Bài 1 · 2.22★★Trang 31— Nhận biết quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số N,Z,Q,I,R
Kí hiệu N; Z; Q; I; R theo thứ tự là tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số vô tỉ và tập hợp các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Nếu x∈N thì x∈Z; B. Nếu x∈R và x∈/Q thì x∈I; C. 1∈R; D. Nếu x∈/I thì x viết được thành số thập phân hữu hạn.
Kiến thức cần nhớ
Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực: R=Q∪I.
N⊂Z⊂Q⊂R; số vô tỉ là số thực không phải số hữu tỉ.
Số hữu tỉ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn; số vô tỉ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn khẳng định về quan hệ giữa các tập số — dấu hiệu của dạng kiểm tra định nghĩa từng tập hợp số. Hướng an toàn nhất là xét lần lượt bốn phương án, chỉ cần một phản ví dụ là bác bỏ được một khẳng định. Bẫy nằm ở phương án D: số hữu tỉ vẫn viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (như 31=0,333…), không phải lúc nào cũng hữu hạn.
1Cách 1. Kiểm tra lần lượt bốn phương án theo định nghĩa
Định hướng. Xét từng khẳng định dựa đúng định nghĩa của các tập hợp số đã học.
A đúng, vì mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
B đúng, vì số thực không phải số hữu tỉ, theo định nghĩa, chính là số vô tỉ.
C đúng, vì 1 là số tự nhiên nên cũng là số thực.
D sai, vì x∈/I nghĩa là x là số hữu tỉ, mà số hữu tỉ có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, không nhất thiết hữu hạn.
Vậy khẳng định sai là phương án D.
2Cách 2. Tìm phản ví dụ cụ thể để bác bỏ phương án nghi ngờ
Định hướng. Thay vì xét lí thuyết suông, thử ngay một số hữu tỉ viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn để kiểm tra phương án D.
Xét x=31, ta có x∈/I vì x là số hữu tỉ.
Nhưng 31=0,333… là số thập phân vô hạn tuần hoàn, không phải hữu hạn.
Phản ví dụ này bác bỏ được phương án D; các phương án A, B, C không tìm được phản ví dụ nên đều đúng.
Vậy khẳng định sai là phương án D.
3Cách 3. Dùng sơ đồ bao hàm các tập hợp số
Định hướng. Hình dung các tập số lồng nhau N⊂Z⊂Q⊂R và I=R∖Q để xét nhanh từng phương án.
A, B, C đều mô tả đúng quan hệ bao hàm hoặc đúng định nghĩa I nên đúng.
D lại mô tả sai đặc điểm của tập số hữu tỉ Q (phần bù của I trong R), vì số hữu tỉ gồm cả dạng thập phân vô hạn tuần hoàn.
Vậy khẳng định sai là phương án D.
Nhận xét. Ba cách đều quy về việc phát hiện D mô tả sai đặc điểm số hữu tỉ; cách 2 dùng phản ví dụ cụ thể là thuyết phục và nhanh nhất.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần một phản ví dụ cụ thể như 31=0,333… là bác bỏ ngay phương án D, không phải nhắc lại toàn bộ định nghĩa bốn tập hợp số.
Đáp số.Khẳng định sai là phương án D.
Sai lầm thường gặp.Nhiều học sinh nghĩ số hữu tỉ luôn viết được dưới dạng thập phân hữu hạn (chỉ nhớ ví dụ như 41=0,25) mà quên trường hợp vô hạn tuần hoàn như 31=0,333…, dẫn đến đánh giá sai phương án D.
🚀 Mở rộng.Cùng cách suy luận có thể mở rộng thành bài tổng quát: chứng minh mọi số hữu tỉ qp đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Bài 2 · 2.23★★Trang 31— Xét đúng sai các khẳng định về số hữu tỉ, số nguyên, căn bậc hai
Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau: a) Nếu x là số hữu tỉ thì x là số thực; b) 2 không phải là số hữu tỉ; c) Nếu x là số nguyên thì x là số thực; d) Nếu x là số tự nhiên thì x là số vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
Số hữu tỉ và số vô tỉ đều là số thực.
Căn bậc hai số học x chỉ xác định (là số thực) khi x≥0.
x có thể là số hữu tỉ nếu x là bình phương của một số hữu tỉ, ví dụ 4=2.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn ý đều là khẳng định "Nếu... thì..." nên dấu hiệu nhận dạng là chỉ cần một phản ví dụ để bác bỏ, còn muốn khẳng định đúng thì phải chứng minh đúng với mọi trường hợp. Bẫy ở ý c) và d): x không phải lúc nào cũng có nghĩa (khi x âm) và không phải lúc nào cũng vô tỉ (khi x là số chính phương).
1Cách 1. Xét từng ý theo định nghĩa
Định hướng. Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa số hữu tỉ, số thực và căn bậc hai số học.
a) Đúng, vì tập số hữu tỉ là tập con của tập số thực.
b) Sai, vì 2=12 là một số hữu tỉ.
c) Sai, vì khi x là số nguyên âm (ví dụ x=−4) thì x không xác định, không phải số thực.
d) Sai, vì khi x là số chính phương (ví dụ x=4) thì 4=2 là số hữu tỉ, không phải số vô tỉ.
Vậy a) đúng; b), c), d) sai.
2Cách 2. Tìm phản ví dụ cụ thể cho từng ý nghi sai
Định hướng. Với các ý nghi ngờ sai, chỉ cần chỉ ra một số cụ thể không thỏa mãn là đủ bác bỏ.
b) Phản ví dụ: 2 chính là 12, một số hữu tỉ, nên b) sai.
c) Phản ví dụ: x=−4 là số nguyên nhưng −4 không có nghĩa trong tập số thực, nên c) sai.
d) Phản ví dụ: x=9 là số tự nhiên nhưng 9=3 là số hữu tỉ, không phải số vô tỉ, nên d) sai.
Vậy a) đúng; b), c), d) sai.
3Cách 3. Dùng sơ đồ tập hợp số và điều kiện xác định của căn bậc hai
Định hướng. Ghi nhớ Q⊂R và điều kiện x≥0 để x có nghĩa, rồi xét nhanh bốn ý.
a) đúng vì Q⊂R.
b) sai vì 2∈Q.
c), d) đều sai vì đề không ràng buộc x≥0 (ý c) và không loại trừ x là số chính phương (ý d).
Vậy a) đúng; b), c), d) sai.
Nhận xét. Ý c) và d) là hai bẫy kinh điển của căn bậc hai: quên điều kiện xác định và quên trường hợp căn ra số hữu tỉ.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: nêu ngay phản ví dụ số cụ thể cho từng ý sai, ngắn gọn và thuyết phục hơn diễn giải lí thuyết dài dòng.
Đáp số.a) đúng; b) sai; c) sai; d) sai.
Sai lầm thường gặp.Học sinh hay quên căn bậc hai của số âm không xác định (dẫn tới cho ý c) là đúng), và quên trường hợp số chính phương khiến x ra số hữu tỉ (dẫn tới cho ý d) là đúng).
🚀 Mở rộng.Có thể tổng quát hoá ý d): x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là bình phương của một số hữu tỉ không âm.
Bài 6 · 2.27★★★Trang 32— Tìm số thực theo giá trị tuyệt đối và xác định vị trí trên trục số
Tìm các số thực x có giá trị tuyệt đối bằng 1,6(7). Điểm biểu diễn các số thực tìm được nằm trong hay nằm ngoài khoảng giữa hai điểm −2 và 2,(1) trên trục số?
Kiến thức cần nhớ
Với a≥0, ∣x∣=a khi và chỉ khi x=a hoặc x=−a.
Trên trục số, điểm biểu diễn x nằm giữa hai điểm m và n (m<n) khi m<x<n.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn đổi được về phân số: 0,a(b) (không có phần thập phân không lặp) =99…9ab.
Bài 12 · 2.33★★★Trang 32— So sánh hai số thập phân vô hạn tuần hoàn viết ở hai dạng khác nhau
So sánh a=0,(12) và b=0,1(21).
Kiến thức cần nhớ
Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn (chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy) 0,(k) đổi được về phân số 10n−1k với n là số chữ số của k.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp 0,c(k) (có phần không lặp c trước chu kì k) đổi về phân số theo quy tắc: lấy số tạo bởi c và k trừ đi c, rồi chia cho 10∣c∣(10∣k∣−1).
Hai số thực bằng nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng bằng 0.
Bài 14 · 2.35★★★Trang 32— Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai giá trị tuyệt đối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=∣x−1∣+∣x−3∣.
Kiến thức cần nhớ
Với hai số thực a,b: ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ (dấu bằng khi a,b cùng dấu hoặc một trong hai số bằng 0).
∣x−m∣ chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn x đến điểm biểu diễn m trên trục số.
Khi phá dấu giá trị tuyệt đối theo từng khoảng giá trị của x, biểu thức trở thành một biểu thức bậc nhất không chứa dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng.
