu thức

Định hướng. Khai căn từng bình phương rồi thực hiện phép cộng, trừ, chia bình thường trên từng biểu thức.

\frac{3 ^{2}}{7 ^{2}} = \frac{9}{49} = \frac{3}{7}

\frac{3 ^{2} + 3 9 ^{2}}{7 ^{2} + 9 1 ^{2}} = \frac{3 + 39}{7 + 91} = \frac{42}{98} = \frac{3}{7}

\frac{39}{91} = \frac{39 : 13}{91 : 13} = \frac{3}{7}

\frac{3 ^{2} - 3 9 ^{2}}{7 ^{2} - 9 1 ^{2}} = \frac{3 - 39}{7 - 91} = \frac{- 36}{- 84} = \frac{3}{7}

Vậy cả bốn biểu thức a), b), c), d) đều có giá trị bằng $\frac{3}{7}$ .

2Cách 2. Đưa mỗi biểu thức về phân số nguyên rồi rút gọn

Định hướng. Dùng ngay tính chất $a^{2} = a$ để bỏ hết dấu căn trước, đưa cả bốn biểu thức về cùng dạng phân số của các số nguyên $3$ , $39$ , $7$ , $91$ rồi mới rút gọn.

\frac{3 ^{2}}{7 ^{2}} = \frac{3}{7}

(đã tối giản).

\frac{3 ^{2} + 3 9 ^{2}}{7 ^{2} + 9 1 ^{2}} = \frac{3 + 39}{7 + 91} = \frac{42}{98} = \frac{3}{7}

\frac{39}{91} = \frac{39 : 13}{91 : 13} = \frac{3}{7}

\frac{3 ^{2} - 3 9 ^{2}}{7 ^{2} - 9 1 ^{2}} = \frac{3 - 39}{7 - 91} = \frac{- 36}{- 84} = \frac{3}{7}

Vậy cả bốn biểu thức đều bằng $\frac{3}{7}$ .

3Cách 3. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Vì $\frac{3}{7} = \frac{39}{91}$ , áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho biểu thức tổng và hiệu mà không cần cộng trừ từng số hạng.

\frac{3}{7} = \frac{39}{91}

vì

3 \cdot 91 = 273 = 7 \cdot 39

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\frac{3}{7} = \frac{39}{91} = \frac{3 + 39}{7 + 91} = \frac{3 - 39}{7 - 91}

Mà

3^{2} = 3

3 9^{2} = 39

7^{2} = 7

9 1^{2} = 91

nên hai biểu thức b) và d) chính là

\frac{3 + 39}{7 + 91}

và

\frac{3 - 39}{7 - 91}

Còn a)

= (\frac{3}{7})^{2} = \frac{3}{7}

và c)

= \frac{39}{91} = \frac{3}{7}

Vậy cả bốn biểu thức đều bằng $\frac{3}{7}$ .

Nhận xét. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho thấy ngay b) và d) bằng $\frac{3}{7}$ mà không cần cộng trừ tay các số lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho hai biểu thức b), d): nhận ra

\frac{3}{7} = \frac{39}{91}

rồi suy ra ngay bằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, khỏi cộng trừ số lớn dễ sai.

Đáp số. Cả bốn biểu thức a), b), c), d) đều có giá trị bằng

\frac{3}{7}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên bỏ dấu căn trước khi cộng trừ, viết nhầm

3^{2} + 3 9^{2} = 3^{2} + 3 9^{2}

; đây là lỗi cộng hai căn thức sai quy tắc, vì

a + b \neq = a + b

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

\frac{m}{n} = \frac{k m}{k n}

với

k \neq = 0

thì mọi tổ hợp cộng, trừ tương ứng của tử và mẫu đều cho lại đúng tỉ số

\frac{m}{n}

— đây chính là bản chất của cả bốn biểu thức trong bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.13★★Trang 28— Nhận biết số vô tỉ trong một dãy số

Số nào trong các số:

- \frac{16}{3}

;

36

;

47

;

- 2 π

;

0, 01

;

2 + 7

là số vô tỉ?

Kiến thức cần nhớ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ ( $a, b$ nguyên, $b \neq = 0$ ), tương ứng với số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
$a$ với $a$ không phải số chính phương (và không phải bình phương của một số hữu tỉ) luôn là số vô tỉ.
$π$ là một số vô tỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy số ở nhiều hình thức khác nhau (phân số, căn bậc hai, số chứa

π

), dấu hiệu phân loại là số đó viết được dưới dạng phân số (hữu tỉ) hay không. Cần cảnh giác với những căn bậc hai của số chính phương như

36

và căn bậc hai của số thập phân là bình phương đúng như

0, 01

, vì chúng trông có vẻ vô tỉ nhưng thực chất là số hữu tỉ.

1Cách 1. Viết mỗi số dưới dạng thập phân rồi xét tuần hoàn

Định hướng. Theo đúng định nghĩa, biến mỗi số về dạng thập phân rồi kiểm tra có tuần hoàn hay không.

- \frac{16}{3} = - 5, (3)

, thập phân vô hạn tuần hoàn nên không là số vô tỉ.

36 = 6

, là số nguyên nên không là số vô tỉ.

47 = 6, 855 \dots

, thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

- 2 π = - 6, 2831 \dots

, thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

0, 01 = 0, 1

, thập phân hữu hạn nên không là số vô tỉ.

2 + 7 = 4, 645 \dots

, thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

Vậy các số vô tỉ là $47$ ; $- 2 π$ ; $2 + 7$ .

2Cách 2. Nhận diện theo dấu hiệu hình thức, không cần khai triển thập phân

Định hướng. Xét xem mỗi số có đưa được về phân số hay không: số nguyên, phân số, căn của số chính phương, căn của bình phương một số thập phân đều là số hữu tỉ; căn của số không chính phương và số chứa $π$ là số vô tỉ.

- \frac{16}{3}

đã là một phân số nên là số hữu tỉ.

36 = 6^{2}

là số chính phương nên

36 = 6

là số hữu tỉ.

47

không là số chính phương của số tự nhiên nào nên

47

là số vô tỉ.

- 2 π

chứa thừa số

π

vô tỉ nên là số vô tỉ.

0, 01 = 0, 1^{2}

nên

0, 01 = 0, 1

là số hữu tỉ.

7

vô tỉ (vì

7

không chính phương) nên

2 + 7

là số vô tỉ.

Vậy các số vô tỉ là $47$ ; $- 2 π$ ; $2 + 7$ .

3Cách 3. Loại trừ các số hữu tỉ hiển nhiên trước

Định hướng. Gạch bỏ ngay những số rõ ràng đưa được về phân số hoặc số nguyên, chỉ còn lại các số cần xác nhận bằng máy tính cầm tay.

- \frac{16}{3}

là phân số nên loại (hữu tỉ).

36 = 6

là số nguyên nên loại (hữu tỉ).

0, 01 = 0, 1

là số thập phân hữu hạn nên loại (hữu tỉ).

Còn lại

47

- 2 π

2 + 7

: bấm máy tính cầm tay xác nhận cả ba đều cho dãy chữ số thập phân không lặp lại.

Vậy các số vô tỉ là $47$ ; $- 2 π$ ; $2 + 7$ .

Nhận xét. Loại trước ba số hữu tỉ hiển nhiên giúp khoanh vùng nhanh, chỉ còn phải xác nhận ba số nghi vấn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay số chính phương (

36

) và số thập phân là bình phương đúng (

0, 01 = 0, 1^{2}

) mà không cần bấm máy tính ra hàng chục chữ số thập phân.

Đáp số. Các số vô tỉ:

47

;

- 2 π

;

2 + 7

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy có dấu căn là kết luận ngay vô tỉ, quên rằng

36 = 6

và

0, 01 = 0, 1

đều là số hữu tỉ vì

36

và

0, 01

đều là bình phương đúng.

🚀 Mở rộng. Đổi

47

thành

49

thì kết quả đổi hẳn bản chất vì

49 = 7^{2}

là số chính phương, cho thấy chỉ cần đổi số dưới căn một chút là tính hữu tỉ hay vô tỉ có thể đảo ngược.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.14★★Trang 28— Nhận biết số vô tỉ qua biểu thức căn và số thập phân

Số nào trong các số sau là số vô tỉ?

a = 0, 777 \dots

;

b = 0, 70700700070000 \dots

;

c = - \frac{1}{7}

;

d = (- 7)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ; số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ.
$a^{2} = ∣ a ∣$ với mọi số thực $a$ , luôn là số không âm.
Một dãy chữ số thập phân mà độ dài các nhóm chữ số thay đổi dần, không lặp lại đúng chu kì, là dấu hiệu của số vô tỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Bài cho bốn số ở bốn hình thức: số thập phân viết bằng dấu ba chấm, phân số, và căn bậc hai của một bình phương. Dấu hiệu quan trọng nhất nằm ở

d = (- 7)^{2}

: số dưới căn là

(- 7)^{2} = 49 \geq 0

nên vẫn tính được bình thường, không phải căn của số âm. Bẫy thứ hai là phân biệt

a = 0, 777 \dots

(tuần hoàn chu kì một chữ số) với

b = 0, 70700700070000 \dots

(số chữ số

0

giữa hai chữ số

7

tăng dần, không tuần hoàn).

1Cách 1. Viết lại từng số ở dạng chuẩn rồi xét theo định nghĩa

Định hướng. Áp dụng đúng định nghĩa: đưa mỗi số về dạng thập phân hoặc số nguyên rồi xét xem có tuần hoàn hay không.

a = 0, 777 \dots = 0, (7)

, thập phân vô hạn tuần hoàn nên

a

không là số vô tỉ.

b = 0, 70700700070000 \dots

: số chữ số

0

giữa các chữ số

7

tăng dần, không tuần hoàn nên

b

là số vô tỉ.

c = - \frac{1}{7} = - 0, (142857)

, thập phân vô hạn tuần hoàn nên

c

không là số vô tỉ.

d = (- 7)^{2} = 49 = 7

, là số nguyên nên

d

không là số vô tỉ.

Vậy trong bốn số, chỉ có $b$ là số vô tỉ.

2Cách 2. Rút gọn biểu thức dưới căn trước rồi nhận diện theo hình thức

Định hướng. Với $d$ , tính ngay $(- 7)^{2}$ trước khi khai căn để tránh hiểu nhầm là căn của số âm; với $a$ , $c$ nhận ra ngay đó là số hữu tỉ vì đã ở dạng phân số hoặc thập phân tuần hoàn quen thuộc.

d = (- 7)^{2}

: vì

(- 7)^{2} = 49 \geq 0

nên biểu thức có nghĩa và

d = 49 = 7

, một số nguyên nên hữu tỉ.

c = - \frac{1}{7}

đã là phân số nên hiển nhiên hữu tỉ.

a = 0, (7)

là thập phân tuần hoàn chu kì một chữ số nên hữu tỉ.

b

không rơi vào dạng phân số hay thập phân tuần hoàn nào cả, vì số chữ số

0

giữa hai chữ số

7

liên tiếp luôn tăng thêm một, nên

b

là số vô tỉ.

Vậy chỉ có $b$ là số vô tỉ.

3Cách 3. Loại trừ các số hữu tỉ rõ ràng trước

Định hướng. Ba trong bốn số ( $a$ , $c$ , $d$ ) đều quy được ngay về phân số hoặc số nguyên quen thuộc, nên loại trước ba số đó, chỉ còn lại $b$ .

c = - \frac{1}{7}

: đã là phân số, loại (hữu tỉ).

d = (- 7)^{2} = 49 = 7

: số nguyên, loại (hữu tỉ).

a = 0, 777 \dots = 0, (7)

: thập phân tuần hoàn, loại (hữu tỉ).

Còn lại

b = 0, 70700700070000 \dots

: không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

Vậy chỉ có $b$ là số vô tỉ.

Nhận xét. Số $d$ dễ gây hoang mang nhất vì có dạng căn của một bình phương chứa số âm, nhưng số dưới căn luôn không âm nên vẫn tính bình thường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: loại nhanh ba số hữu tỉ hiển nhiên (

a

c

d

), chỉ tập trung phân tích cấu trúc của

b

Đáp số. Số vô tỉ duy nhất trong bốn số là

b = 0, 70700700070000 \dots

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

(- 7)^{2}

có dấu trừ bên trong nên vội kết luận vô nghĩa hoặc bằng

- 7

; thực ra phải bình phương trước (

(- 7)^{2} = 49 \geq 0

) rồi mới khai căn, kết quả luôn không âm nên

d = 7

🚀 Mở rộng. Đổi

b

thành

0, 7070070007 \dots

với quy luật số

0

cố định lặp đúng hai số mỗi lần thì

b

trở thành thập phân tuần hoàn, tức là số hữu tỉ — cho thấy chỉ một chi tiết nhỏ trong quy luật cũng đổi hẳn kết luận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.15★Trang 28— Tìm căn bậc hai số học của một số

Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

81

;

8100

;

0, 81

;

8 1^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ : $a^{2} = a$ .
Tính chất căn của một tích: $a \cdot b = a \cdot b$ với $a, b \geq 0$ .
$9^{2} = 81$ ; $9 0^{2} = 8100$ ; $0, 9^{2} = 0, 81$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số cần khai căn đều là bình phương đúng hoặc đã viết sẵn dưới dạng luỹ thừa bậc hai, dấu hiệu để nhận ra ngay không cần bấm máy tính. Với

8100

, tách thành tích của hai số chính phương quen thuộc (

81

và

100

) sẽ nhanh hơn đi tìm trực tiếp. Bẫy nằm ở câu cuối

8 1^{2}

: đây là bình phương của

81

chứ không phải số

81

cần khai căn, nên chỉ cần bỏ dấu căn.

1Cách 1. Nhận ra ngay số dưới căn là bình phương của một số quen thuộc

Định hướng. Với mỗi số, tìm ngay số mà bình phương của nó cho đúng số dưới căn rồi áp dụng $a^{2} = a$ .

81 = 9^{2}

nên

81 = 9^{2} = 9

8100 = 9 0^{2}

nên

8100 = 9 0^{2} = 90

0, 81 = 0, 9^{2}

nên

0, 81 = 0, 9^{2} = 0, 9

8 1^{2}

đã có sẵn dạng bình phương nên

8 1^{2} = 81

Vậy $81 = 9$ ; $8100 = 90$ ; $0, 81 = 0, 9$ ; $8 1^{2} = 81$ .

2Cách 2. Dùng tính chất căn của một tích để tách số dưới căn

Định hướng. Tách số dưới căn thành tích của các số chính phương đã biết căn bậc hai, đặc biệt hữu ích với $8100$ .

81 = 9^{2} = 9

8100 = 81 \cdot 100 = 81 \cdot 100 = 9 \cdot 10 = 90

0, 81 = 81 \cdot 0, 01 = 81 \cdot 0, 01 = 9 \cdot 0, 1 = 0, 9

8 1^{2} = 81

, vì số dưới căn đã là một bình phương, không cần tách thêm.

Vậy $81 = 9$ ; $8100 = 90$ ; $0, 81 = 0, 9$ ; $8 1^{2} = 81$ .

3Cách 3. Phân tích số dưới căn ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Khi chưa nhận ra ngay số dưới căn là bình phương của số nào, phân tích ra thừa số nguyên tố rồi ghép cặp mỗi thừa số xuất hiện hai lần thành một số hạng.

81 = 3^{4} = (3^{2})^{2} = 9^{2}

nên

81 = 9

8100 = 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 3^{2} \cdot 5)^{2} = 9 0^{2}

nên

8100 = 90

0, 81 = \frac{81}{100} = \frac{3 ^{4}}{1 0 ^{2}} = (\frac{9}{10})^{2}

nên

0, 81 = 0, 9

8 1^{2}

đã là một bình phương nên

8 1^{2} = 81

Vậy $81 = 9$ ; $8100 = 90$ ; $0, 81 = 0, 9$ ; $8 1^{2} = 81$ .

Nhận xét. Phân tích thừa số nguyên tố là cách chắc chắn nhất khi không nhìn ra ngay số dưới căn là bình phương của số nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho

8100

và

0, 81

: tách thành tích với

100

hoặc

0, 01

rồi dùng số đã thuộc lòng

81 = 9

, nhanh hơn tìm trực tiếp

9 0^{2}

hay

0, 9^{2}

Đáp số.

81 = 9

;

8100 = 90

;

0, 81 = 0, 9

;

8 1^{2} = 81

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhầm câu cuối là tìm căn bậc hai số học của

81

rồi bình phương lên, viết đáp số là

9^{2} = 81

đúng số nhưng sai lí do; bản chất câu này chỉ cần dùng

a^{2} = a

với

a = 81

không âm.

🚀 Mở rộng. Áp dụng cùng cách cho

810000

: tách

810000 = 81 \cdot 10000

rồi

810000 = 81 \cdot 10000 = 9 \cdot 100 = 900

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.16★★★Trang 28— So sánh hai biểu thức chứa tổng của căn bậc hai và phân số

Cho

a = 961 + \frac{1}{962}

và

b = 1024 + \frac{1}{1023} - 1

. So sánh

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

$3 1^{2} = 961$ , $3 2^{2} = 1024$ .
Với $0 < m < n$ thì $m < n$ , do đó $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$ .
Khi so sánh hai biểu thức, có thể tách phần giống nhau rồi chỉ so sánh phần còn khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Cả

a

và

b

đều chứa một căn bậc hai của số chính phương cộng với một phân số có mẫu là căn bậc hai của số gần đó, dấu hiệu để tách phần nguyên khai căn trước rồi so sánh phần phân số còn lại. Bẫy nằm ở việc

b

có thêm

- 1

ở cuối, dễ khiến học sinh quên trừ khi rút gọn và so sánh nhầm hai số nguyên

31

và

32

thay vì nhận ra chúng bằng nhau sau khi rút gọn.

1Cách 1. Rút gọn cả hai biểu thức về cùng phần nguyên rồi so sánh phần phân số

Định hướng. Khai căn hai số chính phương $961$ và $1024$ trước để đưa $a$ , $b$ về cùng dạng $31$ cộng một phân số, khi đó chỉ còn so sánh hai phân số.

961 = 31

(vì

3 1^{2} = 961

) nên

a = 31 + \frac{1}{962}

1024 = 32

(vì

3 2^{2} = 1024

) nên

b = 32 + \frac{1}{1 023} - 1 = 31 + \frac{1}{1 023}

Vì

962 < 1023

nên

962 < 1023

, suy ra

\frac{1}{962} > \frac{1}{1 023}

Cộng

31

vào hai vế:

31 + \frac{1}{962} > 31 + \frac{1}{1 023}

, tức

a > b

Vậy $a > b$ .

2Cách 2. Xét hiệu

a - b

Định hướng. Thay vì so sánh trực tiếp, lập hiệu $a - b$ rồi xét dấu của hiệu — đây là kĩ thuật so sánh chuẩn khi hai biểu thức có phần chung.

a - b = (31 + \frac{1}{962}) - (31 + \frac{1}{1 023}) = \frac{1}{962} - \frac{1}{1 023}

Vì

962 < 1023

nên

962 < 1023

, suy ra

\frac{1}{962} > \frac{1}{1 023}

Do đó

a - b = \frac{1}{962} - \frac{1}{1 023} > 0

Vậy $a - b > 0$ , tức $a > b$ .

3Cách 3. Ước lượng gần đúng giá trị của

a

và

b

Định hướng. Làm tròn các căn bậc hai còn lại đến hai chữ số thập phân để ước lượng nhanh giá trị của $a$ và $b$ , rồi so sánh hai số gần đúng.

962 \approx 31, 02

nên

\frac{1}{962} \approx 0, 0322

, do đó

a \approx 31, 0322

1023 \approx 31, 98

nên

\frac{1}{1 023} \approx 0, 0313

, do đó

b \approx 31, 0313

So sánh hai giá trị gần đúng:

31, 0322 > 31, 0313

Vậy $a > b$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra nhanh kết quả bằng số gần đúng, muốn chứng minh chặt chẽ phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (xét hiệu

a - b

): trình bày ngắn gọn, không phải viết lại toàn bộ biểu thức của cả

a

lẫn

b

mà chỉ cần rút gọn phần khác nhau.

Đáp số.

a > b

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên trừ

1

ở biểu thức

b

, tính nhầm

b = 32 + \frac{1}{1 023}

rồi kết luận sai

b > a

vì thấy

32 > 31

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đặt

a = n^{2} + \frac{1}{n ^{2} + 1}

và

b = (n + 1)^{2} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2} - 1} - 1

thì luôn có

a > b

, vì sau khi rút gọn cả hai đều có phần nguyên

n

và mẫu

n^{2} + 1

luôn nhỏ hơn

(n + 1)^{2} - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.17★★Trang 28— Làm tròn số vô tỉ theo hàng và theo độ chính xác

Xét số

a = 1 + 2

. a) Làm tròn số

a

đến hàng phần trăm; b) Làm tròn số

a

đến chữ số thập phân thứ năm; c) Làm tròn số

a

với độ chính xác

0, 0005

Kiến thức cần nhớ

$2 = 1, 41421356237 \dots$ (số vô tỉ).
Quy tắc làm tròn: nếu chữ số ngay sau hàng cần giữ nhỏ hơn $5$ thì giữ nguyên, từ $5$ trở lên thì tăng thêm một đơn vị ở hàng đó.
Làm tròn số $a$ với độ chính xác $d$ nghĩa là tìm số làm tròn $b$ sao cho khoảng cách từ $a$ đến $b$ không vượt quá $d$ ; độ chính xác $0, 0005$ ứng với làm tròn đến hàng phần nghìn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu làm tròn cùng một số

a = 1 + 2

theo ba mức chính xác khác nhau, dấu hiệu là phải viết đủ nhiều chữ số thập phân của

2

trước khi làm tròn từng câu. Bẫy nằm ở câu c): độ chính xác

0, 0005

không nói trực tiếp là làm tròn đến hàng nào, phải hiểu

0, 0005

bằng nửa đơn vị của hàng phần nghìn nên tương đương làm tròn đến hàng phần nghìn.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc nhìn chữ số ngay sau hàng cần giữ

Định hướng. Viết đủ các chữ số thập phân của $a$ , sau đó với mỗi câu xác định hàng cần làm tròn và xét chữ số liền sau nó.

a = 1 + 2 = 2, 41421356237 \dots

a) Hàng cần giữ là hàng phần trăm; chữ số liền sau là

4 < 5

nên giữ nguyên:

a \approx 2, 41

b) Hàng cần giữ là chữ số thập phân thứ năm; chữ số liền sau là

3 < 5

nên giữ nguyên:

a \approx 2, 41421

c) Độ chính xác

0, 0005

ứng với hàng phần nghìn; chữ số liền sau là

2 < 5

nên giữ nguyên:

a \approx 2, 414

Vậy a) $a \approx 2, 41$ ; b) $a \approx 2, 41421$ ; c) $a \approx 2, 414$ .

2Cách 2. So sánh khoảng cách tới hai mốc liền kề

Định hướng. Kẹp $a$ giữa hai số thập phân hữu hạn liên tiếp của hàng cần làm tròn rồi chọn số gần $a$ hơn.

2, 41 < a < 2, 42

; vì

a - 2, 41 = 0, 00421 \dots

nhỏ hơn

2, 42 - a = 0, 00578 \dots

nên

a

gần

2, 41

hơn:

a \approx 2, 41

2, 41421 < a < 2, 41422

; vì hiệu

a - 2, 41421

nhỏ hơn hiệu

2, 41422 - a

nên

a

gần

2, 41421

hơn:

a \approx 2, 41421

2, 414 < a < 2, 415

; vì

a - 2, 414 = 0, 00021 \dots

nhỏ hơn

2, 415 - a = 0, 00079 \dots

nên

a

gần

2, 414

hơn:

a \approx 2, 414

Vậy a) $a \approx 2, 41$ ; b) $a \approx 2, 41421$ ; c) $a \approx 2, 414$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Dùng máy tính cầm tay bấm $2$ ra nhiều chữ số thập phân, đối chiếu lại kết quả đã làm tròn ở trên.

Bấm máy:

2 = 1, 414213562 \dots

, cộng

1

được

a = 2, 414213562 \dots

, khớp với giá trị đã dùng.

Dùng chức năng làm tròn hoặc quan sát trực tiếp các chữ số của máy để kiểm chứng cả ba kết quả

2, 41

;

2, 41421

;

2, 414

Vậy ba kết quả làm tròn đều được xác nhận đúng: $2, 41$ ; $2, 41421$ ; $2, 414$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra lại, không thay thế quy tắc làm tròn khi trình bày bài làm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thẳng chữ số liền sau hàng cần giữ, nhanh gọn hơn phải viết hai mốc kẹp rồi trừ để so khoảng cách.

Đáp số. a)

a \approx 2, 41

; b)

a \approx 2, 41421

; c)

a \approx 2, 414

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn hiểu độ chính xác

0, 0005

là làm tròn đến hàng phần chục nghìn, trong khi đúng ra

0, 0005

là nửa đơn vị của hàng phần nghìn (vì

0, 001 : 2 = 0, 0005

) nên phải làm tròn đến hàng phần nghìn.

🚀 Mở rộng. Với số

π = 3, 14159265 \dots

, làm tròn với độ chính xác

0, 05

(nửa đơn vị hàng phần mười) sẽ cho kết quả

π \approx 3, 1

— cùng một kĩ thuật đổi độ chính xác thành hàng cần làm tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.18★★Trang 28— Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn

Biểu thức

x + 8 - 7

có giá trị nhỏ nhất bằng: A.

8 - 7

; B.

- 7

; C.

0

; D.

- 8 - 7

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $t \geq 0$ thì $t \geq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $t \geq 0$ thì $t - k \geq - k$ với mọi hằng số $k$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới căn trước khi xét giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có dạng căn thức cộng hoặc trừ một hằng số, dấu hiệu để dùng ngay tính chất căn bậc hai số học luôn không âm. Vì

x + 8 \geq 0

với mọi

x

thuộc tập xác định, trừ đi

7

sẽ nhỏ nhất khi phần căn nhỏ nhất, tức bằng

0

. Bẫy của đề là phương án A và D cố tình gài số

8

và

- 8

dưới căn để đánh lừa học sinh tưởng giá trị nhỏ nhất đạt được tại

x = 0

1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ tính không âm của căn bậc hai

Định hướng. Chặn $x + 8$ bởi $0$ trước, rồi trừ $7$ vào hai vế để chặn cả biểu thức.

Điều kiện xác định:

x + 8 \geq 0

, tức

x \geq - 8

Với mọi

x \geq - 8

x + 8 \geq 0

Suy ra

x + 8 - 7 \geq 0 - 7 = - 7

Dấu bằng xảy ra khi

x + 8 = 0

, tức

x + 8 = 0

hay

x = - 8

(thoả điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $- 7$ , đạt tại $x = - 8$ . Chọn B.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x + 8

Định hướng. Đổi biến để biểu thức trở thành một hàm bậc nhất đơn giản của $t$ , việc tìm giá trị nhỏ nhất quy về tìm giá trị nhỏ nhất của $t - 7$ với điều kiện $t \geq 0$ .

Đặt

t = x + 8

với

t \geq 0

(vì

x + 8 \geq 0

Biểu thức trở thành

t - 7

với

t \geq 0

Vì

t \geq 0

nên

t - 7 \geq - 7

, dấu bằng khi

t = 0

t = 0

ứng với

x + 8 = 0

, tức

x = - 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $- 7$ , đạt tại $x = - 8$ . Chọn B.

3Cách 3. Thử loại các phương án trắc nghiệm

Định hướng. Vì đề đã cho sẵn bốn phương án, kiểm tra tính hợp lí của từng phương án dựa trên điều kiện xác định và dấu của biểu thức.

8 - 7

: đây là giá trị của biểu thức khi

x = 0

, không phải giá trị nhỏ nhất vì

x = 0

không làm

x + 8

nhỏ nhất; loại.

- 8 - 7

: số dưới căn

- 8 < 0

, biểu thức

- 8

không tồn tại; loại.

0

: biểu thức bằng

0

chỉ khi

x + 8 = 7

, đây là một giá trị cụ thể chứ không phải giá trị nhỏ nhất, vì

x + 8

còn lấy được các giá trị nhỏ hơn

7

; loại.

- 7

: đạt khi

x + 8 = 0

, giá trị nhỏ nhất có thể của căn thức, phù hợp là giá trị nhỏ nhất của toàn biểu thức.

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 phù hợp khi làm nhanh trắc nghiệm nhưng không thay thế được lập luận chặt chẽ ở Cách 1, 2 khi đề yêu cầu trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chặn trực tiếp

x + 8 \geq 0

rồi trừ

7

, ngắn gọn và không cần đổi biến.

Đáp số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

- 7

(đạt tại

x = - 8

). Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn A vì thay

x = 0

vào biểu thức rồi tưởng đó là giá trị nhỏ nhất, trong khi giá trị nhỏ nhất của

x + 8

đạt tại

x = - 8

(đầu mút của điều kiện xác định) chứ không phải tại

x = 0

🚀 Mở rộng. Đổi thành tìm giá trị nhỏ nhất của

x - 3 + 5

: cùng cách làm, chặn

x - 3 \geq 0

rồi cộng

5

, giá trị nhỏ nhất là

5

tại

x = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.19★★Trang 28— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn

Giá trị lớn nhất của biểu thức

3 - x - 6

bằng: A.

3 - 6

; B.

3 - - 6

; C.

3 + 6

; D.

3

Kiến thức cần nhớ

Với $t \geq 0$ có nghĩa thì $- t \leq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $- t \leq 0$ thì $k - t \leq k$ với mọi hằng số $k$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Giá trị lớn nhất của $k - t$ đạt được khi căn thức nhỏ nhất (bằng $0$ ), ngược chiều so với giá trị nhỏ nhất của $k + t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có dạng hằng số trừ đi một căn bậc hai, khác với bài 2.18 là cộng, nên chiều bất đẳng thức sẽ đảo lại. Dấu hiệu là

- x - 6 \leq 0

nên cả biểu thức lớn nhất khi phần trừ đi nhỏ nhất, tức căn thức bằng

0

. Bẫy là phương án C cố tình đổi dấu trừ thành cộng để đánh lừa thị giác.

1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ tính không âm của căn bậc hai

Định hướng. Chặn $- x - 6$ bởi $0$ trước, rồi cộng $3$ vào hai vế để chặn cả biểu thức.

Điều kiện xác định:

x - 6 \geq 0

, tức

x \geq 6

Với mọi

x \geq 6

x - 6 \geq 0

, suy ra

- x - 6 \leq 0

Cộng

3

vào hai vế:

3 - x - 6 \leq 3 + 0 = 3

Dấu bằng xảy ra khi

x - 6 = 0

, tức

x - 6 = 0

hay

x = 6

(thoả điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $3$ , đạt tại $x = 6$ . Chọn D.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x - 6

Định hướng. Đổi biến để biểu thức trở thành hàm bậc nhất đơn giản của $t$ , việc tìm giá trị lớn nhất quy về tìm giá trị lớn nhất của $3 - t$ với điều kiện $t \geq 0$ .

Đặt

t = x - 6

với

t \geq 0

Biểu thức trở thành

3 - t

với

t \geq 0

Vì

t \geq 0

nên

- t \leq 0

, suy ra

3 - t \leq 3

, dấu bằng khi

t = 0

t = 0

ứng với

x - 6 = 0

, tức

x = 6

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $3$ , đạt tại $x = 6$ . Chọn D.

3Cách 3. Thử loại các phương án trắc nghiệm

Định hướng. Vì đề đã cho bốn phương án, loại các phương án sai về dấu hoặc vượt quá chặn trên rồi xác nhận phương án còn lại.

3 - - 6

: số dưới căn

- 6 < 0

, biểu thức không tồn tại; loại.

3 + 6

: giá trị này lớn hơn

3

, nhưng biểu thức

3 - x - 6

không bao giờ vượt quá

3

vì luôn trừ đi một số không âm; loại.

3 - 6

: đây chỉ là giá trị của biểu thức khi

x = 12

, không phải giá trị lớn nhất vì

x = 6

cho kết quả lớn hơn (bằng

3

); loại.

3

: đạt khi

x - 6 = 0

, giá trị nhỏ nhất có thể của căn thức, phù hợp là giá trị lớn nhất của toàn biểu thức.

Vậy chọn D.

Nhận xét. So với bài 2.18 (cộng căn thức, tìm giá trị nhỏ nhất), bài này trừ căn thức nên tìm giá trị lớn nhất — cùng một kĩ thuật chặn nhưng đổi chiều bất đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chặn

- x - 6 \leq 0

rồi cộng

3

, trình bày ngắn và tự nhiên nhất.

Đáp số. Giá trị lớn nhất của biểu thức là

3

(đạt tại

x = 6

). Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhầm lẫn giữa bài cộng căn thức (tìm giá trị nhỏ nhất) và bài trừ căn thức (tìm giá trị lớn nhất), áp dụng nhầm chiều bất đẳng thức nên ra kết luận ngược.

🚀 Mở rộng. Đổi thành tìm giá trị lớn nhất của

10 - 2 x + 1

: cùng cách làm, giá trị lớn nhất là

10

tại

x = - \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.20★★★Trang 28— Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn ở mẫu

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\frac{4}{3 + 2 - x}

Kiến thức cần nhớ

Với tử số dương không đổi, phân số lớn nhất khi mẫu số dương nhỏ nhất.
$t \geq 0$ với $t \geq 0$ , dấu bằng khi $t = 0$ .
Nếu $0 < m \leq M$ thì $\frac{1}{m} \geq \frac{1}{M}$ (nghịch biến theo mẫu).

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức là một phân số có tử không đổi và mẫu chứa căn thức cộng hằng số, dấu hiệu là phân số dương với tử cố định đạt giá trị lớn nhất khi mẫu dương nhỏ nhất. Vì

2 - x \geq 0

nên mẫu

3 + 2 - x

nhỏ nhất khi căn thức bằng

0

. Bẫy là học sinh quen phản xạ đi tìm giá trị nhỏ nhất của

2 - x

thay vì của cả mẫu số.

1Cách 1. Đánh giá trực tiếp mẫu số nhỏ nhất

Định hướng. Chặn $2 - x$ bởi $0$ để suy ra mẫu số nhỏ nhất, từ đó suy ra phân số lớn nhất.

Điều kiện xác định:

2 - x \geq 0

, tức

x \leq 2

Với mọi

x \leq 2

2 - x \geq 0

, suy ra

3 + 2 - x \geq 3

Vì

3 + 2 - x \geq 3 > 0

nên

\frac{4}{3 + 2 - x} \leq \frac{4}{3}

Dấu bằng xảy ra khi

2 - x = 0

, tức

x = 2

(thoả điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\frac{4}{3}$ , đạt tại $x = 2$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = 2 - x

và xét tính đơn điệu

Định hướng. Đổi biến đưa mẫu về hàm $3 + t$ với $t \geq 0$ , rồi lập luận: $t$ càng tăng thì $3 + t$ càng tăng, phân số $\frac{4}{3 + t}$ càng giảm.

Đặt

t = 2 - x

với

t \geq 0

; biểu thức trở thành

\frac{4}{3 + t}

Khi

t

tăng thì

3 + t

tăng, mà tử số

4

không đổi nên

\frac{4}{3 + t}

giảm; do đó

\frac{4}{3 + t}

lớn nhất khi

t

nhỏ nhất.

Vì

t \geq 0

nên

t

nhỏ nhất là

t = 0

, khi đó

\frac{4}{3 + t} = \frac{4}{3}

t = 0

ứng với

2 - x = 0

, tức

x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\frac{4}{3}$ , đạt tại $x = 2$ .

3Cách 3. Thử một số giá trị

x

cụ thể rồi khái quát

Định hướng. Thử vài giá trị $x \leq 2$ để thấy xu hướng của biểu thức, sau đó khẳng định bằng lập luận tổng quát.

Tại

x = 2

\frac{4}{3 + 0} = \frac{4}{3}

Tại

x = - 2

\frac{4}{3 + 4} = \frac{4}{5}

, nhỏ hơn

\frac{4}{3}

Tại

x = - 7

\frac{4}{3 + 9} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

, còn nhỏ hơn nữa.

x

càng lùi xa

2

thì

2 - x

càng lớn, mẫu càng lớn, phân số càng nhỏ; vậy giá trị lớn nhất phải rơi đúng tại

x = 2

, cho kết quả

\frac{4}{3}

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\frac{4}{3}$ , đạt tại $x = 2$ .

Nhận xét. Thử số chỉ giúp dự đoán và kiểm tra xu hướng, phải kèm lập luận tổng quát ở Cách 1 hoặc Cách 2 mới chắc chắn đó là giá trị lớn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chặn mẫu

3 + 2 - x \geq 3

rồi suy ra phân số

\leq \frac{4}{3}

ngay, không cần đổi biến hay thử số.

Đáp số. Giá trị lớn nhất của biểu thức là

\frac{4}{3}

, đạt tại

x = 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đi tìm giá trị nhỏ nhất của

2 - x

trước rồi kết luận nhầm biểu thức không có giá trị lớn nhất; thực ra phải xét giá trị nhỏ nhất của cả mẫu

3 + 2 - x

chứ không phải của riêng

2 - x

🚀 Mở rộng. Đổi tử số thành biến: tìm giá trị lớn nhất của

\frac{x + 5}{3 + 2 - x}

sẽ phức tạp hơn hẳn vì tử số không còn cố định, không thể dùng trực tiếp lập luận mẫu nhỏ nhất thì phân số lớn nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.21★★★Trang 28— Tìm số tự nhiên thoả điều kiện để một biểu thức chứa căn là số nguyên

Tìm số tự nhiên

n

nhỏ hơn

45

sao cho

x = \frac{n - 1}{2}

là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

$x$ nguyên khi và chỉ khi $n$ là số nguyên và $n - 1$ chia hết cho $2$ .
$n$ là số nguyên khi và chỉ khi $n$ là số chính phương ( $n = k^{2}$ với $k$ tự nhiên).
$n - 1$ chia hết cho $2$ khi và chỉ khi $n$ là số lẻ.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức

x = \frac{n - 1}{2}

nguyên đòi hỏi đồng thời hai điều kiện:

n

phải là số nguyên (nên

n

là số chính phương) và

n - 1

phải chia hết cho

2

(nên

n

phải lẻ). Dấu hiệu là đề giới hạn

n

nhỏ hơn

45

nên chỉ cần liệt kê hữu hạn số chính phương nhỏ hơn

45

rồi lọc theo tính chẵn lẻ. Bẫy là quên điều kiện

n

nguyên mà chỉ xét điều kiện chia hết, dẫn đến xét nhầm cả những

n

không chính phương.

1Cách 1. Suy luận theo hai điều kiện cần: chính phương và lẻ

Định hướng. Tách yêu cầu $x$ nguyên thành hai điều kiện độc lập trên $n$ rồi kết hợp lại.

Để

x = \frac{n - 1}{2}

là số nguyên, trước hết

n

phải là số nguyên, tức

n

là số chính phương.

Các số chính phương nhỏ hơn

45

là

0

;

1

;

4

;

9

;

16

;

25

;

36

Để

n - 1

chia hết cho

2

thì

n

phải là số lẻ.

Trong bảy số chính phương trên, các số có căn bậc hai lẻ (

1

;

3

;

5

) ứng với

n = 1

;

9

;

25

Vậy $n \in {1; 9; 25}$ .

2Cách 2. Liệt kê trực tiếp và thử từng số chính phương

Định hướng. Thay vì lập luận điều kiện chẵn lẻ trước, tính thẳng giá trị $x$ ứng với từng số chính phương nhỏ hơn $45$ rồi kiểm tra số nào cho $x$ nguyên.

n = 0

x = \frac{0 - 1}{2} = \frac{- 1}{2}

, không nguyên.

n = 1

x = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0

, nguyên.

n = 4

x = \frac{4 - 1}{2} = \frac{1}{2}

, không nguyên.

n = 9

x = \frac{9 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1

, nguyên.

n = 16

x = \frac{16 - 1}{2} = \frac{3}{2}

, không nguyên.

n = 25

x = \frac{25 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

, nguyên.

n = 36

x = \frac{36 - 1}{2} = \frac{5}{2}

, không nguyên.

Vậy các giá trị thoả mãn là $n \in {1; 9; 25}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ cho căn bậc hai lẻ

Định hướng. Vì $n$ phải là số tự nhiên lẻ, đặt $n = 2 k + 1$ với $k$ tự nhiên rồi tìm điều kiện của $k$ để $n$ nhỏ hơn $45$ .

Đặt

n = 2 k + 1

với

k \in N

, khi đó

x = \frac{( 2 k + 1 ) - 1}{2} = k

, luôn là số tự nhiên.

n = (2 k + 1)^{2}

; điều kiện

n

nhỏ hơn

45

trở thành

(2 k + 1)^{2} < 45

Với

k = 0

n = 1

, nhỏ hơn

45

, thoả mãn.

Với

k = 1

n = 9

, nhỏ hơn

45

, thoả mãn.

Với

k = 2

n = 25

, nhỏ hơn

45

, thoả mãn.

Với

k = 3

n = 49

, không nhỏ hơn

45

, không thoả mãn.

Vậy $n \in {1; 9; 25}$ , ứng với $x \in {0; 1; 2}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho luôn cả giá trị $x$ tương ứng ( $x = k$ ) mà không cần tính lại, đồng thời chỉ rõ vì sao dãy $n$ dừng ở $25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đặt

n = 2 k + 1

rồi giải bất phương trình

(2 k + 1)^{2} < 45

, chắc chắn không bỏ sót và không thử thừa số chính phương nào.

Đáp số.

n \in {1; 9; 25}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ xét điều kiện

n - 1

chia hết cho

2

mà quên điều kiện

n

phải là số chính phương trước, dẫn đến thử luôn cả những số

n

mà

n

không phải số nguyên, vô nghĩa với yêu cầu

x

nguyên.

🚀 Mở rộng. Đổi thành tìm

n

nhỏ hơn

200

: dùng đúng Cách 3,

(2 k + 1)^{2} < 200

cho

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(vì

1 3^{2} = 169 < 200

còn

1 5^{2} = 225

thì không), tức

n \in {1; 9; 25; 49; 81; 121; 169}

Mở bài này trong app ↗