Chương II. Số thực

Bài 7. Tập hợp các số thực

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.22★★Trang 31— Nhận biết quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số

N, Z, Q, I, R

Kí hiệu

N

;

Z

;

Q

;

I

;

R

theo thứ tự là tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số nguyên, tập hợp các số hữu tỉ, tập hợp các số vô tỉ và tập hợp các số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu

x \in N

thì

x \in Z

;
B. Nếu

x \in R

và

x \in / Q

thì

x \in I

;
C.

1 \in R

;
D. Nếu

x \in / I

thì

x

viết được thành số thập phân hữu hạn.

Kiến thức cần nhớ

Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực: $R = Q \cup I$ .
$N \subset Z \subset Q \subset R$ ; số vô tỉ là số thực không phải số hữu tỉ.
Số hữu tỉ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn; số vô tỉ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn khẳng định về quan hệ giữa các tập số — dấu hiệu của dạng kiểm tra định nghĩa từng tập hợp số. Hướng an toàn nhất là xét lần lượt bốn phương án, chỉ cần một phản ví dụ là bác bỏ được một khẳng định. Bẫy nằm ở phương án D: số hữu tỉ vẫn viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (như

\frac{1}{3} = 0, 333 \dots

), không phải lúc nào cũng hữu hạn.

1Cách 1. Kiểm tra lần lượt bốn phương án theo định nghĩa

Định hướng. Xét từng khẳng định dựa đúng định nghĩa của các tập hợp số đã học.

A đúng, vì mọi số tự nhiên đều là số nguyên.

B đúng, vì số thực không phải số hữu tỉ, theo định nghĩa, chính là số vô tỉ.

C đúng, vì

1

là số tự nhiên nên cũng là số thực.

D sai, vì

x \in / I

nghĩa là

x

là số hữu tỉ, mà số hữu tỉ có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, không nhất thiết hữu hạn.

Vậy khẳng định sai là phương án D.

2Cách 2. Tìm phản ví dụ cụ thể để bác bỏ phương án nghi ngờ

Định hướng. Thay vì xét lí thuyết suông, thử ngay một số hữu tỉ viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn để kiểm tra phương án D.

Xét

x = \frac{1}{3}

, ta có

x \in / I

vì

x

là số hữu tỉ.

Nhưng

\frac{1}{3} = 0, 333 \dots

là số thập phân vô hạn tuần hoàn, không phải hữu hạn.

Phản ví dụ này bác bỏ được phương án D; các phương án A, B, C không tìm được phản ví dụ nên đều đúng.

Vậy khẳng định sai là phương án D.

3Cách 3. Dùng sơ đồ bao hàm các tập hợp số

Định hướng. Hình dung các tập số lồng nhau $N \subset Z \subset Q \subset R$ và $I = R ∖ Q$ để xét nhanh từng phương án.

A, B, C đều mô tả đúng quan hệ bao hàm hoặc đúng định nghĩa

I

nên đúng.

D lại mô tả sai đặc điểm của tập số hữu tỉ

Q

(phần bù của

I

trong

R

), vì số hữu tỉ gồm cả dạng thập phân vô hạn tuần hoàn.

Vậy khẳng định sai là phương án D.

Nhận xét. Ba cách đều quy về việc phát hiện D mô tả sai đặc điểm số hữu tỉ; cách 2 dùng phản ví dụ cụ thể là thuyết phục và nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần một phản ví dụ cụ thể như

\frac{1}{3} = 0, 333 \dots

là bác bỏ ngay phương án D, không phải nhắc lại toàn bộ định nghĩa bốn tập hợp số.

Đáp số. Khẳng định sai là phương án D.

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh nghĩ số hữu tỉ luôn viết được dưới dạng thập phân hữu hạn (chỉ nhớ ví dụ như

\frac{1}{4} = 0, 25

) mà quên trường hợp vô hạn tuần hoàn như

\frac{1}{3} = 0, 333 \dots

, dẫn đến đánh giá sai phương án D.

🚀 Mở rộng. Cùng cách suy luận có thể mở rộng thành bài tổng quát: chứng minh mọi số hữu tỉ

\frac{p}{q}

đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.23★★Trang 31— Xét đúng sai các khẳng định về số hữu tỉ, số nguyên, căn bậc hai

Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Nếu

x

là số hữu tỉ thì

x

là số thực;
b)

2

không phải là số hữu tỉ;
c) Nếu

x

là số nguyên thì

x

là số thực;
d) Nếu

x

là số tự nhiên thì

x

là số vô tỉ.

Kiến thức cần nhớ

Số hữu tỉ và số vô tỉ đều là số thực.
Căn bậc hai số học $x$ chỉ xác định (là số thực) khi $x \geq 0$ .
$x$ có thể là số hữu tỉ nếu $x$ là bình phương của một số hữu tỉ, ví dụ $4 = 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều là khẳng định "Nếu... thì..." nên dấu hiệu nhận dạng là chỉ cần một phản ví dụ để bác bỏ, còn muốn khẳng định đúng thì phải chứng minh đúng với mọi trường hợp. Bẫy ở ý c) và d):

x

không phải lúc nào cũng có nghĩa (khi

x

âm) và không phải lúc nào cũng vô tỉ (khi

x

là số chính phương).

1Cách 1. Xét từng ý theo định nghĩa

Định hướng. Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa số hữu tỉ, số thực và căn bậc hai số học.

a) Đúng, vì tập số hữu tỉ là tập con của tập số thực.

b) Sai, vì

2 = \frac{2}{1}

là một số hữu tỉ.

c) Sai, vì khi

x

là số nguyên âm (ví dụ

x = - 4

) thì

x

không xác định, không phải số thực.

d) Sai, vì khi

x

là số chính phương (ví dụ

x = 4

) thì

4 = 2

là số hữu tỉ, không phải số vô tỉ.

Vậy a) đúng; b), c), d) sai.

2Cách 2. Tìm phản ví dụ cụ thể cho từng ý nghi sai

Định hướng. Với các ý nghi ngờ sai, chỉ cần chỉ ra một số cụ thể không thỏa mãn là đủ bác bỏ.

b) Phản ví dụ:

2

chính là

\frac{2}{1}

, một số hữu tỉ, nên b) sai.

c) Phản ví dụ:

x = - 4

là số nguyên nhưng

- 4

không có nghĩa trong tập số thực, nên c) sai.

d) Phản ví dụ:

x = 9

là số tự nhiên nhưng

9 = 3

là số hữu tỉ, không phải số vô tỉ, nên d) sai.

Vậy a) đúng; b), c), d) sai.

3Cách 3. Dùng sơ đồ tập hợp số và điều kiện xác định của căn bậc hai

Định hướng. Ghi nhớ $Q \subset R$ và điều kiện $x \geq 0$ để $x$ có nghĩa, rồi xét nhanh bốn ý.

a) đúng vì

Q \subset R

b) sai vì

2 \in Q

c), d) đều sai vì đề không ràng buộc

x \geq 0

(ý c) và không loại trừ

x

là số chính phương (ý d).

Vậy a) đúng; b), c), d) sai.

Nhận xét. Ý c) và d) là hai bẫy kinh điển của căn bậc hai: quên điều kiện xác định và quên trường hợp căn ra số hữu tỉ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nêu ngay phản ví dụ số cụ thể cho từng ý sai, ngắn gọn và thuyết phục hơn diễn giải lí thuyết dài dòng.

Đáp số. a) đúng; b) sai; c) sai; d) sai.

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay quên căn bậc hai của số âm không xác định (dẫn tới cho ý c) là đúng), và quên trường hợp số chính phương khiến

x

ra số hữu tỉ (dẫn tới cho ý d) là đúng).

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát hoá ý d):

x

là số hữu tỉ khi và chỉ khi

x

là bình phương của một số hữu tỉ không âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.24★Trang 31— Tìm số đối của số thực

Tìm số đối của các số thực sau:

- 2, 1

;

- 0, (1)

;

\frac{2}{π}

;

3 - 2

Kiến thức cần nhớ

Số đối của số thực $a$ là số $- a$ , kí hiệu vẫn dùng như với số hữu tỉ.
Hai số đối nhau có tổng bằng $0$ : $a + (- a) = 0$ .
Đổi dấu một hiệu $A - B$ ta được $- (A - B) = B - A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu tìm số đối, đây là dấu hiệu áp dụng thẳng định nghĩa "số đối của

a

là

- a

" cho từng số, kể cả với số vô tỉ hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Bẫy nằm ở việc đổi dấu biểu thức

3 - 2

: số đối của nó là

- (3 - 2) = 2 - 3

chứ không phải

- 3 - 2

1Cách 1. Đổi dấu trực tiếp theo định nghĩa số đối

Định hướng. Với mỗi số đã cho, số đối chính là số đó đổi dấu.

Số đối của

- 2, 1

là

2, 1

Số đối của

- 0, (1)

là

0, (1)

Số đối của

\frac{2}{π}

là

- \frac{2}{π}

Số đối của

3 - 2

là

- (3 - 2) = 2 - 3

Vậy số đối của bốn số đã cho lần lượt là $2, 1$ ; $0, (1)$ ; $- \frac{2}{π}$ ; $2 - 3$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng tính chất tổng hai số đối bằng 0

Định hướng. Sau khi đổi dấu, cộng số đã cho với kết quả để chắc chắn tổng bằng $0$ .

(- 2, 1) + 2, 1 = 0

nên

2, 1

đúng là số đối của

- 2, 1

(- 0, (1)) + 0, (1) = 0

nên

0, (1)

đúng là số đối của

- 0, (1)

\frac{2}{π} + (- \frac{2}{π}) = 0

nên

- \frac{2}{π}

đúng là số đối của

\frac{2}{π}

(3 - 2) + (2 - 3) = 0

nên

2 - 3

đúng là số đối của

3 - 2

Vậy số đối của bốn số đã cho lần lượt là $2, 1$ ; $0, (1)$ ; $- \frac{2}{π}$ ; $2 - 3$ .

3Cách 3. Hình dung trên trục số thực

Định hướng. Trên trục số, hai số đối nhau ứng với hai điểm đối xứng nhau qua gốc $O$ .

Điểm biểu diễn

- 2, 1

đối xứng qua

O

với điểm biểu diễn

2, 1

Điểm biểu diễn

- 0, (1)

đối xứng qua

O

với điểm biểu diễn

0, (1)

Điểm biểu diễn

\frac{2}{π}

(bên phải

O

) đối xứng với điểm biểu diễn

- \frac{2}{π}

(bên trái

O

Điểm biểu diễn

3 - 2

đối xứng với điểm biểu diễn

2 - 3

qua

O

Vậy số đối của bốn số đã cho lần lượt là $2, 1$ ; $0, (1)$ ; $- \frac{2}{π}$ ; $2 - 3$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; cách 1 đổi dấu trực tiếp là nhanh nhất, cách 2 dùng để tự kiểm tra lại đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu trực tiếp từng số, chỉ dùng Cách 2 (cộng lại kiểm tra tổng bằng 0) khi cần soát lại bài làm.

Đáp số. Số đối của

- 2, 1

;

- 0, (1)

;

\frac{2}{π}

;

3 - 2

lần lượt là

2, 1

;

0, (1)

;

- \frac{2}{π}

;

2 - 3

Sai lầm thường gặp. Với số đối của hiệu

3 - 2

, nhiều học sinh chỉ đổi dấu số hạng đầu và viết nhầm thành

- 3 - 2

, quên phải đổi dấu cả hai số hạng:

- (3 - 2) = 2 - 3

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, với số đối của một tổng

A + B

ta luôn có

- (A + B) = (- A) + (- B)

, áp dụng được cho mọi biểu thức số thực.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.25★★Trang 32— So sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn với căn bậc hai

So sánh

a = 1, (41)

và

2

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn $a = 1, (41) = 1, 414141 \dots$
So sánh hai số thực viết dưới dạng thập phân: so từng hàng từ trái sang phải, hàng nào lớn hơn thì số đó lớn hơn.
Nếu $0 \leq m < n$ thì $m < n$ (dùng khi so sánh qua bình phương).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một số thập phân vô hạn tuần hoàn và một căn bậc hai — dấu hiệu của dạng so sánh hai số thực viết dưới hai hình thức khác nhau, nên phải đưa về cùng một dạng mới so sánh được. Hướng an toàn là khai triển cả hai ra đủ nhiều chữ số thập phân; bẫy là dừng lại quá sớm (ví dụ chỉ lấy 2 chữ số) sẽ so sánh nhầm vì hai số rất gần nhau.

1Cách 1. Khai triển cả hai số thành thập phân rồi so sánh từng chữ số

Định hướng. Viết $a$ và $2$ dưới dạng số thập phân đủ nhiều chữ số rồi so sánh lần lượt từng hàng.

a = 1, (41) = 1, 414141 \dots

2 = 1, 414213 \dots

Hai số giống nhau đến chữ số thập phân thứ ba (

1, 414

); đến chữ số thứ tư,

a

có chữ số

1

còn

2

có chữ số

2

, mà

1 < 2

Vậy $a < 2$ , tức $1, (41) < 2$ .

2Cách 2. Đưa

a

về phân số rồi so sánh bình phương với 2

Định hướng. Đổi $a$ sang phân số để so sánh $a^{2}$ với $2$ bằng phép tính chính xác, tránh sai số làm tròn.

a = 1, (41) = 1 + \frac{41}{99} = \frac{140}{99}

a^{2} = (\frac{140}{99})^{2} = \frac{19600}{9801}

, so với

2 = \frac{19602}{9801}

Vì

19600 < 19602

nên

a^{2} < 2

; do

a, 2

đều dương nên

a < 2

Vậy $a < 2$ , tức $1, (41) < 2$ .

3Cách 3. Ước lượng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Dùng máy tính cầm tay tính gần đúng $2$ rồi so với giá trị thập phân của $a$ .

Máy tính cho

2 \approx 1, 41421356

Trong khi

a = 1, (41) \approx 1, 41414141

So sánh hai giá trị gần đúng:

1, 41414 \dots < 1, 41421 \dots

Vậy $a < 2$ , tức $1, (41) < 2$ .

Nhận xét. Cách 2 (so sánh bình phương qua phân số) là cách chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc số chữ số thập phân lấy; Cách 1 và Cách 3 chỉ đúng khi lấy đủ chữ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi

a

về phân số rồi so sánh bình phương với

2

bằng phép tính đúng tuyệt đối, tránh rủi ro dừng lại quá sớm khi so sánh hai số thập phân rất gần nhau như ở Cách 1.

Đáp số.

1, (41) < 2

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay so sánh hai số thập phân vô hạn bằng cách chỉ lấy 2–3 chữ số đầu (

1, 41

và

1, 41

) rồi kết luận "bằng nhau", trong khi phải lấy đủ chữ số phân biệt (đến hàng phần nghìn) mới kết luận đúng

a < 2

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, có thể so sánh

2, (23)

với

5

: đổi

2, (23)

về phân số

\frac{221}{99}

rồi so bình phương với

5

để kết luận chính xác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.26★★★Trang 32— Sắp xếp các số thực theo thứ tự tăng dần

Viết các số thực sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

5

;

- 1, 7 (5)

;

π

;

- 2

;

\frac{22}{7}

;

0

Kiến thức cần nhớ

Mọi số âm đều nhỏ hơn $0$ , mọi số dương đều lớn hơn $0$ .
Số thực viết được dưới dạng thập phân; so sánh hai số thực bằng cách so từng hàng thập phân từ trái sang phải.
$π = 3, 14159265 \dots$ ; đây là hằng số vô tỉ dùng để so sánh chính xác hơn với các phân số gần đúng như $\frac{22}{7}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy số gồm số âm, số

0

, số vô tỉ và phân số — dấu hiệu của dạng sắp xếp cần chia nhóm âm/dương trước rồi mới so sánh chi tiết trong từng nhóm. Bẫy lớn nhất là so sánh

π

với

\frac{22}{7}

, hai số rất gần nhau nên phải lấy đủ chữ số thập phân mới phân biệt được, không được coi

\frac{22}{7}

là giá trị đúng của

π

1Cách 1. Đổi tất cả về giá trị thập phân gần đúng rồi sắp xếp

Định hướng. Ước lượng từng số dưới dạng thập phân rồi xếp theo thứ tự tăng dần.

5 \approx 2, 236

;

- 1, 7 (5) \approx - 1, 756

;

π \approx 3, 1416

;

- 2

;

\frac{22}{7} \approx 3, 1429

;

0

So sánh sáu giá trị:

- 2 < - 1, 756 < 0 < 2, 236 < 3, 1416 < 3, 1429

Vậy thứ tự tăng dần là $- 2$ ; $- 1, 7 (5)$ ; $0$ ; $5$ ; $π$ ; $\frac{22}{7}$ .

2Cách 2. Chia nhóm âm — không — dương rồi so sánh riêng từng nhóm

Định hướng. Tách các số âm, số $0$ , số dương thành ba nhóm; mọi số âm luôn nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn mọi số dương.

Nhóm âm:

- 2

và

- 1, 7 (5)

; vì

2 > 1, 7 (5)

nên

- 2 < - 1, 7 (5)

Số

0

đứng giữa hai nhóm.

Nhóm dương:

5

π

\frac{22}{7}

; vì

5 \approx 2, 236

nhỏ hơn cả

π \approx 3, 1416

và

\frac{22}{7} \approx 3, 1429

; so

π

với

\frac{22}{7}

π = 3, 14159 \dots < 3, 142857 \dots = \frac{22}{7}

Vậy thứ tự tăng dần là $- 2$ ; $- 1, 7 (5)$ ; $0$ ; $5$ ; $π$ ; $\frac{22}{7}$ .

3Cách 3. Biểu diễn trên trục số thực

Định hướng. Đặt sáu điểm lên trục số theo vị trí gần đúng của chúng; điểm nào ở bên trái thì số đó nhỏ hơn.

- 2

và

- 1, 7 (5)

nằm bên trái gốc

O

, với

- 2

ở xa gốc hơn nên nằm bên trái

- 1, 7 (5)

0

là gốc trục số.

5

π

\frac{22}{7}

nằm bên phải gốc theo đúng thứ tự tăng dần vừa tính ở Cách 1 và Cách 2.

Vậy thứ tự tăng dần là $- 2$ ; $- 1, 7 (5)$ ; $0$ ; $5$ ; $π$ ; $\frac{22}{7}$ .

Nhận xét. Cả ba cách cho cùng kết quả; điểm mấu chốt của bài là phải so sánh $π$ với $\frac{22}{7}$ bằng đủ số chữ số thập phân, không được coi hai số này bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách nhóm âm/không/dương trước để giảm số phép so sánh, chỉ cần so sánh kĩ trong nội bộ từng nhóm, đặc biệt là cặp

π

và

\frac{22}{7}

Đáp số. Thứ tự tăng dần:

- 2 < - 1, 7 (5) < 0 < 5 < π < \frac{22}{7}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là coi

π = \frac{22}{7}

hoặc

π > \frac{22}{7}

; thực chất

\frac{22}{7}

chỉ là giá trị gần đúng dùng để tính toán, và

π < \frac{22}{7}

(vì

π \approx 3, 14159 < 3, 14286 \approx \frac{22}{7}

🚀 Mở rộng. Có thể mở rộng bài toán với dãy số phức tạp hơn gồm cả căn bậc hai của số không chính phương lẫn số thập phân vô hạn không tuần hoàn, rèn kĩ năng ước lượng nhiều chữ số thập phân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.27★★★Trang 32— Tìm số thực theo giá trị tuyệt đối và xác định vị trí trên trục số

Tìm các số thực

x

có giá trị tuyệt đối bằng

1, 6 (7)

. Điểm biểu diễn các số thực tìm được nằm trong hay nằm ngoài khoảng giữa hai điểm

- 2

và

2, (1)

trên trục số?

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $∣ x ∣ = a$ khi và chỉ khi $x = a$ hoặc $x = - a$ .
Trên trục số, điểm biểu diễn $x$ nằm giữa hai điểm $m$ và $n$ ( $m < n$ ) khi $m < x < n$ .
Số thập phân vô hạn tuần hoàn đổi được về phân số: $0, a (b)$ (không có phần thập phân không lặp) $= \frac{ab}{99 \dots 9}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

∣ x ∣

bằng một số dương cụ thể — dấu hiệu của dạng tìm số theo giá trị tuyệt đối, luôn cho hai nghiệm đối nhau. Sau khi tìm

x

, phải đổi tiếp

1, 6 (7)

và

2, (1)

ra phân số hoặc thập phân đủ chữ số mới so sánh vị trí chính xác được; bẫy là quên xét cả hai giá trị

x

dương và

x

âm khi trả lời câu hỏi vị trí.

1Cách 1. Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Từ $∣ x ∣ = 1, 6 (7)$ suy ra hai giá trị $x$ đối nhau, sau đó so sánh từng giá trị với $- 2$ và $2, (1)$ .

∣ x ∣ = 1, 6 (7)

suy ra

x = 1, 6 (7)

hoặc

x = - 1, 6 (7)

Vì

0 < 1, 6 (7) < 2, (1)

nên

- 2 < - 1, 6 (7) < 0 < 1, 6 (7) < 2, (1)

Cả hai điểm

x = 1, 6 (7)

và

x = - 1, 6 (7)

đều thỏa mãn

- 2 < x < 2, (1)

Vậy $x = 1, 6 (7)$ hoặc $x = - 1, 6 (7)$ ; cả hai điểm đều nằm trong khoảng giữa $- 2$ và $2, (1)$ .

2Cách 2. Đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số rồi so sánh chính xác

Định hướng. Chuyển $1, 6 (7)$ và $2, (1)$ về phân số để so sánh bằng phép tính đúng tuyệt đối, không làm tròn.

1, 6 (7) = 1, 6 + \frac{7}{90} = \frac{151}{90}

;

2, (1) = 2 + \frac{1}{9} = \frac{19}{9} = \frac{190}{90}

So sánh:

\frac{151}{90} < \frac{190}{90}

nên

1, 6 (7) < 2, (1)

; do đó

- 2 < - \frac{151}{90} < \frac{151}{90} < \frac{190}{90}

Vậy

- 2 < x < 2, (1)

đúng với cả hai giá trị

x

tìm được.

Vậy $x = 1, 6 (7)$ hoặc $x = - 1, 6 (7)$ ; cả hai điểm đều nằm trong khoảng giữa $- 2$ và $2, (1)$ .

3Cách 3. Biểu diễn trên trục số bằng khoảng cách đến gốc

O

Định hướng. $∣ x ∣ = 1, 6 (7)$ nghĩa là điểm biểu diễn $x$ cách gốc $O$ đúng $1, 6 (7)$ đơn vị, có hai điểm như vậy đối xứng qua $O$ .

Hai điểm cách

O

một khoảng

1, 6 (7)

nằm ở vị trí

- 1, 6 (7)

(bên trái

O

) và

1, 6 (7)

(bên phải

O

Điểm

- 2

nằm xa gốc

O

hơn điểm

- 1, 6 (7)

về phía trái (vì

2 > 1, 6 (7)

); điểm

2, (1)

nằm xa gốc

O

hơn điểm

1, 6 (7)

về phía phải (vì

2, (1) > 1, 6 (7)

Do đó cả hai điểm

\pm 1, 6 (7)

đều lọt vào giữa hai điểm

- 2

và

2, (1)

Vậy $x = 1, 6 (7)$ hoặc $x = - 1, 6 (7)$ ; cả hai điểm đều nằm trong khoảng giữa $- 2$ và $2, (1)$ .

Nhận xét. Ba cách cùng khẳng định cả hai nghiệm nằm trong khoảng; Cách 2 là chặt chẽ nhất vì so sánh bằng phân số, không phụ thuộc việc làm tròn số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số để so sánh chính xác tuyệt đối, tránh rủi ro làm tròn sai khi ước lượng bằng mắt như Cách 1 hay Cách 3.

Đáp số.

x = 1, 6 (7)

hoặc

x = - 1, 6 (7)

; cả hai điểm biểu diễn đều nằm trong khoảng giữa

- 2

và

2, (1)

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ tìm nghiệm dương

x = 1, 6 (7)

mà quên nghiệm âm

x = - 1, 6 (7)

, dẫn đến chỉ trả lời được một nửa yêu cầu của đề.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, có thể xét

∣ x ∣ = 3, (2)

và hỏi vị trí so với khoảng

(- 3, 5; 3, 5)

để luyện thêm kĩ năng đổi số thập phân tuần hoàn ra phân số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.28★★Trang 32— Xác định dấu và tính giá trị tuyệt đối của biểu thức chứa căn bậc hai

Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của các số thực sau:
a)

- 1, 3 (51)

;
b)

1 - 2

;
c)

(3 - 2) (2 - 5)

Kiến thức cần nhớ

Số dương có giá trị tuyệt đối là chính nó; số âm có giá trị tuyệt đối là số đối của nó; $∣0∣ = 0$ .
Với $a$ dương, $b$ dương và $a < b$ thì $a < b$ , dùng để so sánh căn với số nguyên.
Quy tắc dấu của tích: dương nhân âm cho kết quả âm.

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đều yêu cầu xác định dấu trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối — dấu hiệu của dạng bài phải so sánh với

0

trước khi áp dụng công thức

∣ a ∣

. Bẫy ở ý c): phải xét dấu của từng thừa số rồi mới suy ra dấu của tích, không được vội tính gần đúng cả biểu thức.

1Cách 1. So sánh trực tiếp từng số với

0

rồi áp dụng định nghĩa

∣ a ∣

Định hướng. Xác định dấu bằng cách so sánh trực tiếp mỗi biểu thức với $0$ , sau đó lấy giá trị tuyệt đối theo định nghĩa.

- 1, 3 (51) < 0

nên là số âm;

∣ - 1, 3 (51) ∣ = 1, 3 (51)

b) Vì

2 \approx 1, 414 > 1

nên

1 - 2 < 0

, là số âm;

∣1 - 2 ∣ = 2 - 1

3 - 2 > 0

(vì

2 < 3

) và

2 - 5 < 0

(vì

5 > 2

) nên tích của một số dương với một số âm là số âm;

∣ (3 - 2) (2 - 5) ∣ = (3 - 2) (5 - 2)

Vậy a) là số âm, $∣ - 1, 3 (51) ∣ = 1, 3 (51)$ ; b) là số âm, $∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$ ; c) là số âm, $∣ (3 - 2) (2 - 5) ∣ = (3 - 2) (5 - 2)$ .

2Cách 2. Dùng công thức

∣ a ∣ = a

khi

a \geq 0

và

∣ a ∣ = - a

khi

a < 0

Định hướng. Viết trực tiếp công thức bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo từng trường hợp dấu đã xác định.

a) Vì

a = - 1, 3 (51) < 0

nên

∣ a ∣ = - a = - (- 1, 3 (51)) = 1, 3 (51)

b) Vì

a = 1 - 2 < 0

nên

∣ a ∣ = - a = - (1 - 2) = 2 - 1

c) Vì

a = (3 - 2) (2 - 5) < 0

nên

∣ a ∣ = - a = - (3 - 2) (2 - 5) = (3 - 2) (5 - 2)

Vậy a) là số âm, $∣ - 1, 3 (51) ∣ = 1, 3 (51)$ ; b) là số âm, $∣1 - 2 ∣ = 2 - 1$ ; c) là số âm, $∣ (3 - 2) (2 - 5) ∣ = (3 - 2) (5 - 2)$ .

3Cách 3. Xét dấu từng thừa số của ý c) bằng quy tắc dấu của tích, không cần tính gần đúng

Định hướng. Riêng với biểu thức tích ở ý c), suy luận dấu nhanh hơn nhờ quy tắc dấu, không cần ước lượng số thập phân.

3 - 2

: vì

2 < 9 = 3

nên

3 - 2 > 0

2 - 5

: vì

5 > 4 = 2

nên

2 - 5 < 0

Dương nhân âm cho tích âm, nên

(3 - 2) (2 - 5) < 0

, từ đó lấy giá trị tuyệt đối bằng cách đổi dấu.

Vậy ý c) là số âm và $∣ (3 - 2) (2 - 5) ∣ = (3 - 2) (5 - 2)$ .

Nhận xét. Cách 3 xét dấu qua so sánh $2, 5$ với các số chính phương lân cận ( $9$ và $4$ ) nên tránh được việc ước lượng số thập phân, chắc chắn không sai dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho các biểu thức chứa tích căn thức: so

2

với

9 = 3

và

5

với

4 = 2

để xác định dấu chắc chắn, không phụ thuộc số thập phân gần đúng.

Đáp số. a)

- 1, 3 (51)

âm,

∣ - 1, 3 (51) ∣ = 1, 3 (51)

; b)

1 - 2

âm,

∣1 - 2 ∣ = 2 - 1

; c)

(3 - 2) (2 - 5)

âm, giá trị tuyệt đối bằng

(3 - 2) (5 - 2)

Sai lầm thường gặp. Với ý c), học sinh hay ước lượng cả biểu thức bằng số thập phân gần đúng rồi kết luận dấu, dễ sai khi các thừa số gần

0

; nên xét dấu từng thừa số bằng cách so sánh căn bậc hai với số chính phương lân cận sẽ chắc chắn hơn.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật xét dấu từng thừa số, có thể mở rộng cho tích ba, bốn thừa số chứa căn thức để xác định dấu của cả biểu thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.29★★★Trang 32— Ước lượng giá trị của căn bậc hai bằng phương pháp kẹp

Không sử dụng máy tính cầm tay, ước lượng giá trị thập phân của số

3

với độ chính xác

0, 05

Kiến thức cần nhớ

Nếu $0 \leq a < b$ thì $a < b$ ; dùng tính chất này để so sánh $3$ với các bình phương liên tiếp.
Muốn ước lượng $n$ với độ chính xác $d$ , cần tìm hai số thập phân $p, q$ cách nhau không quá $2 d$ sao cho $p^{2} < n < q^{2}$ .
$1, 7^{2} = 2, 89$ ; $1, 8^{2} = 3, 24$ ; $1, 7 3^{2} = 2, 9929$ ; $1, 7 4^{2} = 3, 0276$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu không dùng máy tính và cho độ chính xác cụ thể — dấu hiệu của dạng "kẹp"

3

giữa hai số thập phân liên tiếp bằng cách bình phương thử dần. Bẫy là dừng lại ở bước ước lượng quá thô (

1 < 3 < 2

) mà không thu hẹp thêm, khi đó sai số

\pm 0, 5

chưa đạt yêu cầu

0, 05

1Cách 1. Kẹp dần bằng cách bình phương các số thập phân liên tiếp

Định hướng. Thử bình phương các số thập phân có một rồi hai chữ số thập phân để thu hẹp khoảng chứa $3$ .

1^{2} = 1 < 3 < 4 = 2^{2}

nên

1 < 3 < 2

(còn quá thô, sai số tới

0, 5

1, 7^{2} = 2, 89 < 3 < 3, 24 = 1, 8^{2}

nên

1, 7 < 3 < 1, 8

(sai số tới

0, 05

, đã đạt nhưng còn ở biên).

1, 7 3^{2} = 2, 9929 < 3 < 3, 0276 = 1, 7 4^{2}

nên

1, 73 < 3 < 1, 74

, khoảng rộng

0, 01 < 0, 05

Vậy $3 \approx 1, 73$ (hoặc $1, 74$ ), với độ chính xác nhỏ hơn $0, 05$ .

2Cách 2. Ước lượng qua nội suy tuyến tính giữa hai bình phương gần nhất

Định hướng. Dùng $1, 7^{2} = 2, 89$ và $1, 8^{2} = 3, 24$ , nội suy để đoán vị trí gần đúng của $3$ trong khoảng đó.

3

nằm cách

2, 89

một đoạn

0, 11

trên tổng khoảng

3, 24 - 2, 89 = 0, 35

, tỉ lệ

\frac{0 , 11}{0 , 35} \approx 0, 31

Ước lượng

3 \approx 1, 7 + 0, 31 \times 0, 1 = 1, 731

Kiểm tra lại:

1, 7 3^{2} = 2, 9929

rất gần

3

, xác nhận ước lượng

1, 73

là hợp lí và sai số nhỏ hơn

0, 05

Vậy $3 \approx 1, 73$ , với độ chính xác nhỏ hơn $0, 05$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Sau khi ước lượng bằng tay, dùng máy tính cầm tay để đối chiếu kết quả (chỉ dùng để kiểm tra, không thay phần trình bày chính).

Máy tính cho

3 = 1, 7320508 \dots

So với ước lượng

1, 73

ở hai cách trên, sai lệch chỉ khoảng

0, 002

, nhỏ hơn nhiều so với yêu cầu

0, 05

Vậy kết quả ước lượng $3 \approx 1, 73$ ở Cách 1 và Cách 2 là chính xác trong phạm vi yêu cầu.

Nhận xét. Bài yêu cầu không dùng máy tính nên Cách 1 (kẹp dần bằng bình phương) là cách trình bày chuẩn; Cách 3 chỉ để tự kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: kẹp dần bằng cách bình phương các số thập phân có 1, rồi 2 chữ số thập phân — đúng tinh thần "không dùng máy tính cầm tay" mà đề yêu cầu, và luôn kiểm soát được sai số.

Đáp số.

1, 73 < 3 < 1, 74

, nên

3 \approx 1, 73

với độ chính xác nhỏ hơn

0, 05

(thực chất nhỏ hơn

0, 01

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh dừng lại ở bước ước lượng thô

1 < 3 < 2

hoặc

1, 7 < 3 < 1, 8

rồi kết luận ngay mà không kiểm tra độ rộng khoảng có thỏa mãn yêu cầu chính xác

0, 05

hay chưa.

🚀 Mở rộng. Cùng phương pháp kẹp, có thể ước lượng

7

với độ chính xác

0, 01

, đòi hỏi thử thêm một chữ số thập phân nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.30★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức chứa giá trị tuyệt đối của căn bậc hai

Tính

6 - 35 + 5 + 35

Kiến thức cần nhớ

$∣ a ∣ = a$ nếu $a \geq 0$ ; $∣ a ∣ = - a$ nếu $a < 0$ .
Với $a, b \geq 0$ : nếu $a > b$ thì $a^{2} > b^{2}$ , và ngược lại (dùng để so sánh không cần khai căn).
$6 = 36$ , dùng để so sánh trực tiếp với $35$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối bao quanh một hiệu chứa căn — dấu hiệu của dạng phải xác định dấu bên trong trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Hướng làm nhanh là so sánh

6

với

35

qua bình phương (

36

với

35

) thay vì ước lượng căn bậc hai bằng số thập phân; bẫy là quên đổi dấu khi bỏ trị tuyệt đối nếu xác định sai dấu.

1Cách 1. Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối bằng cách ước lượng

35

Định hướng. Ước lượng $35$ nằm giữa hai số nguyên liên tiếp để xác định dấu của $6 - 35$ .

Vì

25 = 5^{2} < 35 < 36 = 6^{2}

nên

5 < 35 < 6

Suy ra

6 - 35 > 0

, nên

6 - 35 = 6 - 35

Thay vào biểu thức:

(6 - 35) + 5 + 35 = 6 + 5 + (- 35 + 35) = 11

Vậy $6 - 35 + 5 + 35 = 11$ .

2Cách 2. So sánh

6

và

35

qua bình phương, không cần ước lượng căn

Định hướng. So sánh trực tiếp $6^{2}$ với $35$ để suy ra dấu mà không cần biết giá trị gần đúng của $35$ .

6^{2} = 36 > 35

, mà

6, 35 \geq 0

nên

6 > 35

Vậy

6 - 35 > 0

, suy ra

6 - 35 = 6 - 35

Thay vào biểu thức:

(6 - 35) + 5 + 35 = 11

Vậy $6 - 35 + 5 + 35 = 11$ .

3Cách 3. Đặt

t = 35

rồi rút gọn biểu thức trước khi thay số

Định hướng. Đặt ẩn phụ để thấy rõ các số hạng chứa $t$ triệt tiêu nhau trước khi cần biết dấu của $6 - t$ .

Đặt

t = 35

(

t > 0

), biểu thức trở thành

∣6 - t ∣ + 5 + t

Vì

t = 35 < 36 = 6

nên

6 - t > 0

, do đó

∣6 - t ∣ = 6 - t

Biểu thức bằng

(6 - t) + 5 + t = 6 + 5 = 11

— các số hạng chứa

t

đã triệt tiêu ngay từ khi rút gọn.

Vậy $6 - 35 + 5 + 35 = 11$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy bản chất bài toán là một hiệu và một tổng cùng chứa $35$ triệt tiêu nhau, nên chỉ cần xác định đúng dấu là tính được ngay, không cần giá trị cụ thể của $35$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: so sánh

6^{2} = 36

với

35

để xác định dấu, không cần ước lượng

35

bằng số thập phân nên nhanh và chắc chắn không sai dấu.

Đáp số.

6 - 35 + 5 + 35 = 11

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay quên xét dấu trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, viết luôn

6 - 35 = 35 - 6

(sai dấu), dẫn đến kết quả sai

235 + \dots

thay vì

11

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, có thể tính

50 - 7 + 7 - 50

, cũng triệt tiêu về một số nguyên sau khi xác định đúng dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.31★★★Trang 32— Xét tính hữu tỉ của biểu thức chứa số vô tỉ

Biết

11

là số vô tỉ. Trong các phép tính sau, những phép tính nào có kết quả là số hữu tỉ?
a)

\frac{1}{11}

; b)

11.11

; c)

1 + 11

; d)

(11)^{4}

Kiến thức cần nhớ

$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; đây là tính chất cốt lõi để triệt tiêu căn bậc hai.
Tổng, hiệu của một số hữu tỉ khác $0$ với một số vô tỉ luôn là số vô tỉ.
Thương của một số hữu tỉ khác $0$ cho một số vô tỉ là số vô tỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn

11

là số vô tỉ và yêu cầu xét bốn phép tính — dấu hiệu của dạng vận dụng tính chất cộng, nhân số hữu tỉ với số vô tỉ mà không cần tính số thập phân cụ thể. Bẫy nằm ở ý b) và d): tích hoặc lũy thừa của căn bậc hai với chính nó lại triệt tiêu dấu căn, cho kết quả hữu tỉ dù từng có mặt số vô tỉ

11

1Cách 1. Rút gọn từng biểu thức rồi xét kết quả

Định hướng. Tính hoặc rút gọn trực tiếp từng biểu thức a), b), c), d) để xem kết quả có phải số hữu tỉ hay không.

\frac{1}{11} = \frac{11}{11}

, vẫn chứa

11

nên là số vô tỉ.

11.11 = (11)^{2} = 11

, là số hữu tỉ (số nguyên).

1 + 11

là tổng của số hữu tỉ

1

với số vô tỉ

11

, kết quả vẫn là số vô tỉ.

(11)^{4} = ((11)^{2})^{2} = 1 1^{2} = 121

, là số hữu tỉ.

Vậy các phép tính b) và d) cho kết quả hữu tỉ; a) và c) cho kết quả vô tỉ.

2Cách 2. Dùng tính chất cộng/nhân số hữu tỉ với số vô tỉ, không cần rút gọn cụ thể

Định hướng. Suy luận trực tiếp bằng tính chất của phép cộng, nhân giữa số hữu tỉ và số vô tỉ.

\frac{1}{11}

là thương của số hữu tỉ

1

cho số vô tỉ

11

nên là số vô tỉ.

11.11

chính là bình phương của

11

, mà theo định nghĩa căn bậc hai số học, bình phương của

11

đúng bằng

11

— một số hữu tỉ.

1 + 11

là tổng của số hữu tỉ

1

với số vô tỉ

11

nên là số vô tỉ.

(11)^{4} = (11)^{2} \cdot (11)^{2} = 11 \cdot 11

, tích hai số hữu tỉ nên là số hữu tỉ.

Vậy các phép tính b) và d) cho kết quả hữu tỉ; a) và c) cho kết quả vô tỉ.

3Cách 3. Phản chứng: giả sử kết quả hữu tỉ rồi kiểm tra mâu thuẫn với

11

vô tỉ

Định hướng. Với ý a) và c), thử giả sử kết quả là số hữu tỉ rồi suy ngược để kiểm tra có mâu thuẫn với giả thiết $11$ vô tỉ hay không.

a) Nếu

\frac{1}{11} = r

hữu tỉ (

r \neq = 0

) thì

11 = \frac{1}{r}

cũng phải hữu tỉ — mâu thuẫn với giả thiết

11

vô tỉ; vậy a) là số vô tỉ.

c) Nếu

1 + 11 = r

hữu tỉ thì

11 = r - 1

cũng hữu tỉ — mâu thuẫn tương tự; vậy c) là số vô tỉ.

Với b) và d), tính trực tiếp như Cách 1 cho ngay kết quả hữu tỉ

11

và

121

, không có mâu thuẫn nào xảy ra.

Vậy các phép tính b) và d) cho kết quả hữu tỉ; a) và c) cho kết quả vô tỉ.

Nhận xét. Cách 3 lí giải được vì sao a), c) chắc chắn vô tỉ (không chỉ là "không rút gọn được"), còn Cách 1 nhanh gọn nhất khi cần đáp số ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn trực tiếp từng biểu thức bằng

(11)^{2} = 11

, cho đáp số nhanh nhất mà vẫn đủ chặt chẽ với bốn ý trắc nghiệm dạng này.

Đáp số. Các phép tính b)

11.11 = 11

và d)

(11)^{4} = 121

có kết quả là số hữu tỉ; a) và c) có kết quả là số vô tỉ.

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh thấy biểu thức nào cũng "có căn" là vội kết luận vô tỉ, bỏ sót trường hợp căn bậc hai nhân với chính nó (hoặc nâng lên lũy thừa chẵn) sẽ triệt tiêu dấu căn và cho kết quả hữu tỉ.

🚀 Mở rộng. Cùng tính chất này, tổng quát hoá: với

a

là số vô tỉ dạng

n

(

n

không chính phương),

a^{2 k}

luôn hữu tỉ với mọi số tự nhiên

k

, còn

a^{2 k + 1}

luôn vô tỉ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.32★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai của số thập phân

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

0, 25 - 0, 49

;
b)

0, 2100 - 0, 25

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; nhận diện nhanh các số thập phân là bình phương của số thập phân quen thuộc.
$0, 25 = 0, 5^{2}$ ; $0, 49 = 0, 7^{2}$ ; $100 = 1 0^{2}$ .
Thứ tự thực hiện phép tính: khai căn trước, rồi đến nhân, cuối cùng đến cộng trừ (đúng như với số hữu tỉ).

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều là căn bậc hai của số thập phân — dấu hiệu nhận ra ngay

0, 25

và

0, 49

là bình phương của

0, 5

và

0, 7

, nên tính được chính xác mà không cần ước lượng. Bẫy là quên đổi số thập phân ra phân số thập phân quen thuộc (

0, 25 = \frac{1}{4}

), dẫn đến nhầm lẫn khi khai căn.

1Cách 1. Nhận diện trực tiếp căn bậc hai của các số thập phân quen thuộc

Định hướng. Nhận ra ngay $0, 25$ ; $0, 49$ ; $100$ là bình phương của các số quen thuộc rồi khai căn trực tiếp.

0, 25 = 0, 5^{2} = 0, 5

;

0, 49 = 0, 7^{2} = 0, 7

0, 25 - 0, 49 = 0, 5 - 0, 7 = - 0, 2

100 = 10

;

0, 25 = 0, 5

0, 2100 - 0, 25 = 0, 2 \times 10 - 0, 5 = 2 - 0, 5 = 1, 5

Vậy a) $0, 25 - 0, 49 = - 0, 2$ ; b) $0, 2100 - 0, 25 = 1, 5$ .

2Cách 2. Đổi số thập phân ra phân số rồi khai căn

Định hướng. Chuyển các số thập phân dưới dấu căn về phân số có mẫu là số chính phương để khai căn an toàn hơn.

0, 25 = \frac{1}{4}

nên

0, 25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

;

0, 49 = \frac{49}{100}

nên

0, 49 = \frac{7}{10}

\frac{1}{2} - \frac{7}{10} = \frac{5}{10} - \frac{7}{10} = - \frac{2}{10} = - 0, 2

0, 2100 - 0, 25 = \frac{1}{5} \times 10 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5

Vậy a) $0, 25 - 0, 49 = - 0, 2$ ; b) $0, 2100 - 0, 25 = 1, 5$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Sau khi tính bằng tay, dùng máy tính cầm tay bấm trực tiếp để đối chiếu kết quả.

a) Bấm máy:

0, 25 - 0, 49 = 0, 5 - 0, 7 = - 0, 2

b) Bấm máy:

0, 2100 - 0, 25 = 2 - 0, 5 = 1, 5

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách tính tay ở trên.

Nhận xét. Cách 1 (nhận diện trực tiếp) là nhanh nhất khi số thập phân đã quen thuộc; Cách 2 an toàn hơn khi chưa chắc số đó có phải bình phương của một số thập phân đơn giản hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay

0, 25 = 0, 5^{2}

;

0, 49 = 0, 7^{2}

;

100 = 1 0^{2}

để khai căn tức thời, không cần đổi qua phân số.

Đáp số. a)

0, 25 - 0, 49 = - 0, 2

; b)

0, 2100 - 0, 25 = 1, 5

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay nhầm

0, 25

với

0, 25 : 2 = 0, 125

(chia đôi thay vì khai căn), hoặc quên nhân

0, 2

với

100 = 10

trước khi trừ ở ý b), dẫn tới tính sai thứ tự phép toán.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ năng nhận diện bình phương của số thập phân, có thể mở rộng tính

1, 44 - 0, 81

hay

0, 3400 + 0, 36

để luyện phản xạ khai căn nhanh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.33★★★Trang 32— So sánh hai số thập phân vô hạn tuần hoàn viết ở hai dạng khác nhau

So sánh

a = 0, (12)

và

b = 0, 1 (21)

Kiến thức cần nhớ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn (chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy) $0, (k)$ đổi được về phân số $\frac{k}{1 0 ^{n} - 1}$ với $n$ là số chữ số của $k$ .
Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp $0, c (k)$ (có phần không lặp $c$ trước chu kì $k$ ) đổi về phân số theo quy tắc: lấy số tạo bởi $c$ và $k$ trừ đi $c$ , rồi chia cho $1 0^{∣ c ∣} (1 0^{∣ k ∣} - 1)$ .
Hai số thực bằng nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai số được viết với chu kì lặp lệch nhau một vị trí — dấu hiệu cảnh báo rằng viết khác nhau chưa chắc giá trị khác nhau, phải đổi cả hai về cùng một dạng (phân số hoặc khai triển đủ dài) mới kết luận được. Bẫy là vội kết luận

a \neq = b

chỉ vì cách viết chu kì khác nhau, trong khi thực chất chúng có thể bằng nhau.

1Cách 1. Đổi cả hai số về phân số rồi so sánh

Định hướng. Áp dụng quy tắc đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số cho cả $a$ và $b$ .

a = 0, (12) = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}

b = 0, 1 (21)

: phần không lặp là

1

(một chữ số), chu kì là

21

(hai chữ số);

b = \frac{121 - 1}{10 \times 99} = \frac{120}{990} = \frac{4}{33}

So sánh hai phân số:

a = \frac{4}{33} = b

Vậy $a = b$ , tức $0, (12) = 0, 1 (21)$ .

2Cách 2. Viết khai triển đủ dài rồi so từng chữ số

Định hướng. Khai triển cả hai số ra nhiều chữ số thập phân để so sánh trực tiếp từng hàng.

a = 0, (12) = 0, 121212121212 \dots

b = 0, 1 (21) = 0, 121212121 \dots = 0, 121212121212 \dots

Hai dãy chữ số thập phân sau dấu phẩy hoàn toàn trùng khớp ở mọi vị trí.

Vậy $a = b$ , tức $0, (12) = 0, 1 (21)$ .

3Cách 3. Nhận xét quy luật lặp để suy ra ngay hai cách viết chỉ lệch pha

Định hướng. Quan sát chu kì "12" của $a$ và chu kì "21" của $b$ để thấy chúng lặp cùng một dãy chữ số, chỉ khác điểm bắt đầu.

Chu kì của

a

là

12

lặp liên tục:

12, 12, 12, \dots

, tạo thành dãy chữ số

1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots

Số

b

có chữ số không lặp là

1

rồi mới đến chu kì

21

lặp liên tục, tạo thành đúng cùng dãy chữ số

1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots

nhưng được nhóm khác đi (nhóm bắt đầu từ chữ số thứ hai).

Vì hai số cùng biểu diễn một dãy chữ số thập phân vô hạn tuần hoàn

1, 2, 1, 2, 1, 2, \dots

, chúng bằng nhau.

Vậy $a = b$ , tức $0, (12) = 0, 1 (21)$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $a = b$ — đây là bài học quan trọng: một số thập phân vô hạn tuần hoàn có thể viết dưới nhiều hình thức chu kì khác nhau mà vẫn là cùng một số thực.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi cả hai số về phân số bằng quy tắc chuẩn, cho kết quả chính xác tuyệt đối và trình bày ngắn gọn hơn hẳn việc viết khai triển dài dòng ở Cách 2.

Đáp số.

a = b

(cả hai đều bằng

\frac{4}{33}

), tức

0, (12) = 0, 1 (21)

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh thấy chu kì viết khác nhau ("12" và "21") liền vội kết luận

a \neq = b

mà không kiểm tra bằng cách đổi ra phân số hoặc khai triển đủ dài, trong khi thực chất đây là hai cách viết của cùng một số.

🚀 Mở rộng. Cùng hiện tượng này, có thể kiểm tra thêm

0, (9) = 1

(một trường hợp đặc biệt nổi tiếng của số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng một số nguyên) bằng đúng phương pháp đổi ra phân số ở Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.34★★★Trang 32— Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai của tổng bình phương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 2 + 3 x^{2} + 1

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $x$ , $x^{2} \geq 0$ , dấu bằng xảy ra khi $x = 0$ .
Nếu $0 \leq m \leq n$ thì $m \leq n$ ; căn bậc hai là hàm đồng biến trên tập số không âm.
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, phải chỉ ra cả giá trị nhỏ nhất và giá trị của biến làm biểu thức đạt giá trị đó.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có dạng hằng số cộng với căn của

x^{2} + 1

— dấu hiệu của dạng đánh giá nhờ

x^{2} \geq 0

với mọi

x

, nên cả biểu thức dưới căn và cả căn thức đều có giá trị nhỏ nhất xác định được, không cần đạo hàm. Bẫy là quên xét điều kiện dấu bằng xảy ra khi nào (phải chỉ rõ

x = 0

) để kết luận giá trị nhỏ nhất thực sự đạt được.

1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ

x^{2} \geq 0

Định hướng. Đánh giá từng bước từ $x^{2} \geq 0$ lên đến toàn bộ biểu thức $A$ .

Với mọi

x

x^{2} \geq 0

nên

x^{2} + 1 \geq 1

Vì căn bậc hai đồng biến trên số không âm,

x^{2} + 1 \geq 1 = 1

Nhân hai vế với

3 > 0

rồi cộng

2

A = 2 + 3 x^{2} + 1 \geq 2 + 3 \times 1 = 5

Dấu bằng xảy ra khi

x^{2} = 0

, tức

x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $5$ , đạt được khi $x = 0$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x^{2} + 1

rồi xét biểu thức bậc nhất theo

t

Định hướng. Đưa bài toán về xét biểu thức đơn giản hơn theo biến trung gian $t$ .

Đặt

t = x^{2} + 1

; vì

x^{2} + 1 \geq 1

với mọi

x

nên

t \geq 1

Biểu thức trở thành

A = 2 + 3 t

với

t \geq 1

; đây là biểu thức đồng biến theo

t

(hệ số

3 > 0

A

đồng biến nên đạt giá trị nhỏ nhất khi

t

nhỏ nhất, tức

t = 1

, khi đó

A = 2 + 3 \times 1 = 5

t = 1

tương ứng

x^{2} + 1 = 1

, suy ra

x^{2} = 0

, suy ra

x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $5$ , đạt được khi $x = 0$ .

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để dự đoán rồi chứng minh chặt bằng đánh giá

Định hướng. Thử một vài giá trị của $x$ để dự đoán giá trị nhỏ nhất, sau đó chứng minh dự đoán đó luôn đúng.

Thử

x = 0

A = 2 + 3 0 + 1 = 2 + 3 = 5

Thử

x = 1

A = 2 + 32 \approx 2 + 4, 24 = 6, 24 > 5

; thử

x = - 2

A = 2 + 35 \approx 8, 71 > 5

Các giá trị thử đều cho

A \geq 5

, khớp với dự đoán

x = 0

cho giá trị nhỏ nhất; chứng minh chặt chẽ bằng đánh giá

x^{2} \geq 0

như Cách 1 khẳng định

A \geq 5

luôn đúng.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $5$ , đạt được khi $x = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để dự đoán và kiểm tra nhanh; lời giải chính thức bắt buộc phải có bước chứng minh $A \geq 5$ với mọi $x$ như Cách 1 hoặc Cách 2, không được dừng lại ở việc thử vài giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đánh giá trực tiếp từ

x^{2} \geq 0

lên

A \geq 5

, ngắn gọn và đủ chặt chẽ; Cách 2 (đặt ẩn phụ) hữu ích khi biểu thức phức tạp hơn, còn Cách 3 chỉ dùng để dự đoán, không thay được bước chứng minh.

Đáp số. Giá trị nhỏ nhất của

A

là

5

, đạt được khi

x = 0

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ thử một vài giá trị của

x

rồi kết luận ngay giá trị nhỏ nhất mà không chứng minh

A \geq 5

đúng với MỌI

x

, hoặc quên nêu điều kiện

x = 0

để dấu bằng xảy ra.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật đánh giá này, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của

B = 5 - 2 x^{2} + 4

hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có căn ở mẫu, rèn kĩ năng đánh giá bất đẳng thức chứa căn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.35★★★Trang 32— Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai giá trị tuyệt đối

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = ∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣

Kiến thức cần nhớ

Với hai số thực $a, b$ : $∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a - b ∣$ (dấu bằng khi $a, b$ cùng dấu hoặc một trong hai số bằng $0$ ).
$∣ x - m ∣$ chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn $x$ đến điểm biểu diễn $m$ trên trục số.
Khi phá dấu giá trị tuyệt đối theo từng khoảng giá trị của $x$ , biểu thức trở thành một biểu thức bậc nhất không chứa dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức là tổng hai giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất — dấu hiệu của dạng toán quen thuộc có thể giải bằng bất đẳng thức

∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a - b ∣

hoặc bằng ý nghĩa hình học khoảng cách trên trục số. Bẫy là chỉ xét một khoảng giá trị của

x

(ví dụ chỉ xét

x \geq 3

) mà bỏ sót các trường hợp còn lại, dẫn đến kết luận thiếu.

1Cách 1. Dùng bất đẳng thức

∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a - b ∣

Định hướng. Coi $a = x - 1$ , $b = 3 - x$ rồi áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối để đánh giá $B$ .

Viết lại

B = ∣ x - 1∣ + ∣3 - x ∣

(vì

∣ x - 3∣ = ∣3 - x ∣

Áp dụng

∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a + b ∣

với

a = x - 1

b = 3 - x

B \geq ∣ (x - 1) + (3 - x) ∣ = ∣2∣ = 2

Dấu bằng xảy ra khi

a = x - 1

và

b = 3 - x

cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương), tức

1 \leq x \leq 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $2$ , đạt được khi $1 \leq x \leq 3$ .

2Cách 2. Ý nghĩa hình học: tổng khoảng cách trên trục số

Định hướng. Hiểu $∣ x - 1∣$ và $∣ x - 3∣$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $1$ và điểm $3$ trên trục số.

B

là tổng khoảng cách từ điểm biểu diễn

x

đến hai điểm cố định

1

và

3

Nếu

x

nằm ngoài đoạn từ

1

đến

3

, tổng hai khoảng cách lớn hơn khoảng cách giữa

1

và

3

(phải đi vòng thêm một đoạn).

Nếu

x

nằm giữa (kể cả hai đầu mút)

1

và

3

, tổng hai khoảng cách đúng bằng khoảng cách giữa

1

và

3

, tức bằng

3 - 1 = 2

, và đây là giá trị nhỏ nhất có thể.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $2$ , đạt được khi $x$ thuộc đoạn từ $1$ đến $3$ (tức $1 \leq x \leq 3$ ).

3Cách 3. Xét từng khoảng giá trị của

x

để phá dấu giá trị tuyệt đối

Định hướng. Chia trục số thành ba khoảng theo hai điểm $1$ và $3$ , phá dấu giá trị tuyệt đối riêng trên từng khoảng rồi tìm nhỏ nhất từng khoảng.

Nếu

x < 1

B = (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2 x

; vì

x < 1

nên

4 - 2 x > 2

Nếu

1 \leq x \leq 3

B = (x - 1) + (3 - x) = 2

(không đổi trên cả đoạn).

Nếu

x > 3

B = (x - 1) + (x - 3) = 2 x - 4

; vì

x > 3

nên

2 x - 4 > 2

So sánh ba trường hợp: giá trị nhỏ nhất trên cả ba khoảng là

2

, đạt trên đoạn

1 \leq x \leq 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $2$ , đạt được khi $1 \leq x \leq 3$ .

Nhận xét. Cách 3 chắc chắn không bỏ sót trường hợp nào vì xét đủ ba khoảng; Cách 1 và Cách 2 nhanh hơn nhưng đòi hỏi nhớ đúng bất đẳng thức hoặc hình dung đúng ý nghĩa khoảng cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hình dung

B

là tổng khoảng cách từ

x

đến

1

và đến

3

trên trục số, suy ra ngay giá trị nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa hai điểm mốc mà không cần biến đổi đại số.

Đáp số. Giá trị nhỏ nhất của

B

là

2

, đạt được với mọi

x

thoả

1 \leq x \leq 3

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ tìm được MỘT giá trị

x

làm

B

nhỏ nhất (thường đoán

x = 1

hoặc

x = 3

) mà không nhận ra dấu bằng xảy ra trên CẢ MỘT ĐOẠN

1 \leq x \leq 3

, không phải chỉ một điểm.

🚀 Mở rộng. Cùng phương pháp, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của

C = ∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣ + ∣ x - 1∣

(tổng ba giá trị tuyệt đối), lúc đó giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm giữa (trung vị) của ba mốc

- 2, 1, 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.36★★★★Trang 32— Chứng minh bất đẳng thức giá trị tuyệt đối (bất đẳng thức tam giác)

Hãy giải thích tại sao

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

với mọi số thực

x, y

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $a$ : $- ∣ a ∣ \leq a \leq ∣ a ∣$ .
Nếu $- m \leq a \leq m$ (với $m \geq 0$ ) thì $∣ a ∣ \leq m$ .
Bình phương hai số không âm: $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , nếu $a^{2} \leq b^{2}$ thì $a \leq b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài chứng minh tổng quát với

x, y

bất kì — dấu hiệu của dạng phải lập luận đúng cho MỌI trường hợp dấu của

x, y

, không được chỉ thử vài số cụ thể. Hướng an toàn nhất là dùng tính chất

- ∣ a ∣ \leq a \leq ∣ a ∣

rồi cộng vế theo vế; bẫy là chứng minh thiếu trường hợp (ví dụ chỉ xét

x, y

cùng dương) rồi vội kết luận đúng với mọi số.

1Cách 1. Xét các trường hợp dấu của

x

và

y

Định hướng. Chia thành các trường hợp theo dấu của $x, y$ rồi kiểm tra bất đẳng thức trong từng trường hợp.

Nếu

x, y

cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương):

∣ x + y ∣ = ∣ x ∣ + ∣ y ∣

(dấu bằng xảy ra), bất đẳng thức đúng vì hai vế bằng nhau.

Nếu

x, y

trái dấu (một số dương, một số âm):

∣ x + y ∣

chính là hiệu của hai giá trị tuyệt đối

∣ x ∣ - ∣ y ∣

, mà

∣ x ∣ - ∣ y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

luôn đúng vì vế phải cộng thêm một lượng không âm.

Nếu

x = 0

hoặc

y = 0

∣ x + y ∣ = ∣ x ∣ + ∣ y ∣

hiển nhiên đúng (dấu bằng).

Vậy trong mọi trường hợp dấu của $x, y$ , luôn có $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

2Cách 2. Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm)

Định hướng. Vì $∣ x + y ∣ \geq 0$ và $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \geq 0$ , so sánh hai vế bằng cách so sánh bình phương của chúng.

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

(∣ x ∣ + ∣ y ∣)^{2} = ∣ x ∣^{2} + 2∣ x ∣∣ y ∣ + ∣ y ∣^{2} = x^{2} + 2∣ x y ∣ + y^{2}

(vì

∣ x ∣^{2} = x^{2}

∣ x ∣∣ y ∣ = ∣ x y ∣

So sánh hai khai triển: chênh lệch đúng bằng

2∣ x y ∣ - 2 x y \geq 0

vì

∣ x y ∣ \geq x y

với mọi số thực

x y

Suy ra

(x + y)^{2} \leq (∣ x ∣ + ∣ y ∣)^{2}

; vì hai vế của bất đẳng thức gốc đều không âm nên

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Vậy $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ với mọi số thực $x, y$ .

3Cách 3. Dùng tính chất

- ∣ a ∣ \leq a \leq ∣ a ∣

rồi cộng vế theo vế

Định hướng. Áp dụng tính chất sandwich của giá trị tuyệt đối cho từng số $x, y$ rồi cộng lại.

Với mọi số thực

x

- ∣ x ∣ \leq x \leq ∣ x ∣

Với mọi số thực

y

- ∣ y ∣ \leq y \leq ∣ y ∣

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên:

- (∣ x ∣ + ∣ y ∣) \leq x + y \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Theo tính chất "nếu

- m \leq a \leq m

thì

∣ a ∣ \leq m

" (với

m = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \geq 0

), suy ra

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Vậy $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ với mọi số thực $x, y$ .

Nhận xét. Ba cách đều chứng minh chặt chẽ cho MỌI $x, y$ ; Cách 3 ngắn gọn và mang tính tổng quát nhất, thường được dùng làm chứng minh chuẩn cho bất đẳng thức tam giác này ở các lớp sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: xuất phát từ

- ∣ a ∣ \leq a \leq ∣ a ∣

áp dụng cho cả

x

và

y

rồi cộng vế theo vế — ngắn gọn, không cần chia trường hợp dấu như Cách 1, không cần khai triển bình phương như Cách 2.

Đáp số.

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

đúng với mọi số thực

x, y

; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x, y

cùng dấu (hoặc một trong hai số bằng

0

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ thử vài cặp số cụ thể (như

x = 2, y = 3

) rồi kết luận bất đẳng thức đúng, trong khi thử vài ví dụ không phải là một phép chứng minh — phải lập luận đúng cho MỌI

x, y

như ba cách trên.

🚀 Mở rộng. Bất đẳng thức này chính là dạng một chiều của bất đẳng thức tam giác trong số thực; có thể mở rộng chứng minh

∣ x - y ∣ \geq ∣ x ∣ - ∣ y ∣

hoặc

∣ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} ∣ \leq ∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣ + \dots + ∣ x_{n} ∣

cho

n

số hạng.

Mở bài này trong app ↗